El documento presenta las propiedades básicas de las potencias y los radicales, incluidas las propiedades de las potencias, la definición de radicales, operaciones con radicales como introducir y extraer factores, reducir a índice común y simplificar radicales.

1. Potencias y radicales
Antes de empezar
Propiedades de
Conviene que recuerdes las propiedades de las
las potencias potencias que has estudiado en cursos anteriores
de exponente entero
El producto de potencias de la misma base es otra
potencia de la misma base y de exponente la
x2·x7 = x2 +7 = x9
suma de los exponentes.
an·am = an+m
El cociente de potencias de la misma base es otra
2 8 potencia de la misma base y de exponente la resta
= 28 −5 = 23 de los exponentes.
25
an
m
= an−m
a
La potencia de otra potencia es una potencia de la
misma base y de exponente el producto de los
(x )
3
7
= x7·3 = x21 exponentes.
(a )
m
n
= an·m
70 = 1 Una potencia de exponente cero es igual a ls
unidad.
a0 = 1
El producto de potencias del mismo exponente es
otra potencia del mismo exponente y de base el
25·35 = (2·3) = 65
5
producto de las bases.
an·bn = ( a·b )
n
6
El cociente de potencias del mismo exponente es
86 ⎛ 8 ⎞ otra potencia del mismo exponente y de base el
= ⎜ ⎟ = 26
46 ⎝ 4 ⎠ cociente de las bases.
n
an ⎛ a ⎞
=⎜ ⎟
bn ⎝ b ⎠
MATEMÁTICAS B 21

2. Potencias y radicales
1. Radicales
Definición
Llamamos raíz n-ésima de un número dado a al 3
8 = 2 por ser 23 = 8
número b que elevado a n nos da a.
1
n
a = b ⇔ bn = a 3
5 = 53
Un radical es equivalente a una potencia de 2
exponente fraccionario en la que el denominador 5
x2 = x 5
de la fracción es el índice del radical y el numerador
de la fracción es el exponente el radicando.
p
n
ap = an
Radicales equivalentes
Dos o más radicales se dicen equivalentes si las 3 6
fracciones de los exponentes de las potencias x2 = x 4
asociadas son equivalentes. 2 4
son equivalentes por ser: =
3 6
Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales
3 3·2 6
semejantes, multiplicando o dividiendo el Amplificar: x2 = x 2·2 = x 4
exponente del radicando y el índice de la raíz por un
mismo número. Si se multiplica se llama amplificar y 6 6:2 3
Simplificar: x4 = x 4:2 = x 2
si se divide se llama simplificar el radical.
3
Radical irreducible, cuando la fracción de la potencia x2
asociada es irreducible. Irreducible por ser m.c.d.(3,2)=1
Introducción y Extracción de factores
Introducir
Para introducir un factor dentro de un radical se 3 3
eleva el factor a la potencia que indica el índice y se x3 x = x 3 ·x = x 4
escribe dentro.
3
23 3 = 23 ·3 = 3 8·3 = 3 24
Si algún factor del radicando tiene por exponente un
número mayor que el índice, se puede extraer fuera
del radical dividiendo el exponente del radicando Extraer:
entre el índice. El cociente es el exponente del factor 13 5
5 5
que sale fuera y el resto es el exponente del factor x13 = x 2 x 3
3 2
que queda dentro.
22 MATEMÁTICAS B

