Ecuaciones de segundo grado

1. ECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO
Área de matemática
Gimnasio campestre
Grado 9´s
2018

2. ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado o ecuación
cuadrática, es aquella en la cual la mayor
potencia de la variable en la ecuación, es dos.
ECUACIONESDESEGUNDOGRADO
La expresión general de una ecuación
cuadrática es:
Donde x representa la variable y a, b, c son
constantes.
a es el coeficiente del termino cuadrático
(distinto de cero)
b el coeficiente del termino lineal
c es el termino independiente
𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎; 𝒂 ≠ 𝟎

3. ECUACIONESDESEGUNDOGRADO
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Ecuación de segundo grado
Incompleta
Cuando 𝒃 = 𝟎
𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒄 = 𝟎
Completa
Cuando 𝐜 = 𝟎
𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 = 𝟎
Cuando 𝒃 = 𝟎 𝒚 𝒄 = 𝟎
𝒂𝒙 𝟐
= 𝟎
Cuando 𝒃 ≠ 𝟎 𝒚 𝒄 ≠ 𝟎
𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

4. Solucionar una ecuación
de segundo grado es
encontrar él o los valores
numéricos (raíces)que
remplazan la variable y
satisfacen la ecuación.
SOLUCIÓNDEECUACIONESDE
SEGUNDOGRADO
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO

5. ECUACION DE LA FORMA 𝒂𝒙 𝟐
= 𝟎
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOINCOMPLETAS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Las ecuaciones de esta forma se resuelve así:
𝒙 = 𝟎
𝒙 𝟐=
𝟎
𝒂
𝒙 𝟐= 𝟎
𝒙 𝟐 = 𝟎
𝒂𝒙 𝟐= 𝟎
Por lo tanto, las ecuaciones de la forma 𝒂𝒙 𝟐 = 𝟎
tienen como solución única 𝒙 = 𝟎

6. EJEMPLO
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOINCOMPLETAS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Resuelve la siguiente ecuación:
𝒙 = 𝟎
𝒙 𝟐=
𝟎
𝟓
𝒙 𝟐= 𝟎
𝒙 𝟐 = 𝟎
𝟓𝒙 𝟐= 𝟎

7. ECUACION DE LA FORMA 𝒂𝒙 𝟐
+𝒃𝒙 = 𝟎
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOINCOMPLETAS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Las ecuaciones de esta forma se resuelve así:
𝒙 = 𝟎
𝒙 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎
𝒙 = 𝟎
𝒂𝒙 𝟐
+𝒃𝒙 = 𝟎
En consecuencia, las ecuaciones de la forma 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎
Tienen dos soluciones:
𝒙 = 𝟎
Se saca factor común x
ó
𝒙 = −
𝒃
𝒂
Se igualan a cero ambos
factores
ó 𝒂𝒙 = −𝒃
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎
Se resuelven las
ecuación resultantes
Y 𝒙 = −
𝒃
𝒂

8. EJEMPLO 1:
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOINCOMPLETAS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Resuelve la siguiente ecuación:
𝒙 = 𝟎
𝒙 −𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟎
𝒙 = 𝟎
−𝟑𝒙 𝟐+𝟐𝒙 = 𝟎
Las soluciones de la ecuación son:
𝒙 𝟏 = 𝟎
Se saca factor común x
ó
𝒙 =
−𝟐
−𝟑
Se igualan a cero ambos
factores
ó −𝟑𝒙 = −𝟐
−𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟎
Se resuelven las
ecuación resultantes
Y 𝒙 𝟐 =
𝟐
𝟑
𝒙 =
𝟐
𝟑

9. EJEMPLO 2:
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOINCOMPLETAS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Resuelve la siguiente ecuación:
𝒙 = 𝟎
𝟐𝒙 𝒙 − 𝟐 = 𝟎
𝟐𝒙 = 𝟎
𝟐𝒙 𝟐
−𝟒𝒙 = 𝟎
Las soluciones de la ecuación son:
𝒙 𝟏 = 𝟎
Se saca factor común 2x
ó
Se igualan a cero ambos
factores
ó 𝒙 = 𝟐
𝒙 − 𝟐 = 𝟎
Se resuelven las
ecuación resultantes
Y 𝒙 𝟐 = 𝟐

