1. UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN
ESCUELA PROFESIONAL DE ODONTOLOGÍA
Matemática y Lógica
Lógica proposicional
Melecio Paragua Morales
paraguamorales@gmail.com
2. Lógica proposicional
Es una rama de la lógica clásica que estudia las proposiciones, sus
posibles valores de verdad y en el caso ideal, su nivel absoluto de verdad.
Enunciado: Es toda frase u oración.
Ejemplos:
Lima es la capital del Perú.
El doble de 3 es 5.
¿Qué hora es?
¡Auxilio!
x + 2 = 7
(x)(x) + 2
3. Enunciado abierto
Es aquel que presenta variables y que en sí mismo no es ni verdadero ni falso,
pero que al asignarle un valor a aquellas, resulta ser verdadero o falso, pero no ambos.
Se abrevia por E.A.
Un enunciado será verdadero (o falso) si lo que afirma coincide (o no) con la realidad.
Ejemplos:
Él se fue a Lima
Es un E.A pues no se indica quién es él. Aquí, el pronombre “Él” actúa como variable.
Ejemplo, si “Él” se refiera a Luis, el enunciado sería “Luis se fue a Lima”, el enunciado
será verdadero o falso dependiendo si Luis se ha ido a Lima o no.
x + 2y = 7
Es un E.A pues si x = 2 y, y = 3 el enunciado se convierte en la proposición: 2 + 2(3) = 7 la
cual es, en los números reales, falsa.
4. Enunciado cerrado
Es toda definición.
Por ello, su valor de verdad es siempre verdadero, pues así se ha convenido. También
son enunciados cerrados aquellos cuya verdad se aceptan sin demostración.
Ejemplo
El seno de un ángulo agudo es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Es un enunciado cerrado.
El triángulo no es un polígono de tres lados.
No es un enunciado cerrado por dos razones: No es una definición y no es una
proposición simple.
El triángulo es un polígono de tres lados
Es un enunciado cerrado. Se trata de la definición de triángulo.
5. Proposiciones lógicas
Son aquellas expresiones u oraciones que pueden ser calificadas
como verdaderas o como falsas, sin ambigüedades. Son denotadas
con letras minúsculas: p, q, r, s, t, etc.
A la veracidad o falsedad de una proposición se le denomina valor
de verdad.
6. Ejemplos de proposición lógicas
Es un enunciado que tiene la propiedad de ser verdadero o falso, pero no ambas.
Ejemplo
Todos los peruanos son demócratas
Es una proposición universal (artículo: todos) y afirmativa (verbo está afirmado).
Algunos osos comen carne
Es una proposición particular (artículo algunos) y afirmativa (el oso panda es herbívoro).
Miguel Grau murió en el combate de Abtao
Es una proposición singular (Miguel Grau es nombre propio) y afirmativa.
Ío es un satélite de Júpiter
Es una proposición singular y afirmativa.
La Luna no es un planeta
Proposición singular (la es artículo singular) y negativa.
7. Más proposiciones y no proposiciones
p: Lima es la capital del Perú Verdadero (V)
q: 17 – 6 = 10 Falso (F)
La UNHEVAL es una universidad privada. Falso (F)
Expresiones que no son proposiciones lógicas.
Buenos días. No posee valor de verdad/No está definido.
No faltes. No posee valor de verdad/No está definido.
¿Quién llamó por teléfono? No posee valor de verdad/No está definido.
¡Ingresa a la universidad! No posee valor de verdad/No está definido
8. Términos de enlace o conectores
Son aquellos términos que sirven para enlazar una o más
proposiciones y así formar otras más complejas. Son los
siguientes:
La negación “no” “¬“
El conjuntivo “y” “ʌ“
El disyuntivo “o” “V“
La implicancia “si…entonces…” “→”
La bicondicional “si y sólo si ….” “↔”
9. CLASES DE PROPOSICIONES
Simples o atómicas
Son aquellas que se pueden representar por una sola variable; es
decir, por una sola letra.
p: Mariella tiene 20 años.
q: 5 x 5 = 25
r: El gato es negro.
s: Es de raza persa.
10. Proposiciones compuestas o moleculares
Son aquella que se pueden representar por lo menos por una variable y
algún o algunos de los símbolos que representan a las palabras siguientes:
No (¬)
Implica (→)
O (V)
Y (Ʌ)
Si y sólo si (↔)
O bien p o bien q (Δ)
Ejemplo: No aprobé el curso de matemática. (¬ p)
Hoy es sábado y mañana domingo (p Ʌ q)
11. La negación
Dada una proposición p, se denomina la negación de p, a otra
proposición denotada por ¬ p, y que le asigna el valor de verdad
opuesto al de p.
