1. Cap´ıtulo 20
Conjuntos de Borel
Hemos demostrado ya que la familia M de los conjuntos medibles contiene
a todos los abiertos de Rn y, por tanto, a todos los conjuntos que podamos
formar a partir de los abiertos mediante las operaciones: paso a comple-
mentarios, uniones e intersecciones numerables, etc. Todos estos conjuntos
constituir´an la familia de conjuntos de Borel, que nos proponemos estudiar
en este cap´ıtulo. Veremos que la relaci´on entre estos conjuntos y los con-
juntos medibles es mucho m´as estrecha que la de una simple relaci´on de
contenido.
σ-´Algebras
En primer lugar, vamos a precisar un concepto al que ya nos hemos referido
anteriormente, el de σ-´algebra.
Definici´on 20.1 Sea X un conjunto. Una familia A de subconjuntos de
X diremos que forman una σ-´algebra si satisface las condiciones siguientes:
1. Los conjuntos ∅ y X pertenecen a A .
2. A es cerrada por paso al complementario, es decir si B ∈ A entonces
Bc ∈ A .
3. A es cerrada respecto a uniones numerables, es decir si Bk ∈ A , k =
1, . . . entonces ∪Bk ∈ A .
Procediendo como para la σ-´algebra M , se deduce que si A es una σ-´algebra
entonces A es cerrada tambi´en respecto a las intersecciones numerables y
respecto a la diferencia de conjuntos. Por otra parte es inmediato comprobar
197

2. 198 Conjuntos de Borel 20.1
que cualquier intersecci´on de σ-´algebras es tambi´en una σ-´algebra. Esto
permite dar la siguiente definici´on.
Definici´on 20.2 Dada una familia F de subconjuntos de un conjunto X,
llamaremos σ-´algebra generada por F, a la menor σ-´algebra que contiene a
F. Denotaremos a veces a esta σ-´algebra por σ(F).
Es claro que σ(F) est´a siempre bien definida. De hecho, σ(F) es la intersec-
ci´on de todas la σ-´algebras que contienen a F. (N´otese que al menos hay
una σ-´algebra que contiene a F, la familia P(X) de todos los subconjuntos
de X).
La σ-´algebra de Borel
Si X es un espacio topol´ogico, a la σ-´algebra generada por los abiertos de X
se le denomina σ-´algebra de Borel. Sabemos que en Rn la σ-´algebra de Borel,
B, est´a contenida en M (existen ejemplos que prueban que esta contenci´on
es estricta) y a ella pertenecen adem´as de los abiertos, los cerrados, los
conjuntos Fσ y los Gδ as´ı como los semintervalos etc. Ha sido precisamente
la familia de semintervalos la que se ha tomado como base para definir
la medida de un conjunto y vamos a demostrar a continuaci´on, que ´esta
tambi´en puede obtenerse a partir de otras familias de conjuntos Borel, como
la de los abiertos, la de los Gδ, compactos etc.
Proposici´on 20.3 Para cada conjunto A ⊂ Rn se tiene:
(a) m∗(A) = inf{m(U) : U abierto ⊂ A}.
(b) Existe un conjunto Gδ, G, que contiene a A y tal que m(G) = m∗(A).
Demostraci´on. (a) Por la monoton´ıa de la medida exterior, m∗(A) es menor
o igual que la medida de cada abierto que contiene a A. Luego s´olo har´a
falta ver que existen abiertos que contienen a A y de medida tan pr´oxima
a la de A como se desee. Sea ε > 0 y (Ij) una colecci´on numerable de
semintervalos tales que
A ⊂ ∪ Ij, m(Ij) ≤ m∗
(A) + ε.
Consideremos entonces para cada j un semintervalo Kj tal que
Ij ⊂
o
Kj, m(Kj) ≤ m(Ij) +
ε
2j
.

3. 20.4 Conjuntos de Borel 199
Obviamente A est´a contenido en el abierto U = ∪
o
Kj y
m(U) ≤ m(Kj) ≤ m(Ij) + ε ≤ m∗
(A) + 2ε.