10. ECUACION DE LA FORMA 𝒂𝒙 𝟐
+𝒄 = 𝟎
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOINCOMPLETAS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Las ecuaciones de esta forma se resuelve así:
𝒂𝒙 𝟐
= −𝒄
𝒂𝒙 𝟐
+𝒄 = 𝟎
En consecuencia, las ecuaciones de la forma 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒄 = 𝟎
Tienen dos soluciones:
𝒙 𝟏 = + −
𝒄
𝒂
𝒙 = ± −
𝒄
𝒂
𝒙 𝟐 = −
𝒄
𝒂
Y 𝒙 𝟐 = − −
𝒄
𝒂

11. EJEMPLO 1:
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOINCOMPLETAS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Resuelve la siguiente ecuación:
−𝟐𝟓𝒙 𝟐= −𝟒
−𝟐𝟓𝒙 𝟐
+𝟒 = 𝟎
Las soluciones de la ecuación son:
𝒙 𝟏 = +
𝟐
𝟓
𝒙 = ±
𝟒
𝟐𝟓
𝒙 𝟐
=
−𝟒
−𝟐𝟓
Y 𝒙 𝟐 = −
𝟐
𝟓
𝒙 𝟐 =
𝟒
𝟐𝟓
𝒙 = ±
𝟐
𝟓

12. EJEMPLO 2:
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOINCOMPLETAS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Resuelve la siguiente ecuación:
𝟑𝒙 𝟐 = 𝟐𝟕
𝟑𝒙 𝟐
−𝟐𝟕 = 𝟎
Las soluciones de la ecuación son:
𝒙 𝟏 = +𝟑
𝒙 = ± 𝟗
𝒙 𝟐 =
𝟐𝟕
𝟑
Y 𝒙 𝟐 = −𝟑
𝒙 𝟐
= 𝟗 𝒙 = ±𝟑

13. Ejercicios propuestos:
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo
grado.
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOINCOMPLETAS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
1) 𝒙 𝟐
− 𝟒𝟗 = 𝟎
3) 𝟑𝒙 𝟐
− 𝟑𝟗 = 𝟎
2) 𝒙 𝟐
− 𝟖𝒙 = 𝟎
4) 𝟏𝟎𝒙 𝟐 = 𝟎
5) −𝟓𝒙 𝟐
− 𝟏𝟐𝒙 = 𝟎
6) 𝟒𝒙 𝟐
= −𝟑𝟐𝒙
7) 𝟑𝒙 𝟐
= 𝟏𝟐

14. Las ecuaciones de segundo grado completas
es decir de la forma 𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, se pueden
resolver utilizando los siguientes métodos:
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOCOMPLETAS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Solución por factorización
Solución por completación de cuadrados
Solución por la formula general
✓
✓
✓

15. PROCEDIMIENTO:
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORFACTORIZACION
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
En toda ecuación cuadrática uno de sus
miembros es un polinomio de segundo grado y
el otro es cero, entonces:
✓ Obtenido el producto de binomios, debemos
buscar el valor de x de cada uno.
✓ cuando el polinomio de segundo grado pueda
factorizarse, tenemos que convertirlo en un
producto de binomios.
✓ Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se
despeja la variable.
✓ Luego hallamos las soluciones

16. EJEMPLO 1:
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORFACTORIZACION
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Resuelve la siguiente ecuación:
𝒙 − 𝒙 + = 𝟎
𝒙 𝟐
−𝒙 − 𝟐𝟎 = 𝟎
Las soluciones de la ecuación son:
𝒙 𝟏 = 𝟓
𝒙 − 𝟓 = 𝟎
Y 𝒙 𝟐 = −𝟒
ó 𝒙 + 𝟒 = 𝟎
𝒙 = 𝟓 ó 𝒙 = −𝟒
Factorizamos el trinomio
Igualamos a cero cada factor
Resolvemos cada ecuación
Dos números que
multiplicados
den −𝟐𝟎 y
restados den −𝟏
𝟓 𝟒

