Logica cuantificad-conjuntos

Universidad Paulo Freire (U.P.F)

Unidad I: LÓGICA.

Objetivos:
1) Inducir al estudiante a una forma del pensamiento que propicie el razonamiento
lógico ordenado y preciso.
2) Analizar las proposiciones y determinar el valor de verdad que poseen.

Para cada expresión diga cuales verdadera y cual es falsa.
 El Río san Juan Es Nicaragüense.
 Managua es la capital de Nicaragua.
 Rubén Darío nació en León.
 Si 4 + 2 = 6 entonces 4 – 2 = 2.
 ¡Que linda estas!
 ¿Por qué viajaste a Granada?

PROPOSICION
DEFINICIÓN: Se llama proposición o enunciado lógico, a toda expresión de la
cuál es posible decir en un momento y lugar dado si es verdadera o falsa.

Ejemplo: Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
 Solentiname es una isla. Falso .
 Managua es la capital de Nicaragua. Verdadero .
 ¿Qué estas haciendo? No es proposición.
 ¡Felicidades por tu cumpleaños! No es proposición.

¿A qué llamamos valor de verdad de una proposición?
Se llama valor de verdad de una proposición a la calidad de verdadera o falsa que
posee una proposición.

Las proposiciones se denotan con letras minúsculas tales como; p, q, r, s, t, u, v, w, etc.

Ejemplo: Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
p : Solentiname es una isla. ( Falso).
q : Managua es la capital de Nicaragua. (Verdadero).

Clasificación de las Proposiciones.
Estas se Clasifican en:

1) Proposiciones Simples: Son aquellas proposiciones que no se pueden
descomponer en otras proposiciones.

Ejemplo:
 Río San Juan Tiene 10 municipios.
 Managua es la capital de Nicaragua.

Docente: Napoleón Gutiérrez Traña Página 1


2) Proposiciones Compuestas: Son aquellas proposiciones que resultan de la
combinación (conexión o unión) de dos o más proposiciones simples.
Ejemplo:
 Solentiname es una isla y Managua es la capital de Nicaragua.
 El ser humano legó a la luna o todo fue un montaje.
 Si Juan estudia diario entonces aprobará Geografía.
 Un triangulo es equilátero si y solo si sus lados son iguales.

Para formar proposiciones compuestas utilizaremos las partículas gramaticales; y, o,
Si ….entonces….., ….. si y solo si….

Para modificar una proposición y combinar dos o más proposiciones, utilizaremos “Los
conectivos lógicos y Modificadores”, mostrados en la siguiente tabla.

Nombre de la
Partícula Gramatical Símbolo Matemático Proposición
No
No es cierto que….. – ó  Negación

Y  Conjunción

O  Disyunción
Implicación o
Si… entonces ...  Condicional
…. Si y solo si …. Doble implicación
.. si y solamente si..  O Bicondicional
Los conectivos lógicos también se denominan Términos de Enlace.

Ejemplo: Dada la proposición escriba su negación.
Sea p: Las plantas tienen vida.
La negación es: – p: No es cierto que las plantas tienen vida.
O también – p: Las plantas no tienen vida.

Ejemplo: Dada las siguientes proposiciones escriba la conjunción, disyunción,
implicación y doble implicación.
Sea p: Las plantas tienen vida.
q: Las plantas son seres vivos.
Conjunción:
pq: Las plantas tienen vida y son seres vivos.

Disyunción:
p v q: Las plantas tienen vida o son seres vivos.

Implicación:
P q: Si las plantas tienen vida entonces son seres vivos.
Otra forma P q: Si las plantas tienen vida, son seres vivos.



Doble implicación:
P  q: Las plantas tienen vida si y solo si son seres vivos.

En las proposiciones es de vital importancia poder escribir una proposición
compuesta en forma simbólica.

