Trigonometria banhakeia

TRIGONOMETRIA
Triangulo Rectangulo
sena =
hipotenusa
opuesto
=
h
a
cosa =
hipotenusa
adyacente
=
h
b
tana =
adyacente
opuesto
=
b
a
Teorema del coseno
a
2
= b
2
+ c
2
- 2.b.c.cosA
b
2
= a
2
+ c
2
- 2.a.c.cosB
c
2
= a
2
+ b
2
- 2.a.b.cosC
Este teorema sirve cuando conocemos 3 lados o 2 lados y el angulo comprendidos entre ellos.
Teorema del seno
senA
a
=
senB
b
=
senC
c
Este teorema sirve cuando conocemos 2 angulos y un lado o 2 lados y el angulo opuesto a uno de ellos.
Circulo Trigonometrico
recuerda que rrad = 180
0
para convertir radianes en grados o viceversa.
la parte coloreada en azul 0 + 2kr,r + 2kr6 @ A sena $ 0
sen 0 = senr = 0
la parte coloreada en rojo -
2
r + 2kr,
2
r + 2kr7 A A cosa $ 0
cos
2
r
= cos
2
-r_ i = 0
Aplicando Pitagoras
z2
= a2
+ b2
( z = a2
+ b2
sena =
a2
+ b2
b
; cosa =
a2
+ b2
a
taga =
a
b
; cotga =
b
a
TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA

Angulos complementarios y suplementarios
2 angulos son complementarios si la suma de los dos angulos es 90º
2 angulos son suplementarios si la suma de los dos angulos es 180º
Para hallar el seno,coseno del angulo
2
r
! a_ i escogeremos el angulo que se acerca a
2
r
que es b o c
y con el signo de seno o coseno según a que intervalo d
2
r
! a_ i ya visto antes. eje x = coseno ,eje y = seno^ h
sen
2
r - a_ i = sen
2
r - a_ i es 5 pq.
2
r - a_ i d 0,r6 @8 B
senb =
z
a
eje x
?
=
a2
+ b2
Z = radio circulo= 1
1 2 34444 4444
a
= cosa ; luego sen
2
r - a_ i = cosa
Z
[

]]]]]]]]]
]]]]]]]]]
cos
2
r - a_ i = cos
2
r - a_ i es 5 pq.
2
r - a_ i d -
2
r
,
2
r
7 A8 B
cosb =
z
b
eje y
?
=
a
2
+ b
2
b
= sena ; luego cos
2
r - a_ i = sena
Z
[

]]]]]]]]
]]]]]]]]
sen
2
r + a_ i = sen
2
r + a_ i es 5 pq.
2
r + a_ i d 0,r6 @8 B
senc =
z
a
=
a
2
+ b
2
a
= cosa ; luego sen
2
r + a_ i = cosa
Z
[

]]]]]
]]]]]
cos
2
r + a_ i = cos
2
r + a_ i es 6 pq.
2
r + a_ i z -
2
r
,
2
r
7 A8 B
cosc =
z
b
=
a
2
+ b
2
b
= sena ; luego cos
2
r + a_ i =- sena
Z
[

]]]]]
]]]]]
Para hallar el seno,coseno del angulo r ! a^ h escogeremos el angulo que se acerca a r que es b o c
y con el signo de seno o coseno según a que intervalo d r ! a^ h ya visto antes. eje x = coseno ,eje y = seno^ h
cos r - a^ h = cos r - a^ h es 6 pq. r - a^ h z -
2
r
,
2
r
7 A8 B
cosb =
z
a
=
a
2
+ b
2
a
= cosa ; luego cos r - a^ h =- cosa
Z
[

]]]]]
]]]]]
sen r - a^ h = sen r - a^ h es 5 pq. r - a^ h d 0,r6 @6 @
senb =
z
b
=
a
2
+ b
2
b
= sena ; luego sen r - a^ h = sena
Z
[

]]]]]
]]]]
sen r + a^ h = sen r + a^ h es 6 pq. r + a^ h z 0,r6 @6 @
senc =
z
b
=
a
2
+ b
2
b
= sena ; luego sen r + a^ h =- sena
Z
[

]]]]]
]]]]
cos r + a^ h = cos r + a^ h es 6 pq. r + a^ h z -
2
r
,
2
r
7 A8 B
cosc =
z
a
=
a
2
+ b
2
a
= cosa ; luego cos r + a^ h =- cosa
Z
[

]]]]]
]]]]]
Para hallar el seno,coseno del angulo
2
3r
! a` j escogeremos el angulo que se acerca a
2
3r
que es b o c
y con el signo de seno o coseno según a que intervalo d
2
3r
! a` j ya visto antes. eje x = coseno ,eje y = seno^ h
seguir los mismos pasos hechos anteriormente.

la mejor forma de hallar lo de los angulos complementarios y suplementarios
es imaginar un circulo y aplicando lo anterior mentalmente,teniendo en cuenta que eje x = cos y eje y = sen
** Tabla de valores mas significativos.
** Propiedades
sen a + b^ h = sena cosb + cosa senb
sen a - b^ h = sena cosb - cosa senb
cos a + b^ h = cosa cosb - sena senb
cos a - b^ h = cosa cosb + sena senb
tan a + b^ h =
1 - taga tagb
taga + tagb
tan a - b^ h =
1 + taga.tagb
taga - tagb
taga = cotga
-1 # sena # 1 ; - 1 # cosa # 1 ; - 3 # taga #+3
sena senb =
2
1
cos a - b^ h - cos a + b^ h6 @
sena cosb =
2
1
sen a + b^ h + sen a - b^ h6 @
cosa cosb =
2
1
cos a + b^ h + cos a - b^ h6 @
cosa senb =
2
1
sen a + b^ h - sen a - b^ h6 @
sena + senb = 2sen
2
a + b
cos
2
a - b
sena - senb = 2cos
2
a + b
sen
2
a - b
cosa + cosb = 2cos
2
a + b
sen
2
a - b
cosa - cosb =- 2sen
2
a + b
sen
2
a - b
formulas importantisimas.
sen2a = 2senacosa ; cos2a = cos
2
a - sen
2
a ; tag2a =
1 - tag
2
a
2taga
sen
2
a + cos
2
a = 1 ; 1 + tag
2
a =
cos
2
a
1
; 1 + cot
2
a =
sen
2
a
1
sen
2
a =
2
1 - cos2a
; cos
2
a =
2
1 + cos2a
, tag
2
a =
1 + cos2a
1 - cos2a

** Igualdades
sena = senb ,
a = b + 2kr k d Z
a = r - b + 2kr k d Z
)
cosa = cosb ,
a = b + 2kr k d Z
a =- b + 2kr k d Z
)
taga = tagb ,
a = b + kr k d Z
a ]
2
r + kr
b ]
2
r + kr
Z
[