17. Las soluciones de la ecuación
son:
EJEMPLO 2:
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORFACTORIZACION
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Resuelve la siguiente ecuación:
𝟒𝒙 − 𝟒𝒙 − = 𝟎
𝟒𝒙 𝟐
− 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗 = 𝟎
𝟒𝒙 − 𝟔 = 𝟎
Y
ó 𝟒𝒙 − 𝟔 = 𝟎
𝟒𝒙 = −𝟔 ó 𝟒𝒙 = 𝟔
Factorizamos
el trinomio
Igualamos a cero cada factor
Resolvemos cada ecuación
Dos números que
multiplicados den
𝟑𝟔 y sumados den
− 𝟏𝟐
𝟔 𝟔
Multiplicamos la ecuación por 4𝟒
𝟏𝟔𝒙 𝟐
−𝟏𝟐 𝟒 𝒙 +𝟑𝟔 = 𝟎
𝒙 =
−𝟔
𝟒
𝒙 =
−𝟑
𝟐
ó
ó
𝒙 =
𝟔
𝟒
𝒙 =
𝟑
𝟐
𝟒𝒙 𝟐−𝟏𝟐𝒙 + 𝟗 = 𝟎
𝒙 𝟏 =
−𝟑
𝟐
𝒙 𝟐 =
𝟑
𝟐

18. Ejercicios propuestos:
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo
grado utilizando el método de factorización.
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOCOMPLETAS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
1) 𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟐𝟖𝟖 = 𝟎
3) 𝟒𝒙 𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝟐 = 𝟎
2) 𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 − 𝟖𝟒 = 𝟎
4) 𝟔𝒙 𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟐 = 𝟎
5) 𝒙 𝟐
+ 𝟑𝒙 − 𝟒 = 𝟎
6) 𝒙 𝟐
− 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎
7) 𝟔𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟏 = 𝟎

19. SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORCOMPLETACIONDECUADRADOS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Consiste en completar un
trinomio cuadrado
perfecto en el primer
miembro de la ecuación,
para factorizarlo; a ya a
partir de allí despejas la
incógnita y obtener la
solución de la ecuación.

20. PROCEDIMIENTO:
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORCOMPLETACIONDECUADRADOS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 Verificamos que la ecuación
esta en su forma estándarDividimos a todos los
términos entre ≪ 𝒂 ≫ el
coeficiente del termino
cuadráticos
Transponemos el termino
independiente al segundo
miembro de la ecuación.Completamos el trinomio
cuadrado perfecto en el
primer miembro. Para esto
agregamos a los dos
miembros el cuadrado de
la mitad del coeficiente
del termino lineal
Factorizamos el primer
miembro de la ecuación
Despejamos la incógnita y
efectuamos las
operaciones indicadas
De esta manera se obtiene
la ultima expresión que es
la solución de la ecuación
𝒙 𝟐 +
𝒃𝒙
𝒂
+
𝒄
𝒂
= 𝟎
𝒙 𝟐 +
𝒃𝒙
𝒂
= −
𝒄
𝒂
𝒙 𝟐 +
𝒃𝒙
𝒂
+
𝒃
𝟐𝒂
𝟐
= −
𝒄
𝒂
+
𝒃
𝟐𝒂
𝟐
𝒙 +
𝒃
𝟐𝒂
𝟐
= −
𝒄
𝒂
+
𝒃 𝟐
𝟒𝒂 𝟐
𝒙 +
𝒃
𝟐𝒂
=
−𝟒𝒂𝒄 + 𝒃 𝟐
𝟒𝒂 𝟐
𝒙 =
−𝒃
𝟐𝒂
±
−𝟒𝒂𝒄 + 𝒃 𝟐
𝟒𝒂 𝟐
𝒙 =
−𝒃 ± 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂

21. Dividimos a todos los
términos entre ≪ 𝟐 ≫ el
coeficiente del termino
cuadráticos
Transponemos el termino
independiente al segundo
miembro de la ecuación.
EJEMPLO 1 :SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORCOMPLETACIONDECUADRADOS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟗 = 𝟎
𝒙 𝟐
−
𝟑𝒙
𝟐
−
𝟗
𝟐
= 𝟎
𝒙 𝟐 −
𝟑𝒙
𝟐
=
𝟗
𝟐
𝒙 𝟐
−
𝟑𝒙
𝟐
+
𝟑
𝟒
𝟐
=
𝟗
𝟐
+
𝟑
𝟒
𝟐
𝒙 −
𝟑
𝟒
𝟐
=
𝟗
𝟐
+
𝟗
𝟏𝟔
𝒙 −
𝟑
𝟒
𝟐
=
𝟖𝟏
𝟏𝟔
𝒙 −
𝟑
𝟒
𝟐
=
𝟖𝟏
𝟏𝟔
Completamos el trinomio
cuadrado perfecto en el
primer miembro. Se
agrega el cuadrado de la
mitad del coeficiente del
termino lineal a los dos
lados
𝟑
𝟐
÷ 𝟐 =
𝟑
𝟒
→
𝟑
𝟒
𝟐
Factorizamos el trinomio
del primer miembro.
Despejamos la incógnita y
efectuamos las
operaciones indicadas

22. EJEMPLO 1 :SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORCOMPLETACIONDECUADRADOS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
𝒙 −
𝟑
𝟒
= ±
𝟗
𝟒
𝒙 =
𝟑
𝟒
±
𝟗
𝟒
𝒙 𝟏 =
𝟑
𝟒
+
𝟗
𝟒
=
𝟏𝟐
𝟒
= 𝟑 𝒙 𝟐 =
𝟑
𝟒
−
𝟗
𝟒
= −
𝟔
𝟒
= −
𝟑
𝟐

23. Dividimos a todos los
términos entre ≪ 𝟑 ≫ el
coeficiente del termino
cuadráticos
Transponemos el termino
independiente al segundo
miembro de la ecuación.
EJEMPLO 2 :SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORCOMPLETACIONDECUADRADOS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
𝟑𝒙 𝟐 + 𝟏𝟕𝒙 + 𝟐𝟎 = 𝟎
𝒙 𝟐
+
𝟏𝟕𝒙
𝟑
+
𝟐𝟎
𝟑
= 𝟎
𝒙 𝟐
+
𝟏𝟕𝒙
𝟑
= −
𝟐𝟎
𝟑
𝒙 𝟐 +
𝟏𝟕𝒙
𝟑
+
𝟏𝟕
𝟔
𝟐
= −
𝟐𝟎
𝟑
+
𝟏𝟕
𝟔
𝟐
𝒙 +
𝟏𝟕
𝟔
𝟐
= −
𝟐𝟎
𝟑
+
𝟐𝟖𝟗
𝟑𝟔
𝒙 +
𝟏𝟕
𝟔
𝟐
=
𝟒𝟗
𝟑𝟔
𝒙 +
𝟏𝟕
𝟔
𝟐
=
𝟒𝟗
𝟑𝟔
Completamos el trinomio
cuadrado perfecto en el
primer miembro. Se
agrega el cuadrado de
la mitad del coeficiente
del termino lineal a los
dos lados
𝟏𝟕
𝟑
÷ 𝟐 =
𝟏𝟕
𝟔
→
𝟏𝟕
𝟔
𝟐
Factorizamos el trinomio
del primer miembro.
Despejamos la incógnita y
efectuamos las
operaciones indicadas

24. EJEMPLO 2 :SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORCOMPLETACIONDECUADRADOS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
𝒙 −
𝟏𝟕
𝟔
= ±
𝟕
𝟔
𝒙 = −
𝟏𝟕
𝟔
±
𝟕
𝟔
𝒙 𝟏 = −
𝟏𝟕
𝟔
+
𝟕
𝟔
= −
𝟏𝟎
𝟔
= −
𝟓
𝟑
𝒙 𝟐 = −
𝟏𝟕
𝟔
−
𝟕
𝟔
= −
𝟐𝟒
𝟔
= −𝟒

