El documento resume una clase sobre oscilaciones amortiguadas impartida por el profesor Yuri Milachay. La clase explica la energía del oscilador armónico y cómo cambian las energías cinética y potencial. También cubre el concepto de oscilaciones amortiguadas, la ecuación que las describe y cómo la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo debido a fuerzas disipativas. Incluye ejemplos numéricos y conclusiones.

1. CARRERADEINGENIERÍAINDUSTRIAL
FACULTADDEINGENIERÍAYARQUITECTURA
Física 2
Departamento de Ciencias
Mg. Yuri Milachay Vicente
Yuri.milachay@gmail.com
Semana 3
Energía del MAS. Oscilaciones
Amortiguadas.
Energía del MAS. Oscilaciones
amortiguadas. Energía de las
oscilaciones amortiguadas.

2. 30/04/13 Física 2 / Yuri Milachay 2
Logros de la sesión
Al finalizar la sesión, el estudiante:
• conoce y aplica la ley de conservación de la
energía para el oscilador armónico, y
• explica la naturaleza de las oscilaciones
amortiguadas, aplicando sus conclusiones en la
interpretación de problemas reales.

3. 30/04/13 Física 2 / Yuri Milachay 3
¿Por qué el puente Franjo Tudjman
(Duvrobnik) tiene amortiguadores?

4. 30/04/13 Física 2 / Yuri Milachay 4
¿¿Qué son los amortiguadores?
UPN_FIS2_S03_SIDEA_REC01_amortiguadores

5. 30/04/13 Física 2 / Yuri Milachay 5
Lluvia de ideas
a) ¿Para qué sirven los amortiguadores de los autos?
b) ¿Cómo cambia la amplitud de la oscilación del auto con
el incremento de la fricción del líquido del
amortiguador (fuerzas disipativas)?
c) ¿Qué función cumplen los amortiguadores en los
cables de sujeción del puente Franjo Trudjman?
d) ¿Qué factores pueden provocar la oscilación de los
puentes? Explíquelo en términos de energía.

6. 30/04/13 Física 2 / Yuri Milachay 6
Energía potencial elástica
• La fuerza de los resortes son
fuerzas conservativas; es decir,
tienen energía potencial. Su
expresión matemática se
deduce de la gráfica Fuerza-
desplazamiento
• La energía potencial elástica
puede ser agregada a los
demás tipos de energía en el
balance de la conservación de
la energía.
• En el caso del oscilador
armónico, el balance
energético tiene lugar entre la
energía cinética y potencial
elástica.
F
xFuerza aplicada sobre el
móvil por parte del resorte
F kx= 2 21 1
mv kx Const
2 2
+ =
2
e
1
U kx
2
=

7. 30/04/13 Física 2 / Yuri Milachay 7
2 2 21 1 1
E mv kx kA
2 2 2
= + =
Energía del oscilador armónico
• Particularmente, se puede
igualar la expresión de la
energía mecánica del OA en
cualquier punto con la
energía en un extremo,
donde la velocidad es cero.
• Despejando la velocidad de la
expresión anterior se
obtiene:
2 2
v A xω= −

8. 30/04/13 Física 2 / Yuri Milachay 8
¿Cómo cambian las energías cinética
y potencial en el MAS?
UPN_FIS2_S03_SIDEA_REC02_energía_MAS

9. 30/04/13 Física 2 / Yuri Milachay 9
Ejercicio
• Problema. Un deslizador de 0,500 kg , conectado al
extremo de un resorte ideal con constante de fuerza k
= 450 N/m, está en MAS con una amplitud de 0,040 m.
Calcule (a) la rapidez máxima del deslizador, (b) su
rapidez cuando x = -0,015 m, (c) su aceleración máxima
y (d) la energía mecánica total en cualquier punto de la
trayectoria.

