2. Prólogo
Cuando un alumno cursa una asignatura, en este caso, Ecuaciones Diferenciales, lo
que se espera básicamente de él es, primero, que logre una comprensión adecuada de los
conceptos centrales de la asignatura y segundo, que sea capaz de aplicar este conocimiento
a la resolución de problemas.
Para alcanzar el primer objetivo se espera que un buen estudiante asista y participe
regularmente en las clases llamadas de cátedra y consulte los muy buenos textos que tiene a
disposición en la biblioteca. Sin embargo, muchas veces las técnicas que se usan en la
resolución de los problemas mismos no son claras para el alumno y se le dificulta alcanzar
el segundo objetivo, pues los textos generalmente ponen el énfasis en los conceptos y los
problemas resueltos que contienen son más bien simples.
Este texto está pensado como una herramienta que ayude al alumno que ya ha
estudiado y entendido un tema dado, a que logre una destreza adecuada en la resolución de
problemas y sus aplicaciones. Por lo mismo, cada tema contiene al principio solo un
resumen de las definiciones y teoremas más importantes, y luego, una cantidad de
problemas de diversos grados de dificultad, muchos de los cuales se han propuesto en
alguna prueba o examen de la asignatura en semestres anteriores. Finalmente, incluimos
una selección de preguntas de alternativa.

3. Indice
IÞ  Ecuaciones de primer orden ................................................................................... "
Problemas resueltos .................................................................................... 6
IIÞ  Aplicaciones de ecuaciones de primer orden ....................................................... 19
Problemas resueltos .................................................................................. #1
IIIÞ  Ecuaciones de orden superior ............................................................................... 39
Problemas resueltos .................................................................................. 48
IVÞ  Sistemas de ecuaciones .......................................................................................... 83
Problemas resueltos ................................................................................... 87
VÞ  Transformada de Laplace ..................................................................................... 105
Problemas resueltos .................................................................................. "09
VI.  Prueba de Alternativas ......................................................................................... 130

4. ECUACIONES DIFERENCIALES
DE PRIMER ORDEN
Definición.
Una ecuación diferencial es cualquier relación en la que interviene una o más variables
dependientes y alguna(s) de sus derivadas con respecto a una o más variables
independientes.
Una ecuación diferencial es una Ecuación Diferencial Ordinaria si en ella intervienen
sólo derivadas de funciones de una variable. De lo contrario, decimos que la ecuación
diferencial es una Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales.
El orden de una ecuación diferencial está dado por la derivada de orden más alto que
aparezca en ella.
Una ecuación diferencial ordinaria de orden 8 se representa mediante la identidad
J ÐBß Cß C w ß á ß C Ð8Ñ Ñ œ !Þ
Solución ( o integral) de una ecuación diferencial ordinaria.
Una función real C œ :ÐBÑ con al menos 8 derivadas definida en un intervalo M es una
solución explícita de la ecuación J ÐBß Cß C w ß á ß C Ð8Ñ Ñ œ ! en M si y sólo si
J ÐBß :ÐBÑß :w ÐBÑß á ß :Ð8Ñ ÐBÑÑ œ !.
Una relación KÐBß CÑ œ ! es una solución implícita de la ecuación
J ÐBß Cß C w ß á ß C Ð8Ñ Ñ œ ! en M si y sólo si existe al menos una función C œ :ÐBÑ que
satisface la relación K y la ecuación diferencial en M .
Por lo general una solución de una ecuación diferencial tiene una o más constantes
arbitrarias, tantas como indique el orden de la ecuación, es decir, es una familia 8-
paramétrica de soluciones. Cuando damos un valor a las constantes obtenemos una
solución particular de la ecuación. Si toda solución de la ecuación se obtiene asignando
valores a las constantes de la familia 8-paramétrica, decimos que ella es la solución
general de la ecuación. Una solución singular es una solución de la ecuación diferencial
que no puede obtenerse asignándole valores a las constantes de la familia 8-paramétrica de
soluciones.
1

5. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
Definición.
Un Problema de valor inicial (P.V.I.) es una ecuación diferencial para la cual se
especifican los valores e la función y algunas de sus derivadas en cierto punto llamado
punto inicial. Un Problema de contorno o de frontera es una ecuación diferencial en la
cual se dan valores por lo menos para dos puntos de la función o alguna de sus derivadas.
P.V.I. de primer orden. Existencia y unicidad de las soluciones. Teorema de Picard.
Si 0 ÐBß CÑ y 0C ÐBß CÑ son funciones de dos variables continuas sobre un rectángulo cerrado
V , entonces por cada punto ÐB! ß C! Ñ del interior de V pasa una y sólo una curva integral (o
curva solución) de la ecuación Cw œ 0 ÐBß CÑÞ
Variables Separables.
Toda ecuación que se puede escribir de la forma 1ÐCÑ .C œ 2ÐBÑ .B se resuelve por
integración directa.
Ecuaciones exactas.
Sean Q y R funciones de dos variables continuas y con primeras derivadas parciales
continuas en una región abierta V del plano ] .
Toda ecuación de la forma Q ÐBß CÑ.B  R ÐBß CÑ.C œ ! es una ecuación exacta si y sólo si
existe una función de dos variables J tal que JB ÐBß CÑ œ Q ÐBß CÑ y JC ÐBß CÑ œ R ÐBß CÑ.
Una ecuación es exacta si y sólo si QC ÐBß CÑ œ RB ÐBß CÑÞ
J ÐBß CÑ œ ' Q ÐBß CÑ.B  1ÐCÑ œ ' R ÐBß CÑ.C  2ÐBÑÞ
La solución de la ecuación diferencial exacta está dada por J ÐBß CÑ œ G , donde
Factor Integrante.
Si una ecuación no es exacta, a veces es posible transformarla en exacta multiplicando por
un factor adecuado, que llamamos Factor Integrante, .ÐBß CÑ. En tal caso, debe cumplirse:
.C Q  .B R œ .ÐRB  QC Ñ
2

6. Ecuaciones Diferenciales de primer orden
/' 2ÐBÑ.B , donde 2ÐBÑ œ R ÐQC  RB Ñ.
Caso 1: Si . es una función que sólo depende de B, entonces el Factor Integrante es
"
' 2ÐCÑ.C
Caso 2: Si . es una función que sólo depende de C , entonces el Factor Integrante es
"
/ , donde 2ÐCÑ œ Q ÐRB  QC Ñ.
'
Caso 3: Si ?ÐBß CÑ œ 1ÐDÑß con D œ B  Cß entonces el Factor Integrante es / 2ÐDÑ.D ,
R Q
donde 2ÐDÑ œ Q RC Þ
B
'
Caso %: Si ?ÐBß CÑ œ 1ÐDÑß con D œ B  Cß entonces el Factor Integrante es / 2ÐDÑ.D ,
Q R
donde 2ÐDÑ œ Q RB Þ
C
'
Caso &: Si ?ÐBß CÑ œ 1ÐDÑß con D œ B † Cß entonces el Factor Integrante es / 2ÐDÑ.D , donde
B C R Q
2ÐDÑ œ BQ CR Þ
Ecuaciones lineales.
Una ecuación lineal de primer orden es de la forma Cw  T ÐBÑ C œ UÐBÑ, con T y U
CÐBÑ œ /' T ÐBÑ.B ÐG  ' UÐBÑ /' T ÐBÑ.B .BÑ
funciones continuas en un intervalo abierto de ‘. Su solución es:
Ecuaciones de coeficientes homogéneos.
Una ecuación diferencial de la forma Q ÐBß CÑ .B  R ÐBß CÑ .C œ ! se dice (de
coeficientes) homogénea(os) si existe un número real ! tal que Q Ð!Bß !CÑ œ !8 Q ÐBß CÑ y
R Ð!Bß !CÑ œ !8 R ÐBß CÑ.
En este caso, se hace la sustitución C œ ?B, obteniéndose la ecuación de variables
separables:
.B R Ð"ß?Ñ .?
B œ Q Ð"ß?Ñ?R Ð"ß?Ñ
Ecuación de Bernoulli.
Una ecuación diferencial de la forma Cw  T ÐBÑC œ UÐBÑC 8 ß 8 − ‘ y T y U funciones
continuas en un intervalo abierto de ‘, se conoce como ecuación de Bernoulli. La
sustitución D œ C "8 transforma la ecuación en una ecuación lineal y su solución es:
C Ð"8Ñ œ /' Ð"8ÑT .B ÐG  ' Ð"  8ÑU /' Ð"8ÑT .B .BÑ
3

7. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
Ecuaciones de la forma C w œ 0 Ð+B  ,C  -ÑÞ
Mediante la sustitución D œ +B  ,C  - la ecuación se transforma en una ecuación de
variables separables y su solución es:
.D
.B œ , 0 ÐDÑ+
Ecuaciones de la forma Cw œ 0 Š +" B," C-" ‹Þ
+ B, C-
# # #
Caso 1: Si -" œ -# œ ! la ecuación es de coeficientes homogéneos.
Caso 2: Si +" ,# œ +# ," , se obtiene +# B  ,# C œ 5Ð+" B  ," CÑ por lo que la ecuación se
transforma en una ecuación de la forma Cw œ 1Ð+" B  ," CÑÞ
Caso 3: Si +" ,# Á +# ," se utiliza la sustitución ? œ B  2ß @ œ C  5 , donde 2 y 5 se
obtienen resolviendo el sistema:
+ " 2  ," 5  - " œ !
+ # 2  ,# 5  - # œ !
Mediante la sustitución dada se obtiene una ecuación de la forma .? œ 0 Š +" ?," @ ‹ que
.@ + ?, @
# #
es una ecuación de coeficientes homogéneos.
Ecuación de Riccati.
Una ecuación de la forma Cw  T ÐBÑC  UÐBÑC #  VÐBÑ œ ! con T ß U y V funciones
continuas en un intervalo abierto de ‘, se conoce como ecuación de Riccati. Si se conoce
una solución particular C" ÐBÑ de esta ecuación, la sustitución C œ C"  " , transforma la
D
ecuación original en la ecuación lineal:
D w  ÐT ÐBÑ  #C" UÐBÑÑD œ UÐBÑ
La sustitución Cw œ :Þ
Hay varias maneras en que esta sustitución puede ser útil. A veces, permite transformar la
ecuación diferencial en una ecuación algebraica a la cual es posible encontrar sus raíces.
Esto generalmente lleva a resolver varias ecuaciones diferenciales más sencillas, todas ellas
solución de la ecuación diferencial original.
En otros casos, la sustitución Cw œ : permite cambiar las variables involucradas derivando
con respecto a Bß C o : según convenga. Ver, por ejemplo, el problema 18.
4