25. Ejercicios propuestos:
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo
grado utilizando el método de completacion de
cuadrados.
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOCOMPLETAS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
1) 𝒙 𝟐
+ 𝟔𝒙 + 𝟗 = 𝟒
3) 𝟑𝒙 𝟐
− 𝟏𝟖𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎
2) 𝟒𝒙 𝟐
+ 𝟖𝒙 − 𝟏 = 𝟎
4) 𝒙 𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎
5) 𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟓𝒙 + 𝟏 = 𝟎
6) 𝒙 𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝟐 = 𝟎
7) 𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 − 𝟏 = 𝟎

26. SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORFORMULAGENERAL
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Es la expresión que de manera general indica la
solución de cualquier ecuación cuadrática o de
segundo grado. Se ha obtenido empleando el
método de completar cuadrados
𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
𝒙 =
−𝒃 ± 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂

27. PROCEDIMIENTO:
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORFORMULAGENERAL
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Reemplazar los coeficientes de
la ecuación cuadrática en la
formula general
Resolver las operaciones indicadas
Escribir la solución de la ecuación.
✓
✓
✓

28. EJEMPLO 1:
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORFORMULAGENERAL
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Resolvamos la siguiente ecuación por
formula general
𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟎 𝒙 =
−𝒃 ± 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Reemplazamos
los coeficientes
de la ecuación
en la formula
𝒂 = 𝟏; 𝒃 = −𝟓; 𝒄 = 𝟔
𝒙 = −𝟓− ± −𝟓
𝟐
−𝟒 𝟏 𝟔
𝟐 𝟏
𝒙 =
𝟓 ± 𝟐𝟓 − 𝟐𝟒
𝟐

29. SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORFORMULAGENERAL
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
𝒙 =
=
±
𝟏
𝒙 =
𝟓 ± 𝟏
𝟏
+
𝟐
𝟐
𝟓
𝒙 𝟏 =
𝟓
𝟐
𝟔
𝟐
= 𝟑
𝒙 𝟐 =
𝟓 − 𝟏
𝟐
=
𝟒
𝟐
= 𝟐

30. EJEMPLO 2:
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORFORMULAGENERAL
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Resolvamos la siguiente ecuación por
formula general
𝟐𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙 − 𝟗 = 𝟎 𝒙 =
−𝒃 ± 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Reemplazamos
los coeficientes
de la ecuación
en la formula
𝒂 = 𝟐; 𝒃 = −𝟑; 𝒄 = −𝟗
𝒙 = −𝟑− ± −𝟑
𝟐
−𝟒 𝟐 −𝟗
𝟐 𝟐
𝒙 =
𝟑 ± 𝟗 + 𝟕𝟐
𝟒

31. SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORFORMULAGENERAL
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
𝒙 =
=
±
𝟗
𝒙 =
𝟑 ± 𝟖𝟏
𝟗
+
𝟒
𝟒
𝟑
𝒙 𝟏 =
𝟑
𝟒
𝟏𝟐
𝟒
= 𝟑
𝒙 𝟐 =
𝟑 − 𝟗
𝟒
= −
𝟔
𝟒
= −
𝟑
𝟐

32. Ejercicios propuestos:
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo
grado utilizando la formula general
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOCOMPLETAS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
1) 𝟐𝒙 𝟐
− 𝟕𝒙 + 𝟑 = 𝟎
3) 𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎
2) −𝒙 𝟐
+ 𝟕𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎
4) 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 = 𝟎
5) 𝟕𝒙 𝟐
+ 𝟐𝟏𝒙 − 𝟐𝟖 = 𝟎
6) 𝒙 𝟐
− 𝟕𝒙 − 𝟏𝟖 = 𝟎
7) 𝟔𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟏 = 𝟎

33. SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADODERAICESCOMPLEJAS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
En el sistema de los números complejos esta ecuación si
tiene solución. Es más cualquier ecuación cuadrática
siempre tiene soluciones en los números complejos.
La ecuación 𝒙 𝟐
= −𝟒 es de segundo grado.
Evidentemente no tiene raíces reales.
PROCEDIMIENTO
✓ Aplicamos la formula cuadrática.
✓ Se aplica la definición de número imaginario.
✓
✓
Se simplifica las expresiones resultantes.
Se concluye.