Ejemplo: Simbolizar las siguientes proposiciones.
1) Nicaragua esta al norte de Costa Rica y Costa Rica al norte de Panamá.
Solución: Observamos que la proposición compuesta es una conjunción, porque se
unieron las proposiciones simples por medio de la partícula “y”, donde:
p: Nicaragua esta al norte de Costa Rica
q: Costa Rica al norte de Panamá.
Simbólicamente se escribe: p  q

2) Si son las 10 entonces la sesión de la asamblea general ha comenzado, y ahora
el reloj señala las 10.
p: Son las 10
q: la sesión de la asamblea general ha comenzado.
r: ahora son las 10.
Simbólicamente: (p  q)  r

3) Si llueve mañana y no se repara el techo, la casa se inundará.
Sean:
p: Llueve mañana.
q: se repara el techo.
– q: no se repara el techo. Simbólicamente: (p  q )  s
s: la casa se inundará.

Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta, en función de los
valores de verdad de las proposiciones simples que la componen, entonces debemos
de dominar las tablas de verdad para los conectivos lógicos y modificadores.

NEGACIÓN.
La negación de una proposición se obtiene modificando la proposición original,
anteponiéndole la partícula gramatical “no es cierto que..” o simplemente “no” cuando
su construcción gramatical sea posible.

Simbólicamente la negación de “p” se denota por “–p” que se lee “no p”

TABLA DE VERDAD DE LA NEGACIÓN
p -p Ejemplo: Sea p: Las plantas tienen vida. (V)
V F La negación es: – p: No es cierto que las plantas tienen vida. (F)
O también – p: Las plantas no tienen vida. (F)

Ejemplo: Sea p: Río San Juan es un municipio. (F)
La negación es: – p: Río San Juan no es un municipio. (V)



CONJUNCION
Es la unión de dos proposiciones por medio de la partícula gramatical “y”.
Simbólicamente se denota p  q que se lee “p y q”.

TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN.
p q pq
V V V “La conjunción es verdadera solo si ambas proposiciones son
verdaderas, y falsa para cualquier otro caso”.
V F F
F V F
F F F
Ejemplo:
 Las plantas tienen vida y Río San Juan es un municipio (F)
(V) (F)

 5³ = 125 y 5 • 5 • 5 = 125 (V)
(V) (V)

DISYUNCION INCLUSIVA
Es la unión de dos proposiciones por medio de la partícula gramatical “o”.
Simbólicamente se denota p  q que se lee “p o q”.

TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA.
p q pq
V V V “La Disyunción es Falsa solo si ambas proposiciones son Falsas,
y Verdadera para cualquier otro caso”.
V F V
F V V
F F F
Ejemplo:
 Las plantas tienen vida o Río San Juan es un municipio (V)
(V) (F)

 5³ = 15 o 5 • 5 • 5 = 75 (F)
(F) (F)

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Es la unión de dos proposiciones por medio de la partícula gramatical “o....o...”.
Simbólicamente se denota p  q que se lee “ o p o q”.



TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
p q pq
V V F “La Disyunción Exclusiva verdadera solo si las proposiciones
V F V poseen diferente valor de verdad”.
F V V
F F F Ejemplo: O 5³ = 15 o 5 • 5 • 5 = 75 (F)
(F) (F)
 O Nicaragua es un país o Río San Juan es un municipio (v)
(V) (F)

IMPLICACICION O CONDICIONAL.
Es la unión de dos proposiciones por medio de la partícula gramatical “si…entonces”.
Simbólicamente se denota p  q que se lee “Si p entonces q”.
“p” es el antecedente o hipótesis y “q” es el consecuente o conclusión.

TABLA DE VERDAD DE LA IMPLICACIÓN.
P q pq
V V V “La Implicación es Falsa solo si el antecedente es Verdadero y
el consecuente es Falso, y Verdadera para cualquier otro caso”.
V F F
F V V
F F V
Ejemplo:
 Si las plantas tienen vida entonces Río San Juan es un municipio (F)
(V) (F)

 Si 5³ = 15 entonces 5 • 5 • 5 = 75 (V)
(F) (F)

Variantes del condicional: De una condicional “p  q” pueden obtenerse otras
condicionales mediante un arreglo sobre la condición original, ya sea afirmando o
negando algunas de sus partes.