]]]]]]]
]]]]]]]
cotga = cotgb +
a = b + kr k d Z
a ! kr
b ! kr
Z
[

]]]]]
]]]]]

*** Ecuaciones Armonicas
Son de la forma : a.sen x^ h + b.cos x^ h = c siendo a.b.c ! 0 I
una de las formas de resolverlo es la seguiente.
1º - dividir la ecuación I entre la a o bién entre la b supongamos que dividamos por a^ h
I , sen x^ h +
a
b
cos x^ h =
a
c
, sen x^ h + taga.cos x^ h =
a
c
siendo taga =
a
b
I , sen x^ h +
cosa
sena
cos x^ h =
a
c
, cosa.sen x^ h + sena.cos x^ h =
a
c
cosa
utilizando una de estas formulas
cos a - b^ h = cosa.cosb + sena.senb
cos a + b^ h = cosa.cosb - sena.senb
sen a - b^ h = sena.cosb - senb.cosa
sen a + b^ h = sena.cosb + senb.cosa
Z
[

]]]]]]
]]]]]]
_
`
a
bbbbbb
bbbbbb
A
6 7 8444444444444444444444444 444444444444444444444444
I , sen a + x^ h =
a
c
cosa
Si
a
c
cosa 1- 1 o a
c
cosa 2 1 ( I no tiene solución imposible de resolver^ h
Si - 1 #
a
c
cosa # 1
a
c
cosa la transformaremos en senb
luego sen a + x^ h = senb ,
a + x = r - b + 2kr
a + x = b + 2kr
% con k d Z
*** Ecuaciones Simetrica
son de la forma que cuando sustituimos seno por coseno y viceversa nos queda la misma ecuación.
ejemplo : 1 senx + cosx = 1 si remplazamos sen por cos y viceversa queda de la seguiente
forma cosx + senx = 1 que es exactamente igual que la original & 1 es simetrica
para este tipo de ecuaciones se resuelven haciendo cambio de variable x = y +
4
r
cosx = cos y +
4
r
_ i =
2
2
cosy - seny^ h
senx = sen y +
4
r
_ i =
2
2
cosy + seny^ h
Z
[

]]]]]
]]]]]
utilizando formulas A
*** Ecuaciones Homogeneas
Es una ecuación de la forma f senx,cosx^ h = 0 donde f es un polinomio donde los terminos son de
tipo sen
a
x cos
b
x con a + b^ hes constante para cada termino del polinomio.
Ejemplo: sen
2
x - 3cos
2
x - senx.cosx = 06 @
sen
2
x^ h A es de grado 2, -3cos
2
x^ h A es de grado 2 -senx.cosx^ h A es de grado 1 + 1 = 2
lo que se hace en esta clase de ecuaciones es dividir por el cos
a+b
o por el sen
a+b
en el ejemplo anterior podemos dividir por cos
2
x ya que cosx = 0 ,
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
, x =
2
r + kr*
y resulta que
2
r
no es una solucion de la ecuacion por lo seguiente podemos ' por cos
2
sen
2
x - 3cos
2
x - senx.cosx = 0 +
cos
2
x
sen
2
x - 3cos
2
x - senx.cosx
=
cos
2
x
0
,
+ tag
2
x^ h - 3 - tag x^ h = 0 + tag
2
x^ h - tag x^ h - 3 = 0 haciendo cambio variable y = tag x^ h
+ y
2
- y - 3 = 0 ecuacion de 2º grado , facil seguir....
Observación Muy Importante^ h
** Donde sirve el teorema de seno,no sirve el teorema de coseno y viceversa.
** Antes de resolver 6 ecuacion trigonometrica tenemos que mirar antes su campo de existencia.
** En ecuaciones trigonometricas nunca se simplifica ,se factoriza y despues se resuelve.

*** Inecuaciones Trigonometricas
Para poder resolver esta clase dee inecuaciones se utiliza dos metodos:
1º Metodo
resolver por graficas
Para este metodo es muy obligatorio conocer las graficas de sen,cos,tag,cotag......de memoria.
aqui abajo van las graficas de cada una de ellas
2º Metodo
resolver por circulo trigonometrico
lo unico que hay que recordar es que eje x A coseno y el eje y A seno
para entender mejor como utilizar los dos metodos ve a los ejercicios 31 ,32 y 33.
** si tuvieramos cos ax + b^ h 2 c A hacemos cambio variable y = ax + b ( cos y 2 c
si c 2 1 ( imposible resolverlo ya que - 1 # cos y # 1^ h
si c 1- 1 ( solucion es R
si -1 # c # 1
cambiamos la desigualdad por igualdad A cos y = c + cos y = cos b +
y =-b + 2kr
y = b + 2kr
'
sabemos que el eje x A coseno asi que en el eje x colocamos el valor de c y tarazamos una ' al eje y
la solución seria todos los valores superiores c que es tan encima del circulo.
** si tuvieramos sen ax + b^ h 2 c A hacemos cambio variable y = ax + b ( seny 2 c
es exactamente parecido al anterior lo unico que cambia es colocar el valor de c en el eje y A seno
y hacer una paralela desde este punto al eje x y todos los valores que quedan encima del c
la solución seria todos los valores superiores a c que estan encima del circulo.

