1. MARCO TEÓRICO <br />center488731<br />13253362638677<br /> <br />-2034642695903Fig. 1-1. (b) Vibraciones sinusoidales.<br /> <br />696966788276<br />7127337283669<br />7915611008993<br />MUELLE VERTICAL<br />-Un resorte de longitud natural L tiene su extremo fijo a un soporte A. (Fig. 1-2) y un peso W, de masa m, se suspende del mismo. Este peso alarga el resorte una longitud L+d, cuando el sistema queda en reposo en una nueva posición de equilibrio. Por la ley de Hooke, la tensión en el resorte es ks, donde k es la constante del resorte. La fuerza de la gravedad sobre el cuerpo es W=mg, y para que haya equilibrio deberá ser:<br />Ks=mg (1)<br />Supongamos ahora que separamos el peso de su posición de equilibrio, trasportándolo hacia abajo una longitud adicional a, y después lo soltamos. Vamos a estudiar el movimiento que adquiere. <br />Designemos por y (sentido positivo hacia abajo) el desplazamiento del peso a partir de su posición de equilibrio en el tiempo t y desde el instante en que comenzó el movimiento. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son:<br />+mg, debida a la gravedad <br />-k(s+y), debida a la tensión del resorte.<br />680720209550Por la segunda ley de Newton, la resultante de .esas fuerzas debe ser igual a<br />Por consiguiente,--7366005080<br />(2)<br />1587589326819Pero en virtud de (1), mg – ks=0, de manera que la ecuación se transforma en:<br />(4)<br />Además de esta ecuación diferencial, el movimiento debe satisfacer las condiciones iniciales para t=0: <br />X=aydx/dt=0.<br />ω949635291538Hagamos ω=√(k/m) , con lo que la ecuación (3) se escribirá:<br />ω<br />ω736788314325O bien, <br />1055961285499Donde<br />Las raíces de la ecuación característica <br />r²+ω²=0<br />son números complejos conjugados, r=±ωi. Por consiguiente,<br /> x=c1cos(ω t)+c2sen(ω t).<br />es la solución general de la ecuación diferencial. Para satisfacer las condiciones iniciales calculamos<br />dx/dt=-c1ωsen(ωt)+c2ωcos(ωt), <br />y sustituimos (4), lo que da <br />a=c1y0=c2ω<br />Por tanto, c1=a, c2=0, y<br />X=acos(ωt)<br />Al derivar se obtiene que v=-aωsen(ωt) y al derivar nuevamente a=-aω²cos(ωt)<br />Describe el movimiento del cuerpo. Esta ecuación corresponde a un movimiento armónico simple de amplitud a y período T=2π/ω.<br />Fig. 1-2. Sistema masa resorte vertical<br />Ley de Hooke<br />Cuando una fuerza externa actúa sobre un material causa un esfuerzo o tensión en el interior del material que provoca la deformación del mismo. En muchos materiales, entre ellos los metales y los minerales, la deformación es directamente proporcional a la fuerza.<br />No obstante, si la fuerza externa supera un determinado valor, el material puede quedar deformado permanentemente, y la ley de Hooke ya no es válida. El máximo esfuerzo que un material puede soportar antes de quedar permanentemente deformado se denomina límite de elasticidad.<br />Ley de Hooke para los resortes <br />La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el resorte con la elongación o alargamiento δ producido:<br />donde k se llama constante elástica del resorte y es su elongación o variación que experimenta su longitud.<br />