(b) Si para cada natural k elegimos un abierto Uk ⊃ A tal que m(Uk) ≤
m∗(A) + 1/k, entonces la medida del conjunto Gδ, G = ∩Uk ⊃ A, coincide
con la del conjunto A. (Es importante observar que esto no significa que
el conjunto G A sea de medida nula. De hecho, esto ´ultimo s´olo va ser
cierto cuando el conjunto A sea un conjuntos medible, como vamos a ver en
el siguiente teorema).
Teorema 20.4 Para un conjuto B de Rn, las condiciones siguientes son
equivalentes
(i) B es medible.
(ii) Para cada ε > 0 existe un abierto U ⊃ B tal que m∗(U B) < ε.
(iii) Para cada ε > 0 existe un cerrado F ⊂ B tal que m∗(B F) < ε.
(iv) Existe un conjunto Gδ, G ⊃ B, tal que m∗(G B) = 0.
(v) Existe un conjunto Fσ, H ⊂ B, tal que m∗(B H) = 0.
Demostraci´on. Si B es un conjunto medible de medida finita y U es un
conjunto abierto que contiene a B con m(U) < m(B) + ε, entonces
m(U B) = m(U) − m(B) < ε.
Si, por el contrario, m(B) = ∞, sea {Ck} una partici´on numerable de Rn
por conjuntos de medida finita (por ejemplo semicubos). Entonces, llamando
Bk = B ∩ Ck y considerando un abierto Uk ⊃ Bk con m(Uk Bk) < ε/2k, se
tiene
U = ∪ Uk ⊃ B y m(U B) ≤ m(∪(Uk Bk)) ≤ m(Uk Bk) < ε.
Esto demuestra que i) implica ii).
ii) implica iv) Tomemos para cada natural p un abierto Up ⊃ B tal que
m∗
(Up B) < ε/p.
Entonces el conjunto G = ∩Up satisface la condici´on iv), pues
m∗
(G B) ≤ m∗
(Up B) < 1/p, ∀p ⇒ m∗
(G B) = 0.

4. 200 Conjuntos de Borel 20.4
iv) implica i) En efecto, escribamos B = G Z con Z = G B. Enton-
ces, por la condici´on iv), Z es un conjunto de medida nula, luego medible.
Resulta as´ı que B se escribe como diferencia de dos conjuntos medibles y es,
por tanto, tambi´en un conjunto medible.
Para probar que la condici´on ii) es tambi´en equivalente a las ya vistas,
procedemos as´ı: B es medible si y s´olo si Bc es medible si y s´olo si para
cada ε > 0 existe un abierto U ⊃ Bc tal que m∗(U Bc) < ε. Como
U Bc
= B Uc
,
denotando por F al cerrado Uc, se deduce de lo anterior que B es medible
si y s´olo si para cada ε > 0 existe un cerrado F ⊂ B tal que m∗(B F) < ε.
De forma an´aloga se demuestra que la condici´on v) es tambi´en equiva-
lente a las otras.
Corolario 20.5 Un conjunto L es medible si y s´olo si es de la forma L =
B ∪ Z, donde B es un conjunto Borel y Z es un subconjunto de un Borel N
de medida nula.
Demostraci´on. El teorema anterior establece que L es medible si y s´olo si
existen dos conjuntos H, G (Fσ y Gδ respectivamente), tales que
H ⊂ L ⊂ G y m(G L) = m(L H) = 0.
Entonces, el corolario resulta ya tomando B = H, Z = L H y N =
B2 B1.
Como vemos, los conjuntos medibles quedan perfectamente determinados a
partir de los conjuntos de la σ-´algebra de Borel. Este hecho suele expresarse
diciendo que la σ-´algebra M de los conjuntos Lebesgue-medibles es la com-
pleci´on respecto a la medida de Lebesgue de la σ-´algebra B de los conjuntos
Borel.
