1.- Se llevó a cabo un experimento para determinar el grado en que la habilidad de pensamientopara llevar a cabo determina...
Valor crítico:Criterios de rechazoRechazar         cuando                    Por lo tanto, como                       , no...
Si el tamaño máximo de error tipo I es de 0,05 ambos,                                  , cumplen. Sedeterminará cuál de es...
3.- Un contratista ordena un gran número de vigas de acero con longitud promedio 5 metros. Sesabe que la longitud de una v...
4. Una organización gubernamental desea controlar el impacto de las políticas aplicadas sobe ladiscapacidad a través del f...
5.- Úsese la estadística de Kolgomorov Smirnov para probar la hipótesis nula de que los datos de latabla adjunta, se encue...
La estadística de Kolmogorov-Smirnov se define comoDe la tabla de Kolmogorov-Smirnov, se busca el valor crítico de   para ...
Número       Frecuencia Frecuencia Probabilidad          Frecuencia       de goles     observada    relativa    teórica   ...
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  1. 1. 1.- Se llevó a cabo un experimento para determinar el grado en que la habilidad de pensamientopara llevar a cabo determinada tarea. Se seleccionaron al azar diez personas de distintascaracterísticas y se les pidió que participaran en el experimento. Después de proporcionales lainformación pertinente, cada persona llevo a cabo sin nada de alcohol en su organismo. Entonces,la tarea volvió a llevarse a cabo, después de que cada persona había consumido una cantidadsuficiente de alcohol para tener un contenido en su organismo de 0,1%.a) Discutir los aspectos importantes de control que el experimentador debe considerar al llevar acabo el experimento.Se debe suponer que existe una distribución normal e independiente entre cada variable siendo X1(antes) y X2 (después), considerar si las varianzas son: conocidas, iguales pero desconocidas odesiguales y reflexionar sobre el tamaño de la muestra. Para el experimentador también esimportante saber el nivel de confianza con el cual va a trabajar.b) supóngase que los tiempo “antes y “después” (en minutos) de los diez participantes son lossiguientes: Participante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Antes X 28 22 55 45 32 35 40 25 37 20 Después Y 39 45 67 61 46 58 51 34 48 30¿Puede concluir a un nivel de α=0,05 que el tiempo promedio “antes” es menor que el tiempo“después” por más de diez minutos?Criterios de rechazo para la prueba de hipótesis respecto a las medias de dos distribucionesnormales e independientes con varianzas iguales pero desconocidas.SeaValor de estadístico de prueba bajo
  2. 2. Valor crítico:Criterios de rechazoRechazar cuando Por lo tanto, como , no se rechaza lahipótesis nula con un nivel de significancia de 0,05%. En el contexto del problema, no existeevidencia estadística suficiente para rechazar es decir, el tiempo promedio “antes” no esmenor que el tiempo “después” por más de diez minutos.2. La cantidad promedio que se coloca en una botella en un proceso de llenado es de 20 . Enforma periódica, se recogen al azar 25 botellas y el contenido de cada una de ellas se pesa. Sejuzga al proceso como fuera de control cuando la media muestral es menor o igual a 19,8 omayor o igual a 20,2 . Se supone que la cantidad que se vacía en cada botella tiene distribuciónnormal con desviación estándar 0,5 .a) Enunciar las hipótesis nula y alternativa que son propias para esta situación.b) Obtenga la probabilidad de error tipo I (α).c) Como prueba alternativa considere el rechazo de cuando o cuando . Siel tamaño máximo de error tipo I es de 0,05 ¿Cuál de las dos pruebas es mejor?Solución:a) Se tienen las hipótesis : Proceso fuera de control : Proceso no fuera de controlb) La probabilidad de cometer el error tipo I es el de nivel de significancia α:c) Obtenemos el nivel de significancia α nuevamente:
  3. 3. Si el tamaño máximo de error tipo I es de 0,05 ambos, , cumplen. Sedeterminará cuál de estas dos tiene el tamaño más pequeño para el error tipo II.Queremos obtener el intervalo, es decir:De la misma manera calculamos el otro para la otra pruebaDe esta forma, la probabilidad de que la prueba 1 se equivoque al rechazar la hipótesis nula deque el proceso es fuera de control es de . Y la correspondiente probabilidad para la prueba2 es de . Para este valor particular de la hipótesis alternativa, la prueba 1 es mejor que la 2.Al comparar las pruebas 1 y 2, tolerando un tamaño de error de tipo I hasta de 0,05, entonces laprueba 1 es mejor que la 2 debido a que sus probabilidades son, de manera uniforme, máspequeñas que las de la prueba 2.