10. 30/04/13 Física 2 / Yuri Milachay 10
MAS vertical
• Supongamos que colgamos
un resorte con constante de
fuerza k y se suspende de él
un cuerpo de masa m.
• Cuando se desplaza el bloque
hacia abajo, las fuerza es
proporcional al
desplazamiento, por lo que
realizará también un MAS.
k l mg∆ =
neta
neta
F k( l x ) ( mg )
F kx
= ∆ − + −
= −

11. 30/04/13 Física 2 / Yuri Milachay 11
Ejercicios
• Problema 13.30. La escala de
una balanza de resorte marca
200 N cuando éste tiene 12,5
cm de longitud. Un pez
suspendido de la balanza
oscila verticalmente a 2,60
Hz. ¿Qué masa tiene el pez?
Desprecie la masa del
resorte.
1 k
f
2 mπ
=
2
200 N
k
12,5 10 m−
=
×
1
2
( 200 N) (1,25 10 m)
m
(2π( 2,60 Hz))
m 6,00 kg
−
×
=
=

12. 30/04/13 Física 2 / Yuri Milachay 12
Oscilaciones amortiguadas
• Los sistemas reales tienen
siempre fuerzas disipadoras
como el rozamiento, por lo que
las oscilaciones cesan con el
tiempo.
• La disminución de la amplitud se
denomina amortiguación y el
movimiento que realiza se llama
oscilación amortiguada.
x xF kx bv= − −∑
Posición de
equilibrio
Ver animación de la oscilación amortiguada
UPN_FIS2_S03_SIDEA_REC03_amortiguamiento

13. 30/04/13 Física 2 / Yuri Milachay 13
Oscilaciones amortiguadas
• De acuerdo con la segunda
ley de Newton, se tiene la
expresión:
• De donde se obtiene una
ecuación diferencial de
segundo orden, cuya solución
para valores de b pequeños
es la expresión.
• La frecuencia angular de la
oscilación ω´ está dada por:
( b/2m )t
x Ae cos( ' t )ω φ−
= +
2k b
' ( )
m 2m
ω = −
x xkx bv ma− − =

14. 30/04/13 Física 2 / Yuri Milachay 14
• Si hacemos que ω’ sea nula,
tendremos la expresión de la
derecha;
• En estos casos, el sistema ya no
oscila, sino que vuelve a su
posición de equilibrio sin oscilar,
entonces se dice que se tiene
una amortiguación critica.
• Si se cumple que b > , se
dice que la oscilación es
sobreamortiguada.
2k b
' ( ) 0
m 2m
ω = − =
2k b
( ) 0
m 2m
− =
b 2 km=
Oscilaciones críticas
2 km

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Gráfica de
( b/2m )t
x Ae cos( ' t )ω φ−
= +

16. Simulación
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17. 30/04/13 Física 2 / Yuri Milachay 17
Ejercicios
• Solución
• Despejando b de
b
2 m
t
2 1A A e
−
=
1
2
2m A
b ln 0,0220 kg s
t A
 
= = ÷
 
• Problema. Un objeto de 50,0
g se mueve en el extremo de
un resorte con k=25,0 N/m .
Su desplazamiento inicial es
de 0,300 m . Una fuerza
amortiguadora actúa sobre el
objeto y la amplitud del
movimiento disminuye a
0,100 m en 5,00 s . Calcule al
constante de amortiguación.

18. 30/04/13 Física 2 / Yuri Milachay 18
Conclusiones
• La fuerzas elásticas son conservativas, por lo que en los
sistemas en donde actúa exclusivamente se aplica la
ley de conservación de la energía.
• Cuando se aplica la ley de conservación en sistemas
masa-resorte, se llega a una expresión que vincula la
velocidad de la masa con su posición.
• Las oscilaciones amortiguadas tienen lugar cuando
actúa una fuerza disipativa y se concluye que la
amplitud de la oscilación decrece exponencialmente,
además de variar la frecuencia de oscilación.

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Bibliografía
• R. Serway, J. Jewett. Física para Ciencias e
Ingeniería. 7° edición. Ed.Cengage Learning.
Pág. 426-429; 449-477.
• J. Wilson, A. Buffa. Física. 6° edición. Ed.
Pearson Educación. Pág. 454-476.
• Sears Zemansky. Física Universitaria. 12°
edición. Ed. Pearson Educación. Pág. 487-511;
440-442.