Transformaciones de medibles
En esta secci´on vamos a considerar un tipo particular de transformaciones
de Rn que mantiene el car´acter medible de los conjuntos, dentro del que
se encuentran las aplicaciones de clase C1. Nosotros usaremos este hecho
posteriormente en el Cap´ıtulo 27, dedicado al cambio de variables en la
integral. Debemos se˜nalar que el car´acter medible no es una propiedad
topol´ogica, es decir no es invariante frente homeomorfismos (ver Ejercicio
20C).

5. 20.7 Conjuntos de Borel 201
Lema 20.6 Sea T : U ⊂ Rn → Rn una aplicaci´on lipschitziana, de cons-
tante k respecto de la norma · ∞. Entonces,
(a) Para todo cubo Q contenido en U se tiene que m∗(T(Q)) ≤ kn m(Q).
(b) T transforma conjuntos de medida nula en conjuntos de medida nula.
Demostraci´on. (a) Sea u0 el centro de Q y l el lado. Puesto que T es
lipschitziana,
T(u) − T(u0) ∞ ≤ k u − u0 ∞ ≤ k l/2 , ∀u ∈ Q
lo que nos indica que T(Q) est´a contenido en un cubo centrado en T(u0) y
de lado k l. Por tanto
m∗
(T(Q)) ≤ (k l)n
= kn
m(Q)
(b) Sea Z un conjunto de medida nula y V un conjunto abierto tal que
Z ⊂ V ; m(V ) < ε
Escribamos V = ∪Ck, como uni´on numerable de semicubos disjuntos. En-
tonces
m∗
(T(Z)) ≤ m∗
(T(V )) ≤ m∗
(T(Ck))
≤ kn
m(Ck) = kn
m(V ) < kn
ε.
Del car´acter arbitrario de ε se deduce ya que m∗(T(Z)) = 0.
Proposici´on 20.7 Si T : U ⊂ Rn → Rn una aplicaci´on localmente lipschit-
ziana en el abierto U, entonces la imagen por T de cada conjunto medible
es medible.
Demostraci´on. Sea B ⊂ U un conjunto medible. Por tanto B = H∪Z donde
H es un Fσ y Z un conjunto de medida nula. Es f´acil comprobar que H puede
escribirse como uni´on numerable de conjuntos compactos y por tanto T(H)
(debido a la continuidad de T) es tambi´en un conjunto Fσ. Para que T(B)
sea medible s´olo habr´a que ver que T(Z) es un conjunto de medida cero. En
efecto, consideremos para cada u del abierto U una bola abierta contenida en
U, donde T sea una aplicaci´on lipschitziana. Entonces, teniendo en cuenta
que cada subconjunto de Rn tiene la propiedad de Lindel¨of, podemos escribir
U =
∞
∪
i=1
B(ui, ri).

6. 202 Conjuntos de Borel 20.7
Si denotamos entonces por Zi = Z ∩ B(ui, ri), para que el conjunto T(Z)
sea de medida nula bastar´a con que cada uno de los conjuntos T(Zi) lo
sea. Pero esto ´ultimo es consecuencia directa del lema anterior, ya que T es
lipschitziana sobre B(ui, ri).
Corolario 20.8 Toda transformaci´on de Rn que sea lineal o de clase C1
lleva conjuntos medibles sobre conjuntos medibles.
Demostraci´on. Estas aplicaciones son localmente lipschitzianas.
Otras propiedades de m∗
Vamos a considerar en esta secci´on dos nuevas propiedades de la medida
exterior de Lebesgue: su buen comportamiento de la misma respecto al paso
al l´ımite en sucesiones crecientes de conjuntos (no necesariamente medibles)
y tambi´en respecto a la medida de un producto cartesiana de conjuntos.
Ambas propiedades las usaremos en el cap´ıtulo siguiente para obtener el
teorema caracterizaci´on de las funciones medibles.