34. EJEMPLO 1:
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORFORMULAGENERAL
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Resolvamos la siguiente ecuación:
𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟐 = 𝟎 𝒙 =
−𝒃 ± 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Reemplazamos
los coeficientes
de la ecuación
en la formula
𝒂 = 𝟏; 𝒃 = −𝟐; 𝒄 = 𝟐
𝒙 = −𝟐− ± −𝟐
𝟐
−𝟒 𝟏 𝟐
𝟐 𝟏
𝒙 =
𝟐 ± 𝟒 − 𝟖
𝟐

35. SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORFORMULAGENERAL
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
𝒙 =
±
𝒙 =
𝟐 ± −𝟒
𝟐𝒊
𝟐
𝟐
𝟐
𝒙 𝟏 = 𝟏 + 𝒊
𝒙 𝟐 = 𝟏 − 𝒊
Aplicamos definición de
la unidad imaginaria 𝒊 =
−𝟏.
Si −𝒑 = 𝒑 ∙ −𝟏 = 𝒑𝒊
−𝟒 = 𝟒 ∙ −𝟏
= 𝟒 ∙ −𝟏
= 𝟐𝒊
𝒙 = 𝟐 𝟏 ± 𝒊
𝟐
𝒙 = 𝟏 ± 𝒊
Se saca 2 de factor
común

36. EJEMPLO 2:
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORFORMULAGENERAL
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Resolvamos la siguiente ecuación:
𝟐𝒙 𝟐
+ 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎 𝒙 =
−𝒃 ± 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Reemplazamos
los coeficientes
de la ecuación
en la formula
𝒂 = 𝟐; 𝒃 = 𝟒; 𝒄 = 𝟑
𝒙 = 𝟒− ± 𝟒
𝟐
−𝟒 𝟐 𝟑
𝟐 𝟐
𝒙 =
−𝟒 ± 𝟏𝟔 − 𝟐𝟒
𝟒

37. SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORFORMULAGENERAL
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
𝒙 =
±
𝒙 =
−𝟒 ± −𝟖
𝟐 𝟐𝒊
𝟒
𝟒
−𝟒
Aplicamos definición de
la unidad imaginaria 𝒊 =
−𝟏.
Si −𝒑 = 𝒑 ∙ −𝟏 = 𝒑𝒊
−𝟖 = 𝟖 ∙ −𝟏 = 𝟖 ∙ −𝟏
= 𝟒 ∙ 𝟐𝒊 = 𝟐 𝟐𝒊
𝒙 = −𝟐 ± 𝟐𝒊
𝟒
Se saca 2 de factor
común
Se cancelan los
factores comunes del
numerador y del
denominador𝒙 = −𝟐 ± 𝟐𝒊
𝟐
𝟐

38. SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOPORFORMULAGENERAL
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
𝒙 = ±
𝒙 =
−𝟐 ± 𝟐𝒊
𝟐𝒊
𝟐
𝟐
−𝟐
𝒙 𝟏 = −𝟏 +
𝟐
𝟐
𝒊
𝒙 𝟐 = −𝟏 −
𝟐
𝟐
𝒊
Se suele expresar las
raíces en la forma a+bi.
Para lograrlo.
descomponemos el
resultado como una
suma de fracciones con
igual denominador y
simplificamos.
𝟐
𝒙 = −𝟏 ±
𝟐
𝟐
𝒊

39. Ejercicios propuestos:
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo
de raíces complejas
SOLUCIÓNDEECUACIONESDESEGUNDO
GRADOCOMPLETAS
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
1) 𝒙 𝟐
− 𝒙 + 𝟏 = 𝟎
3) 𝟑𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝟎
2) 𝒙 𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟕 = 𝟎
4) 𝟒𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟑 = 𝟎
5) 𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟑 = 𝟎
6) 𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟑 = 𝟎
7)
𝟏
𝟐
𝒙 𝟐
− 𝒙 + 𝟏 = 𝟎

40. PROBLEMASDEAPLICACIÓNDE
ECUACIÓNESCUADRÁTICA
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
En nuestra vida diaria existen muchos problemas que
se pueden solucionar utilizando ecuaciones de
segundo grado. Para solucionar un problema se deben
realizar los siguientes pasos:
1. Leer muy bien el problema en forma general,
definir las variables del problema.
2. Plantear la ecuación.
3. Resolver la ecuación por cualquier método de
solución .
4. Verificar las soluciones y responder el problema.