  4. 4. 3.- Un contratista ordena un gran número de vigas de acero con longitud promedio 5 metros. Sesabe que la longitud de una viga se encuentra normalmente distribuida con una desviaciónestándar de 0,02 (*) metros. Después de recibir el pedido, el contratista selecciona 16 vigas al azary mide sus longitudes. Si la media muestral tiene un valor más pequeño que el esperado, setomará la decisión de enviar de vuelta el pedido al fabricante.(*)En el libro sale 0,02. Ver “Probabilidad y estadística de George Canavos” página 355 ejercicio9.12a) Si la probabilidad de rechazar un embarque bueno es de 0,04. ¿Cuál debe ser el valor de lamedia muestral para que el embarque sea regresado al fabricante?Sean las hipótesis:Se interpola el valor de la probabilidad 0,0401 y 0,0392 de la tabla de distribución normal, por loque da un Z=-1,758b) Si la longitud promedio real es de 4,98 metros, ¿Cuál es la potencia de la prueba del inciso a?La función potencia es
  5. 5. 4. Una organización gubernamental desea controlar el impacto de las políticas aplicadas sobe ladiscapacidad a través del fondo de ayuda a la discapacidad FONADIS. Se desea estudiar la variableI: Índice de discapacidad. Para medir la variable I, se aplica una encuesta y se construye el índiceen base a las respuestas de cada persona encuestada. El índice varía ente 0 y 10 y valores sobre 7son aceptables. Para estimar la varianza se tomó una premuestra y se obtuvo una varianza de 4puntos. Suponiendo distribución normal y un error absoluto de una unidad y para un valor deerror tipo I (α), obtenga el tamaño mínimo de muestra.SoluciónSeaCalculamos el tamaño de muestra requerido para un α. Dado que se sabe queSuponiendo distribución normalLuego,El valor de error tipo I (α) depende el experimentador, nos damos cuenta que a medida queaumenta el nivel de confianza, aumenta el tamaño de la muestra. 10,8241 15,3664 20,0704 26,5225 31,5844
  6. 6. 5.- Úsese la estadística de Kolgomorov Smirnov para probar la hipótesis nula de que los datos de latabla adjunta, se encuentran normalmente distribuida con media 50 y desviación estándar 10.Úsese α = 0,05. Tabla de demandas diarias de un producto 38 35 76 58 48 59 67 63 33 69 53 51 28 25 36 32 61 57 49 78 48 42 72 52 47 66 58 44 44 56Solución:Considérese la prueba de la siguiente hipótesis nula:Donde es la función de distribución normal con media 50 y desviación estándar 10 y seobtiene con Para lo cual se debe ordenar los datos y calcular queinvolucra un incremento de 1/30 = 0,0334 al valor previo de la distribución muestral. Recordar que se define como: Valores Valores ordenados ordenados 38 0,0333 0,1151 0,0817 52 0,5333 0,5793 0,0459 25 0,0667 0,0062 0,0605 53 0,5667 0,6179 0,0512 28 0,1000 0,0139 0,0861 56 0,6000 0,7257 0,1257 32 0,1333 0,0359 0,0974 57 0,6333 0,7580 0,1247 33 0,1667 0,0446 0,1221 58 0,6667 0,7881 0,1215 35 0,2000 0,0668 0,1332 58 0,7000 0,7881 0,0881 36 0,2333 0,0808 0,1526 59 0,7333 0,8159 0,0826 42 0,2667 0,2119 0,0548 61 0,7667 0,8643 0,0977 44 0,3000 0,2743 0,0257 63 0,8000 0,9032 0,1032 44 0,3333 0,2743 0,0591 66 0,8333 0,9452 0,1119 47 0,3667 0,3821 0,0154 67 0,8667 0,9554 0,0888 48 0,4000 0,4207 0,0207 69 0,9000 0,9713 0,0713 48 0,4333 0,4207 0,0126 72 0,9333 0,9861 0,0528 49 0,4667 0,4602 0,0065 76 0,9667 0,9953 0,0287 51 0,5000 0,5398 0,0398 78 1,0000 0,9974 0,0026