Proposici´on 20.9 Si A1 ⊂ A2 ⊂ . . ., es una sucesi´on no decreciente de
conjuntos entonces
m∗
(∪ Ak) = lim
k→∞
m∗
(Ak)
Demostraci´on. Sean Gk, k = 1, . . ., conjuntos Gδ tales que Gk ⊃ Ak y
m(Gk) = m∗(Ak). Si la sucesi´on {Gk} fuese tambi´en creciente, se tratar´ıa
de aplicar el resultado, ya probado, de id´entica formulaci´on que el que busca-
mos, pero con conjuntos medibles. Como esto, en general, no sucede, vamos
a construir la sucesi´on
B1 =
∞
∩
j=1
Gj, B2 =
∞
∩
j=2
Gj, . . . ,
Los conjuntos {Bk} son tambi´en medibles y constituyen una sucesi´on cre-
ciente. Adem´as
Bk ⊃ Ak y m∗
(Ak) ≤ m(Bk) ≤ m(Gk) = m∗
(Ak),
luego
m∗
(∪ Ak) ≤ m(∪ Bk) = lim
k→∞
m(Bk) = lim
k→∞
m∗
(Ak) ≤ m∗
(∪ Ak).

7. 20.10 Conjuntos de Borel 203
Vamos a obtener ahora un caso particular de la f´ormula m∗(A × B) =
m∗(A)·m∗(B), concretamente aqu´el en que B es un intervalo. Ver [24] para
una demostraci´on en el caso general.
Proposici´on 20.10 Para todo conjunto A de Rn y para todo semintervalo
J de Rp se tiene que m∗(A × J) = m∗(A) · m(J).
Demostraci´on. Vamos a considerar varias etapas:
(1) Es inmediato que la f´ormula se verifica si A es un semintervalo o un
conjunto abierto.
(2) Si A, B son dos conjuntos de medida finita, entonces
m∗
(A × B) ≤ m∗
(A) · m∗
(B).
Para cada ε > 0, se pueden encontrar dos colecciones numerables de
semintervalos {Ik}, {Js} tales que
A ⊂ ∪ Ik, B ⊂ ∪ Js y m(Ik) ≤ m∗
(A) + ε, m(Js) ≤ m∗
(B) + ε
resulta entonces que A × B ⊂ Ik × Js y
k,s
m(Ik × Js) =
k,s
m(Ik) · m(Js) =
k
m(Ik)(
s
m(Js)) ≤
k
m(Ik)(m∗
(B) + ε) ≤ (m∗
(A) + ε) · (m∗
(B) + ε) =
m∗
(A) · m∗
(B) + εm∗
(A) + εm∗
(B) + ε2
.
Puesto que ε es arbitrario y los conjuntos tienen medida finita , de lo anterior
se deduce finalmente que m∗(A × B) ≤ m∗(A) · m∗(B).
(3) Si m∗(A) = 0, entonces m∗(A×B) = 0 cualquiera que sea el conjunto B.
Por la desigualdad anterior, esto es evidentemente cierto si el conjunto B
es de medida finita. En el caso de que m∗(B) = ∞, descomponiendo el
conjunto B como uni´on numerable de conjuntos Bp de medida finita, se
tendr´ıa
A × B = ∪ A × Bp
es decir A × B es una uni´on numerable de conjuntos de medida nula, luego
´el tambi´en es de medida nula.

8. 204 Conjuntos de Borel 20.10
Nota. Para que la desigualdad m∗(A × B) ≤ m∗(A) · m∗(B) tenga validez
en todo caso, s´olo habr´ıa que convenir en tomar en este contexto 0 · ∞ = 0
y α · ∞ = ∞ si α = 0.
Lema 20.11 Si A × K ⊂ U, donde K es un compacto y U un abierto,
entonces existe un abierto O tal que
A × K ⊂ O × K ⊂ U.
(4) Para cada conjunto A y cada semintervalo J, se verifica la siguiente
f´ormula m∗(A × J) = m∗(A) · m(J).