41. PROBLEMASDEAPLICACIÓNDE
ECUACIÓNESCUADRÁTICA
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
EJEMPLO 1 : Veamos como planteamos una ecuación
cuadrática para la siguiente situación:
La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados
es 58. Halle ambos números
1. Se asigna la variable x a una de las incógnitas del
problema. Hay dos incógnitas que son ambos números,
como el problema no hace distinción entre uno y otro,
puede asignarse x a cualquiera de los dos,
𝒙 = Primer número
Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente
el otro será:
𝟏𝟎 − 𝒙 = Segundo número

42. PROBLEMASDEAPLICACIÓNDE
ECUACIÓNESCUADRÁTICA
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
2. La condición final del problema establece que la
suma de los cuadrados de ambos números resulta 58,
entonces:
𝒙 𝟐 + 𝟏𝟎 − 𝒙 𝟐 = 𝟓𝟖
𝒙 𝟐
Esta es la ecuación a
resolver. Para hacerlo,
aplicamos algunas técnicas
de álgebra elemental y
luego reordenamos para
llegar a la fórmula
conocida.+
𝒂 − 𝒃 𝟐
= 𝒂 𝟐
− 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐
𝟏𝟎 𝟐 − 𝟐 𝟏𝟎 𝒙 + 𝒙 𝟐 = 𝟓𝟖
𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝒙 + 𝒙 𝟐
= 𝟓𝟖
𝟐𝒙 𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 + 𝟒𝟐 = 𝟎
𝒙 𝟐 − 1𝟎𝒙 + 𝟐𝟏 = 𝟎
Dividiendo entre 2 toda la
ecuación

43. PROBLEMASDEAPLICACIÓNDE
ECUACIÓNESCUADRÁTICA
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Ahora podemos aplicar la fórmula general para resolver la
ecuación de segundo grado
𝒙 𝟐
− 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟏 = 𝟎 𝒙 =
−𝒃 ± 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Reemplazamos
los coeficientes
de la ecuación
en la formula
𝒂 = 𝟏; 𝒃 = −𝟏𝟎; 𝒄 = 𝟐𝟏
𝒙 = −𝟏𝟎− ± −𝟏𝟎
𝟐
−𝟒 𝟏 𝟐𝟏
𝟐 𝟏
𝒙 =
𝟏𝟎 ± 𝟏𝟎𝟎 − 𝟖𝟒
𝟐

44. PROBLEMASDEAPLICACIÓNDE
ECUACIÓNESCUADRÁTICA
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
𝒙 =
=
±
𝟒
𝒙 =
𝟏𝟎± 𝟏𝟔
𝟒
+
𝟐
𝟐
𝟏𝟎
𝒙 𝟏 =
𝟏𝟎
𝟐
𝟏𝟒
𝟐
= 𝟕
𝒙 𝟐 =
𝟏𝟎 − 𝟒
𝟐
=
𝟔
𝟐
= 𝟑
Luego los números buscados son 7 y 3.

45. PROBLEMASDEAPLICACIÓNDE
ECUACIÓNESCUADRÁTICA
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
EJEMPLO 2 : Veamos como planteamos una ecuación
cuadrática para la siguiente situación:
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el
ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el
área se duplica. Halle el área original de la sala.
1. Largo y ancho son diferentes. El problema permite que
la variable x se asigne a cualquiera de las dos
incógnitas, largo o ancho.
𝒙 = Ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho, así es que:
𝒙 + 𝟑 = Largo de la sala
Supongamos que:
El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos:
𝒙 ∙ 𝒙 + 𝟑 =Área de la sala
Téngase en cuenta que
estos son los datos
iniciales