*** Ejercicio demostrar que
cotagx + tagx
cotag - tagx
= 1 - 2sen
2
x
cotagx + tagx
cotag - tagx
=
senx
cosx +
cosx
senx
senx
cosx -
cosx
senx
=
senx cosx
cos
2
x + sen
2
x
senx cosx
cos
2
x - sen
2
x
= cos
2
x - sen
2
x = 1 - 2sen
2
x
--------------------
*** Ejercicio demostrar que
cosx
1 - senx
=
1 + senx
cosx
sabemos que cos
2
x + sen
2
x = 1 + 1 - sen
2
x = cos
2
x + 1 - senx^ h 1 + senx^ h = cosx.cosx
+
cosx
1 - senx
=
1 + senx
cosx
de igual manera se puede demostrar
senx
1 - cosx
=
1 + cosx
senx
--------------------
*** Ejercicio demuestre
1 + tag
2
x
1 - tag
2
x
= cos2x
1 + tag
2
x
1 - tag
2
x
=
1 +
cos
2
x
sen
2
x
1 -
cos
2
x
sen
2
x
=
cos
2
x
cos
2
x + sen
2
x
cos
2
x
cos
2
x - sen
2
x
= cos
2
x - sen
2
x = cos2x
--------------------
*** Ejercicio demuestre
1 + secx
tagx
=
senx
1 - cosx
1 + secx
tagx
=
1 +
cosx
1
cosx
senx
=
cosx
1 + cosx
cosx
senx
=
1 + cosx
senx
1 - cosx
1 - cosx
=
1 - cos
2
x
senx 1 - cosx^ h
=
=
sen
2
x
senx 1 - cosx^ h
=
senx
1 - cosx
--------------------
*** Ejercicio demuestre tag
2
x - sen
2
x = tag
2
x . sen
2
x
tag
2
x - sen
2
x =
cos
2
x
sen
2
x - sen
2
x =
cos
2
x
sen
2
x - sen
2
x.cos
2
x
=
cos
2
x
sen
2
x 1 - cos
2
x^ h
=
cos
2
x
sen
2
x sen
2
x
= tag
2
x . sen
2
x
--------------------
*** Ejercicio
secx - tagx^ h2
1 - senx
= 1 + senx
secx - tagx^ h2
1 - senx
=
sec
2
x - 2.secx.tagx + tag
2
x
1 - senx
=
cos
2
x
1 -
cos
2
x
2senx +
cos
2
x
sen
2
x
1 - senx
=
=
sen
2
x - 2senx + 1
1 - senx^ hcos
2
x
=
senx - 1^ h2
1 - senx^ h 1 - sen
2
x^ h
=
1 - senx^ h2
1 - senx^ h2
1 + senx^ h
= 1 + senx
--------------------
*** Ejercicio tagx + cotagx =
senx.cosx
1
tagx + cotagx =
cosx
senx +
senx
cosx
=
senx.cosx
sen
2
x + cos
2
x
=
senx.cosx
1
O bién
senx.cosx
1
=
senx.cosx
sen
2
x + cos
2
x
=
senx.cosx
sen
2
x +
senx.cosx
cos
2
x
=
cosx
senx +
senx
cosx
= tagx + cotagx
--------------------
Observación
Para demostrar igualdades es mejor empezar por la expresión mas desarrollada
suele funcionar al 90%, y tener bién memorizada las formulas trigonometricas

*** Ejercicio 1: Demostración del teorema de coseno.
a
2
= b
2
+ c
2
- 2.b.c.cos a^ h sabemos que
cos a^ h =
c
x
+ x = c.cos a^ h A Tri. Izq.^ h
b = y + x + y = b - c.cos a^ h
En Triangulo derecho
a
2
= y
2
+ h
2
= b - c.cos a^ h6 @2
+ h
2
a
2
= b
2
+ c
2
.cos
2
a^ h - 2.b.c.cos a^ h + h
2
En Triangulo Izquierdo
c
2
= x
2
+ h
2
= c
2
.cos
2
a^ h + h
2
a
2
= b
2
+ c
2
.cos
2
a^ h - 2.b.c.cos a^ h + h
2
+ a
2
- c
2
= b
2
- 2.b.c.cos a^ h + a
2
= b
2
- 2.b.c.cos a^ h + c
2
+ a
2
= b
2
+ c
2
- 2.b.c.cos a^ h
---------
c
2
= a
2
+ b
2
- 2.a.b.cos b^ h sabemos que
cos b^ h =
a
y
+ y = a.cos b^ h Tri.Derec.^ h
b = y + x + x = b - a.cos b^ h
En Triangulo Izquierdo
c
2
= x
2
+ h
2
= b - a.cos b^ h6 @2
+ h
2
= b
2
+ a
2
.cos
2
b^ h - 2.b.a.cos b^ h + h
2
a
2
= y
2
+ h
2
= a
2
cos
2
b^ h + h
2
+ c
2
- a
2
= b
2
- 2.a.b.cos b^ h + c
2
= a
2
- 2.a.b.cos b^ h + b
2
+ c
2
= a
2
+ b
2
- 2.a.b.cos b^ h
---------
b
2
= a
2
+ c
2
- 2.a.c.cos c^ h
para su demostración se dan los mismos pasos cambiando h de posición.ver imagen
-------------------
*** Ejercicio 2: Demostración del teorema de seno.
sena
a
=
senc
b
=
senb
c
viendo el triangulo
senb =
a
h
+ h = a.senb
sena =
c
h
+ h = c.sena
*
+ c.sena = a.senb +
sena
a
=
senb
c
1
viendo el triangulo
sena =
b
lh
+ lh = b.sena
senc =
a
lh
+ lh = a.senc
Z
[

]]]]]
]]]]
+ b.sena = a.senc +
sena
a
=
senc
b
2
de 1 y 2 se deduce que
sena
a
=
senc
b
=
senb
c
-------------------
*** Ejercicio 3: resuelve sen 5x^ h =
2
1
sen 5x^ h =
2
1
+ sen 5x^ h = sen
6
r
+
5x = r -
6
r + 2kr
5x =
6
r + 2kr
* +
5x =
6
5r + 2kr
5x =
6
r + 2kr
* +
x =
6
r + 2kr
x =
30
r + 2kr
* k d Z
el conjunto de soluciones es S =
30
r + 2kr-,
6
r + 2kr#$ . , k d Z
--------------------