3. Potencias y radicales
1728 2
Cálculo de raíces
864 2
Para calcular la raíz n-ésima de un número primero se
432 2
factoriza y se escribe el número como producto de
216 2 potencias, luego se extraen todos los factores.
3
1728 = 3 26 ·33 =
108 2
54 2 = 22·3 = 12 Si todos los exponentes del radicando son múltiplos
27 3 del índice, la raíz es exacta.
9 3
3 3
1
Reducir a índice común Reducción a índice común
6
2 ; 10
3 Reducir a índice común dos o más radicales es
encontrar radicales equivalentes a los dados que
tengan el mismo índice.
m.c.m(6,10)=30
30
El índice común es cualquier múltiplo del m.c.m. de
6
2 = 25 = 30
32 los índices.
30
10
3 = 33 = 30
27
El mínimo índice común es el m.c.m. de los índices.
Los siguientes radicales son Radicales semejantes
semejantes:
Radicales semejantes son aquellos que tienen el
2 3 4 ; 7 3 4 ; 53 4 mismo índice y el mismo radicando. Pueden diferir
únicamente en el coeficiente que los multiplica.
Los siguientes radicales no son
semejantes:
23 4 ; 25 4 El índice es distinto
MATEMÁTICAS B 23

4. Potencias y radicales
EJERCICIOS resueltos
1. Escribe los siguientes radicales como potencia de exponente fraccionario:
1
5 5
a) 3 3 = 35
5 5
b) X3 X3
2. Escribe las siguientes potencias como radicales:
1 1
a) 72 72 = 7
2 2
b) 53 53 = 3 52 = 3 25
3. Escribe un radical equivalente, amplificando el dado:
3·2 6
a) 3
5 3
5 = 51·2 = 52 = 6 25
5 5 5·3 15
b) x4 x4 = x 4·3 = x12
4. Escribe un radical equivalente, simplificando el dado.
6 6:2
a) 6
49 6
49 = 72 = 72:2 = 3 7
35 35 35:7 5
b) x 28 x 28 = x 28:7 = x4
5. Introduce los factores dentro del radical:
a) 2·4 3 2·4 3 = 4 2 4·3 = 4 16·3 = 4
48
7 7 7 7
b) x 2 x3 x 2 x3 = 7 (x 2 )7 ·x 3 = x14·x 3 = x17
6. Extrae los factores del radical:
a)
4
128 4
128 = 4 27 = 2 4 23 = 2 4 8
7 7 7 7
b) x30 x30 = x28 +2 = x28 ·x2 = x 4 7 x2
7. Calcular las siguientes raíces:
a) 5
1024 5
1024 = 5 210 = 22 = 4
7 7 7
b) x84 x84 = x12·7 = 7 (x12 )7 = x7
8. Reduce a índice común
a) 3; 3 5 2 = 6 23 = 6 8 ; 3
5 = 6 52 = 6 25
6
b) 4
x3 ; 6 x5 4
x3 = 12
x9 ; x5 = 12
x10
9. Indica que radicales son semejantes
4
a) 4
3;54 3 3 y 54 3 Son semajentes
4 3
b) 4
x; 3 x x y x No son semajentes,tienen distinto indice
24 MATEMÁTICAS B

5. Potencias y radicales
2. Propiedades
Raíz de un producto
3
2·5 = 3 2·3 5 La raíz n-ésima de un producto es igual al producto
de las raíces n-ésimas de los factores.
n n
a·b = a·n b
7 2 4 7 2 7 4
a ·b = a · b 1 1 1
Demostración: n
a·b = (a·b)n = an ·bn = n a·n b
Raíz de un cociente
5
2 2 La raíz n-ésima de un cociente es igual al cociente de
5 =
3 5
3 las raíces n-ésimas del dividendo y del divisor.
n
a a
a4 5
a4 n =
5 = b n
b
b3 5
b3
1 1
a ⎛ a ⎞ n an n
a
Demostración: n = = 1 =
b ⎜b⎟
⎝ ⎠ n
b
bn
Raíz de una potencia
Para hallar la raíz de una potencia, se calcula la raíz
( 2)
3
5
8= 2 =5 3 5 de la base y luego se eleva el resultado a la potencia
dada.
( a)
p
( x)
n
3
x7 = 3
7
ap = n
p
⎛ 1⎞ p
( a)
p
n p
Demostración: a = a = ⎜ an ⎟ =
⎜ ⎟
n n
⎝ ⎠
Raíz de una raíz
5 3
2 = 15 2 La raíz n-ésima de la raíz m-ésima de un número
es igual a la raíz nm-ésima de dicho número.
n m n·m
a = a
1
nm
⎛ 1 ⎞n 1
n·m
Demostración: a = ⎜ am ⎟ = an·m =
⎜ ⎟ a
⎝ ⎠
MATEMÁTICAS B 25