46. PROBLEMASDEAPLICACIÓNDE
ECUACIÓNESCUADRÁTICA
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Las condiciones del problema explican que el ancho
aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, así
que, luego del aumento quedan:
𝒙 + 𝟑 = Nuevo ancho de la sala
𝒙 + 𝟓 = Nuevo largo de la sala
𝒙 + 𝟑 ∙ 𝒙 + 𝟓 =Nueva área de la sala
Según los datos del problema, el área se ha duplicado, así
es que planteamos la ecuación:
𝒙 + 𝟑 ∙ 𝒙 + 𝟓 = 𝟐 𝒙 ∙ 𝒙 + 𝟑

47. PROBLEMASDEAPLICACIÓNDE
ECUACIÓNESCUADRÁTICA
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
𝒙 𝟐
Esta es la ecuación a
resolver. Para hacerlo, se
efectúan las
multiplicaciones, luego
reordenamos para llegar a
la fórmula conocida.+𝟓𝒙 +𝟑𝒙 𝟐+𝟏𝟓 ቀ𝒙 𝟐+ ሻ𝟑𝒙=
𝒙 𝟐
+ 𝟓𝒙 + 𝟑𝒙 + −𝟐𝒙 𝟐
=𝟏𝟓
−𝒙 𝟐 +𝟐𝒙 +𝟏𝟓 = 𝟎
Se pasa todo al primer
miembro de la ecuación
y se simplifica
𝒙 + 𝟑 ∙ 𝒙 + 𝟓 = 𝟐 𝒙 ∙ 𝒙 + 𝟑
𝒙 𝟐
+𝟓𝒙 +𝟑𝒙 +𝟏𝟓 = 𝟐𝒙 𝟐+𝟔𝒙
−𝟔𝒙 𝟎

48. PROBLEMASDEAPLICACIÓNDE
ECUACIÓNESCUADRÁTICA
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
Ahora podemos aplicar la fórmula general para resolver la
ecuación de segundo grado
−𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟏𝟓 = 𝟎 𝒙 =
−𝒃 ± 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Reemplazamos
los coeficientes
de la ecuación
en la formula
𝒂 = −𝟏; 𝒃 = 𝟐; 𝒄 = 𝟏𝟓
𝒙 = 𝟐− ± 𝟐
𝟐
−𝟒 −𝟏 𝟏𝟓
𝟐 −𝟏
𝒙 =
−𝟐 ± 𝟒 + 𝟔𝟎
−𝟐

49. PROBLEMASDEAPLICACIÓNDE
ECUACIÓNESCUADRÁTICA
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
𝒙 =
=
±
𝟖
𝒙 =
−𝟐 ± 𝟔𝟒
𝟖
+
−𝟐
−𝟐
−𝟐
𝒙 𝟏 =
−𝟐
−𝟐
𝟔
−𝟐
= −𝟑
𝒙 𝟐 =
−𝟐− 𝟖
−𝟐
=
−𝟏𝟎
−𝟐
= 𝟓
La solución x = −3 se desecha, ya que x es el ancho de la
sala y no puede ser negativo. Se toma como única
respuesta que el ancho original (x) era 5 metros.
Como el largo inicial es:
El área original era:
𝒙 + 𝟑 𝟓 + 𝟑 = 𝟖
𝟖𝒎 ∙ 𝟓𝒎 = 𝟒𝟎𝒎 𝟐

50. Ejercicios propuestos:
Resuelve
SOLUCIÓNDEECUACIONESDE
SEGUNDOGRADO
ECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO
1) La suma de dos números es 9 y la suma de sus
cuadrados 53 . Hallar los números .
3) A es dos años mayor que B y la suma de los
cuadrados de ambas edades es 130 años .Hallar
ambas edades .
2) La longitud de un terreno rectangular es doble que
el ancho . Si la longitud se aumenta en 40 m y el
ancho en 6 m, el área se hace doble. Hallar las
dimensiones del terreno.
4) La edad de un padre es el cuadrado de la de su
hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el
doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora
cada uno?

51. MUCHAS GRACIAS