¬ p se lee: “no p”; “no es cierto que p”
p
¬
¬p
V F
F V
12. Ejemplos: afirmación y negación
Proposiciones lógicas
Valor de
verdadExpresión
simbólica
Lenguaje natural
p: 3 x 4 = 12 V
q: Visual Basic 6.0 no es un lenguaje de programación F
¬ p: No es cierto que 3 x 4 = 12 F
¬ q Visual Basic 6.0 es un lenguaje de programación V
13. Disyunción
Se denota “p V q” y se lee “p o q”.
Es una proposición compuesta por la proposición p y la proposición q, relacionadas
por la palabra “o”.
Está definida como: “La proposición p V q es FALSA únicamente en el caso en
que p y q son ambas falsas; en cualquier otro caso es verdadera”
p q p V q
V V V
V F V
F V V
F F F
15. Conjunción
Se denota “p ʌ q” y se lee “p y q”.
Es una proposición compuesta por la proposición p y la proposición q, relacionadas por la palabra “y”.
Está definida como: “La proposición p ʌ q es VERDAERA únicamente en el caso en que p y q son
ambas verdaderas; en cualquier otro caso es falsa”
p q p ʌ q
V V V
V F F
F V F
F F F
17. Condicional
Se denota “p → q” y se lee “Si p entonces q”.
Es una proposición compuesta por la proposición p y la proposición q, relacionadas por la palabra
“Si…entonces…”.
Definición: “La proposición p → q es FALSA únicamente en el caso en que la proposición p es
verdadera y q es falsa; en cualquier otro caso es falsa”
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
19. Bicondicional
Se denota “p ↔ q” y se lee “p si y solo si q”.
“Es una proposición que es VERDADERA en los casos en que ambas tengan valores de verdad
iguales (ambas verdaderas o ambas falsas); es FALSA en los casos que p y q tengan valores de
verdad opuestos”
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
21. Disyunción exclusiva
Se denota “p Δ q” y se lee “O bien p o bien q”.
“Es una proposición que es VERDADERA en los casos en que ambas
proposiciones p y q tengan valores de verdad opuestos, y es falsa si ambas tienen
idénticos valores de verdad”
p q p Δ q
V V F
V F V
F V V
F F F
23. Proposiciones compuestas: Ejemplo con uso de los conectivos lógicos
p q r ¬ p (¬ p) V q r ʌ q [(¬ p) V q] → (r ʌ p)
V V V F V V V
V V F F V F F
V F V F F V V
V F F F F F V
F V V V V F F
F V F V V F F
F F V V V F F
F F F V V F F
24. Tautología
A toda proposición simple o compuesta cuyo valor es siempre verdadero para
cualquier combinación de sus valores de verdad de sus componentes, se le
llama tautología y se le denota siempre por V.
p q ¬ p ¬ q (¬ p) V q [((¬ p) V q) ʌ ¬ q] → ¬ p
V V F F V F V F
V F F V F F V F
F V V F V F V F
F F V V V V V F
25. Contradicción
A toda proposición simple o compuesta cuyo valor es siempre falso para todas las
combinaciones de los valores de verdad de sus componentes, se le llama contradicción y
se le denota siempre por F.
p q ¬ q p ʌ q (p ʌ q) V q [(p ʌ q) V q] → ¬ p
V V F V V F
V F V F F F
F V F F V F
F F V F F F
26. Contingencia: Una proposición simple o compuesta cuya tabla de verdad contiene al
menos un V y al menos un F recibe el nombre de contingencia.
p q r ¬ p ¬ p V q r ʌ p (¬ p V q) → (r ʌ p)
V V V F V V V
V V F F V F F
V F V F F V V
V F F F F F V
F V V V V F F
F V F V V F F
F F V V V F F
F F F V V F F
27. Proposiciones lógicamente equivalentes: Dos proposiciones p y q se llaman
equivalentes, si sus tablas de verdad son idénticas.
En cuyo caso se simboliza: p ≡ q. Ejemplo:
p q ¬ p ¬ q p → q ¬ q → ¬ p
V V F F V V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V
28. Ejercicios
1. El teclado es un dispositivo de entrada. (p)
2. El curso de Física es teórico y práctico.
3. Ana y Pedro estudian en la UNHEVAL, entonces son parte de la comunidad universitaria.
4. Construya proposiciones compuestas con: p: 8 es un número par; q: 8 es el producto de dos enteros.
5. Traducir en símbolos cada una de las siguientes proposiciones:
8 es un número para o es un producto de dos enteros.
8 es impar y es un producto de dos enteros.
8 es par y un producto de dos enteros o es un número impar y no un producto de dos enteros.
6. Sean p, q y r tres proposiciones tales que p es verdadera, q es falsa y r es falsa. Indica cuáles de las
siguientes proposiciones son verdaderas:
a) (p V q) V r b) ¬ p V (q ʌ r)