*** Ejercicio 4: resuelve sen x^ h = cos 2x^ h
sen x^ h = cos 2x^ h + cos
2
r - x_ i = cos 2x^ h +
2
r - x =- 2x + 2kr
2
r - x = 2x + 2kr
* +
x =
2
-r + 2kr
-3x =
2
-r + 2kr
+
x =
2
-r + 2kr
x =
6
r +
3
2kr
* con k d Z*
el conjunto de soluciones es S =
6
r +
3
2kr
.,
2
-r + 2kr#$ . , k d Z
--------------------
*** Ejercicio 5: resuelve tag 2x^ h = 3
1º miramos el campo de existencia de la ecuación:
tag 2x^ h existe Ssi cos 2x^ h ! 0 + 2x !
2
r + kr + x !
4
r +
2
kr
con k d Z
Ahora resolvamos la ecuacion siendo x !
4
r +
2
kr
con k d Z
tag 2x^ h = 3 + tag 2x^ h = tag
3
r
_ i + 2x =
3
r + kr + x =
6
r +
2
kr
con k d Z
ahora averiguemos para que valores de k
4
r +
2
kr
=
6
r +
2
kr
para excluirlo de las soluciones.
4
r +
2
kr
=
6
r +
2
kr
+
4
1 +
2
k
=
6
1 +
2
k
+
4
1
=
6
1
absurdo.
por último el conjunto de soluciones es S =
6
r +
2
kr
$ ., k d Z
--------------------
*** Ejercicio 6: resuelve 3 tag 2x^ h = sec 2x^ h + 1
recuerda: seca =
cosa
1
; cosec =
sena
1
1º calcular campo de existencia de la ecuación
tag 2x^ h existee Ssi cos 2x^ h ! 0 y sec 2x^ h existe Ssi cos 2x^ h ! 0
cos 2x^ h = 0 + cos 2x^ h = cos
2
r
_ i +
2x =-
2
r + 2kr
2x =
2
r + 2kr
* +
x =-
4
r + kr
x =
4
r + kr
+* x =
4
r +
2
kr
con k d Z
Ahora resolvamos el ejercicio con x !
4
r +
2
kr
con k d Z
3 tag 2x^ h = sec 2x^ h + 1 + 3
cos 2x^ h
sen 2x^ h
=
cos 2x^ h
1 + 1 + 3 sen 2x^ h = 1 + cos 2x^ h
+ 2 3 senx.cosx = cos
2
x + sen
2
x + cos
2
x - sen
2
x , cos
2
x + sen
2
x = 1 , sen 2x^ h = 2senx.cosx ,cos 2x^ h = cos
2
x - sen
2
x
+ 2 3 senx.cosx - 2cos
2
x = 0 + cosx 2 3 senx - 2cosx^ h = 0 +
+
2 3 senx - 2cosx = 0
cosx = 0
' +
2 3 senx = 2cosx
cosx = 0
' +
cosx
senx
=
3
1
cosx = 0
* +
tagx =
3
1
cosx = 0
* +
+
tagx =
3
1
+ tagx = tag
6
r
+ x =
6
r + kr con k d Z A
6
r + kr =
4
r +
2
kr
+ k =
6
1
b Z & x =
6
r + kr
cosx = 0 +
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
+ x =
2
r + kr
porque va dando saltos de r en r
6 7 8444444 444444
con k d Z A
2
r + kr =
4
r +
2
kr
+ k =
2
-1
b Z & x =
2
r + kr
Z
[

]]]]]
]]]]]
Z
[

]]]]]]]]]
]]]]]]]]]
6
r + kr# -, 2
r + kr# -, k d Z
--------------------
*** Ejercicio 7: resuelve senx + cosx^ h2
= 1
senx + cosx^ h2
= 1 + sen
2
x + cos
2
x + 2senx.cosx = 1 + 1 + 2.senx.cosx = 1 + senx.cosx = 0 +
+
cosx = 0 = cos
2
r
+
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
+ x =
2
r + kr con k d Z*
senx = 0 = sen0 +
x = r - 0 + 2kr
x = 0 + 2kr
+
x = r + 2kr
x = 2kr
+ x = kr con k d Z$$
Z
[

]]]]]]]]
]]]]]]]]
por último el conjunto de soluciones es S = kr" , , 2
r + kr# -, k d Z

--------------------
*** Ejercicio 8: resuelve sen
4
r - x_ i+ 2 senx = 0
sen
4
r - x_ i+ 2 senx = 0 + sen
4
r
cosx - cos
4
r
senx + 2 senx = 0 +
2
2
cosx -
2
2
senx +
2
2 2
senx = 0 +
+
2
2
cosx +
2
2
senx = 0 + cosx + senx = 0 + cosx =- senx + tagx =- 1 = tag
4
-r
+
+ x =
4
-r + kr con k d Z
4
-r + kr# -, k d Z
--------------------
*** Ejercicio 9: resuelve - 3.senx + 3 .cosx = 0
1º metodo
- 3.senx + 3 .cosx = 0 + senx -
3
3
cosx = 0 + senx -
3
1
cosx = 0 +
+ senx - tag
6
r
cosx = 0 + senx -
cos
6
r
sen
6
r
cosx = 0 + cos
6
r
senx - sen
6
r
cosx = 0 +
+ sen x -
6
r
_ i = 0 + sen x -
6
r
_ i = sen0 +
x -
6
r
= r - 0 + 2kr
x -
6
r
= 0 + 2kr
* +
x -
6
r
= r + 2kr
x -
6
r
= 2kr
* con k d Z
+
x =
6
7r + 2kr
x =
6
r + 2kr
* + x =
6
r + kr con k d Z poque las soluciones van dando saltos de r en r
luego el conjunto de soluciones es S =
6
r + kr# - , k d Z
2º metodo
- 3.senx + 3 .cosx = 0 + senx =
3
3
cosx +
cosx
senx
=
3
3
=
3
1
+ tagx = tag
6
r
+ x =
6
r + kr con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 10: resuelve 3 .senx + cosx = 3
3 .senx + cosx = 3 + senx +
3
1
cosx = 1 + senx + tag
6
r
cosx = 1 +
+ cos
6
r
senx + sen
6
r
cosx = cos
6
r
+ sen x +
6
r
_ i = cos
6
r
+ sen x +
6
r
_ i = sen
2
r -
6
r
_ i = sen
3
r
+
+
x +
6
r
= r -
3
r + 2kr
x +
6
r
=
3
r + 2kr
* +
x =
2
r + 2kr
x =
6
r + 2kr
* con k d Z
6
r + 2kr# - , 2
r + 2kr# - con k d Z
*** Ejercicio 11: resuelve cotg 2x^ h + tag x^ h = 0 I
1º campo de existencia de cotg 2x^ h A cos 2x^ h ! 06 @y de tag x^ h A cos x^ h ! 06 @
cos 2x^ h = 0 = cos
2
r
+
2x =-
2
r + 2kr
2x =
2
r + 2kr
* +
x =-
4
r + kr
x =
4
r + kr
+ x =
4
r +
2
kr
* con k d Z
cos x^ h = 0 = cos
2
r
+
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
* + x =
2
r + kr con k d Z
Ahora resolvamos la ecuación I siendo x b
2
r + kr# - , x =
4
r +
2
kr
$ . con k d Z
cotg 2x^ h + tag x^ h = 0 +
sen 2x^ h
cos 2x^ h
+
cos x^ h
sen x^ h
= 0 + cos 2x^ hcos x^ h + sen 2x^ hsen x^ h = 0 + cos 2x - x^ h = 0 = cos
2
r
+
cosx = cos
2
r
+ x =
2
r + kr con k d Z
Pero como hemos demostrado en campo de existencia que x b
2
r + kr# - , x =
4
r +
2
kr
$ . ( la ecuación I no tiene solución

