1. Lógica- Formulando hipótesis y
conclusión
Prof. Kyria A. Pérez

2. Estandares de contenido y
expectativas
 G.FG.9.4.1 Establecer conjeturas basadas en la
exploracion de situaciones geometricas.
 G.FG.9.4.2 Prueba directa o indirectamente
que un enunciado matematico es cierto.
Desarrolla un contraejemplo para refutar un
enunciado invalido.
 G.FG. 9.4.3 Formula e investiga la validez del
inverso de un condicional.

3. Objetivos particulares del tema
Distinguir entre la hipótesis y la conclusión
Reconocer y establecer diferencias entre los 5
tipos de oraciones condicionales.
Establecer conclusiones verdaderas o falsas
usando los cinco tipos de oraciones condicionales.
Ser capaces de distinguir entre una declaración
matemática valida y una invalida.

4. Definiciones
 Hipotesis:
Puede definirse como una solución
provisional (tentativa) para un
problema dado. El nivel de verdad que
se le asigne a tal hipótesis dependerá de
la medida en que los datos empíricos
recogidos apoyen lo afirmado en la
hipótesis. Es una proposición que
establece Relaciones entre los hechos.
(causa)

5. Definiciones
 Conclusion:
◦ Se conoce con el término de conclusión
a toda aquella fórmula o proposición
que sea el resultado obtenido luego de
un proceso de experimentación o
desarrollo y que establezca parámetros
finales sobre lo observado. (Efecto)

6. Conclusión
 Es un enunciado que se
deriva de las premisas del
argumento, después de
aplicar algún tipo de
razonamiento.
 Si el razonamiento es
inductivo a la conclusión se
le llama conjetura
Premisas
Conclusión
Razonando inductiva o
deductivamente

7. Ejemplos de Hipotesis y conclusion
Ejemplo 1
 Hipostesis (p): Un cuadrilatero es un
rectangulo.
 Conclusion (q):Tiene cuatro ejes de simetria.
Ejemplo 2
 Hipotesis (p): Dos angulos son congruentes.
Conclusion(q): tienen la misma medida.

8. Tipos de Proposiciones
• Proposicion condicional
• Proposicion Bicondicional
• Proposicion conversa (reciproca)
• Proposicion inversa
• Proposicion contrareciproca

9. Proposicion Condicional
 Las proposiciones condicionales llevan la
conjunción condicional compuesta „si...
entonces...‟,
 Se le asigna la letra p a la hipotesis y q a la
conclusion y se escribe p → q y se lee “si p
entronces q”.
 Tambien puede tener las siguientes palabras: si‟,
„siempre que‟,„con tal que‟,„puesto que‟,„ya
que‟,„porque‟,„cuando‟,„de‟,„a menos que‟,„a no
ser que‟,„salvo que‟,„sólo si„,„solamente si‟.

10. Proposicion Condicional
 Toda proposición condicional consta de
dos elementos: causa y efecto. La
proposición que sigue a la palabra „si‟ se
llama causa y la que sigue a la palabra
„entonces‟ se denomina efecto.

11. Ejemplos de Proposiciones
condicionales
Ejemplo 1
 Si pague por el pan entonces me lo
puedo llevar a casa.
Ejemplo 2
 Si un cuadrilatero es un rectangulo,
entonces tiene cuatro ejes de simetria
Ejemplo 3
 Si dos angulos son congruentes, entonces
tienen la misma medida.

12. Proposicion Bicondicional
 Las proposiciones bicondicionales llevan la
conjunción compuesta „... sí y sólo si...‟,
 Tambien pueden llevar las siguientes
conjunciones o sus expresiones equivalentes
como „cuando y sólo cuando‟, „ si..., entonces y
sólo entonces...‟,
 Esta formada por dos proposiciones de causa y
efecto que son condicionadas una de la otra
con la caracteristica que la condicion debe
cumplirse forzozamente.

13. Proposicion Bicondicional
 La mayoria de los teoremas matematicos
son proposiciones bicondicionales ciertas.

14. Proposicion Bicondicional
Ejemplo 1
 Juan va al cine si y solo si saca 95 en
su examen de matematicas.
 p: Juan va al cine
 q: Juan saca 95 en su examen de
matematicas.
p q : Juan va al cine, si y lo si, saca 95 en
su examen de matematicas.

15. Proposicion Bicondicional
• Ejemplo 2
Si un angulo es recto entonces mide 90°.
Un angulo es recto, si y solo si, mide 90°.
• Ejemplo 3
Si un triangulo es equilatero entonces todos
sus lados son congruentes.
Un triangulo es equilatero, si y solo si, todos
sus lados son congruentes.

16. Preposicion conversa (Reciproca)
 La proposicion conversa inverte la
hipotesis y la conclusion.
 En la oracion original si la hipotesis y
conclusion son verdaderas su inversa no
tiene que serlo.

