Proporciones geométricas y figuras iguales

Tema 9
LA PROPORCIÓN Y ESTRUCTURAS
MODULARES
3º de ESO
CURSO 2011-2012
Por Rafael Q.

• Este icono significa que se trata de un
ejercicio para realizar en una lámina

LLAA P PRROOPPOORRCCIÓIÓNN
Para empezar… El tamaño de los objetos
LA PROPORCIÓN VIENE DADA
POR LA RELACIÓN ENTRE LAS
DIMENSIONES DE LOS
OBJETOS.

La razón entre dos cantidades
• Para poder comparar dos cantidades se halla la razón o cociente entre
ellas. La razón se puede expresar de distintas maneras. Por ejemplo, la
razón entre dos segmentos de 5 y 10 centímetros se puede expresar así:
- Mediante dos puntos: 5 : 10
- Mediante la preposición a: 5 a 10
- Mediante una fracción: 5/10
- Mediante una fracción equivalente: 1/2
- Con el resultado del cociente: 0,5
- En forma de porcentaje: 50%
Todas estas formas explican que en el segmento de mayor tamaño
[10 cm] está contenido dos veces el segmento pequeño [5 cm].

• En el caso de que dos figuras tengan la misma forma se dice que la
razón entre sus medidas es siempre la misma: es constante
a b
c
e d
f
a'
b'
• Así, en el ejemplo, la razón entre los lados a y a' es la misma que
entrelos lados b y b'. e y e', etc. Podemos establecer, pues la
siguiente expresión: a/a' = b/b’ = c/c'= d/d' = e/e' = f/f’ = constante.
• La igualdad de dos razones recibe el nombre de proporción.
c'
d'
e'
f’

s
s
TEOREMA DE TALES
s
d
O r
c
Proporcionalidad entre segmentos
b
a
f
e
t
v
u
a/b = c/d = e/f
O
N
a/b = c/x
Q
r
b
X
a M c P
CUARTA PROPORCIONAL
a/b = b/x
a b
O
r
a
O M
b
O N
X
M P
b
N
Q
TERCERA PROPORCIONAL
a
A P
P B
C b
O
A
a
P
b
B
X
a/x = b/x
MEDIA PROPORCIONAL
O M
O b
N
M c P
a
DIVISIÓN EN PARTES IGUALES
A B
A
B
1
2
3
4
1´ 2´ 3´ 4´

Teorema de Tales
• El teorema de Tales afirma que los
segmentos (a, b, c, d, e, f) determinados
por un haz de rectas paralelas
equidistantes entre sí (t, u, v), sobre otras
dos rectas que se cortan (s, r). Son
proporcionales.
TEOREMA DE TALES
s
d
b
f
t
v
u
O r
c
a
e
a/b = c/d = e/f
• SE EXPRESA GRÁFICAMENTE ASÍ

Teorema de Tales: división de un
segmento en partes iguales
• Una de las principales aplicaciones del teorema de Tales es la división de un
segmento en partes iguales.
1. Por uno de los extremos A se traza una
recta cualquiera s
2. Sobre la recta s se llevan tantos
segmentos iguales, de longitud arbitraria,
como número de partes se quiera dividir el
segmento
3. Se traza la recta t uniendo el último
punto con el extremo B del segmento dado
4. Se trazan paralelas a t por los puntos 1,
2, 3, ... de la recta s.

Teorema de la altura
• El teorema de la altura de Euclides afirma
que en un triángulo rectángulo se verifica la
siguiente relación de proporcionalidad:
• a/x = x/b, o bien a * b = x2
• Se dice, que la altura (x) es la media
proporcional de los dos segmentos [a, b) en
que se divide de la hipotenusa.
• Empleando este teorema, por tanto,
podemos determinar gráficamente la media
proporcional de dos segmentos.
• Dados dos segmentos de longitudes a y b, la
media proporcional de ambos (x), es el
segmento que cumple la relación
a/x = x/b, o a * b = x2
C
O
A
a
P
b
B
X
MEDIA PROPORCIONAL