Dada la condicional “p  q” tenemos las siguientes variantes:
 “q  p” Llamada Recíproca o Conversa.
 “– p  – q” Llamada Inversa o Contraria.
 “– q  – p” Llamada Contrarecíproca o Contrapositiva.

Ejemplo: Sea La proposición: “Si un triángulo es equilátero entonces es Isósceles”.
Solución: Sea p: Un triángulo es equilátero. Y sea q: Un triángulo es Isósceles.



Recíproca o Conversa:
q  p: Si un triangulo es isósceles entonces es equilátero.
Inversa o Contraria:
– p  – q: Si un triangulo no es equilátero entonces no es isósceles.
Contrarecíproca o Contrapositiva:
– q  – p: Si un triangulo no es isósceles entonces no es equilátero.

DOBLE IMPLICACICION O BICONDICIONAL.
Es la unión de dos proposiciones por medio de la partícula gramatical “…si y solo si..”.
Simbólicamente se denota p  q que se lee “ P si y solo si q”.

TABLA DE VERDAD DE LA DOBLE IMPLICACIÓN.
P q pq
V V V “La doble implicación es Verdadera si y solo si ambas
proposiciones tienen el mismo valor, y Falsa para cualquier otro
V F F caso”.
F V F
F F V
Ejemplo:
 Las plantas tienen vida si y solo si Río San Juan es un municipio (F)
(V) (F)

 5³ = 15 si y solo si 5 • 5 • 5 = 75 (V)
(F) (F)

TAUTOLOGIA.
Es una proposición compuesta cuyo valor de verdad de la última columna siempre es
verdadero, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la
componen.

Para determinar si una proposición compuesta es una tautología, s e construye una
tabla de verdad, y si todos los valores de la última columna son verdaderos, la
proposición es una tautología.

Ejemplo: Verifique si la proposición es o no una tautología (q  r)  – (q  r).

q r qr – (q  r) (q  r)  – (q  r)



CONTRADICCIÓN.
Es una proposición compuesta cuyo valor de verdad siempre es Falso, independiente
de los valores de verdad de sus componentes.

Para determinar si una proposición compuesta es una contradicción, se construye una
tabla de verdad, y si todos los valores de la última columna son falsos, la proposición es
una contradicción.

Ejemplo: Determine si es Contradicción la proposición (p  q)  – (p  q)

p q pq – (p  q) (p  q)  – (p  q)
V V V F F
Es una Contradicción.
V F F V F
F V F V F
F F F V F

CONTINGENCIA.
Es una proposición compuesta que no es tautología ni contradicción, es decir, que los
valores de verdad de su última columna en una tabla de verdad son verdaderos y falsos
independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que lo forman.

Ejemplo: Verifique si la proposición es una contingencia p  s  s.

p s ps pss

GUIA DE TRABAJO # 1.

I.- Determine cuales de los siguientes enunciados son proposiciones y cuales no.
a) El 2% de 1000 es 200. ______________________.
b) Préstame tu lapicero. _________________________.
c) Nicaragua está al norte de Costa Rica y Honduras al norte de Nicaragua. ________.
d) ¡Qué linda es Nicaragua! ______________________.
e) Si a > b y b > c entonces a > c ____________________.



II.- Encierre en un círculo la respuesta correcta.
 Dada la preposición compuesta : “Si la UPF es la universidad de los pobres
entonces el arancel no es elevado o el gobierno solo quiere universidades
privadas”, Su representación simbólica es :
a) p  q  r
b) p  q  r
c) p  q  r
d) p  q  r

 La contra recíproca de m  n es:
a) n  m
b) n  m
c) n  – m
d) m n

 El contra reciproco de : “si estudio apruebo el examen” es :
a) Si apruebo el examen no estudio
b) b) Si no apruebo el examen estudio
c) Si no estudio no apruebo el examen
d) Si no apruebo el examen no estudio.
e) NDLA

 La reciproca de la implicación p q viene dada por :
a) p  q
b) p  q
c) p  q
d) – q  p