  7. 7. La estadística de Kolmogorov-Smirnov se define comoDe la tabla de Kolmogorov-Smirnov, se busca el valor crítico de para α = 0,05 el cual es 0,24.Dado que 0,1526 < 0,24, no puede rechazarse la hipótesis nula que dice que las demandas diariasde un producto se encuentra normalmente distribuidas con N(50,10).6. Se supone que el número de goles por partido en la competencia de fútbol nacional siguen unadistribución de Poisson. Los datos son los siguientes. Aplique el test chi cuadrado para determinarla validez de este supuesto. Número de goles por partido Frecuencia observada 0 33 1 101 2 105 3 108 4 59 5 23 6 10 7 2Solución:Dado que el valor del parámetro de Poisson λ no se especifica, se obtiene el estimado de máximaverosimilitud de λ con base a la información. El valor de λ se obtiene sumando los productoscorrespondientes al número de goles por partido y su frecuencia relativa. Es decir,*Hay que considerar que después de 7 goles es casi nula la probabilidad.
  8. 8. Número Frecuencia Frecuencia Probabilidad Frecuencia de goles observada relativa teórica esperada por partido 0 33 0,0748 0,0904 39,9 1,19 1 101 0,2290 0,2173 95,8 0,28 2 105 0,2381 0,2611 115,1 0,89 3 108 0,2449 0,2092 92,3 2,67 4 59 0,1338 0,1257 55,4 0,23 5 23 0,0522 0,0604 26,7 0,51 6 10 0,0227 0,0242 10,7 0,05 7* 2 0,0045 0,0117 5,2 1,97 441 1 441 7,79Prueba de hipótesis:Para k = 8 categorías y con un parámetro estimado el número de grados de libertad es 6. Para el valor crítico es . Dado que 7,79 , no puederechazarse la hipótesis nula de que el número de goles por partido en la competencia de fútbolnacional siguen una distribución de Poisson.7. Suponga que Ud. Desea probar la hipótesis:Por medio de un solo valor que se observa en una variable aleatoria con densidad de probabilidad . Si el tamaño máximo del error tipo I que puede tolerarse esde 0,15 ¿Cuál de las siguientes pruebas es la mejor para escoger entre las dos hipótesis? a) Rechazar b) Rechazar c) RechazarSolución:a) La probabilidad de cometer el error tipo I es el de nivel de significancia α:
  9. 9. a) La probabilidad de cometer el error tipo I es el de nivel de significancia α:b) La probabilidad de cometer el error tipo I es el de nivel de significancia α:Por lo tanto, como puede tolerarse hasta 0,15 la alternativa a) se elimina, se calcula el error detipo II.De esta forma, la probabilidad de que la prueba b se equivoque al rechazar la hipótesis nula . Y la correspondiente probabilidad para la prueba c es de . Para este valorparticular de la hipótesis alternativa, la prueba b es mejor que la c.Al comparar las pruebas a, b y c, tolerando un tamaño de error de tipo I hasta de 0,15, entonces laprueba b es mejor que la c debido a que sus probabilidades son, de manera uniforme, máspequeñas que las de la prueba c.

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