*** Ejercicio 12: resuelve senx + cosx = 1 i
1º metodo Recordad: 2kr =- 2kr con k d Z
i es una ecuación simetrica ya que sustituindo sen A cos y cos A sen i no varia
asi que hacemos cambio de variable x = y +
4
r
luego i + senx + cosx = 1 + sen y +
4
r
_ i+ cos y +
4
r
_ i = 1
+
2
2
cosy + seny^ h +
2
2
cosy - seny^ h = 1 + 2
2
2
cosy = 1 + cosy =
2
1
=
2
2
+ cosy = cos
4
r
+
+
y =-
4
r + 2kr
y =
4
r + 2kr
* +
x -
4
r
=-
4
r + 2kr
x -
4
r
=
4
r + 2kr
* +
x = 2kr
x =
2
r + 2kr( k d Z
2
r + 2kr# - , 2kr" , con k d Z
2º metodo Recordad: sena + senb = 2sen
2
a + b
cos
2
a - b
sena - senb = 2sen
2
a - b
cos
2
a + b
cosa + cosb = 2cos
2
a + b
cos
2
a - b
cosa - cosb =- 2sen
2
a + b
sen
2
a - b
senx + cosx = 1 + cos
2
r - x_ i+ cosx = 1 + 2.cos
2
2
r - x + x_ i
cos
2
2
r - x - x_ i
= 1 +
+ 2.cos
4
r
cos
4
r - x_ i = 1 + 2
2
2
cos
4
r - x_ i = 1 + cos
4
r - x_ i =
2
1
=
2
2
= cos
4
r
+
+
4
r - x =-
4
r + 2kr
4
r - x =
4
r + 2kr
* +
-x =-
2
r + 2kr
-x = 2kr
) +
x =
2
r + 2kr
x = 2kr
) con k d Z
2
r + 2kr# - , 2kr" , con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 13: Calcula el dominio de f x^ h =
cos3x + cosx
x + 1
f x^ h existe si y sólo si cos3x + cosx ! 0
cos3x + cosx = 0 + cos3x =- cosx = cos r - x^ h +
3x =-r + x + 2kr
3x = r - x + 2kr
$ +
2x =-r + 2kr
4x = r + 2kr
$ +
+
x =
2
-r + kr
x =
4
r +
2
kr
* con k d Z luego D f = R -
2
-r + kr# -,
4
r +
2
kr
$ . siendo k d Z8 B
--------------------
*** Ejercicio 14: resuelve 5.sen
2
x - 2cos
2
x - 3.senx.cosx = 0 a
5.sen
2
x - 2cos
2
x - 3.senx.cosx = 0 es una ecuación homogenea de grado 2 podemos dividir por cos
2
x
ya que las soluciones de cosx = 0 + x =
2
r + kr A no es la solucion de la a
comprobando 5.sen
2
2
r - 2.cos
2
2
r - 3.sen
2
r
cos
2
r
= 5 ! 0
a + 5
cos
2
x
sen
2
x - 2
cos
2
x
cos
2
x - 3
cos
2
x
senx.cosx
=
cos
2
x
0
+ 5 tag
2
x - 2 - 3 tagx = 0 +
+ 5 tag
2
x - 3 tagx - 2 = 0 cambio variable tagx = y
+ 5y
2
- 3y - 2 = 0 3= -3^ h2
- 4 5^ h -2^ h = 49 ( 3 = 7
y =
10
3 ! 7
=
5
-2
1
) (
tagx =
5
-2
+ x = 21,80º + k.180º
tagx = 1 + x =
4
r + kr
* sabemos que r = 180º
+
x -
25
3r + kr
x =
4
r + kr
* con k d Z , luego el conjunto de soluciones es S =
4
r + kr# - , 25
3r + kr$ . con k d Z
--------------------

*** Ejercicio 15: resuelve sen arccosx^ h =
2
3
Recordad:
2
-r
# arccosx #
2
r
,
2
-r
# arcsenx #
2
r
1º buscamos cúal es el angulo de seno que nos da
2
3
que es sen
3
r
asi que sen arccosx^ h = sen
3
r
sen arccosx^ h = sen
3
r
+
arccosx = r -
3
r + 2kr
arccosx =
3
r + 2kr
* +
arccosx =
3
2r + 2kr Ab
2
-r
,
2
r7 A
arccosx =
3
r + 2kr Ad
2
-r
,
2
r7 A
*
luego arccosx =
3
r + 2kr + cos arccosx^ h = cos
3
r + 2kr_ i + x = cos
3
r
=
2
1
--------------------
*** Ejercicio 16:
Desde lo alto de un edificio se ve un perro en el suelo con un angulo de
depresión de 60º,si dicho edificio tiene una altura de 45 mts.
¿a que distancia se encuentra el perro del edificio?
en esta clase de ejercicios de trigonometria es muy impotante entender el ejercico y hacer un esquema de el.
aplicando el teorema de angulos congruentes ver imag.^ h
viendo la imagen de enfrente podemos concluir que
cos60º =
45
x
+ x = 45.cos60º +
+ x = 45
2
1
= 22,5 mts A que es la distancia entre el edificio y el perro
--------------------
*** Ejercicio 17:
Un observador que se encuentra en lo alto de la torre,a 80 mts de altura,y formando un angulo con
la horizontal respecto del perro de
6
r
y de
3
r
respecto a la tortuga.
¿a que distancia se encuentra el perro de la tortuga?
viendo la imagen podemos deducir que
x + y = 80 cos
6
r
= 80
2
3
= 40 3 mts
y = 80 cos
3
r
= 80
2
1 = 40 mts
Z
[

]]]]]
]]]]]
x = 40 3 - 1^ h = 29,28mts A es la distancia que separa el perro de la tortuga.

*** Ejercicio 18: Resuelve sen2x =- senx
Recordad: sen -x^ h =- senx , cos -x^ h = cosx
sen2x =- senx + sen2x = sen -x^ h +
2x = r - -x^ h + 2kr
2x =- x + 2kr
% +
x = r + 2kr
x =
3
2kr
)
3
2kr
$ . , r + 2kr" , con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 19: Resuelve tag2x = cotagx
Recordad: sen
2
r - x_ i = cosx , cos
2
r - x_ i = senx , tag
2
r - x_ i = cotagx , cotag
2
r - x_ i = tagx
tag2x = cotagx + tag2x = tag
2
r - x_ i + 2x =
2
r - x + kr + 3x =
2
r + kr + x =
6
r +
3
kr
con k d Z
6
r +
3
kr
$ . con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 20: Resuelve tag
2
x + 4 tagx + 3 = 0 i
1º campo de existencia de la ecuación i
sabemos que tagx =
cosx
senx
existe Ssi cosx ! 0 + x !
2
r + kr con k d Z
sea y = tagx i + y
2
+ 4y + 3 = 0 3= 16 - 12 = 4 & 3 = 2
y =
2
-4 ! 2
=
-3
-1
$ ( tagx =
-3
-1
$
tagx =- 1 , tagx = tag
4
-r_ i + x =
4
-r + kr es una solución porque es !
2
r + kr
tagx =- 3 , x = arctag -3^ h + kr con k d Z
4
-r + kr# - , arctag -3^ h + kr" , con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 21: Resuelve 5cosx + 7cos2x = 2 - 4sen
2
x
5cosx + 7cos2x = 2 - 4sen
2
x + 5cosx + 7 cos
2
x - sen
2
x^ h = 2 - 4sen
2
x + 5cosx + 7cos
2
x - 3sen
2
x = 2 +
+ 5cosx + 7cos
2
x - 3 1 - cos
2
x^ h - 2 = 0 + 10cos
2
x + 5cosx - 5 = 0 + 2cos
2
x + cosx - 1 = 0
haciendo cambio de variable y = cosx A 2y
2
+ y - 1 = 0 , 3= 1 + 8 = 9 & 3 = 3
y =
4
-1 ! 3
=
2
1
-1
) ( cosx =
2
1
= cos
3
r
-1 = cosr
) +
cosx = cos
3
r
+ x =
x =-
3
r + 2kr
x =
3
r + 2kr
*
cosx = cosr + x =
x =-r + 2kr
x = r + 2kr
$
Z
[