6. Potencias y radicales
3. Simplificación
Racionalización
Cuando el denominador
Racionalizar una expresión con un radical en el es un radical
denominador, consiste en encontrar una expresión
1 1·3 52 3
52 3
25
equivalente que no tenga raíces en el denominador. = = =
3
5 3
5· 53 2 3
53 5
Para ello se multiplica numerador y denominador por
la expresión adecuada para que, al operar, la raíz 1 1·7 x3 7
x3 7
x3
= = =
desaparezca. 7 7 x
x4 x 4 ·7 x3 7
x7
Si el denominador es un binomio se multiplica el
numerador y el denominador por el conjugado* del Cuando el denominador
denominador. es un binomio
1 5+ 3
= =
5− 3 5− 3 5+ 3 ( )( )
∗ El conjugado de a + b es a − b
5+ 3 5+ 3
= =
5−3 2
Simplificar un radical
Simplificar un radical es escribirlo en la forma más
sencilla, de forma que: 6
8 = 6 23 = 2
• El índice y el exponente sean primos entre sí.
• No se pueda extraer ningún factor del 7
a30 = a4 7 a2
radicando.
• El radicando no tenga ninguna fracción.
26 MATEMÁTICAS B

7. Potencias y radicales
EJERCICIOS resueltos
10. Escribe con una sóla raíz:
5 5
a) 3 3 = 10 3
7
b) 7
X4 x 7
X4 x = x8·x = 14 x9
11. Escribe con una sóla raíz:
a) 4
3·4 27 4
3·4 27 = 4 81 = 4 34 = 3
b) 5
x·5 x2 5
x·5 x2 = 5
x3
12. Escribe con una sóla raíz:
3 3
16 16 16 3
a) = 3 = 8 =2
3
2 3
2 2
5 5
x4 x4 x4 5
b) = 5 = x
5
x3 5
x3 x3
13. Racionaliza.
1 1 1 1·5 32 5
32 5
9
a) = = = =
5
9 5
9 5
3 2 5 2 5
3 · 3 3 5
3 5 3
2 2 2 2·3 2 2·3 2 2·3 2 3 2
b) = = = = =
5· 4 3
5· 4 3
5·3 22 5·3 22 ·3 2 5·3 23 5·2 5
14. Racionaliza:
1 1 1·7 x3 7
x3 7
x3
a) = = =
7
x4 7
x4 7
x4 ·7 x3 7
x7 x
1 1 1·7 x 4 7
x4 7
x4 7 4
x
b) = = = = 3
x2 7 x3 x2 7 x3 x2 7 x3 ·7 x 4 x2 7 x7 x2·x x
15. Racionaliza:
(
1· 3 + 2 ) ( 3+ 2 )=
a)
1 1
= = ( 3+ 2 )
3− 2 3− 2 ( 3− 2· 3+ 2 )( ) 3−2
b)
2 2
=
(
2· 5 − 2 ) =
10 − 2 2
= 10 − 2 2
5 +2 5 +2 ( 5 +2 · 5 −2 )( ) 5−4
c)
1 1
=
(
1· 3 + x ) =
3+ x
3− x 3− x (3 − x )(3 + x )
· 9−x
MATEMÁTICAS B 27