 La inversa de la expresión “ si el es pobre entonces es infeliz” es:
a) Si el es infeliz entonces es pobre
b) Si el es infeliz entonces no es pobre
c) Si el no es pobre entonces es feliz.
d) Si el no es pobre entonces es infeliz
e) NDLA

 La inversa de la implicación r  s  t viene dad por:
a) s  t  r
b)  r  – (s  t )
c)  r  (s  t )
a) r   (s  t )



 La inversa de la expresión “Si no estudias matemáticas entonces aprobaras el
examen”, es:
a) Si aprobaras el examen entonces no estudias matemáticas.
b) Si estudias matemáticas entonces aprobaras el examen.
c) Si estudias matemáticas entonces no aprobarás el examen.
d) Si no aprobaras el examen entonces estudias matemáticas
e) Si no estudias matemáticas entonces no aprobaras el examen

III.- Desarrollo.

 Dada las proposiciones p: “Rubén Darío es un poeta nicaragüense”,
q:“El rió San Juan es tico” y r:”Gabriel García Márquez es un escritor nicaragüense”.
Determine el valor de verdad de la proposición compuesta “p  –q  r”

 Construya la tabla de verdad de – (pq)  (p –q).

 Construya la tabla de verdad de (p  –q)  p y diga si es una; contradicción,
Tautología o contingencia.

 Construya la tabla de verdad de (p  q)  (–p  r) y diga si es una;
Contradicción, Tautología o contingencia.

 La tabla de verdad correspondiente a la proposición compuesta
[(pq )  p ] q es una: contradicción, Tautología o contingencia.

 Dado que p = F; q = V ; r = V. Escriba el valor de verdad de la proposición.
a) (pq)  (q r)
b) p  q  r
c) p  r  q  r



Unidad II: CUANTIFICADORES

Objetivos:
1.- Cuantificar correctamente las formas proposicionales.
2.- Desarrollar habilidades y destrezas para negar formas proposicionales cuantificadas,
así como analizar la diferencia entre el cuantificador universal y existencial.

Contenido:
1,- Cuantificadores. Definición. Clasificación.
2.- Cuantificadores y Negación de formas proposicionales cuantificadas.

Formas Proposicionales
Definición: Una forma proposicional es una expresión que contiene una variable y que
al ser sustituida esta variable por un valor determinado, la expresión se convierte en
una proposición.

Ejemplo: Las siguientes expresiones son formas proposicionales.
 x es un número primo.
 y es un país centroamericano.
 z es un maestro de Río San Juan.

Las formas proposicionales se denotan con letras minúsculas seguida de un paréntesis
con la variable que interviene en ella.

Ejemplo: La forma proposicional “z es un maestro de Río San Juan” se denota así:
p(z): z es un maestro de Río San Juan.

El conjunto de elementos que pueden reemplazar la variable de una forma
proposicional se llama dominio de la variable.

Ejemplo: La forma proposicional p(x): x es un número natural menor que 9.
El dominio de la variable x es el conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7,8}, por tanto podemos
afirmar x Є {1,2,3,4,5,6,7,8}.

Los Cuantificadores son expresiones que sirven para indicar cuantos elementos de un
conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Tales cuantificadores son: el cuantificador
universal y el cuantificador existencial.

Ejemplo: En la proposición Todos los animales son vivíparos, la expresión todos
determina la cantidad de animales mamíferos que son vivíparos.



En matemática se utilizan como cuantificadores las expresiones: todos, algunos,
ninguno, no todo, sólo uno.
Sea A un conjunto y p(x) una proposición o propiedad que hace referencia a un
elemento x. por lo que los cuantificadores se definen de la siguiente manera:

Cuantificador universal, representado por se lee “para todo”. Este cuantificador se
emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada
propiedad.
Se escribe x  A  p(x) se lee "para todo x que pertenece a A se verifica p(x)",
representa la proposición {x  A : p(x)} = A

Ejemplo: Todos los estudiantes de la carrera de derecho son hombres.
Solución: Significa que no hay estudiantes de derecho que no sean hombres.
sea A={x / x son todos los estudiantes de la carrera de derecho}
Simbólicamente: x  A, x es hombre.

