HOLA

1. 2018-1 MATEMÁTICA BÁSICA
UNIDAD II: ALEBRA VECTORIAL, RECTAS, PLANOS Y ESPACIOS VECTORIALES
SESIÓN 07: Norma de un Vector, perpendicularidad y paralelismo entre vectores. Rectas en ℝ 𝟑
.
Ecuaciones de la recta en ℝ 𝟑
, posiciones relativas de dos rectas en ℝ 𝟑
.
I. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO ENTRE VECTORES
1) Obtenerel productopuntoentre lossiguientesparesde vectorese indicarsi sonortogonales:
a) Sea 𝑢⃗ = (2,5), 𝑣 = (-4,1)
Solución:
𝑢⃗ ∙ 𝑣 = (2,5) ∙ (-4,1) = 2(-4)+5(1) = -8+5 = -3 . No sonortogonales
b) Sea 𝑢⃗ = (4,2,0), 𝑣 = (−1,2, −3)
Solución:
𝑢⃗ ∙ 𝑣 = (4,2,0) ∙ (-1,2,-3) = 4(-1)+2(2)+0(-3) = -4+4+0 = 0 . Son ortogonales
2) Sea 𝑢⃗ = (−3,−1), 𝑣 = ( 𝑎, 4), 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 unvalor de «a» para que losvectoressean
ortogonales.
Solución:
Si son ortogonalesdebe cumplir 𝑢⃗ ∙ 𝑣= 0. Es decir
−3𝑎 − 4 = 0
𝑎 = −
4
3
3) Determinarunvector«𝑤» que sea paraleloal vector 𝑣 = (−2,3) de norma 2.5 con sentido
opuestoa 𝑣
Solución:
Para que sea 𝑤⃗⃗ paraleloa 𝑣 debe existirunaconstante k,tal que 𝑤⃗⃗ =𝑘 𝑣, ypara que tenga
sentidoopuesto,kdebe sernegativo.Entonces 𝑤⃗⃗ = (−2k,3k)
Perosu normaes 2.5, es decir, ‖ 𝑤⃗⃗ ‖ = √(−2𝑘)2 + (3𝑘)2 =
5
2
,desarrollandose tiene
| 𝑘|√13 =
5
2
se debe elegirconsignonegativo, 𝑘 = −
5
2√13
.
Por tanto
𝑤⃗⃗ = −
5
2√13
(−2,3).
4) Determinarunvector 𝑤⃗⃗ de norma4 que seaortogonal al vector 𝑣 = (1,0,−1).
Solución:

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Sea 𝑤⃗⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ortogonal a 𝑣. Es decir 𝑤⃗⃗ ∙ 𝑣 = 0, o
( 𝑥)(1) + ( 𝑦)(0) + ( 𝑧)(−1) = 0
De donde se obtiene 𝑧 = 𝑥,entoncesel vectorbuscadotienelaprimerayterceracomponentes
igualesylasegundaarbitraria,esdecirhay infinitassolucionesde loscualesse puedeelegir
algunos,porejemplo, de laforma 𝑤⃗⃗ = (𝑥,0, 𝑥).
Perocomo su normaes 4, esdecir
√𝑥2 + 02 + 𝑥2 = 4,
o
| 𝑥|√2 = 4,
De donde 𝑥 = ±2√2. Por tanto, hay dosposibilidades:
𝑤⃗⃗ = (2√2,0,2√2), o 𝑤⃗⃗ = (−2√2,0,−2√2).
5) Encontrar un vectorparaleloal vector 𝑢⃗ = (2, −4,5), de norma5 y de sentidoopuesto.
Solución:
Similaral ejercicio3,el vectorbuscadode ser de la forma
𝑤⃗⃗ = 𝑘𝑣 = 𝑘(2 − 4,5) = (2𝑘, −4𝑘, 5𝑘)
Perodebe tenernorma5, esdecir:
√(2𝑘)2 + (−4𝑘)2 + (5𝑘)2=5,
de donde
√45𝑘2 = 5 o | 𝑘| =
√5
3
.
Puestoque esde sentidoopuestose escoge el negativo,asíel vectorbuscadoes:
𝑤⃗⃗ = −
√5
3
(2,-4,5).
6) Si (2,2 3)v m 
r
y (1 , 5)s m  
r
, determinar los valores de m de modo que v
r
y s
r
sean
paralelos.
Solución
Para que sean paralelos se tiene que cumplir, la siguiente propiedad:
2
1 − 𝑚
=
2𝑚 − 3
−5
−10 = (2𝑚 − 3)(1 − 𝑚)
−10 = 5𝑚 − 2𝑚2 − 3
2𝑚2 − 5𝑚 − 7 = 0
(2𝑚 − 7)( 𝑚 + 1) = 0
Por tanto
𝑚 =
7
2
˄ 𝑚 = −1
7) Si  ( ,5) 3,3v m 
r
, 4( , 3) 2(1,2)s m   
r
y //s v
r r
. Hallar el valor de m .
Solución
Al sumar los vectores, tenemos:

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𝑣 = ( 𝑚 + 3,8) 𝑦 𝑠 = (−4𝑚 − 2,−16)
Por tanto, por propiedad de paralelismo de vectores
𝑚 + 3
−4𝑚 − 2
=
8
−16
−2( 𝑚 + 3) = (−4𝑚 − 2)
−2𝑚 − 6 = −4𝑚 − 2
2𝑚 = 4
𝑚 = 2
8)  4 , 3a m m 
r
,  2, 3b m 
r
, hallar los valores de m tales que a
r
sea perpendicular a b
r
.
Solución
Para que los vectores sean perpendiculares, su producto escalar debe ser cero, por tanto:
(4𝑚)(2) + ( 𝑚 − 3)( 𝑚 + 3) = 0
8𝑚 + 𝑚2 − 9 = 0
𝑚2 + 8𝑚 − 9 = 0
( 𝑚 + 9)( 𝑚 − 1) = 0
Luego
𝑚 = −9 ∧ 𝑚 = 1
9) Dados losvectores  2; 1;3u  
r
,  4;2; 2v  
r
y  1;2;w x
ur
. Hallar u
r
y v
r
y el ánguloque
forman u
r
y v
r
. Obtén el valor de x para qué u
r
y w
ur
formen un ángulo de 90°.
Solución
Aplicamos la formula conocida para encontrar el módulo,
‖ 𝑢‖ = √14
‖ 𝑣‖ = √24
Por otro lado,para que losvectores u
r
y w
ur
, seanperpendicularessuproductoescalardebe ser
cero, entonces:
2 − 2 + 3𝑥 = 0
𝑥 = 0
10) Sean a
r
y b
r
dos vectoresque formanentre si un ángulode 45 y el módulode 3a 
r
. Hallar el
módulo de b
r
para que 𝑎 − 𝑏⃗ , forme con a
r
un ángulo de 90°.
Solución
Por dato del problema, tenemos:
( 𝑎 − 𝑏) ∙ 𝑎 = 0
‖ 𝑎‖2 = 𝑎 ∙ 𝑏
Luego, por la fórmula para encontrar el ángulo que forman dos vectores:
‖ 𝑎‖2 = ‖ 𝑎‖‖ 𝑏‖ 𝑐𝑜𝑠45°
‖ 𝑎‖ = ‖ 𝑏‖
√2
2
3 = ‖ 𝑏‖
√2
2
‖ 𝑏‖ =
6
√2
II. RECTAS EN ℝ 𝟑.ECUACIONESDE LA RECTA EN ℝ 𝟑
1) Hallarla ecuaciónsimétricade larecta 𝐿 que pasa por lospuntos 𝑆(2,1,−4) y 𝑇(5,3,−1)
Solución:
Si la recta pasa por lospuntos 𝑆 y 𝑇, su vectordirecciónes 𝑎 = 𝑇 − 𝑆, entonces