Teorema de la altura: determinación
de la media proporcional
Teorema de la altura: TRAZADO
En todo triángulo rectángulo la altura sobre
la hipotenusa es media proporcional entre
los segmentos en que queda dividida la
hipotenusa
a x
=
x b
1. Sobre la recta r se trasladan los
segmentos a=AB y b=CD, trazando una
semicircunferencia de diámetro la suma de
ambos AD
2. Por el punto B =C se traza recta
perpendicular a r hasta cortar a la
semicircunferencia en el punto F.
El segmento x = AF es la media media
proporcional buscada
A
A a B
x
a
E B-C
b
D r
F
C b D

A E
B
D C
CONSTRUCCIÓN DEL RECTÁNGULO ÁUREO
Educación Plástica y
Visual
Sección áurea en la expresión plástica. 3º ESO
Proporción áurea
A B
O
C
D
( a + b ) / a = a /
b
A M
B E

Sección Áurea
Definición:
Se denomina Sección Aurea de dicho
segmento a la división que le produce un
punto B de forma que:
a x
=
x b
La proporción entre la parte más pequeña a
y la más grande x es igual a la existente
entre la parte más grande x y el todo b
Dados un segmento b = AC
A C
b
x a
A B C

Sección Áurea: Trazado
Dado un segmento, hallar su división áurea
1. Por B se traza la perpendicular a r
2. Se halla el punto medio C de AB y con
centro en B y radio BC se traza un arco
3. Se unen A y D, y con centro en D y radio
DB se traza un arco
4. Con centro en A y radio AE se traza otro
arco. AF es la división áurea

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS
Relaciones de proporcionalidad entre
figuras: Igualdad
• Entre dos figuras se puede establecer una serie de relaciones proporcionales
B
F
C
D
E
A
B’
D’
F’
E’
A’
C’
• La igualdad es una de estas relaciones, cuya proporción es 1 :1. Decimos que dos
figuras son iguales cuando al superponerlas coinciden todos sus lados y ángulos.
• Para construir una figura igual a otra se pueden seguir diferentes procedimientos:
traslación, giro, triangulación, transporte de ángulos y reproducción de coordenadas.

E’
D’
F’
Visual
RREELLAACCIOIONNEESS D DEE P PRROOPPOORRCCIOIONNAALLIDIDAADD E ENNTTRREE F FIGIGUURRAASS
Ahora veremos las siguientes construcciones… 3º ESO
B
C
D
E
F
A
B’
D’
F’
E’
A’
A’ D’
B’ C’
O’
A
B
D
C
A’
B’
D’
C’
TRASLACIÓN
GIRO
COORDENADAS TRIANGULACIÓN
C’
D
C
B
A
O
Centro de giro
C
D
B
E
A
C’
B’
A’
D’
E’
B
C
E
D
A
F
B’
A’
C’
COPIA DE ÁNGULOS

Igualdad por Traslación
• Trasladar una figura consiste en desplazar todos sus vértices en
sentido recto a una misma distancia.
Dada la figura ABCDEF se traza una paralela por cada
uno de sus vértices. Sobre la recta que contiene al vértice
A, se fija a una distancia el punto A’.
Se transporta esa misma distancia sobre cada una de las
paralelas, de modo que queden fijados los vértices de la
nueva figura igual, A’B'C’D’E'F'.
Los lados correspondientes permanecen paralelos e
iguales a los de la figura inicial,
B
C
D
E
F
A
B’
D’
F’
E’
A’
C’

Igualdad por Giro
• Girar una figura consiste en desplazar todos sus vértices en sentido circular y
con la misma amplitud. Como centro de giro se elige un punto cualquiera, O.
• A partir de O, se traza un arco por cada uno de
los vértices.
• Sobre el arco que contiene al punto A, se fija
una cierta amplitud de ángulo y se determina el
vértice A’.
• Con esa misma amplitud se transportan el resto
de los vértices.
• Con este procedimiento, la figura rota alrededor
del centro de giro, permaneciendo constante la
distancia de cada uno de sus vértices al mismo.
En este caso, OA= OA’. OB= OB', y el ángulo
AOA' = ángulo BOB' = ángulo COC’

Igualdad por Triangulación
• Triangular una figura consiste en descomponer su superficie en triángulos y trazar
copias de los mismos. Esto es posible porque el triángulo es el polígono más simple
y se puede copiar de manera sencilla.
• Dada una figura ABCDE, se trazan diagonales
desde un vértice, por ejemplo el A, de modo que
esta quede dividida en triángulos con un vértice
común.
• Para construir la figura igual a la primera, se
traza el lado AB', paralelo a AB.
• A continuación, se trasladan con el compás las
medidas del lado BC y AC, en cuya intersección
estará el punto C'. De esta manera se obtiene el
triángulo A’B'C', igual al ABC.
• Se trasladan las medidas del lado CD y AD,
reproduciendo sucesivamente todos los
triángulos de la figura inicial y completando la
figura AB'C‘D'E'.