Sea U un abierto tal que
A × J ⊂ U, y m(U) ≤ m∗
(A × J) + ε
y sea O un abierto tal que A × J ⊂ O × J ⊂ U. Entonces
m∗
(A) · m(J) ≤ m(O) · m(J) = m(O) · m(J) =
m(O × J) ≤ m(O × J) ≤ m(U) ≤ m∗
(A × J) + ε.
Por el car´acter arbitrario de ε, se deduce que m∗(A) · m(J) ≤ m∗(A × J)
y, por tanto, tambi´en se da la igualdad ya que la desigualdad contraria la
hemos demostrado antes.
Que tambi´en, m∗(A × J) = m∗(A) · m(J), se obtiene del hecho de que
Z = J J es un conjunto de medida nula, se tiene que
m∗
(A × J) ≤ m∗
(A) · m(J) = m∗
(A) · m(J)(20.1)
= m∗
(A × J) ≤ m∗
(A × J) + m∗
(A × Z) = m∗
(A × J).
Observemos que para la demostraci´on de 20.1 s´olo se ha necesitado que
el conjunto Z sea de medida nula, por lo tanto la f´ormula es v´alida para J
un intervalo de cualquier tipo.
Corolario 20.12 Si L1 ⊂ Rn y L2 ⊂ Rp son conjuntos medibles entonces
el conjunto L1 × L2 es medible.
Demostraci´on. Escribiendo Li = Bi ∪ Zi, i = 1, 2, con Bi Borel y Zi de
medida nula, podemos descomponer L1 × L2 como uni´on de medibles de la
siguiente forma (ver Ejercicio 20A)
L1 × L2 = B1 × B2 ∪ B1 × Z2 ∪ Z1 × B2 ∪ Z1 × Z2.

9. 20G Conjuntos de Borel 205
Ejercicios
20A Demostrar que la σ-´algebra de Borel en Rn
est´a generada por las siguientes
familias de conjuntos: Los semintervalos, los conjuntos compactos, los conjuntos
del tipo {(x1, . . . , xn): x1 ≤ b1, . . . , xn ≤ bn}.
20B Sean X, Y espacios topol´ogicos
(a) Probar que si h es una aplicaci´on continua de X en Y entonces la contraimagen
por h de un conjunto de Borel en Y es un conjunto de Borel de Y .
(b) Utilizar que las proyecciones en un producto topol´ogico son continuas para
probar que el producto cartesiano de un conjunto de Borel de X y un conjunto
de Borel de Y es un conjunto de Borel en X × Y .
20C Sea B un abierto denso de [0, 1] tal que m(B) < 1 (por tanto m([0, 1]B) > 0).
(a) Demostrar que la aplicaci´on
ϕ(x) =
m(B ∩ [0, x])
m(B)
es un homeomorfismo de [0, 1] en [0, 1] (ver ejercicio (19C).
(b) Probar que m(ϕ(B)) = 1.
(c) Sea V un conjunto no medible contenido en [0, 1] B. Probar que ϕ(V ) es
un conjunto medible que no es un conjunto de Borel.
(d) Observar que ϕ no mantiene el car´acter medible de los conjuntos, a pesar de
ser un homeomorfismo.
20D Demostrar que si B es un conjunto medible, entonces
m(B) = sup{m(K) : K compacto ⊂ B}.
Rec´ıprocamente, si la f´ormula anterior es cierta y B es de medida finita, entonces
B es medible.
20E Probar que todo subespacio vectorial propio de Rn
es un conjunto de medida
nula de Rn
.
20F Probar que la gr´afica de toda funci´on continua f : U ⊂ Rn
→ Rp
, donde U
es un conjunto abierto, es un conjunto de medida nula. En particular, probar que
toda variedad diferenciable de Rk
de dimensi´on n < k es un conjunto de medida
nula de Rk
.
20G Probar que para un conjunto B ⊂ Rn
son equivalentes:
(a) B es medible.
(b) B × Rp
es medible.
(c) Si J es un semintervalo, B × J es medible.