4. 2018-1 MATEMÁTICA BÁSICA
𝑎 = (5,3,−1) − (2,1, −4)
𝑎 = (3,2,3)
Luego su ecuación simétrica es:
𝑥−2
3
=
𝑦−1
2
=
𝑧−(−4)
3
.
2) Hallarla ecuaciónsimétricade larecta 𝐿 que pasa por el punto 𝑆(1,−3,4) y esparalelaa la recta
𝐿1 = {(−3,7,5) + 𝑡(2, −1,0)/𝑡 ∈ ℝ}
Solución:
Por serL paralelaaL1, tiene lamismadirección, 𝑎 = (2,−1,0),entoncessuecuaciónsimétrica
es:
𝑥 − 1
2
=
𝑦 − (−3)
−1
, 𝑧 = 4
3) Hallarla ecuaciónsimétricade larecta 𝐿 que pasa por el punto 𝑆(2,−1,1) y esparalelaa la recta
𝐿1 = {(−3,7,5) + 𝑡(3,0, −1)/𝑡 ∈ ℝ}
Solución:
Similaral ejercicioanterior,
𝑥 − 2
3
=
𝑧 − 1
−1
, 𝑦 = −1
III. POSICIONESRELATIVAS DE DOS RECTAS EN ℝ 𝟑
1. Dadaslasrectas L1 = {(2,−1,2) + t(2,1, −3)}, L2 = {(0,2,3) + s(−4,−2,6)}y L3 = {(6,1, −4) +
r(6,3, −9)}. Establecer si son paralelas o coincidentes.
Solución:
Los vectores dirección de las rectas L1, L2 y L3, respectivamente son:
𝑎1⃗⃗⃗⃗ = (2,1,−3),
𝑎2⃗⃗⃗⃗ = (−4,−2,6 ),
𝑎3⃗⃗⃗⃗ = (6,3,−9)
Se observaque
𝑎3⃗⃗⃗⃗ = (6,3, −9) = (−
3
2
) (−4,−2,6) = (−
3
2
) 𝑎2⃗⃗⃗⃗ = 3(2,1,−3) = 3 𝑎1⃗⃗⃗⃗
Por lo tanto, son tres rectas paralelas entre sí.
Para determinarsi cadaparde ellos sononocoincidentes,debemosanalizarsi algúnpuntode una
de las rectas está en la otra:
Para saber si 𝐿1 coincide con 𝐿2, resolvemos la ecuación:
(0,2,3) + 𝑠(−4, −2,6) = (2, −1,2)
Obteniendo

5. 2018-1 MATEMÁTICA BÁSICA
{
𝑠 = −
1
2
𝑠 =
3
2
𝑠 = −
1
6
Los valores de 𝑠 son diferentes, por tanto 𝐿1 y 𝐿2 no son coincidentes.
Resolvemos la ecuación:
(6,1, −4) + 𝑟(6,3,−9) = (2,−1,2)
Obteniendo
{
𝑟 = −
2
3
𝑟 = −
2
3
𝑟 = −
2
3
Los valores de 𝑟 son iguales, por tanto 𝐿1 y 𝐿3 son coincidentes.
Además, se concluye que 𝐿2 y 𝐿3 no son coincidentes.
2. Hallar la ecuaciónde la recta 𝐿 que pasa por el punto P1(3,1,2) y es perpendicular a la recta 𝐿1 =
{(1,0,2) + r(1,−2,2)} y 𝐿2 = {(2,6, −3) + s(3,0,−1)}
Solución:
Para que la recta 𝐿 seaperpendicularalas rectas 𝐿1 y 𝐿2, sudirección debe serperpendicularalas
direcciones 𝑎1⃗⃗⃗⃗ = (1,−2,2) y 𝑎2⃗⃗⃗⃗ = (3,0, −1) de 𝐿1 y 𝐿2 respectivamente.
Dados dos vectores, para obtener un vector perpendicular a ellos se obtiene multiplicando
vectorialmente, es decir, 𝑎 = 𝑎1⃗⃗⃗⃗ × 𝑎2⃗⃗⃗⃗ es la dirección de la recta 𝐿:
𝑎 = (1,−2,2) × (3,0,−1) = |
𝑖 𝑗 𝑘⃗
1 −2 2
3 0 −1
| = 𝑖|
−2 2
0 −1
| − 𝑗 |
1 2
3 −1
| + 𝑘⃗ |
1 −2
3 0
| = (2,7,6)
Entonces la ecuación de 𝐿 es:
𝑃 = (3,1,2) + 𝑡(2,7,6), 𝑡 ∈ ℝ
3. Hallarla ecuaciónde la recta que pasapor el punto 𝑆(1, −4,6) y esperpendicular,enel espacio,a
la línearecta L1 = {(3,2,−1) + r(1, −1,2)/𝑟 ∈ ℝ}
Solución:
Dados unarecta y un puntofuerade la recta existeninfinitasrectasperpendicularesyunade ellas
en el planoque contiene al puntoy a larecta. En este caso nosdicenque calculemosunarecta en
el espacio que sea perpendicular a la recta dada. Una solución es hallar la recta perpendicular a
dicho plano.

6. 2018-1 MATEMÁTICA BÁSICA
El planogeneradoporlarecta 𝐿1 yel punto 𝑆,esel planogeneradoporlosvectores 𝑎1⃗⃗⃗⃗ = (1,−1,2)
y 𝑣 = 𝑆 − 𝑃0, donde 𝑃0 = (3,2, −1), por tanto, la dirección de la recta buscada es
𝑎 = 𝑎1⃗⃗⃗⃗ × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 𝑘⃗
1 −1 2
−2 −6 7
| = (5,−11,−8)
Luego la recta buscada es:
L= {(1,−4,6) + t(5, −11,−8)/𝑡 ∈ ℝ}.