8. Ecuaciones Diferenciales de primer orden
Ecuación de Clairaut.
Una ecuación de Clairaut es una ecuación diferencial de la forma C œ BC w  0 ÐC w Ñ. Su
solución general es C œ -B  0 Ð-Ñ. Haciendo la sustitución C w œ :, se obtiene la solución
singular de la ecuación de Clairaut:
œ B œ  0 w Ð:Ñ
C œ  :0 w Ð:Ñ  0 Ð:Ñ
Sustituciones usando diferenciales.
A veces es posible usar fórmulas diferenciales conocidas para encontrar una sustitución
adecuada para resolver una ecuación diferencial. Algunas de estas fórmulas diferenciales
son:
.ÐB  CÑ œ .B  .C .ÐBCÑ œ C .B  B .C
C .BB .C
.Ð B Ñ œ
C C# .ÐB#  C # Ñ œ #B .B  #C .C
C .BB .C C .BB .C
.Ð+<->+8Ð B ÑÑ œ
C B# C # .Ð68Ð B ÑÑ œ
C BC
5

9. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
Ejercicios resueltos
"Þ  Resolver el P. V. I. C  BC w œ +Ð"  B# C w Ñß CÐ"Ñ œ #+Þ
.C
.B
Ordenando la ecuación tenemos C+ œ B+B# y usando fracciones parciales:
.C 1 +
C+ œ Ð B  +B" Ñ.BÞ
Esta es una ecuación de variables separables, por lo que integrando obtenemos:
68ÐC  +Ñ œ 68 B  68Ð+B  "Ñ  68 G
B
Usando las propiedades del logaritmo: C  + œ G +B" Þ
Reemplazando las condiciones iniciales, G œ +Ð+  "Ñ.
BÐ#+# +Ñ+
Así, la solución del P.V.I. es CÐBÑ œ +B" .
#Þ  Resolver la ecuación ÐB  #C  %Ñ  Ð#B  C  #ÑC w œ !.
#CB%
Reoordenando la ecuación tenemos: Cw œ #BC# .
› , obtenemos B œ !ß
B  #C  % œ !
Intersectando las dos rectas involucradas
#B  C  # œ !
C œ #, por lo que hacemos la sustitución ? œ B ß @ œ C  #, y obtenemos la
.@ #@?
ecuación homogénea: .? œ #?@ ,
.? #D
Mediante la sustitución @ œ D?ß tenemos ? œ D # " .Dß e integrando por
fracciones parciales obtenemos:
" ¸
# 68 D  "¸  $ 68¸D  "¸ œ 68 ?  68 G .
#
Utilizando las propiedades de logaritmo, Ê D" $ œ G?Þ
aD"b
Así, la solución en las variables iniciales es : Ê ÐC#BÑ$ œ GBÞ
B# C#B# B$
6

10. Ecuaciones Diferenciales de primer orden
.C C Ð68 C  68B  "Ñ
$Þ  Resolver el P.V.I. .B œ B ß CÐ"Ñ œ /Þ
Sea C œ ? B. Entonces, C w œ ?w B  ?Þ
Reemplazando, ?w B  ? œ ?Ð68 ?  "Ñ, es decir ?w B œ ? 68 ?Þ
Se trata de una ecuación de variables separables, por lo que escribimos:
.? .B
? 68 ? œ B .
Integrando, 68Ð68 ?Ñ œ 68 B  68G Ê 68 ? œ G B Ê 68 C œ G B  68 BÞ
Como CÐ"Ñ œ /ß tenemos que G œ " .
Así, la solución del P.V.I. es: C œ B /B Þ
Otra forma de resolver este problema es escribir la ecuación como:
C
C Ð68 Ð B Ñ  "Ñ.B  B.C œ !
y mostrar que se trata de una ecuación homogénea (pues Q y R son funciones
homogéneas de grado 1). Entonces Q Ð"ß ?Ñ œ ?Ð68 ?  "Ñ y R Ð"ß ?Ñ œ  "Þ
De aquí obtenemos .B œ ? .? ? como antes.
B 68
%Þ  Resolver el P.V.I.: BC w œ  C  ÈBC  " ß CÐ!Ñ œ !.
Hacemos la sustitución ? œ BC  ". Entonces ?w œ C  BC w .
Reemplazando en la ecuación, ?w  C œ  C  È? , o equivalentemente,
È?
.?
œ .B.
Luego, #È? œ B  G , es decir, #ÈBC  " œ B  G .
Reemplazando la condición inicial, G œ # y tenemos que la solución de la
ecuación es:
#ÈBC  " œ B  #.
7

11. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
&Þ  Usar la sustitución @ œ ÈC  =/8 B para resolver la ecuación:
Cw œ ÈC  =/8 B  -9= B
Analicemos primero el caso @ Á !.
@ œ ÈC  =/8 B Ê .B œ
.@ C w -9=B .@
#@ Ê C w œ #@ .B  -9= B Þ
.@
Reemplazando en la ecuación, #@ .B œ @. Como @ Á !ß obtenemos # .@ œ .B, de
donde #@ œ B  G , es decir:
#ÈC  =/8 B œ B  G , o bien C œ " ÐB  GÑ#  =/8 B
%
Ahora, si @ œ !ß C œ  =/8 B también es solución de la ecuación pues
w
C œ  -9= B. Por lo tanto, C œ  =/8 B corresponde a una solución singular de la
ecuación. Note que por el Teorema de Picard hay una única solución que pasa por
cualquier punto de ‘# a excepción de los puntos ÐBß CÑ para los cuales
C œ  =/8B.
'Þ  Resolver el P.V.I.: .B  Ð$/C  #BÑ.C œ ! ß CÐ  "Ñ œ !Þ
Como la ecuación no es lineal en la variable C, pero sí en la variable B, escribimos:
.B C
.C  #B œ $/
De aquí, T ÐCÑ œ #ß UÐCÑ œ $/C , y la solución es:
B œ /#C Ð' $/C /#C .C  GÑ œ /#C Ð/$C  GÑ
Reemplazando la condición inicial obtenemos G œ  #, por lo que la solución
del P.V.I. es : B œ /C  #/#C
Un segundo método es buscando un factor integrante:
œ " , tenemos que /#' .C œ /#C es un F.I.
RB QC #
Como Q
La ecuación /#C .B  /#C Ð$/C  #BÑ.C œ ! es exacta.
J ÐBß CÑ œ ' /#C .B œ B/#C  1ÐCÑÞ
Como JC œ R , JC ÐBß CÑ œ #B/#C  1w ÐCÑ œ #B/#C  $/$C ,
8

12. Ecuaciones Diferenciales de primer orden
de donde 1w ÐCÑ œ  $/$C . Luego 1ÐCÑ œ  /$C  GÞ
Por lo tanto, la solución general es B/#C  /$C œ G , que es equivalente a la
anterior.
$C # &B
(Þ  Resolver la ecuación: BÐB$Ñ .B  #C Ð68 B$  $=/8 CÑ .C œ !
'C
QC ÐBß CÑ œ BÐB$Ñ y
&ÐB$Ñ&B #C 'C
RB ÐBß CÑ œ #CÐ B$ †
&B ÐB$Ñ# Ñ
"&
œ ÐB$Ñ † &B œ BÐB$Ñ Þ
Luego la ecuación es exacta y:
J ÐBß CÑ œ ' BÐB$Ñ .B œ $C # ' " Ð B  B$ Ñ.B œ C # 68 B$  1ÐCÑ
$C # " " B
$
Como JC œ R ,
B &B
JC ÐBß CÑ œ #C 68 B$  1w ÐCÑ œ #CÐ68 B$  $=/8 CÑÞ
Luego, 1w ÐCÑ œ #C 68 &  'C =/8 C , de donde
1ÐCÑ œ C # 68 &  '' C=/8 C .C Ê 1ÐCÑ œ C # 68 &  'Ð  C -9= C  =/8 CÑ  G
Así, la solución general de la ecuación es:
&B
C# 68 B$  'C -9= C  '=/8 C œ G
)Þ  Resolver la ecuación: Ð#C #  $BÑ.B  #BC .C œ !.
Ê RB ÐBß CÑ œ #C 
Q ÐBß CÑ œ #C #  $B Ê QC ÐBß CÑ œ %C
QC Á RB .
R ÐBß CÑ œ #BC
La ecuación no es exacta, por lo que buscamos un factor integrante:
QC RB #C " ' .B
R œ #BC œ B , sólo depende de B. Luego, / B œ B es factor integrante.
Ahora, la ecuación Ð#BC#  $B# Ñ.B  #B# C .C œ ! es exacta.
9

13. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
J ÐBß CÑ œ ' #B# C .C œ B# C #  2ÐBÑ y como JB œ Q À
JB ÐBß CÑ œ #BC #  2 w ÐBÑ œ #BC #  $B# Þ
Luego, 2ÐBÑ œ B$  GÞ
Así, la solución de la ecuación es B# C#  B$ œ GÞ
*Þ  Resolver ÐC  C -9= BCÑ.B  ÐB  B -9= BCÑ.C œ !
Caso 1: "  -9= BC Á !Þ Dividiendo por "  -9= BC , obtenemos la ecuación
C.B  B.C œ ! cuya solución es BC œ G Þ
Caso 2: "  -9= BC œ !ß BC œ Ð#5  "Ñ1, que está incluida en la solución anterior,
por lo que la solución de la ecuación es BC œ G .
Un segundo método es mostrar que la ecuación es exacta:
QC ÐBß CÑ œ RB ÐBß CÑ œ "  -9= BC  BC =/8 BC
Entonces, J ÐBß CÑ œ ' ÐC  C-9= BCÑ.B œ BC  =/8 BC  1ÐCÑÞ
Como JC œ R , B  B -9= BC  1w ÐCÑ œ B  B -9= BC .
Esto significa que 1w ÐCÑ œ !, es decir 1 es constante y la solución general de la
ecuación es BC  =/8 BC œ G .
Aparentemente, esta solución es distinta de la que obtuvimos con el primer método.
Sin embargo, notemos que si BC œ G , entonces BC  =/8 BC œ G  =/8 G , es
decir, constante. Por otro lado, la función 0 ÐDÑ œ D  =/8 D es estrictamente
creciente, pues 0 w ÐDÑ œ "  -9= D ! y es igual a ! sólo en puntos aislados. Eso
significa que 0 es inyectiva, por lo que 0 ÐDÑ œ G implica que D es constante. Por
lo tanto, BC  =/8 BC œ G implica BC œ G! , por lo que ambas soluciones son
equivalentes.
Otro método de solución es usar el hecho que la diferencial de un producto es
.ÐBCÑ œ C .B  B .C , por lo que haciendo la sustitución ? œ BC , obtenemos
Ð"  -9= ?Ñ .? œ !, es decir, ?  =/8 ? œ G , que corresponde a la solución
anterior.
10