8. Potencias y radicales
4. Operaciones con radicales
Suma y Resta de Radicales
Para sumar o restar radicales se necesita que sean 8 + 2 = 23 + 2 =
semejantes (que tengan el mismo índice y el mismo
radicando), cuando esto ocurre se suman ó restan los =2 2+ 2 =3 2
coeficientes de fuera y se deja el radical.
x + 6 x3 = x+ x =2 x
Producto de Radicales
Para multiplicar radicales se necesita que tengan el
mismo índice, cuando esto ocurre el resultado es un 3
3· 2 = 6 32 ·6 23 = 6 9·8 = 6 72
radical del mismo índice y de radicando el producto de
los radicandos.
Si tienen distinto índice, primero se reduce a índice 5
x· x = 10 x2 ·10 x5 = 10 x7
común.
Cociente de Radicales
Para dividir radicales se necesita que tengan el mismo
6
índice, cuando esto ocurre el resultado es un radical 2 23
= = 62
del mismo índice y de radicando el cociente de los 3
2 6
22
radicandos.
Si tienen distinto índice, primero se reduce a índice 4
x 8
x2 8
común. 8
= 8
= x
x x
28 MATEMÁTICAS B

9. Potencias y radicales
EJERCICIOS resueltos
16. Calcular la suma:
a) 40 + 90 40 + 90 = 4·10 + 9·10 = 2 10 + 3 10 = 5 10
b) 2 32 − 8 2 32 − 8 = 2 25 − 23 = 2·22 2 − 2 2 = 8 2 − 2 2 = 6 2
c) 3
4 + 6 16 3
4 + 6 16 = 3
4 + 6 42 = 3
4 + 3 4 = 23 4
1 1 4·1
d) 2 +5 8 2 +5 8 = + 5 23 = 2 + 10 2 = 12 2
2 2 2
17. Calcular y simplificar:
a) 4
3·5 27 4
3·4 27 = 4 81 = 4 34 = 3
b) 3
x·9 x2 5
x·5 x2 = 5
x3
5
c) 5
x3 x· x 5
x3 x· x = x·x3 · x = 10 x 4 · x = 10 x4 ·10 x5 = 10 x9
d) 3
2· 2·4 8 3
2· 2·4 8 = 3 2· 2·4 23 = 12 24 ·12 26 ·12 29 = 12 219 = 212 27
18. Calcular y simplificar:
3 15
3
16 3
16 24 220
a) 5 5
= 5
= = 15 217 = 215 22 = 215 4
2 2 2 15
2 3
7 7 14
x4 x4 x8
b) = = 14 x5
14 14 14
x3 x3 x3
(2 ) (2 )
4 4
6 3 24 12
6 6 6 24
84 84 212 248 24
a) = = = = = 230 = 4 25 = 2 4 2
(2 ) (2 )
8 3 8 3 3 8 6 3 24 18
4 4 8 2 2 24 6 2
3 3 6 12
X4 x 3
x4 x x·x8 x9 x18
b) 4 4
= 4
= 4
= = 12 x15 = x12 x3
x x x x 12
x 3
19. Calcular y simplificar
2·3 4 2·3 4 2·3 22 12
26 ·12 28 12
224
a) = = = = 12 215 = 4 25 = 2 4 2
4
8 4
8 4
23 12
29 12
29
5
5
2 2·3 4 2·22 ·3 22 10
23 ·3 22 30
29 ·30 220 30
229
= = = = =
5
2 2·3 4 8 23 23 30
245 30
245
b)
8 30 30 30 15
1 214 214 214 27
= = = = =
30
216 30
216 ·30 214 30
230 2 2
MATEMÁTICAS B 29