]]]]]]]]
]]]]]]]]
+
+
x =
x =-
3
r + 2kr
x =
3
r + 2kr
*
x =
x =-r + 2kr
x = r + 2kr
+ x = 2k + 1^ hr$
Z
[

]]]]]]]]
]]]]]]]]
3
-r + 2kr# - , 3
-r + 2kr# - , 2k + 1^ hr" , con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 22: Resuelve senx = tagx
senx = tagx A 1º campo de existencia para que sea posible senx = tagx cosx ] 0
cosx ] 0 + x !
2
r + kr
senx = tagx + senx =
cosx
senx
+ senx.cosx = senx cuidado en simplificar^ h + senx.cosx - senx = 0
+ senx cosx - 1^ h = 0 +
cosx = 1
senx = 0
+
cosx = cos0 +
x =- 0 + 2kr
x = 0 + 2kr
+
x = 2kr
x = 2kr
+ 2kr$$
senx = sen0 +
x = r - 0 + 2kr
x = 0 + 2kr
+
x = r + 2kr
x = 2kr
+ x = kr$$
Z
[

]]]]]
]]]]
Z
[

]]]]]
]]]]

+
x = 2kr
x = kr
$ + x = kr como es distinto de
2
r + kr con k d Z
luego el conjunto de soluciones es S = kr" , con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 23: Resuelve 1 + 2cosx + cos2x = 0
1 + 2cosx + cos2x = 0 + 1 + 2cosx + cos
2
x - sen
2
x = 0 + 1 + 2cosx + cos
2
x + cos
2
x - 1 = 0 +
2cos
2
x + 2cosx = 0 + cosx cosx + 1^ h = 0 +
cosx =- 1 = cosr
cosx = 0 = cos
2
r
( +
x =-r + 2kr
x = r + 2kr
+ 2k + 1^ hr$
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
+ x =
2
r + kr*
Z
[

]]]]]]]
]]]]]]]
luego el conjunto de soluciones es S = 2k + 1^ hr" , , 2
r + kr# - con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 24: Resuelve sen
4
x + cos
4
x = senx.cosx i
1º metodo
sabemos que sen
2
x + cos
2
x = 1 luego sen
2
x + cos
2
x^ h2
= sen
4
x + cos
4
x + 2sen
2
xcos
2
x
y como sen
4
x + cos
4
x = senx.cosx asi que 1
2
= 1 = senx.cosx + 2sen
2
xcos
2
x a
haciendo cambio de variable de senx.cosx = y a + 2y
2
+ y - 1 = 0 , 3= 9 ( 3 = 3
y =
4
-1 ! 3
=
2
1
-1
3) = senx.cosx
** senx.cosx =- 1 ,
2
1
sen2x =- 1 , sen2x =- 2 imposible porque - 1 # sena # 1
** senx.cosx =
2
1
,
2
1
sen2x =
2
1
, sen2x = 1 = sen
2
r
,
2x = r -
2
r + 2kr
2x =
2
r + 2kr
* ,
, 2x =
2
r + 2kr , x =
4
r + kr con k d Z
4
r + kr# - con k d Z
2º metodo
se observa que la ecuación i es simetrica (al cambiar sen por cos y viceversa la i no cambia)
asi que haciendo cambio variable x = y +
4
r
senx = sen y +
4
r
_ i = senycos
4
r + cosysen
4
r
=
2
2
cosy + seny^ h
cosx = cos y +
4
r
_ i = cosycos
4
r - senysen
4
r
=
2
2
cosy - seny^ h
sen
4
x = sen
4
y +
4
r
_ i =
2
2
cosy + seny^ h; E
4
=
16
4
cos
2
y + sen
2
y + 2seny cosy^ h2
=
4
1
1 + 2seny cosy^ h2
=
4
1
1 + 4seny cosy + 4sen
2
y cos
2
y^ h
cos
4
x = cos
4
y +
4
r
_ i =
2
2
cosy - seny^ h; E
4
=
16
4
cos
2
y + sen
2
y - 2seny cosy^ h2
=
4
1
1 - 2seny cosy^ h2
=
4
1
1 - 4seny cosy + 4sen
2
y cos
2
y^ h
luego sen
4
x + cos
4
x =
4
1
1 + 4seny cosy + 4sen
2
y cos
2
y^ h +
4
1
1 - 4seny cosy + 4sen
2
y cos
2
y^ h =
2
1
1 + 4sen
2
y cos
2
y^ h
senx.cosx =
2
2
cosy + seny^ h.
2
2
cosy - seny^ h =
2
1
cos
2
y - sen
2
y^ h
asi que
2
1
1 + 4sen
2
y cos
2
y^ h =
2
1
cos
2
y - sen
2
y^ h + 1 + 4sen
2
y cos
2
y - cos
2
y + sen
2
y = 0 +
+ 1 + 4cos
2
y 1 - cos
2
y^ h - cos
2
y + 1 - cos
2
y = 0 +- 4cos
4
y + 2cos
2
y + 2 = 0 +- 2cos
4
y + cos
2
y + 1 = 0 c +
haciendo cambio de variable a = cos
2
y c +- 2a
2
+ a + 1 = 0 , 3= 9 & 3 = 3

a =
-4
-1 ! 3
=
2
-1
= cos
2
y A imposible cos
2
y 2 0^ h
1 = cos
2
y + cosy =
-1 = cosr +
y =-r + 2kr
y = r + 2kr
+ y = 2k + 1^ hr'
1 = cos0 +
y = 2kr
y = 2kr
+ y = 2kr%
Z
[