Cuantificador existencial, representado por se lee “existe algún” y se usa para
indicar que al menos un elemento de un conjunto cumple con una propiedad.
Se escribe  x  A / p(x) se lee "existe x que pertenece a A tal que p(x)", representa la
proposición {x  A : p(x)}  

Ejemplo: Algunos alumnos de UPF estudian derecho.
Solución: Significa que hay otros alumnos que no estudian derecho.
Sea A={x / x son alumnos de UPF}
Simbólicamente:  x  A / x estudia derecho.

La negación de cualquiera de las dos proposiciones anteriores se realiza negando la
proposición p(x) y cambiando el cuantificador universal por el cuantificador existencial, o
viceversa.
Así, la negación de la proposición "x  A  p(x)" es " x  A | -p(x)".
Mientras que la negación de " x  A | p(x)" es " x  A  -p(x)"

Ejemplo: Negar las siguientes proposiciones cuantificadas. Luego simbolizar la
proposición y la negación.

a) Todos los números naturales son impares.
Simbólicamente: x  , x es impar.
Negación: existe por lo menos un número natural que no es impar.
Simbólicamente:  x  /x no es impar.



b) Existe un número par que no es múltiplo de 4.
Simbólicamente:  x  Par /x no es múltiplo de 4.
Negación: Todos los números Pares son múltiplo de 4.
Simbólicamente: x Par, x es múltiplo de 4.

Guía de Trabajo # 2.

1.- Escribir el cuantificador que se utiliza en cada proposición.
a) Todas las cosas están formadas por átomos.
b) Hay un animal en vía de extinción.
c) Todos los animales son mamíferos.
d) Existe un alumno de derecho que no vino a la conferencia de hoy.
e) Hay animales que viven en el agua y que son mamíferos.

2) Escribir el significado de cada proposición cuantificada y determine su valor de
verdad.
a) Todos los estudiantes de derecho son hombres.
b) Todas las cosas están formadas por átomos.
c) Todos los animales son mamíferos.
d) Hay animales que viven en el agua y que son mamíferos.

3) Negar las siguientes proposiciones cuantificadas. Luego simbolizar la proposición y
la negación.
a) Existen animales que no son mamíferos.
b) Todos los alumnos de derecho son inteligentes.
c) Sólo los estudiantes de undécimo grado se gradúan.
d) Todos los alumnos de derecho estudian en la UPF.
e) Hay abogados que saben hablar en inglés.



Unidad III: TEORIA DE CONJUNTOS

Objetivos:
1. Analizar los conceptos básicos y definiciones de la teoría de conjunto
relacionándolos con la lógica matemática.
2. Describir los conjuntos a través del método de extensión o de comprensión,
considerando las característica del conjunto para poder describirlo.
3. Representar las operaciones de los conjuntos de forma grafica utilizando los
diagramas de Venn.
4. Desarrollar habilidades y destrezas en la resolución de problemas y ejercicios
utilizando las operaciones con conjuntos.

Introducción:
La teoría de conjunto es una extensión de la lógica simbólica, y se encuentra
prácticamente ligada al desarrollo de toda teoría matemática moderna.

La Teoría de conjuntos, es una rama de las matemáticas a la que el matemático alemán
Georg Cantor dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto
es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de
contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las
matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de
los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y
precisas y para explicar conceptos abstractos como el de infinito.

Relación entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Proposicional.
Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica
Proposicional. Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A,B los
conjuntos y por las correspondientes minúsculas a,b ... sus propiedades y
características (es decir, la proposición lógica que caracteriza a los elementos de cada
conjunto); entonces se tiene la siguiente correspondencia:

conjuntos AB A=B AB AB A' AB AB
proposiciones ab a b ab ab a' a  b' ab

Además, el conjunto vacío se corresponde con una contradicción y el conjunto universal
con una tautología. Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre
conjuntos se pueden reescribir en términos de lógica proposicional y viceversa.



ejemplo:
A( AB)=A a(bc)a

A(BC)=(AB)( AC) a(bc)(ab)(ac)

( A  B )' = A'  B' ( a  b )'  a'  b'

CONJUNTO: Es una colección de personas, animales o cosas, con la propiedad de
que, para cualquier persona, animal o cosa, es posible decir si es te pertenece o no a la
colección.