10. Potencias y radicales
Para practicar
1. Escribe como potencia de exponente 8. Multiplica los siguientes radicales
fraccionario:
a) 3· 6 b) 5· 2·3· 5
3
a) 5 b) x2
c) 3
12·3 9 d) x·3 2x2
5
c) a3 d) a3
e) 2ab·4 8a3 f) 4 2x2y3 ·6 5x2
2. Escribe como un radical:
1 3
9. Multiplica los siguientes radicales
a) 3 b) 5
( )
2 2
a) 2− 3· 2
1 5
c) x 5
d) x 3
b) (7 5 + 5 3 ) ⋅ 2 3
3. Simplifica los siguientes radicales: c) (2 3 + 5 − 5 2 ) ⋅ 4 2
4 8 2
a) 25 b) 8 d) ( 5 + 3 ) ⋅ ( 5 − 3 )
14 30
c) x6 d) 16·x8 10. Divide los siguientes radicales
4. Extraer todos los factores posibles de 6x 75x2y3
a) b)
los siguientes radicales 3x 5 3xy
3
a) 18 b) 16
9x 3
8a3b
c) 3
d)
c) 9a3 d) 98a3b5c7 3x 4
4a2
6
5. Introducir dentro del radical todos los
3
9 x5
e) 9
f)
factores posibles que se encuentren 3 8
x3
fuera de él.
11. Calcula:
a) 3· 5 b) 2· a
5 5
a) 24 2 b) x2 4 x3
c) 3a· 2a2 d) ab2 3 a2b
4 6
c) x3 3 x2 x d) 23 2 2
6. Reduce al mínimo común índice los
siguientes radicales.
12. Racionaliza.
a) 5; 4 3 b) 3
4; 4 3; 2
2 1
a) b)
c) 4 8
3; 7; 2 d) 6
3; 32 ; 5 3 7 3
2a 1
7. Suma los siguientes radicales indicados. c) d)
2ax 5
x3
a) 45 − 125 − 20
13. Racionaliza.
b) 75 − 147 + 675 − 12
2 3+ 5
a) b)
c) 175 + 63 − 2 28 3 −1 3− 5
1 5 2
d) 20 + 45 + 2 125 c) d)
3 4- 11 2 +1
30 MATEMÁTICAS B

11. Potencias y radicales
Para saber más
Aproximación de una raíz cuadrada
1
n = a1 + mediante fracciones
1
a2 + Cualquier número irracional se puede aproximar
1
a3 + mediante una fracción, que se obtiene a partir de su
1
a4 + desarrollo en fracción continua.
...
Mediante las fracciones continuas se puede aproximar
cualquier raíz a una fracción.
Desarrollo de: 2 = 1' 4142
1 3 Algoritmo
1+ = = 1'5
2 2 La primera cifra a1 es la parte entera de la raíz
1 7 x1 = 2
1+ = = 1' 4
1 5
2+
2 a1 = ⎡x1 ⎤ = ⎡ 2 ⎤ = 1
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 17
1+ = = 1' 4166 La segunda cifra a2 es la parte entera de x2
1 12
2+
1 1
2+ x1 = 1 +
2 x2
1 41 1 1 1
1+ = = 1' 4167 2 =1+ ⇒ 2 −1 = ⇒ x2 = = 2 +1
1 29 x2 x2 2 −1
2+
1
2+ a2 = ⎡x2 ⎤ = ⎡ 2 + 1⎤ = 2
1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2+
2
La tercera cifra a3 es la parte entera de x3
1 99
1+ = = 1' 4142 1
1 70 x2 = 1 +
2+
1
x3
2+
1 1 1 1
2+
1
2 +1 = 2 + ⇒ 2 −1 = ⇒ x3 = = 2 +1
2+ x3 x3 2 −1
2
a3 = ⎡x3 ⎤ = ⎡ 2 + 1⎤ = 2
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
No es necesario hacer más cálculos por repetirse
Otros desarrollos periódicamente los cocientes.
3 = ⎡1,12⎤
⎣ ⎦ 7 = ⎡2,1114⎤
⎣ ⎦
1
5 = ⎡2, 4⎤ 8 = ⎡2,14⎤ 2 = ⎡1,2⎤ = 1 +
⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1
2+
6 = ⎡2,24⎤ 10 = ⎡3,6 ⎤ 1
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2+
2 + ...
MATEMÁTICAS B 31