]]]]]]
]]]]]]
Z
[

]]]]]]]]]]
]]]]]]]]]
+ y = kr y por último x = y +
4
r
+ x =
4
r + kr con k d Z
4
r + kr# - con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 25: Resuelve sen
6
x + cos
6
x =
16
7
h
sabemos que sen
2
x + cos
2
x = 1 luego sen
2
x + cos
2
x^ h3
= sen
6
x + cos
6
x + 3sen
4
xcos
2
x + 3sen
2
xcos
4
x
y como sen
6
x + cos
6
x =
16
7
asi que 1
3
= 1 = sen
6
x + cos
6
x + 3sen
4
xcos
2
x + 3sen
2
xcos
4
x +
+ 1 =
16
7 + 3sen
4
xcos
2
x + 3sen
2
xcos
4
x +
16
9
= 3sen
2
x cos
2
x sen
2
x + cos
2
x^ h +
16
3
= sen
2
x cos
2
x
+ sen
2
x cos
2
x -
16
3
= 0 + senx cosx -
4
3
c m senx cosx +
4
3
c m = 0 +
senx cosx -
4
3
= 0
senx cosx -
4
3
= 0
Z
[

]]]]]
]]]]]
+
2senx.cosx =
2
3
2senx.cosx =
2
3Z
[

]]]]]
]]]]]
+
sen2x = sen
3
-r
+
2x = r +
3
r + 2kr
2x =
3
-r + 2kr
+
2x =
3
2r + kr
x =
6
-r + kr
**
sen2x = sen
3
r
+
2x = r -
3
r + 2kr
2x =
3
r + 2kr
+
x =
3
r + kr
x =
6
r + kr
**
Z
[

]]]]]]]]]]]
]]]]]]]]]]]
6
r + kr# - , 3
r + kr# - , 6
-r + kr# - , 3
2r + kr$ . con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 26: Resuelve
cosy
cosx
=
2
-1
x + y =
3
4rZ
[

]]]]]
]]]]
cosy
cosx
=
2
-1
x + y =
3
4rZ
[

]]]]]
]]]]
+
cosy
cos r +
3
r - y_ i
=
2
-1
2
x = r +
3
r - y 1
Z
[

]]]]]]
]]]]]]
2 ,
cosy
cos r +
3
r - y_ i
=
cosy
-cos
3
r - y_ i
=
-2
1
, 2cos
3
r - y_ i = cosy , 2cos
3
r - y_ i- cosy = 0 ,
, 2 cos
3
r
cosy + sen
3
r
seny7 A- cosy = 0 , 2
2
1
cosy +
2
3
seny; E- cosy = 0 ,
, cosy + 3 seny - cosy = 0 , 3 seny = 0 , seny = 0 = sen0 ,
y = r + 2kr
y = 2kr
, y = kr%
sabemos que x + y =
3
4r
, x =
3
4r - kr , x =
3
4r + kr con k d Z
luego el conjunto de soluciones es S = x,y^ h =
3
4r + kr,kr` j$ . con k d Z
--------------------
cos x - y^ h =
2
3
sen x + y^ h = 1
*
cos x - y^ h =
2
3
sen x + y^ h = 1
* +
cos x - y^ h = cos
6
r
+
x - y =-
6
r + 2 lk r con lk d Z 3
x - y =
6
r + 2 lk r con lk d Z 2
*
sen x + y^ h = sen
2
r
+
x + y = r -
2
r + 2kr
x + y =
2
r + 2kr
+*
x + y =
2
r + 2kr
x + y =
2
r + 2kr
+ x + y =
2
r + 2kr 1*
Z
[
]]]]]]]]]]]
]]]]]]]]]]

observación: cuidado en despejar el valor de x e y de las ecuaciones 2 / 3 porque las dos cuentan
como si fuera una sola ecuación con dos incognitas.
1 / 2 +
x - y =
6
r + 2 lk r
x + y =
2
r + 2kr
* 1 + 2 + 2x =
3
2r + 2r k + lk
=n
Ea k
+ x =
3
r + nr con n d Z
1 + x + y =
2
r + 2kr + y =
2
r -
3
r + nr + 2kr
2kr1nr
6 7 844444 44444
+ y =
6
r + nr con n d Z
1 / 3 +
x - y =-
6
r + 2 lk r
x + y =
2
r + 2kr
* 1 + 3 + 2x =
3
r + 2r k + lk
=h
Ec m
+ x =
6
r + hr con h d Z
1 + x + y =
2
r + 2kr + y =
2
r -
6
r + hr + 2kr
2kr1hr
6 7 844444 44444
+ y =
3
r + hr con h d Z
luego el conjunto de soluciones es S = x,y^ h =
6
r + hr,
3
r + hr_ i$ . con h d Z
--------------------
cos x - y^ h =
2
1
sen x + y^ h =
2
1
*
cos x - y^ h =
2
1
sen x + y^ h =
2
1
* +
cos x - y^ h = cos
3
r
+
x - y =-
3
r + 2kr
x - y =
3
r + 2kr
+
x - y =
3
-r + 2 lk r 4
x - y =
3
r + 2 lk r 3
con lk d Z**
sen x + y^ h = sen
6
r
+
x + y = r -
6
r + 2kr
x + y =
6
r + 2kr
+
x + y =
6
5r + 2kr 2
x + y =
6
r + 2kr 1
con k d Z**
Z
[

]]]]]]]]]]]
]]]]]]]]]]]
asi que tenemos 4 sistemas de ecuaciones: 1 / 3 , 1 / 4 , 2 / 3 , 2 / 4
1 / 3
x - y =
3
r + 2 lk r 3
x + y =
6
r + 2kr 1
* (
1 + 3
A
2x =
2
r + 2nr
n=k+ lk
C
+ x =
4
r + nr con n d Z
1 + x + y =
6
r + 2kr + y =
6
r -
4
r + 2kr - nr
2kr1nr
6 7 844444 44444
+ y =
12
-r + nr con n d Z
luego una de las soluciones es S1 = x,y^ h =
4
r + nr,
12
-r + nr_ i$ . con n d Z
1 / 4
x - y =
3
-r + 2 lk r 4
x + y =
6
r + 2kr 1
* (
1 + 4
A
2x =
6
-r + 2nr
n=k+ lk
C
+ x =
12
-r + nr con n d Z
1 + x + y =
6
r + 2kr + y =
6
r +
12
r + 2kr - nr
2kr1nr
6 7 844444 44444
+ y =
4
r + nr con n d Z
12
-r + nr,
4
r + nr_ i$ . con n d Z
2 / 3
x - y =
3
r + 2 lk r
x + y =
6
5r + 2kr
* (
2 + 3
A
2x =
6
7r + 2nr
n=k+ lk
C
+ x =
12
7r + nr con n d Z
1 + x + y =
6
5r + 2kr + y =
6
5r -
12
7r + 2kr - nr
2kr1nr
6 7 844444 44444
+ y =
4
r + nr con n d Z
12
7r + nr,
4
r + nr` j$ . con n d Z
2 / 4
x - y =
3
-r + 2 lk r
x + y =
6
5r + 2kr
* (
2 + 4
A
2x =
2
r + 2nr
n=k+ lk
C
+ x =
4
r + nr con n d Z
1 + x + y =
6
5r + 2kr + y =
6
5r -
4
r + 2kr - nr
2kr1nr
6 7 844444 44444
+ y =
12
7r + nr con n d Z