También podemos decir que un conjunto es una agrupación, clase o colección de
objetos denominados elementos del conjunto: utilizando símbolos a  S representa que
el elemento a pertenece o está contenido en el conjunto S, o lo que es lo mismo, el
conjunto S contiene al elemento a. Un conjunto S está definido si dado un objeto a, se
sabe con certeza que o a  S o a  S (leer: a no pertenece a S).

Ejemplo: En el conjunto A = {a,e,i,o,u} observamos lo siguiente:

a  A, i  A, u  A, pero m  A, b  A, c  A

Denotaremos los conjuntos con letras Mayúsculas como; A, B, C, etc. Y letras
minúsculas como; a, b, c, etc, para designar miembros (o elementos) que pueden o no
pertenecer al conjunto.

Ejemplo:
S1 = {2, 4, 6, ..., 2n, ...} = {todos los enteros pares}.
C = {El conjunto de alumnos de UPF de San Carlos}

REPRESENTACION GRAFI CA DE LOS CONJUNTOS
La representación grafica de los conjuntos se realiza a través de una línea curva
cerrada llamada Diagramas de Venn en honor de John Venn Filósofo Inglés (1834-
1923).

Los elementos que pertenecen al conjunto se ubican dentro de la línea curva cerrada.



MÉTODOS PARA DESCRIBIR CONJUNTOS
Los métodos para describir conjuntos son:

1) Método de extensión:
Consiste en encerrar entre llaves todos los elementos que pertenecen al
conjunto, es decir, se enumeran los elementos del conjunto.

2) Método de Comprensión:
Consiste en encerrar entre llaves una frase descriptiva o una expresión
matemática, conviniendo que son elementos del conjunto solo aquellos que
poseen la propiedad descrita.

Ejemplo: escriba por el método de extensión y comprensión, si es posible, los
siguientes conjuntos.
 El conjunto de los números naturales.
Extensión: No es posible escribirlo.
Comprensión: A = { x/ x es un número natural} o A = {x/ x}

 Los dígitos usados en nuestro sistema decimal.
Extensión: B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Comprensión: B = {x/x es un dígito de nuestro sistema decimal}

TIPOS DE CONJUNTOS
 CONJUNTO FINITO: Son aquellos conjuntos en los que sus elementos se pueden
contar.
Ejemplo: El conjunto de planetas del Sistema Solar.

 CONJUNTOS INFINITOS: Son aquellos conjuntos en los que sus elementos no se
pueden numerar.
Ejemplo: El conjunto de los números naturales.

 CONJUNTO VACIO: Son aquellos conjuntos que no poseen elementos.
Ejemplo: El conjuntos de seres humanos que viven en Saturno.

 CONJUNTO UNITARIO: Es aquel conjunto que solamente consta de un solo
elemento.
Ejemplo: A = {1} B = {mango}

 CONJUNTO UNIVERSAL: Es aquel conjunto que representa la totalidad de
miembros que pueden ser considerados como elementos de cualquier conjunto.



Ejemplo: Si A = {1,2, 3,4,5,6,7} y B = {0.–1,–2,– 3,–4,–5,–6,–7} entonces el
conjunto universal es U = { Los números enteros}
El conjunto universal generalmente se representa con un rectángulo.

U

RELACION ENTRE CONJUNTOS
 CONJUNTOS IGUALES: Son aquellos conjuntos que contienen exactamente los
mismos elementos.
Ejemplo: Sean los conjuntos A = {l,e,o,n} y B = {n,o,e,l}, observamos que poseen
exactamente los mismos elementos, independientemente no posean el mismo orden,
por lo tanto decimos que ambos conjuntos son iguales.
A=B ò B= A

 CONJUNTOS DISJUNTOS: Son aquellos conjuntos que no poseen elementos en
común.
Ejemplo: Si A = {0,1,2, 3} y B = {–1,–2,– 3}, como no tienen elementos en común son
disjuntos.