14. Ecuaciones Diferenciales de primer orden
"!Þ  Resolver la ecuación: CÐ'C #  B  "Ñ.B  #B.C œ !
La ecuación se puede escribir como Cw  B" C œ  B C $ , la que corresponde a
#B
$
una ecuación de Bernoulli cuya solución es:
'
ÒG  '' /'
B" B" .B
" "
.BÓ, es decir, œ B/B ÒG  '/B Ó
B
C# œ / B .B
B C#
Por lo tanto, la solución de la ecuación es C œ „É G'/B Þ
B/ B
""Þ  Dada la ecuación diferencial CÐ"  #B$ /#B C # Ñ.B  B.C œ ! ß B  !ß C  !.
+Ñ Encontrar una función 2ÐBÑ y una constante , tal que .ÐBß CÑ œ 2ÐBÑC , sea un
factor integranteÞ
Multiplicando la ecuación por el factor integrante tenemos que:
Q ÐBß CÑ œ Ð"  #B$ /#B C # Ñ2ÐBÑC ,"
QC ÐBß CÑ œ Ð,  "Ñ2ÐBÑÐ"  #B$ /#B C # ÑC ,  %B$ /#B 2ÐBÑC ,#
R ÐBß CÑ œ B2ÐBÑC ,
RB ÐBß CÑ œ 2ÐBÑC ,  B2 w ÐBÑC ,
Calculamos la diferencia QC  RB y la igualamos a ! para que la ecuación sea
exacta:
QC  RB œ C , ÒÐ,  "Ñ2ÐBÑÐ"  #B$ /#B C # Ñ  %B$ /#B 2ÐBÑC #  2ÐBÑ  B2 w ÐBÑÓ
œ C, Ò2ÐBÑÐÐ,  "ÑÐ"  #B$ /#B C # Ñ  %B$ /#B C #  "Ñ  B2 w ÐBÑÓ
œ C, Ò2ÐBÑÐ,  #Ð,  $ÑB$ /#B C # Ñ  B2 w ÐBÑÓ
Podemos elegir , œ  $ y entonces  $2ÐBÑ  B2 w ÐBÑ œ !Þ
Para encontrar 2ÐBÑ debemos resolver la ecuación diferencial:
2w ÐBÑ $
2ÐBÑ œ  B.
Luego 2ÐBÑ œ B$ , de donde .ÐBß CÑ œ B$ C $ es el factor integrante buscadoÞ
11

15. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
,Ñ Encontrar la solución general de la ecuación.
Multiplicando por el factor integrante que encontramos en la parte +Ñ obtenemos la
ecuación:
(B$ C2  #/#B Ñ.B  B2 C $ .C œ !Þ
Entonces J ÐBß CÑ œ ' B2 C $ .C œ  " B2 C #  1ÐBÑÞ
#
Ahora, JB œ Q , luego JB ÐBß CÑ œ B$ C 2  #/#B , es decir,
B3 C#  1w ÐBÑ œ B$ C 2  #/#B
De aquí, 1w ÐBÑ œ #/#B y por lo tanto 1ÐBÑ œ /#B de donde la solución de la
ecuación es:
 " B2 C#  /#B œ GÞ
#
-Ñ Determinar la solución particular que verifica CÐ#Ñ œ È /# y el intervalo
$
# #
máximo donde ella está definida.
Utilizando la condición inicial, tenemos que G œ ) /% .
*
Luego la solución particular es  " B2 C#  /#B œ ) /% , lo que es equivalente a
# *
"
BÉ#/#B  "' /%
CÐBÑ œ Þ
*
Para encontrar el intervalo máximo donde está definida la solución, debemos
considerar À
B Á ! • #/#B  "' /%  !
*
Resolviendo la desigualdad, B  #  " 68 ) Þ Luego, el intervalo buscado es
‘#  " 68 ) ß  _.
# *
# *
" "
"#Þ  Resolver la ecuación: C w  Ð"  B ÑC  ÐB  B Ñ/B œ ! y probar que hay dos
soluciones particulares para la ecuación tales que una es la derivada de la otra.
Como la ecuación es lineal :
œ / Ð" B Ñ.B ÒG  ' ÐB  B Ñ/B / Ð" B Ñ.B .BÓ
' " " ' "
CÐBÑ
12

16. Ecuaciones Diferenciales de primer orden
CÐBÑ œ B/B ÒG  ' ÐB  B Ñ/B /B .BÓ
B
"
œ B/B ÒG  ' Ð"  B# Ñ.BÓß
"
Así, la solución es CÐBÑ œ /B ÐGB  B#  "ÑÞ
Consideremos dos soluciones particulares C" e C# . Es decir:
C" ÐBÑ œ /B ÐEB  B#  "Ñ y C2 ÐBÑ œ /B ÐFB  B#  "ÑÞ
Entonces C" ÐBÑ œ /B ÐEB  B#  "Ñ  /B ÐE  #BÑß y como C" ÐBÑ œ C2 ÐBÑ
w w
tenemos que E œ !ß F œ  #.
Así, C" ÐBÑ œ /B Ð1  B# Ñ e C2 ÐBÑ œ /B Ð"  #B  B# Ñ Þ
"3Þ  Usar un factor integrante de la forma . œ /+B,C para resolver la ecuación:
Ð#B  #C  B#  #BCÑ.B  Ð#B#  %BC  #BÑ.C œ !Þ
Utilizando el factor integrante tenemos que À
QC ÐBß CÑ œ /+B,C ÐÐ#,B  #,C  ,B#  #,BC  #  #BÑ
RB ÐBß CÑ œ /+B,C Ð#+B#  %+BC  #+B  %B  %C  #Ñ
Como queremos que la ecuación resulte exacta, debemos tener que QC  RB œ !:
 Ð,  #+ÑB#  #Ð,  "  +ÑB  #Ð#  ,ÑC  #Ð#+  ,ÑBC œ !
de donde + œ  " y , œ #. Luego : J ÐBß CÑ œ ' /B#C Ð#B#  %BC  #BÑ.C
œ /B#C ÐB#  #BCÑ  0 ÐBÑ
Derivando,
JB ÐBß CÑ œ /B#C Ð#BC  B#  #B  #CÑ  0 w ÐBÑ œ R ÐBß CÑ.
Asíß 0 w ÐBÑ œ !, de donde 0 ÐBÑ œ GÞ Por lo tanto, la solución de la ecuación es:
/B#C ÐB#  #BCÑ œ G
13

17. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
"4Þ  Demostrar que la ecuación C w  T ÐBÑC œ UÐBÑC 68 C puede resolverse mediante el
cambio de variable D œ 68 C .
Claramente, C  !Þ
.D " .C .C .D
Ahora, D œ 68 C Ê .B œ C .B Ê .B œ C .B Þ
.D .D
Reemplazando, C .B  T ÐBÑ C œ UÐBÑ C D , de donde .B  UÐBÑ D œ  T ÐBÑ
es lineal por lo que la solución de la ecuación es:
' '
68 C œ / UÐBÑ .B ÐG  ' T ÐBÑ / UÐBÑ .B .BÑÞ
"&Þ  Aplicar el método del ejercicio anterior para resolver la ecuación:
BCw œ #B# C  C68 C ß B  !
Dividimos por B en la ecuación y obtenemos À
"
Cw  #BC œ B C 68 CÞ
"
Entonces, T ÐBÑ œ  #Bß UÐBÑ œ B , y la solución de la ecuación es:
Ð' #B /  B .B .B  GÑ
' " .B ' "
68 C œ / B
œ BÐ' # B /68 B .B  GÑ
œ BÐ#B  GÑ
"'Þ  Resolver el P.V.I.: C "Î# C w  C $Î# œ "ß CÐ!Ñ œ %
Como claramente C  !, pues C œ ! no es solución, dividimos por C "Î# y
obtenemos la ecuación Cw  C œ C "Î# , que es una ecuación de Bernoulli con
Entonces C$Î# œ / # B Ð' $ / # B .B  GÑ œ / # B Ð/ # B  GÑ œ G / # B  "
8 œ  "Î#Þ
$ $ $ $ $
#
Reemplazando la condición inicial, obtenemos G œ (.
$
Luego, la solución del P.V.I. es : C œ Ð(/ # B  "Ñ#Î$ Þ
14

18. Ecuaciones Diferenciales de primer orden
"(Þ  Resolver la ecuación C w  /#B œ Ð"  # /B ÑC  C # sabiendo que tiene una solución
particular C" œ  /B Þ
Esta es una ecuación del tipo Ricatti, y en este caso se usa la sustitución À
C œ  /B  " Þ D
Dw
Como Cw œ  /B  D # obtenemos la ecuación À
w
D " "
 /B  D #  /#B œ Ð"  # /B ÑÐ  /B  D Ñ  Ð  /B  D Ñ#
o, equivalentemente: D w  D  " œ !ß cuya solución es :
D œ /' .B ÒG  ' /' .B .BÓ œ /B ÐG  /B Ñ
B B #B
Luego CÐBÑ œ / G/ / Þ
G/ B
")Þ  Resolver la ecuación: C #  Ð%BC  "ÑC w  %B# ÐC w Ñ# œ !
Como esta es una ecuación algebraica, ordenando tenemos:
C#  %BC w C  %B# ÐC w Ñ#  C w œ !ß
cuya solución es
%BCw È"'B# Cw # "'B# C w # %C w "
Cœ # œ #BC w „ ÐC w Ñ # .
"
Para resolver la ecuación C œ #BC w  ÐC w Ñ # consideremos la sustitución C w œ :.
Entonces:
.C .: "  " .:
.B œ #:  #B .B  # : .B ß
#
" .:
de donde :  Ð#B  " : # Ñ .B œ !.
#
Como esta ecuación no es lineal en la variable :, pero sí en la variable B,
escribimos:
: .B  #B  " : # œ !
"
.: #
de donde, .B  : B  È $ œ !, cuya solución es:
.:
# "
# :
15

19. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
B œ /#68: ÒG  "
#
' È:$ .:
/#68:
Ӝ "
:# ÐG  " È: $ Ñ
$
"
La ecuación C œ #BCw  ÐC w Ñ # se resuelve en forma análoga (note que sólo cambia
un signo). Por lo tanto, la solución de la ecuación es:
Ú È:$ Ú È:$
Û Û
" "
B œ : # ÐG  $ Ñ B œ : # ÐG  $ Ñ
Ü C œ #:B  È: Ü C œ #:B  È:
Notemos que también podríamos haber resuelto la ecuación algebraica para Cw À
%B# ÐC w Ñ#  Ð"  %BCÑC w  C # œ ! , y entonces À
"%BCÈÐ"%BCÑ# "'B# C # "%BC È")BC
Cw œ )B# œ )B#
Hacemos la sustitución ? œ "  )BC, de donde ?w œ )ÐC  BC w ÑÞ
#B?w  $? œ  "  #È?
Reemplazando y despejando, obtenemos la ecuación en variables separables:
Resolviendo:
"#È?$?
.?
œ .B
Ê # ' ÐÈ?"ÑÐÈ?… " Ñ œ " ' .B
È?.?
#B
$ $
# B
Ê " Ò68ÐÈ?  "Ñ$ ÐÈ?… " ÑÓ œ " 68 B  68 G!
' $ #
Ê ÐÈ?  "Ñ ÉÈ?… " œ GB
$
$
Luego, las soluciones son:
ÐÈ)BC  "  "Ñ ÉÈ)BC  "  " œ GB
$
$
ÐÈ)BC  "  "Ñ ÉÈ)BC  "  " œ GB
$
$
Eliminando : en las soluciones paramétricas obtenidas con el primer método se
obtienen las soluciones cartesianas anteriores.
16

20. Ecuaciones Diferenciales de primer orden
1*Þ  Dada la ecuación:
#B
Cw  /#B C#  B Ð"  %B  #B# ÑC œ  /B Ð"  B  #B#  B$ Ñ
"
+Ñ Encontrar la solución particular de la forma:
C" ÐBÑ œ /#B ÐEB  FÑ
C" ÐBÑ œ /#B ÐEB  FÑ Ê C" ÐBÑ œ #/#B ÐEB  FÑ  /#B E ,
w
Reemplazando en la ecuación y simplificando /#B tenemos:
"
#ÐEB  FÑ  E  ÐEB  FÑ#  B Ð"  %B  #B# ÑÐEB  FÑ
"
œ  B Ð"  B  #B#  B$ Ñ
de donde
F  Ð#F  F # ÑB  Ð#E  #EF  #FÑB#  Ð#E  E# ÑB$ œ "  B  #B#  B$
Así , F œ " y E œ ", luego la solución particular es:
C" ÐBÑ œ /#B ÐB  "ÑÞ
,Ñ Determinar la solución general de la ecuación.
Como se trata de una ecuación de Riccati, consideremos la sustitución
"
C œ /#B ÐB  "Ñ  D.
Dw
Entonces, Cw œ /#B Ð#B  $Ñ  D # y reemplazando en la ecuación y simplificando,
obtenemos la ecuación lineal:
D w  Ð "#B ÑD  /#B œ !.
B
La solución de esta ecuación es À
’G  ' /#B /
' '
.B“
"#B "#B
D œ / B .B B .B
D œ / B ’G  # “.
#B B
#BÐB"ÑÐ#GB# Ñ #B
Reemplazando D tenemos CÐBÑ œ #GB# /
17

21. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
2!Þ  Mostrar que la ecuación diferencial #B% CC w  C % œ %B' se reduce a una ecuación
homogénea mediante la transformación C œ D 8 ß para cierto 8Þ Resuelva la
ecuación.
Sea C œ D 8 ß entonces C w œ 8D 8" D w ß y reemplazando en la ecuación tenemos:
#8B% D 28" D w  D %8 œ %B' .
Para que esta ecuación sea homogénea se debe tener #8  " œ % y %8 œ 'ß de
donde 8 œ $ Þ Por lo tanto:
#
'
.D D '
.B œ %B % D #
$B
Utilizando el cambio de variable D œ B?, obtenemos:
?  B?w œ " Ò%Š ? ‹  ?% Óß
#
"
$
es decirß
#
 .B œ ?'$? .?
B $?$ %
Separando en fracciones parciales e integrando nos queda À
œ " ’ $? "  $? % “ß
# #
.? .?
 68B & ?$ ?$
œ " ’68Ð?$  "Ñ  68a?$  %b“  68G .
&
$ &
Luego, B& œ ?$ " , de donde ?$ œ %GB .
G
? % B& G
BŠ %GB ‹
"
& $
Por lo tanto D œ B? œ B& G .
Reemplazando nuevamente, tenemos que la solución de la ecuación es:
Š %GB ‹
"
$ & #
CÐBÑ œ B #
B& G
18

22. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER
ORDEN
Trayectorias ortogonales.
Sea > la familia de curvas definida por la ecuación diferencial J ÐBß Cß C w Ñ œ !ß para ÐBß CÑ
en una región abierta H del plano ] . La familia >w , ortogonal a > está definida por la
"
ecuación diferencial J ÐBß Cß  Cw Ñ œ !Þ
Proporcionalidad directa.
Si suponemos que el ritmo de cambio de una cierta cantidad representada por Ð>Ñ es
(directamente) proporcional a la cantidad presente en un instante >, entonces la ecuación
diferencial que modela este fenómeno se puede expresar como:
.
.> œ 5
donde 5 es la constante de proporcionalidad. Si 5 es positivo, entonces crece en el
tiempo; si 5 es negativo, está disminuyendo y si 5 œ !, B es constante.
Como se trata de una ecuación en variables separables, su solución es Ð>Ñ œ ! /5 > ,
donde ! œ Ð!ÑÞ
Proporcionalidad inversa.
Si suponemos que el ritmo de cambio de una cierta cantidad representada por Ð>Ñ es
inversamente proporcional a la cantidad presente en un instante >, entonces la ecuación
diferencial que modela este fenómeno se puede expresar como:
. 5
.> œ
donde 5 es la constante de proporcionalidad.
Como se trata de una ecuación en variables separables, su solución es:
# Ð>Ñ œ #5 >  ! , donde ! œ Ð!ÑÞ
#
19

23. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
Proporcionalidad conjunta.
Si suponemos que el ritmo de cambio de una cierta cantidad representada por Ð>Ñ es
conjuntamente proporcional a la cantidad presente en un instante > y a cierta cantidad
E  Ð>Ñ, entonces la ecuación diferencial que modela este fenómeno se puede expresar
como:
.
.> œ 5 ÐE  Ñ
donde 5 es la constante de proporcionalidad.
Como se trata de una ecuación en variables separables, su solución es À
!
E œ G /E5 > ß donde G œ E
!
Análisis de compartimientos.
Un sistema de un compartimiento está constituido por una cierta cantidad Ð>Ñ de material
en el compartimiento, y dos funciones IÐ>Ñ y WÐ>Ñ que representan respectivamente el
ritmo de entrada y el ritmo de salida de material al sistema.
IÐ>Ñ WÐ>Ñ
Ò Ð>Ñ Ò
La ecuación que modela este fenómeno se puede expresar como:
.
.> œIW
El tipo de ecuación diferencial que resulta depende en general de las funciones I y W . En
el caso de mezclas, por ejemplo, IÐ>Ñ corresponde a la cantidad total de sustancia que
ingresa al sistema, así, si entra agua pura, IÐ>Ñ œ !. Por otro lado, el ritmo de salida WÐ>Ñ
es la cantidad de litros que sale del sistema por unidad de tiempo por la concentración de la
sustancia en cada instante, vale decir dividido por el volumen total, Z Ð>Ñ.
Obsevación. Si la cantidad de litros que entra al sistema es igual a la cantidad que sale, el
volumen es constante.
Si la cantidad de litros que entra al sistema es distinta a la cantidad que sale, el volumen
total está variando y se expresa por Z Ð>Ñ œ Z!  Ð+  ,Ñ >, donde Z! representa el volumen
inicial , + representa la cantidad de litros que entra al sistema y ,, la cantidad de litros que
sale de él.
20

24. Aplicaciones de l+s Ecuaciones de primer orden
Ejercicios resueltos
"Þ  Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas que satisface la
condición: La porción de la tangente limitada por los ejes tiene como punto central
al punto de tangencia.
En primer lugar buscamos la ecuación diferencial de la familia dada.
Sea ÐBß CÑ un punto cualquiera de una curva perteneciente a la familia. Entonces,
los puntos Ð#Bß !Ñ y Ð!ß #CÑ pertenecen a la recta tangente a la curva en el punto
ÐBß CÑÞ
C
La pendiente de esta recta es entonces 7 œ  B Þ
Como la pendiente de la recta tangente está dada por la derivada de la función en el
punto, tenemos que la familia satisface la ecuación diferencial À
C
Cw œ  B
En particular, si resolvemos esta ecuación, obtenemos la familia de hipérbolas
BC œ G, lo que corresponde a la familia de curvas que cumple la condición dada.
Para obtener las trayectorias ortogonales debemos resolver la ecuación Cw œ B Þ
C
Separando variables obtenemos la familia de hipérbolas:
C#  B# œ G .
#Þ  Hallar la ecuación diferencial de la familia de todos los círculos con centros en la
recta B œ C, que son tangentes a ambos ejes.
La familia buscada tiene ecuación: ÐB  GÑ#  ÐC  GÑ# œ G # Þ
Derivando, obtenemos #ÐB  GÑ  #ÐC  GÑC w œ !, de donde À
ÐB  GÑ œ  C w ÐC  GÑ
BC C w
Despejando, G œ "Cw Þ
BC C w BC C w BC C w
De aquí, ÐB  "Cw Ñ#  ÐC  "Cw Ñ# œ Ð "Cw Ñ#
21

25. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
Luego,
ÐB  BC w  B  CC w Ñ#  ÐC  CC w  B  CC w Ñ# œ ÐB  CC w Ñ#
Por lo tanto, ÐB  CÑ# C w #  ÐC  BÑ# œ ÐB  CC w Ñ#
y la ecuación diferencial de la familia es:
ÐC  BÑ# Ð"  C w # Ñ œ ÐB  C C w Ñ# Þ
$.  Encontrar la familia de trayectorias ortogonales de la familia de círculos tangentes
al eje S] en el origen.
La familia de círculos tangentes al eje S] en el origen está dada por
ÐB  GÑ#  C # œ G #
es decir,
B#  C # œ #BGÞ
Derivando implícitamente y despejando G , obtenemos la ecuación diferencial
asociada:
C # B#
Cw œ #BC
Para encontrar la familia ortogonal debemos encontrar la solución general de la
ecuación diferencial:
.C #BC
.B œ B# C #
Escribiendo la ecuación de la forma: #BC .B  ÐC#  B# Ñ.C œ !, podemos observar
' # .C "
que tiene un factor integrante que depende de Cß .ÐBß CÑ œ / C œ C# Þ
#B B#
Obtenemos la ecuación exacta: C .B  Ð"  C # Ñ.C œ !Þ
# #
J ÐBß CÑ œ B  1ÐCÑß de donde JC œ  B#  1w ÐCÑÞ
C C
Por lo tantoß 1w ÐCÑ œ " Ê 1ÐCÑ œ CÞ
B#
Luego, la solución general es C  C œ #Gß o bien, B#  C # œ #CGÞ
Así, la familia de trayectorias ortogonales es la familia de círculos tangentes al eje
S en el origen.
22

26. Aplicaciones de l+s Ecuaciones de primer orden
%Þ  Determinar las trayectorias ortogonales a la familia de circunferencias que pasan
por los puntos Ð"ß "Ñ y Ð  "ß "ÑÞ
Primero debemos formular el problema matemático que representa esta situación.
Como .ÐÐ2ß 5Ñß Ð"ß "ÑÑ œ .ÐÐ2ß 5Ñß Ð  "ß "Ñ, tenemos que:
Ð2  "Ñ#  Ð5  "Ñ# œ Ð2  "Ñ#  Ð5  "Ñ#
de donde 2 œ !. Así, el centro de la circunferencia es Ð!ß GÑ y su radio,
G #  #G  #Þ
Luego, la familia de circunferencias es :
B#  ÐC  GÑ# œ G #  #G  #ß
y derivando implícitamente, obtenemos: #B  #ÐC  GÑC w œ !Þ
Eliminando la constante de estas dos igualdades, obtenemos la ecuación diferencial:
#BÐC"Ñ
Cw œ C# B# #C# .
Entonces, la ecuación diferencial de la familia de trayectorias ortogonales es:
o bien aC#  B#  #C  #b.B  Ð#B  #BCÑ.C œ !Þ
C # B# #C#
Cw œ #BÐC"Ñ ß
' # .B "
Notemos que .ÐBÑ œ / B œ B# es factor integrante.
Ahora multiplicando por . se obtiene la ecuación exacta:
Š B#  "  B#  B# ‹.B  Ð B  B Ñ.C œ !ß
C# # #C # #C
J ÐBß CÑ œ ' Ð B  B Ñ.C œ B  B  1ÐBÑ
# #C #C C#
#C C# C#
# #C
JB ÐBß CÑ œ  B#  B#  1w ÐBÑ œ B#  "  B#  B#
# #
Luego, 1w ÐBÑ œ  "  B# , de donde 1ÐBÑ œ  B  B
#C # C#
La solución de la ecuación es: B  B  B  B œ #G
que corresponde a la familia de circunferencias:
ÐB  GÑ#  ÐC  "Ñ# œ G #  " Þ
23

27. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
&Þ  Sea > la familia de circunferencias que pasan por los puntos Ð"ß !Ñ y Ð!ß "ÑÞ
+Ñ Encontrar la ecuación diferencial que define >.
Sea Ð2ß 5Ñ el centro de una circunferencia cualquiera de la familia.
Entonces, .ÐÐ2ß 5Ñß Ð"ß !ÑÑ œ .ÐÐ2ß 5Ñß Ð!ß "Ñß de donde
Ð2  "Ñ#  5 # œ 2 #  Ð5  "Ñ#
Despejando, obtenemos 2 œ 5 , es decir el centro de la circunferencia está sobre la
recta C œ B, digamos ÐGß GÑÞ
Así, la familia de circunferencias es
ÐB  GÑ#  ÐC  GÑ# œ # G #  #G  "ß
de donde derivando implícitamente, obtenemos
#B  #G  #ÐC  GÑC w œ !Þ
Eliminando la constante de estas dos igualdades, obtenemos la ecuación diferencial
buscada:
"B# C #
B#  #GB  C #  #GC  #G  " œ ! Ê G œ #Ð"BCÑ
BCC w
B  G  CC w  GC w œ ! Ê G œ "Cw
"B# C # BCC w C # B# #BC#B"
Por lo tanto, #Ð"BCÑ œ "C w , de donde Cw œ C # B# #BC#C" .
,Ñ Hallar las trayectorias ortogonales de >.
La ecuación de las trayectorias ortogonales es:
C # B# #BC#B"
 .B œ C# B# #BC#C"
.C
o bien, ÐC#  B#  #BC  #C  "Ñ .B
 ÐC #  B#  #BC  #B  "Ñ .C œ !
24

28. Aplicaciones de l+s Ecuaciones de primer orden
Como la ecuación no es exacta, calculamos:
QC RB #ÐBC"Ñ #
Q R œ ÐBCÑÐBC"Ñ œ  ÐBCÑ
"
Luego, ÐBCÑ# es F.I.
tanto J ÐBß CÑ œ ' Q .B À
Multiplicando por el factor integrante la ecuación se transforma en exacta, por lo
J ÐBß CÑ œ '
ÐC# B# #BC#C"Ñ
ÐBCÑ# .B
œ ' Ð ÐBCÑ#  ÐBCÑ#  "Ñ.B
ÐC"Ñ# C#
ÐC"Ñ# C#
œ  BC  BC  B  1ÐCÑ
Por otra parte, J ÐBß CÑ œ ' R .C À
J ÐBß CÑ œ '
ÐC# B# #BC#B"Ñ
ÐBCÑ# .C
œ ' Ð  ÐBCÑ#  ÐBCÑ#  "Ñ.C
ÐB"Ñ# B #
ÐB"Ñ#
B #
œ  BC  BC  C  2ÐBÑ
Igualando:
ÐC"Ñ# C# B ÐB"Ñ# #
 BC  BC  B  1ÐCÑ œ  BC  BC  C  2ÐBÑ
ÐB"Ñ# ÐC"Ñ#B # C#
BC  BC  BC  BC  B  1ÐCÑ œ C  2ÐBÑ
ÐBCÑÐBC#Ñ ÐBCÑÐBCÑ
BC  BC  B  1ÐCÑ œ C  2ÐBÑ
B  C  #  B  C  B  1ÐCÑ œ C  2ÐBÑ
B  C  #  1ÐCÑ œ 2ÐBÑ
Luego, 2ÐBÑ œ B  #ß 1ÐCÑ œ  C
25

29. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
ÐC"Ñ# C#
Así, la solución de la ecuación es: BC  BC  B  C œ G
Resolviendo, obtenemos:
ÐC  "Ñ#  C #  B#  C # œ GÐB  CÑ
C#  #C  "  B#  GB  GC œ !
ÐG#Ñ# #
ÐC  G# Ñ#  ÐB  G Ñ# œ  "  %  G
# # %
Así, las trayectorias ortogonales de > son las circunferencias:
G# #
ÐC  # Ñ  ÐB  G Ñ # œ G ÐG  "Ñ
# #
'Þ Para hacer un buen diagnóstico oftalmológico, ayer a las 20:00 horas se le
administró a Nicolás cierta droga que dilata la pupila. El médico explicó que la
droga tiene una semivida de 6 horas y que Nicolás presentaría molestias visuales
hasta que se hubiera eliminado el 80% del medicamento. Cuando Nicolás se levantó
esta mañana a las 7, se quejó de tener aún la vista borrosa. ¿Era por efecto del
medicamento? Justifique.
Sea HÐ>Ñ la cantidad de droga presente en un instante >.
Entonces, HÐ>Ñ œ H! /5> , donde H! es la cantidad de droga administrada.
La semivida de una sustancia corresponde al tiempo que demora en desintegrarse la
mitad de ella.
Luego, HÐ'Ñ œ H! œ H! /'5 , por lo que 5 œ  " 68 #, de donde HÐ>Ñ œ H! Ð " Ñ>Î' Þ
# ' #
El tiempo que demora en eliminarse el )!% del medicamento se puede expresar
como:
HÐ>Ñ œ !ß # H! œ H! Ð " Ñ>Î'
#
es decir,
> œ '68 #& ¸ "%Þ
68
Luego, el medicamento dejará de producir molestias aproximadamente a las 10:00
de la mañana, por lo que las molestias de Nicolás se debían aún al efecto de la
droga.
26

30. Aplicaciones de l+s Ecuaciones de primer orden
(Þ Suponga que la población T Ð>Ñ en un lago es atacada por una enfermedad al tiempo
> œ !, con el resultado que los peces cesan de reproducirse y el índice de
È"ÎT . Si originalmente había 900 peces en el lago y 6 semanas después quedaban
mortalidad (muerte por semana por pez) es de ahí en adelante proporcional a
441, ¿cuánto tiempo tardarán en morir todos los peces del lago?
Claramente, T w œ  5 È T , de donde 2T "Î# œ  5>  GÞ
"
T
Como T Ð!Ñ œ *!!, tenemos que G œ '! y T Ð'Ñ œ %%" Ê %# œ  '5  '!ß de
donde: 5 œ 3
Luego, T Ð>Ñ œ " (60  $>Ñ# Þ
#
Igualando la función a !ß T Ð>Ñ œ ! Í > œ #!
Por lo tanto, en #! semanas ya no quedarán peces en el lago.
)Þ Un escalador de montañas sale de su campamento base a las 6:00 a.m. A medida
que trepa, la fatiga y la falta de oxígeno se hacen sentir de modo que la rapidez con
la cual aumenta su elevación es inversamente proporcional a la elevación. Al
mediodía está a una altura de 19.000 pies, y a las 2:00 p.m. ha llegado a la cima de
la montaña, que está a 20.000 pies. ¿Qué tan alto era su campamento base?
Sea 2Ð>Ñ la altura del escalador en un instante >.
Entonces, 2w Ð>Ñ † 2Ð>Ñ œ 5 , donde 5 es constante.
Resolviendo esta ecuación, 2 .2 œ 5 .>, de donde:
2# Î# œ 5>  - , o bien, 2# œ #5>  GÞ
Ahora bien, 2Ð'Ñ œ "*Þ!!! y 2Ð)Ñ œ #!Þ!!!Þ
Reemplazando:
"*# † "!' œ #5 † '  G
#!# † "!' œ #5 † )  G
Restando la primera ecuación de la segunda, eliminamos G :
"!' Ð#!#  "*# Ñ œ %5 , es decir, 5 œ "!' † $*Î%Þ
Reemplazando en la primera ecuación: G œ "!' Ð"*#  $ † $*ÑÞ
27

31. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
Así, en el instante > œ ! (a las 6:00 de la mañana):
2# œ G œ "!' Ð$'"  ""(Ñ œ "!' † #%%, de donde:
2 ¸ "!$ † "&ß '.
Por lo tanto, el campamento base se encontraba aproxima-damente a "&Þ'!! pies de
altura.
*Þ Se está celebrando una fiesta en una habitación que contiene ")!! pies cúbicos de
aire libre de monóxido de carbono. En el instante > œ ! varias personas empiezan a
fumar. El humo, que contiene un seis por ciento de monóxido de carbono, se
introduce en la habitación a razón de !ß "& pies cúbicos por minuto, y la mezcla,
removida por ventilación, sale a ese mismo ritmo por una ventana entreabierta.
¿Cuándo deberá abandonar una persona prudente esa fiesta, si el nivel de monóxido
de carbono comienza a ser peligroso a partir de una concentración de !ß !!!") ? (
68 !ß **( ¸  !ß !!$ ).
Sea GÐ>Ñ la cantidad de monóxido de carbono presente en la habitación en un
instante >.
El ritmo de entrada es !ß "& † !ß !' œ * † "!$ Þ
!ß"&†GÐ>Ñ & GÐ>Ñ
El ritmo de salida es ")!! œ '†"!% Þ
& GÐ>Ñ
Entonces, G w Ð>Ñ œ * † "!$  '†"!% .
Como esta es una ecuación lineal, la solución es:
Ð' * † "!$ /
' & .> ' &.>
GÐ>Ñ œ/ '†"!% '†"!% .>  GÑ
Ð* † "!$ ' / '†"!% .>  GÑ
&> &>

œ/ '†"!%
 &>
œ &%†"!  G / '†"!%
&
 & >%
Como GÐ!Ñ œ !ß GÐ>Ñ œ "!)Ð"  / '†"! ÑÞ
Finalmente, si GÐ>Ñ denota la concentración de monóxido de carbono presente en la
sala en un instante >, tenemos que:
28

32. Aplicaciones de l+s Ecuaciones de primer orden
GÐ>Ñ"!)  & >%
GÐ>Ñ œ ")!! œ ")!! Ð"  / '†"! ÑÞ
"!)  & >%
Luego, ") † "!& œ ")!! Ð"  / '†"! Ñ, de donde
% #
†"!$
> œ  '†"! 68Ð"  ")")†' Ñ
&
%
œ '†"! 68Ð"  !ß !!$Ñ
&
œ $'
Por lo tanto, una persona prudente debería abandonar la fiesta a los $' minutos.
"!Þ  Según la Ley de Torricelli, la rapidez con que baja el agua en un tanque en forma de
cilindro vertical que se vacía es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad
del agua en el tanque. Inicialmente, el agua tiene una profundidad de 9 pies y un
tapón es retirado en el tiempo > œ ! (horas). Después de una hora la profundidad ha
descendido a % pies. ¿Cuánto tiempo tardará el agua en salir del tanque?
Sea 2Ð>Ñ la altura del agua en el tanque en el instante >.
Entonces, 2w œ  5 È2 , de donde #È2 œ  5>  GÞ
Como 2Ð!Ñ œ *, tenemos que G œ ' y como 2Ð"Ñ œ %, 5 œ #Þ
Así, 2Ð>Ñ œ " Ð'  #>Ñ# œ #Ð$  >Ñ# Þ Finalmente, 2Ð>Ñ œ ! Í $  > œ ! Í > œ $Þ
#
Por lo tanto, el tanque demorará 3 horas en vaciarse.
""Þ Un tanque con capacidad para 400 galones está parcialmente lleno con 100 galones
de salmuera, con 10 libras de sal disuelta. Le entra salmuera con media libra de sal
por galón a razón de 6 gal/min. El contenido del tanque, bien mezclado, sale de él a
razón de 4 gal/min.
+Ñ Calcule la cantidad de sal después de 30 minutos.
Sea BÐ>Ñ la cantidad de sal en el tanque en el instante >.
%BÐ>Ñ
Entonces, Bw Ð>Ñ œ $  "!!#> Þ
Esta es una ecuación lineal, por lo tanto:
29

33. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
Ð' $ / .>  GÑ œ Ð&!>Ñ# Ð$' Ð&!  >Ñ# .>  GÑ
' %.> ' %.>
"
BÐ>Ñ œ / "!!#> "!!#>
"
œ Ð&!>Ñ# ÐÐ&!  >Ñ$  GÑ
Como BÐ!Ñ œ "! œ &!  G † &!# , de donde G œ  %! † &!#
%!†#&!!
Así, BÐ>Ñ œ &!  >  Ð&!>Ñ# Þ
Reemplazando para > œ $!, tenemos que a los $! minutos, la cantidad de sal es:
)!  %!†#&!! œ )!  "#& œ )!  "&ß '#& œ '%ß $(& libras
Ð)!Ñ# )
,Ñ Determinar después de cuántos minutos el tanque empezará a derramarse.
"!!  #> œ %!! Ê > œ "&! minutos.
-Ñ Determinar la concentración de la sal en el instante en que el tanque comienza a
derramarse.
La concentración de la sal es la cantidad presente por galón de mezcla, por lo que
dividimos la cantidad total por el contenido de mezcla en el tanque.
BÐ"&!Ñ œ #!!  %!†#&!! œ #!!  #ß & œ "*(ß & libras de sal.
Ð#!!Ñ#
"*(ß&
La concentración es entonces G œ %!! œ !ß %* libras de sal por galón.
"#Þ La rapidez con que aumenta el número de supermercados que emplea cajas
computarizadas en un país es conjuntamente proporcional a la cantidad de
supermercados que ya las emplean y a la cantidad que aún no lo hace. Si en el país
hay 2001 supermercados, inicialmente uno sólo adopta el sistema y después de un
mes lo hacen 3, calcule el número de supermercados que adoptará el sistema
después de 10 meses. ¿En cuántos meses aproximadamente, todos los
supermercados del país tendrán cajas computarizadas?
Sea WÐ>Ñ el número de supermercados que emplea cajas computarizadas en un
instante > (en meses). La cantidad de supermercados que aún no adopta el sistema
en un instante > dado es #!!"  WÐ>Ñ.
Entonces, WÐ!Ñ œ "ß WÐ"Ñ œ $.
30

34. Aplicaciones de l+s Ecuaciones de primer orden
La ecuación se expresa como: W w œ 5 WÐ#!!"  WÑ
" W
#!!" 68Ð #!!"W Ñ œ 5>  G
" "
Para > œ !ß #!!" 68Ð #!!! Ñ œ G y para > œ "ß
" $
#!!" 68Ð "**) Ñ œ 5  #!!" 68Ð #!!! Ñ Ê 5 œ #!!" 68Ð #!!! Ñ
" " "
'''
Reemplazando tenemos:
" W
#!!" 68Ð #!!"W Ñ œ #!!" 68Ð "!!! Ñ  #!!" 68Ð #!!! Ñ
>
$$$
" "
W
Ê #!!"W œ #!!! Ð "!!! Ñ>
"
$$$ Ê WÐ"  #!!! Ð "!!! Ñ> Ñ œ #!!! Ð "!!! Ñ>
"
$$$
#!!"
$$$
Luego,
#!!!†$$$> #!!"†"!!!>
WÐ>Ñ œ #!!" Ð "!!! Ñ> Ð #!!!†$$$> "!!!> Ñ œ #!!!†$$$> "!!!>
#!!! $$$
"!
En 10 meses, WÐ"!Ñ œ $$$#!!"†"!!! "! ¸ "*$'
"! #!!!"!!!
WÐ>Ñ œ #!!! Ê #!!! œ Ð "!!! Ñ> Ð #!!! Ñ Ê 68 % † "!' œ > 68 "!!!
$$$
"
$$$
#68#'68"!
Por lo tanto, > œ $68"!68$$$ ¸ "$ß )
En "% meses ya todos los supermercados tendrán cajas computarizadas.
"$Þ Suponga que una población dada puede dividirse en dos grupos: los que padecen
cierta infección y los que todavía no la padecen, pero que son susceptibles de
adquirirla por contagio de los anteriores. Si B e C son las proporciones de población
infectada y no infectada, entonces B  C œ ". Suponga que el ritmo de propagación
(.BÎ.>Ñ es conjuntamente proporcional a B e C .
+Ñ Determine la proporción de personas infectadas en el tiempo > en función del
número inicial de infectados B! ß (y el tiempo >).
.B B B
.> œ 5 BÐ"  BÑ Ê 68 "B œ 5 >  G! Ê "B œ G/5> Þ
B! B! /5>
Ahora, "B œ G , luego, BÐ>Ñ = Þ
! "B! B! /5>
31

35. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
,Ñ Si la población es de 100 personas e inicialmente hay una persona contagiada, y
al día siguiente hay 10 personas, determine en cuánto tiempo estará infectada toda
la población. ( Use 68 $ œ "ß " à 68 "" œ #ß %).
Como inicialmente hay una persona contagiada de 100 en total, B! œ !ß !"Þ
!ß!"/5> / 5>
Reemplazando, BÐ>Ñ = !ß**!ß!"/5> œ **/5> Þ
5
/ "
Como BÐ"Ñ œ **/5 œ "! , tenemos que 5 œ 68 ""Þ
>
""
Luego, BÐ>Ñ œ **""> .
Notemos que toda la población estará infectada cuando BÐ>Ñ œ ", es decir,
""> œ **  ""> , lo cual nos lleva a una contradicción, por lo que debemos buscar
otro camino.
**
Ahora bien, la población entera se habrá contagiado cuando BÐ>Ñ  "!! , es decir,
""> **
**"">  "!!
" **#
""> Ð "!! Ñ  "!!
#Ð#ß##ß%Ñ
>  #68 "" œ
68 **
#ß% ¸%
Por lo tanto, en 4 días se habrá contagiado toda la población.
"%Þ  Un profesor escribe los apuntes de su asignatura con una rapidez proporcional al
número de hojas escritas. Por otra parte uno de sus alumnos es capaz de leer estos
apuntes con una rapidez constante. Al comenzar el curso (que es de carácter anual),
el profesor entrega 10 hojas a sus alumnos y posteriormente se las va
proporcionando a medida que las escribe. Si este alumno en particular, al final del
tercer mes llevaba un atraso en la lectura de los apuntes de 20 páginas y al finalizar
el sexto mes llevaba un atraso de 70 páginas.
+Ñ Determine el número de páginas que entregó el profesor al finalizar el noveno
mes.
Sea LÐ>Ñ el número de hojas escritas por el profesor en el instante >, entonces:
.LÐ>Ñ
.> œ 5LÐ>Ñ Ê LÐ>Ñ œ G/5> .
La condición inicial LÐ!Ñ œ "!ß implica que G œ "!, por lo tanto:
32

36. Aplicaciones de l+s Ecuaciones de primer orden
LÐ>Ñ œ 10/5> .
Por otra parte, si PÐ>Ñ es el número de hojas leídas por el alumno, como la rapidez
de lectura es constante, digamos 7, entonces:
.PÐ>Ñ
.> œ 7 Ö PÐ>Ñ œ 7>  G"Þ
Como PÐ!Ñ œ !ß entonces G" œ !. Así, PÐ>Ñ œ 7>.
Además las relaciones À
LÐ$Ñ œ PÐ$Ñ  #!
LÐ'Ñ œ PÐ'Ñ  (!
implican
10e$5 œ $7  #!
10e'5 œ '7  (!Þ
Resolviendo el sistema tenemos que 5 œ 68$ ß de donde:
$
68$
LÐ>Ñ œ 10/ $ > .
Luego la cantidad de páginas que entregó el profesor al noveno mes es
LÐ*Ñ œ #(!Þ
,Ñ Si el curso duraba * meses ¿Cuántas páginas le faltaron por leer al alumno?
30 œ $7  #! Ê 7 œ "! Ê PÐ*Ñ œ $!ß por lo que le faltaron #%! páginas por
$
leer.
"&Þ  Considere los dos tanques de la figura. Inicialmente el tanque 1, contiene 200 litros
de solución salina en la que se han disuelto 40 kilos de sal. El tanque 2, que tiene
400 litros de capacidad, contiene 100 litros de solución salina con concentración de
"
sal de #5 kilos por litro.
En el instante > œ ! se abren simultáneamente las llaves A, B, C y D. Por A entra
"
solución con concentración de 10 kilos por litro a 10 litros por minuto. Por B pasa
la solución del tanque 1 al tanque 2 a 10 litros por minuto. Por C entra agua pura a
2 litros por minuto y por D sale solución a 6 litros por minuto.
33

37. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
C
A
B
Tanque 1
D
Tanque 2
+Ñ Determinar la cantidad de sal en el tanque 1 en un tiempo >.
Sea BÐ>Ñ la cantidad de sal en el tanque 1 en el instante >Þ El ritmo de entrada al
"
tanque 1 es de "! † "! kilos de sal por minuto y el ritmo de salida es de 10 litros por
BÐ>Ñ
minuto por #!! Þ
BÐ>Ñ
Luego , Bw Ð>Ñ œ "  #! , que corresponde a una ecuación es lineal, por lo tanto À
'
ÒG  ' /' #! .>Ó
.> .> > >
BÐ>Ñ œ / #! Ê BÐ>Ñ œ / #! ÒG  #! / #! ÓÞ
Como BÐ!Ñ œ %!ß entonces G œ #!ß luego:
>
BÐ>Ñ œ #!Ò/ #!  "ÓÞ
,Ñ Determinar el instante >" en que se llena el tanque 2.
El tanque 2 tiene capacidad para 400 litros. La llave B aporta 10 litros por minuto y
la llave C, 2 litros por minuto. Por la llave D salen 6 litros por minuto, luego,
"!!  '> œ %!!, de donde > œ &!, es decir, el tanque 2 se llena a los 50 minutos.
-Ñ Determinar la cantidad de sal en el tanque 2 en un tiempo !  >  >".
Sea CÐ>Ñ la cantidad de sal en el tanque # en el instante >Þ La sal que entra en el
tanque proviene toda del estanque 1. Entonces,
>
w #!Ð"/ #! Ñ 'CÐ>Ñ
C Ð>Ñ œ "! † #!!  "!!'> .
Como esta ecuación es lineal tenemos:
34

38. Aplicaciones de l+s Ecuaciones de primer orden
'
ÒG  ' Ð"  / #! Ñ/' "!!'> .> .>Ó
' > '
CÐ>Ñ œ / "!!'> .>
œ "!!'> ÒG  ' Ð"  / #! ÑÐ"!!  '>Ñ.>Ó
" >
" >
œ "!!'> ÒG  "!!>  $>#  / #! Ð%%!!  "#!>ÑÓÞ
"
Como la concentración de sal en el instante inicial es #5 kilos por litro tenemos À
" CÐ!Ñ
#5 œ "!! Ö CÐ!Ñ œ % Ö G œ %)!!Þ
" >
Así, CÐ>Ñ œ "!!'> Ò%)!!  "!!>  $>#  / #! Ð%%!!  "#!>ÑÓÞ
.Ñ Determinar la concentración de sal en cada tanque en el instante en el cual el
segundo tanque comienza a derramarse.
" BÐ>Ñ >
La concentración de sal en el tanque 1 es #!! œ "! Ò/ #!  "Ó.
" &
Luego, a los 50 minutos la concentración es de "! Ò/ #  "ÓÞ
La concentración en el tanque 2 a los 50 minutos es:
CÐ&!Ñ " &
"!!'†&! œ Ð%!!Ñ# Ò%)!!  &!!!  (&!!  / # Ð%%!!  '!!!ÑÓ
" &
œ "'! Ð"($  "!% / # ÑÞ
"'Þ Por razones obvias, la sala de disección de un forense se mantiene fría a una
temperatura constante de 5ºC. Mientras se encontraba realizando una autopsia de la
víctima de un asesinato, el propio forense es asesinado, y el cuerpo de la víctima,
robado. A las 9:00 A.M. el ayudante descubre su cadáver a una temperatura de
21ºC. A mediodía, su temperatura es de 13ºC. Suponiendo que el forense tenía en
vida una temperatura normal de 37ºC, ¿a qué hora fue asesinado?
Fijemos > œ ! a las 9:00 horas.
Sean X Ð>Ñ la temperatura del cuerpo en un instante >, y E la temperatura ambiente.
Entonces X Ð!Ñ œ #"ß X Ð$Ñ œ "$ y E œ &Þ
35

39. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
Queremos encontrar > tal que X Ð>Ñ œ $(Þ
Sea ?X œ X  EÞ Por la ley del enfriamiento de Newton,
. ?X
.> œ 5 ?X , de donde ?X œ G /5 > Þ
Luego, X Ð>Ñ œ G/5>  E œ G/5>  &Þ
Reemplazando en las condiciones iniciales: X Ð!Ñ œ #" œ G  &, de donde G œ "'Þ
Ahora, X Ð$Ñ œ "$ œ "'/$5  &, es decir  68# œ $5 , de donde 5 œ  " 68#Þ
$
>
Así, X Ð>Ñ œ "'/ $ 68 #  & œ "'Ð#Ñ>Î$  &.
Ahora, $( œ "'Ð#Ñ>Î$  & Ê # œ #>Î$ Ê > œ  $.
Por lo tanto, el forense fue asesinado tres horas antes que se encontrara el cuerpo, es
decir, a las 6:00 de la mañana.
"(Þ  Una fábrica de papel está situada cerca de un río con un flujo constante de 1000
m3 /seg, el cual va a dar a la única entrada de un lago que tiene un volumen de
109 73 . Suponga que en el tiempo > œ !, la fábrica de papel comienza a bombear
contaminantes en el río a razón de " 73 Î=/1, y que la entrada y salida de agua son
constantes.
+Ñ ¿Cuál será la concentración de contaminantes en cualquier instante?
Tenemos que el volumen total es Z œ "!* , la velocidad de entrada y de salida es
1
"!!"7$ Î=/1, la concentración de contaminantes que entra al lago es 1001 . Luego
la ecuación queda:
.BÐ>Ñ 1 BÐ>Ñ B
.> œ "!!" † 1001  "!* † "!!" o bien Bw  "!* † "!!" œ ".
La solución de esta ecuación lineal es:
’G  ' /
' '
.>“
"!!" "!!"
.> .>
BÐ>Ñ œ / "!* "!*
’G  "!!" / "!* “
 "!!" > "! * "!!"
>
BÐ>Ñ œ / "!*
*
"!
Como BÐ!Ñ œ ! tenemos G  "!!" œ !, es decir,
36

40. Aplicaciones de l+s Ecuaciones de primer orden
*
"!
G œ  "!!"
"!*  "!!" >
Luego, BÐ>Ñ œ "!!" Ð"  / "!* ÑÞ
BÐ>Ñ "  "!!" >
Así, la concentración es Z œ "!!" Ð"  / "!* Ñ
,Ñ Suponga que la fábrica de papel deja de contaminar el río después de una hora.
Halle una expresión para la concentración de contaminantes en el lago en cualquier
tiempo >.
Después de 1 hora (3.600 segundos) el ritmo de entrada es ! y la ecuación queda:
B
Bw œ  "!' , de donde:
>
 "!'
BÐ>Ñ œ G /
"!*  "!!" $'
Como BÐ$Þ'!!Ñ œ "!!" Ð"  / "!( Ñ, tenemos que:
"! *  "!!" $' $'
G œ "!!" Ð"  / ("! Ñ/ "!% Þ
Así, para >  $Þ'!!, la concentración es:
$Þ'!!>
BÐ>Ñ / "!'  $'!$'
10* œ "!!" Ð"  / "!(
Ñ
y para >  $Þ'!! es la que se encontró en la parte +Ñ.
37

41. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
38

42. ECUACIONES DIFERENCIALES
DE ORDEN SUPERIOR
Operador diferencial lineal.
Sea G 8 ÒMÓ el espacio vectorial de todas las funciones reales que admiten derivadas
continuas en M al menos hasta el orden 8, GÒMÓ, el espacio vectorial de las funciones
continuas en M . Una transformación lineal P À G 8 ÒMÓ Ä GÒMÓ se dice que es un operador
diferencial lineal de orden 8 si puede expresarse de la forma:
P œ +8 ÐBÑH8  +8" ÐBÑH8"  á  +" ÐBÑH  +! ÐBÑ
donde +8 ß +8" ß á ß +" ß +! ß son funciones reales continuas en algún intervalo M y
+8 ÐBÑ Á ! para todo B − MÞ
Los operadores diferenciales lineales con coeficientes variables no se pueden multiplicar
algebraicamente usando las propiedades usuales del álgebra de polinomios. En cambio,
cuando tienen sólo coeficientes constantes se comportan como si fueran polinomios en H.
Por ejemplo,
ÐH  BÑÐH  BÑÐCÑ œ ÐH  BÑÐC w  BCÑ œ C w w  C  B# C ,
y en cambio, ÐH#  B# ÑÐCÑ œ C w w  B# C .
Ecuación lineal de orden superior.
Una ecuación diferencial lineal de orden 8 es una ecuación de la forma:
PÐCÑ œ 0 ÐBÑ
donde P es un operador diferencial lineal definido en algún intervalo real M y 0 una
función real definida en MÞ
Si 0 ´ ! en M , decimos que la ecuación es homogénea.
Para una ecuación lineal de orden 8ß un P.V.I. tiene además 8 condiciones iniciales
CÐB! Ñ œ C! ß C w ÐB! Ñ œ C" ß á ß C Ð8"Ñ ÐB! Ñ œ C8" Þ
39

43. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
Teorema de existencia y unicidad.
Si P es un operador diferencial lineal definido en un intervalo real M . El P.V.I.
PÐCÑ œ 0 ÐBÑ sujeto a las condiciones iniciales C Ð3Ñ ÐB! Ñ œ C3 ß 3 œ !ß á ß 8  ", tiene una
única solución CÐBÑ en el intervalo M .
Principios de superposición.
Ecuaciones homogéneas: Sean C" ß á ß C5 soluciones de la ecuación diferencial
homogénea de orden 8ß PÐCÑ œ !. Entonces toda combinación lineal
C œ G" C"  á  G5 C5 ß donde cada G3 ß 3 œ "ß á ß 5ß es una constante arbitraria, es
también solución de la ecuación.
Ecuaciones no homogéneas: Sea C:3 una solución particular de la ecuación no homogénea
PÐCÑ œ 03 ÐBÑß 3 œ "ß á ß 5 . Entonces C: œ C:"  á  C:5 es una solución particular de la
ecuación no homogénea PÐCÑ œ 0" ÐBÑ  á  05 ÐBÑÞ
Wronskiano.
Sean C" ß á ß C8 − G Ð8"Ñ ÒMÓ. Se define el Wronskiano de las funciones C" ß á ß C8 como el
determinante:
â C â
â " â
â Cw â
C# â C8
â " â
[ ÐC" ß á ß C8 Ñ œ â ã â
w w
C# â C8
â â
â Ð8"Ñ Ð8"Ñ â
ã ã
â C" Ð8"Ñ
C# â C8 â
Criterio para soluciones linealmente independientes.
Si C" ß á ß C8 son soluciones de la ecuación homogénea de orden 8ß PÐCÑ œ !ß entonces
el conjunto { C" ß á ß C8 } es 6Þ3Þ si y sólo si [ (C" ß á ß C8 ) Á 0.
Conviene notar que [ ÐC" ß á ß C8 Ñ es o bien idénticamente igual a ! o nunca es cero en M
por lo que muchas veces resulta más cómodo evaluar primero las funciones y sus derivadas
en algún punto B! del intervalo M y luego calcular el determinante.
40

44. I-?+-38/= H30 /</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<
Solución general de la ecuación diferencial lineal de orden n.
Si C" ß á ß C8 son soluciones 6Þ3Þ de la ecuación de orden 8ß PÐCÑ œ ! en un intervalo M ,
entonces decimos que ÖC" ß á ß C8 × es un sistema fundamental de soluciones y la
solución general de la ecuación en M está dada por:
CÐBÑ œ G" C"  á  G8 C8 ß
con G" ß á ß G8 constantes reales arbitrarias.
Diremos que dos ecuaciones diferenciales son equivalentes si tienen el mismo sistema
fundamental de soluciones.
Todo conjunto linealmente independiente ÖC" ß á ß C8 × es el sistema fundamental de
â â
â C Cw â C Ð8Ñ â
soluciones de la ecuación diferencial lineal de orden 8 definida por:
â â
â C" Cw â C Ð8Ñ â
â " â œ !
â ã ã â
â â
"
â Ð8Ñ â
ã
â C8 C8 â C8 â
w
La solución general de la ecuación lineal no homogénea de orden 8ß PÐCÑ œ 0 ÐBÑ está
dada por:
CÐBÑ œ C2 ÐBÑ  C: ÐBÑß
donde C2 ÐBÑ es la solución general de la ecuación homogénea PÐCÑ œ ! e C: ÐBÑ es una
solución particular de la ecuación no homogénea.
Fórmula de Abel.
Conociendo una solución de una ecuación homogénea de segundo orden, la fórmula de
Abel nos permite encontrar una segunda solución 6Þ3Þ
Sea C" Á ! en un intervalo M , una solución no trivial de la ecuación diferencial de segundo
orden Cw w  +" ÐBÑ C w  +! ÐBÑ C œ !. Entonces la solución general de la ecuación está dada
por:
CÐBÑ œ G" C" ÐBÑ  G# C# ÐBÑ,
donde C# ÐBÑ œ C" ÐBÑ '
'
/ +" ÐBÑ.B
#
C" ÐBÑ
.B
41

45. ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos
Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.
Sea P un operador diferencial lineal con coeficientes constantes. En tal caso, P se
comporta como un polinomio real en la variable H y por tanto puede escribirse como
producto de factores lineales y/o cuadráticos irreducibles en ‘, digamos P œ P" † P# â
P5 ß 5 −  y P3 irreducible en ‘. Entonces toda solución de la ecuación lineal P3 ÐCÑ œ !,
3 œ "ß á 5ß es también solución de PÐCÑ œ !.
Caso 1. Si P3 œ ÐH  ! Ñ , entonces P3 tiene una solución:
C3 ÐBÑ œ /!B
Caso 2. Si P3 œ H#  +H  , es irreducible en ‘ con raíces complejas !  " 3, entonces
P3 tiene las dos soluciones 6Þ3Þ:
C3 ÐBÑ œ /! B -9= " B , C3 ÐBÑ œ /! B =/8 " BÞ
‡
Caso 3. Si P3 œ ÐH  ! Ñ: ß :  "ß entonces P3 tiene : soluciones 6Þ3Þ:
C3" ÐBÑ œ /! B ß C3# ÐBÑ œ B/!B ß á ß C3: ÐBÑ œ B:" /!B
Caso 4. Si P3 œ ÐH#  +H  ,Ñ: ß :  "ß H#  +H  , irreducible en ‘ con raíces
complejas !  " 3, entonces P3 tiene #: soluciones 6Þ3Þ:
C3" ÐBÑ œ /! B -9= " B C3" ÐBÑ œ /! B =/8 " B
‡
C3# ÐBÑ œ B/! B -9= " B C3# ÐBÑ œ B/! B =/8 " B
‡
ã ã
C3: ÐBÑ œ B:" /! B -9= " B C3: ÐBÑ œ B:" /! B =/8 " B
‡
Solución particular de una ecuación no homogénea con coeficientes constantes.
Método del Aniquilador.
Sea P‡ un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y 0 una función definida
en un intervalo M . Si P‡ Ð0 ÐBÑÑ œ ! decimos que P‡ es un aniquilador de 0 . Distinguimos
los siguientes casos:
El operador diferencial H8 aniquila todo polinomio de grado menor o igual a 8  ".
El operador diferencial ÐH  !Ñ8 aniquila toda función de la forma :ÐBÑ/!B , donde :ÐBÑ
es un polinomio de grado menor o igual a 8  ".
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46. I-?+-38/= H30 /</8-3+6/= ./ 9<./8 =?:/<39<
El operador diferencial ÐH#  +H  ,Ñ8 , con H#  +H  , irreducible en ‘ con raíces
complejas !  " 3, aniquila toda función de la forma /!B Ð:ÐBÑ -9= " B  ;ÐBÑ =/8 " BÑ, con
: y ; polinomios de grado menor o igual a 8  ".
Algoritmo para encontrar una solución particular C: ÐBÑ.
Consideremos la ecuación no homogénea PÐCÑ œ 0 ÐBÑ.
Paso 1: Encontrar la solución C2 ÐBÑ de la ecuación homogénea PÐCÑ œ ! y un aniquilador
P‡ de la función 0 .
Paso 2: Aplicar el operador P‡ a la ecuación PÐCÑ œ 0 ÐBÑ y obtener la solución general
C‡ ÐBÑ de la ecuación homogénea P‡ PÐCÑ œ !.
Paso 3: Eliminar de C‡ todos los términos que se repiten en la solución C2 . La combinación
lineal con los términos restantes es C: ÐBÑ, la solución particular de la ecuación original
PÐCÑ œ 0 ÐBÑ.
Paso 4: Calcular PÐC: Ñ e igualar a 0 ÐBÑ para despejar las constantes en C: . La solución
general de la ecuación es entonces CÐBÑ œ C2 ÐBÑ  C: ÐBÑ.
Solución particular de una ecuación lineal no homogénea. Método de variación de
parámetros.
Consideremos la ecuación diferencial lineal de orden 8:
CÐ8Ñ  +8" ÐBÑ C Ð8"Ñ  á  +" ÐBÑ C w  +! ÐBÑ C œ 0 ÐBÑ
con +8" ß á ß +" ß +! ß 0 definidas en un intervalo M . Si la solución de la ecuación
homogénea asociada es:
C2 ÐBÑ œ G" C" ÐBÑ  á  G8 C8 ÐBÑ
entonces, una solución particular de la ecuación no homogénea está dada por:
C: ÐBÑ œ ." ÐBÑ C" ÐBÑ  á  .8 ÐBÑ C8 ÐBÑ
donde las funciones .w3 ÐBÑ se determinan resolviendo el sistema:
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