4
r + nr,
12
7r + nr` j$ . con n d Z
Por último la solución final es S = S1 , S2 , S3 , S4
--------------------
*** Ejercicio 29: demostrar que
sen a - b^ h = sena.cosb - senb.cosa
sen a + b^ h = sena.cosb + senb.cosa
Z
[

]]]]]]
]]]]]]
Aplicando la formula de Euler e
i.x
= cosx + i.senx
e
i. a+b^ h
= cos a + b^ h + i.sen a + b^ h
e
i. a+b^ h
= e
i.a
e
i.b
= cosa + i.sena^ h cosb + i.senb^ h = cosa.cosb - sena.senb + i sena.cosb + cosa.senb^ h = cos a + b^ h + i.sen a + b^ h
luego :
sen a + b^ h = sena.cosb + cosa.senb
(
e
i. a-b^ h
= cos a - b^ h + i.sen a - b^ h
e
i. a-b^ h
= e
i.a
e-i.b = cosa + i.sena^ h cosb - i.senb^ h = cosa.cosb + sena.senb + i sena.cosb - cosa.senb^ h = cos a - b^ h + i.sen a - b^ h
luego :
sen a - b^ h = sena.cosb - cosa.senb
(
--------------------
*** Ejercicio 30:
¿ conocidos los 3 angulos de un triangulo es posible resolver el triangulo?
No porque existen infinitos triangulos semejantes a uno dado con identicos triangulos.
ver imagen de enfrente
la
a
=
lb
b
=
lc
c
lla
la
=
llb
lb
=
llc
lc
--------------------
*** Ejercicio 31: Resuelve 1 - 2cos5x 1 0
1º metodo A utilizando las graficas
1 - 2cos5x 1 0 + cos5x 2
2
1
haciendo cambio variable a = 5x ( cos a^ h 2
2
1
cos a^ h =
2
1
= cos
3
r
+
a =-
3
r + 2kr
a =
3
r + 2kr
* con k d Z
k = 0 &
a =-
3
r
a =
3
r
* , k = 1 &
a =
3
5r
a =
3
7r
* .........
ahora en la grafica de coseno colocaremos los puntos hallados y en el eje y colocaremos
2
1
la solucion es todos los puntos de la grafica que se encuentren por encima de la recta y =
2
1
ver imagen solucion color verde^ h (
3
-r + 2kr 1 a 1
3
r + 2kr +
3
-r + 2kr 1 5x 1
3
r + 2kr
+ 15
-r +
5
2kr
1 x 1
15
r +
5
2kr

2º metodo A utilizando circulo trigonometrico
1 - 2cos5x 1 0 + cos5x 2
2
1
haciendo cambio variable a = 5x ( cos a^ h 2
2
1
cos a^ h =
2
1
= cos
3
r
+
a =-
3
r + 2kr
a =
3
r + 2kr
* con k d Z + 15
-r +
5
2kr
1 x 1
15
r +
5
2kr
asi que dibujamos el circulo con los ejes x e y colocamos el punto
2
1
en el eje a "ejex" = cos
y desde este punto trazamos una ' al eje y e todos los valores que se encuentran a su derecha son las soluciones
--------------------
*** Ejercicio 32: Resuelve 1 - 2sen3x 1 0
1º metodo A graficas
1 - 2sen3x 1 0 +- 2sen3x 1- 1 + sen3x 2
2
1
+ sena 2
2
1
, siendo a = 3x^ h +
ahora pasemos de desigualdad a igualdad para hallar los puntos de corte con la funcion seno.
sen a^ h =
2
1
= sen
6
r
+
a = r -
6
r + 2kr
a =
6
r + 2kr
* +
a =
6
5r + 2kr
a =
6
r + 2kr
* con k d Z
ahora cogemos la grafica de la función seno el eje x lo representamos como eje a e el eje y tal como es
el valor
2
1
lo colocamos en el eje y e todos los valores que quedan por encima de la recta y =
2
1
son la solucion de sen a^ h 2
2
1
+
6
r + 2kr 1 a = 3x 1
6
5r + 2kr con k d Z ver la grafica de abajo^ h +
+
18
r +
3
2kr
1 x 1
18
5r +
3
2kr
2º metodo A circulo trigonometrico
Recuerda A es muy impor tan te
haciendo exactamente lo mismo que el 1º metodo hasta llegar a
a =
6
5r + 2kr
a =
6
r + 2kr
* con k d Z

6
ahora en el circulo el eje x seria eje a en el eje y colocamos y =
2
1
e trazamos una ' al eje a , los puntos de corte entre y =
2
1
y la circonferencia son
6
r
y
6
5r
todo lo que queda encima de
2
1
,perteneciendo al circulo es la solución.
ver imagen
por último
6
r + 2kr 1 a = 3x 1
6
5r + 2kr +
18
r +
3
2kr
1 x 1
18
5r +
3
2kr
con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 33: Resuelve 3.tag 3x^ h - 3 # 0
1º metodo A graficas
3.tag 3x^ h - 3 # 0 + tag 3x^ h #
3
3
=
3
1
+ tag 3x^ h # tag
6
r
cambio variable a = 3x
tag a^ h = tag
6
r
+
a !
2
r + kr
a =
6
r + kr
* k d Z
en la grafica de tangente ejex A eje a^ h e en el ejey colocaremos y =
3
3
y señalamos los puntos de corte
y todos los datos que se encuentrenpor debajo de y =
3
3
son la solucion de tag a = 3x^ h # tag
6
r
ver la grafica
cogeremos un int ervalo donde aparecen todos los datos y le añaderemos el periodo kr
Por último
2
r + kr 1 3x #
6
7r + kr +
6
r +
3
kr
1 x #
18
7r +
3
kr
con k d Z
2º metodo A circulo trigonometrico
Recordad: ver imagen donde tag es + , tag es una funcion creciente

como se ve
2
r + kr 1 3x # r +
6
r
6
7r
G
+ kr +
6
r +
3
kr
1 x #
18
7r +
3
kr
con k d Z

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