 SUBCONJUNTO: Si todo elemento de un conjunto A pertenece también al conjunto
B, A es un subconjunto de B, es decir, cuando se verifique:
Utilizando símbolos, A  B.

Diagrama de Venn que muestra A  B



 UNION DE CONJUNTOS: Si A y B son dos conjuntos entonces la unión de ambos
conjuntos dará como resultado; los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos.
El nuevo conjunto formado es llamado unión de A y B, escrito A  B.

Diagrama de Venn que ilustra A  B.

Ejemplo: si A = {2, 4, 6}, B = {4, 6, 8, 10} y C = {10, 14, 16, 26},
entonces;
A  B = {2, 4, 6, 8, 10}, A  C = {2, 4, 6, 10, 14, 16, 26}
Diagrama de Venn de A  B. Diagrama de Venn de A  C

 INTERSECCION DE CONJUNTOS: Sea A y B dos conjuntos. La intersección de
ambos serán los elementos comunes a A y B donde la intersección de A y B, es
escrita A  B. Si A y B no tienen ningún elemento común, su intersección no tiene
ningún elemento, y siendo conveniente representar esta intersección como otro
conjunto, éste se denomina conjunto vacío o nulo y se representa con el símbolo .

Diagrama de Venn que ilustra A  B.



Ejemplo: si A = {2, 4, 6}, B = {4, 6, 8, 10} y C = {10, 14, 16, 26},
entonces; A  B = {4, 6} AC=

 COMPLEMENTO: Si A es un subconjunto del conjunto U, el conjunto de los
elementos que pertenecen a U pero no a A, se denomina conjunto
complementario de A (con respecto a U) A′ (también puede aparecer como Ā, Ã
, ~A o A c).

Diagrama de Venn de A′

Ejemplo: Sea el conjunto U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} y A = {2,4, 6, 8,}
el complemento de A es:

A′ = {0,1,3,5,7,9}

El diagrama de Venn es:

 DIFERENCIA ENTRE DOS CONJUNTOS. (COMPLEMENTO RELATIVO): Sean
los Conjuntos A y B, entonces el conjunto de elementos que pertenecen a A pero no
a B se denomina conjunto diferencia entre A y B, escrito A - B (y a veces AB).

Diagrama de Venn de A – B



Ejemplo si A = {2, 4, 6} y B = {4, 6, 8, 10} entonces:
A - B = {2}, B - A = {8, 10}.

Aplicaciones:

 En una oficina de empleo se pregunta al solicitante su edad y su estado civil (caso o
soltero).de 50 solicitantes, 20 resultaron mayores de 20 años y 35 casados.
¿Cuántos mayores de 20 años y casado solicitaron empleo?
Sean:
A={ mayores de 20 años}, → n(A)=20
B={personas casadas}, → n(B)=35
A U B={solicitaron empleo} → n(A U B)=50
A ∩ B={casados y mayores de 20 años} → n(A B) es el numero
Por determinar.

Sabemos que n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

50 = 20 + 35 - n(A∩B)
50 = 55 – n(A∩B)
n(A∩B) = 55 – 50
n(A∩B) = 5

Repuesta: de los 50 solicitante 5 corresponden a personas casada y mayores de
20 años de edad.



Guía de Trabajo # 3.

Sean los conjuntos A={4}; B={3,4}; C={1,2,3}; D={a,b} y E={1,24}. Diga cual de las
siguientes proposiciones es verdadera.
a) D  C ____ b) E  A ____ d) B  D ____
c) a Є B ____ d) C = E ____ e) A  B ____

1) Escriba los siguientes conjuntos por extensión y comprensión, si es posible.
a) El conjunto de los números naturales.
b) El abecedario.
c) Las letras de la palabra Trapecio.

2) Sean los conjuntos U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; A={2,4,6,8,10}; B={3,4,5,6} y
C={1,2,3,4,5}, Determine la operación indicada y realice el repectivo diagrama de
Venn.
a) A’
b) B’
c) (A U B)’
d) (A ∩ C)’
e) A U B U C
f) A ∩ B ∩ C


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