17. Proposicion conversa (Reciproca)
Ejemplos
 Ejemplo 1
◦ Proposicion Condicional (p → q ) Si una bandera es
la de Puerto Rico, entonces tiene estrella.
◦ Proposicion reciproca (q → p) Si una bandera tiene
estrella, entonces es la de Puerto Rico.
La proposicion p → q es vedadera, pero la reciproca
q → p no es verdadera, ya que existen otras
banderas diferentes a la de Puerto Rico con estrella.

18. Proposicion conversa (Reciproca)
Ejemplos
 Ejemplo 2
◦ Proposicion Condicional (p → q )
Si a ● b = 0, entonces a = 0 ó b=0
◦ Proposicion Reciproca (q → p) Si a = 0 ó
b =0, entonces a ● b = 0
Ambas preposiciones son verdaderas. (Regla
de multiplicacion por 0).

19. Proposicion inversa
 La proposicion inversa niega la
hipotesis y la conclusion.
• Se usa la conjuncion no.

20. Proposicion inversa-Ejemplos
 Ejemplo 1
◦ Proposicion condicional (p → q)
Si un vehiculo es un aereoplano, entonces el
vehiculo se construyo para volar.
• Proposicion Inversa ( ~p → ~q)
Si un vehiculo no es un aereoplano, entonces
no se construyó para volar.

21. Proposicion inversa-Ejemplos
 La proposicion si .. Entonces es
verdadera, pero no se debe suponer
que su inversa sea necesariamente
verdadera. Existen otros vehiculos
que no son aereoplanos y vuelan,
como los globos aereostaticos.

22. Proposicion inversa-Ejemplos
 Ejemplo 2
◦ Proposicion condicional (p → q)
Si una figura es un triangulo, entonces es un
poligono.
• Proposicion Inversa ( ~p → ~q)
Si una figura no es un triangulo, entonces no
es poligono.
Por definicion de poligonos esta
aseveracion no es verdadera.

23. Proposicion Contrareciproca
 La proposicion contrareciproca
inverte la hipotesis y la conclusion y
las niegas.
 Se usa la conjuncion no.

24. Proposicion Contrareciproca
Ejemplos
 Ejemplo 1
◦ Proposicion condicional (p → q)
Si se vive en San Juan, entonces se vive en
Puerto Rico.
oProposicion contrareciproca ( ~q → ~p)
Si no se vive en Puerto Rico, entonces no se
vive en San Juan,

25. Proposicion Contra reciproca
Ejemplos
 Si la proposicion si… entonces es
verdadera, se puede suponer que su
contra reciproca tambien es
verdadera.
San Juan es la capital de Puerto Rico.

26. Proposicion Contra reciproca
Ejemplos
 Ejemplo 2
◦ Proposicion condicional (p → q)
Si dos angulos son rectos, entonces son
congruentes.
• Proposicion contrareciproca ( ~q → ~p)
Si dos angulo no son congruentes, entonces
los dos angulos no son rectos.
Condicion de angulos rectos – medida de
90°.

27. Repaso para examen-Ejemplo 1
◦ Proposicion condicional (p → q)
Si dos angulos son rectos, entonces son
congruentes.
 Proposicion Bicondicional (p q )
◦ Dos angulos son rectos, si y solo si son congruentes.
• Proposicion conversa (q → p)
• Si dos angulos son congruentes entonces
los angulos son rectos.

28. Repaso para examen-Ejemplo 1
 Proposicion Inversa ( ~p → ~q)
◦ Si dos angulos no son rectos, entonces no
son congruentes.
◦ Proposicion contrareciproca ( ~q → ~p)
• Si dos angulos no son congruentes entonces
los angulos no son rectos.

29. Repaso para examen-Ejemplo 2
 Proposicion condicional (p → q)
◦ Si bebes entonces no puedes conducir.
• Proposicion Bicondicional (p q )
• Bebes, si y solo si, no puedes conducir.
• Proposicion conversa (q → p)
• Si no conduces entonces puedes beber.

30. Repaso para examen-Ejemplo 2
 Proposicion Inversa ( ~p → ~q)
◦ Si no bebes entonces puedes conducir
• Proposicion contrareciproca ( ~q → ~p)
• Si conduces entonces no puedes beber.

31. Repaso para examen-Ejemplo 3
 Proposicion condicional (p → q)
◦ Si dos angulos son suplementarios entonces la suma
de sus medidas son 180°.
• Proposicion Bicondicional (p q )
• Dos angulos son suplementarios, si y solo si, la suma
de sus medidas son 180°.
• Proposicion conversa (q → p)
• Si la suma de las medidas de dos angulos es 180°
entonces los angulos son suplementarios,

32. Repaso para examen-Ejemplo 3
 Proposicion Inversa ( ~p → ~q)
◦ Si dos angulos no son suplementarios
entonces la suma de sus medidas no son 180°.
• Proposicion contrareciproca ( ~q → ~p)
◦ Si la suma de las medidas de dos angulos no
es 180° entonces los angulos no son
suplementarios,