12. Potencias y radicales
Recuerda
lo más importante
Radicales Potencia de exponente
fraccionario
Llamamos raíz n-ésima de un
Un radical es equivalente a una
número dado al número que
potencia de exponente
elevado a n nos da al primero.
fraccionario donde el numerador
de la fracción es el exponente del
La expresión es n a un radical radicando y el denominador es el
de índice n y radicando a. índice de la raíz.
n
a = b ⇔ a = bn n
m
am = a n
Propiedad fundamental
El valor de un radical no varía si
se multiplican ó se dividen por el
mismo número el índice y el
exponente del radicando.
n n·p
am = am·p
Reducir a índice común Operaciones con radicales
Reducir a índice común dos radicales dados Para multiplicar(o dividir) radicales del
es encontrar dos radicales equivalentes a mismo índice se deja el índice y se
los dados que tengan el mismo índice. multiplican(o dividen) los radicandos. Si
tienen índice distinto, primero se reduce a
índice común.
Para hallar la raíz de un radical se deja el
Radicales semejantes radicando y se multiplican los índices.
Son aquellos que tienen el mismo índice y Para sumar (o restar) radicales
el mismo radicando, pudiendo diferir en el semejantes se suman (o restan) los
coeficiente que los multiplica. coeficientes y se deja el radical
Racionalizar
Racionalizar una fracción con radicales en el denominador, es encontrar una fracción equivalente
que no tenga raíces en el denominador.
32 MATEMÁTICAS B

13. Potencias y radicales
Autoevaluación
7
1. Calcula la siguiente raíz: 78125
10
2. Escribe en forma de exponente fraccionario: x3
3. Calcular: 18 − 98
4. Introduce el factor en el radical: 6 4 5
7
5. Calcula, simplifica y escribe con un solo radical: 73 3
6. Extrae los factores del radical: 4
243
45
7. Racionaliza: 3
25
8. Calcular y simplificar: 4
2·5 4
7
125
9. Calcular y simplificar: 3
5
10. Cuánto mide la arista de un cubo si su volumen es
1331m3
MATEMÁTICAS B 33

14. Potencias y radicales
Soluciones de los ejercicios para practicar
1 2
1. a) 52 b) x 3 8. a) 18 b) 15 10
3 3 3
c) 108 d)
6
4x7
c) a 2 d) a 5
e) 4
32a5b f) 12
200x10y9
3
2. a) 3 b) 5
c) 5
x d)
3
x5 9. a) 2 − 6
b) 14 5 + 30
3. a) 5 b) 4
8
c) 8 6 + 4 10 − 20
7 15
c) x3 d) 4x2 d) 2
4. a) 3 2 b) 2 3 2 10. a) 2 b) y x
2 33
c) 3a a d) 7ab c 2abc 6
c) 6
81x d) 8a3b2
5. a) 45 b) 4a e) 6
243 f)
24
x11
3
c) 18a4 d) a5b7 20
11. a) 4
2 b) x11
6. a) 4
25; 4 3 c)
24
x23 d)
3
x2
b) 12
256;12 27;12 4 2 7 3
12. a) b)
c) 18
9; 8 7; 8 216 7 3
5
2ax x2
d) 6
27; 6 32; 6 25 c) d)
x x
7. a) −4 5 b) 11 3 13. a) 3 +1 b) −7 − 3 5
c) 4 7 d) 15 5 c) 4 + 11 d) 2 - 2
Soluciones
AUTOEVALUACIÓN
1. 5
3
2. x10
3. −4 2
4. 4
6480
5. 21
1029
6. 3 4 3
7. 93 5
No olvides enviar las actividades al tutor
20
8. 8192
9. 21
25
10. 11 cm
MATEMÁTICAS B 34

15. Centro para la Innovación y Desarrollo
de la Educación a Distancia
ACTIVIDADES DE ESO
4º
2 Matemáticas B
1. Escribe las potencias como radicales y los radicales como potencias:
3
5
a) 2 = b) 2 5 =
1
5
c) 2= d) 53 =
2. Calcula: 4 2 − 9 18 + 15 50
3. Calcula expresando el resultado como una potencia de exponente fraccionario lo más
simplificado posible:
3
9 ⋅ 4 12
=
6
4. Racionaliza y simplifica:
2 4
a) = b)
2 5 −1
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