Igualdad por Transporte de ángulos
• Este procedimiento consiste en transportar
cada ángulo de la figura dada para construir
una figura igual.
Dado el polígono ABCDE
1. Sobre una recta r se dibuja A’B’ = AB
2. Con centro en B’ se traza un ángulo
igual al B. (con el compás)
3. Se transporta el segmento B’C’ = BC.
(con el compás)
4. Se repite la operación con todos los
vértices

Igualdad por coordenadas
• Los ejes de coordenadas son dos rectas perpendiculares A que
permiten asignar a cada punto del plano dos coordenadas. Este
procedimiento consiste en reproducir las coordenadas de la
figura inicial sobre otros ejes
• Dada una figura ABCD, se dibujan dos ejes
de coordenadas y se trazan perpendiculares
a los mismos desde todos los vértices de la
figura.
• De este modo, se averiguan las
coordenadas de cada uno de ellos.
• Para dibujar la figura igual a la dada, se
trasladan los ejes y se reproducen las
mismas coordenadas, estos puntos serán
los nuevos vértices de la figura AB'C‘D'

Manifestaciones artísticas de la
igualdad
• Algunas composiciones artísticas están basadas en la repetición de figuras iguales,
siendo también un recurso muy utilizado en la ornamentación, el diseño gráfico y la
arquitectura.
• Observa la sucesión de figuras
iguales en esta composición
pictórica, La finalidad de este
recurso estructural es producir
un efecto de homogeneidad
visual.

Visual
La igualdad en la expresión plástica. 3º ESO
Figuras iguales
Friso de la portada de la iglesia de
San Pedro, Ojeda (Palencia), siglo XII.
ANDY WARHOL
Papel de empapelar con vacas, 1965.

Relaciones de proporcionalidad entre
figuras: Simetría y Semejanza
• Para que exista una relación de proporcionalidad entre dos figuras, estas deben
tener la misma forma; Si estas figuras tienen una orientación en el espacio
contrapuesta, son simétricas y, si tienen distinto tamaño, son semejantes.

Simetría
• La simetría es una relación entre
dos figuras, en la que cada punto
de la primera se corresponde con
otro de la segunda, de modo que
ambos equidistan de un eje, de un
centro o de un plano de simetría.

Simetría axial
• La simetría axial o respecto a un eje establece que dos puntos simétricos A y A'
están situados en una misma recta perpendicular a otra, llamada eje de simetría, y
son contrapuestos y equidistantes a este.
• Dada la figura ABCDE, se trazan desde los
vértices líneas perpendiculares al eje de
simetría.
• Sobre las perpendiculares trazadas se
transportan medidas, de modo que las
distancias de los vértices A. B, C, D y E al
eje sean iguales a las distancias del eje a
los vértices A', B', C', D' y E',
respectivamente.
• Uniendo los vértices obtenidos se
construye la figura.

Simetría Central
• La simetría central o respecto a un punto dispone que, dos puntos simétricos A y A'
que están situados sobre una línea recta que pasa por un punto, llamado centro de
simetría, equidistan de él y están contrapuestos.
• Dada la figura ABCDE, se trazan
rectas desde cada vértice al centro
de simetría O y se prolongan.
• Sobre estas rectas se transportan
medidas, de modo que las
distancias de los vértices A, B, C, D y
E al punto O sean iguales a las
distancias del punto O a los vértices
A', B', C', D' y E', respectivamente.
• Uniendo los vértices obtenidos se
construye la figura

Semejanza
La semejanza es una relación entre figuras en la que los ángulos correspondientes de
las mismas son iguales, y sus lados correspondientes, proporcionales.
Se pueden obtener figuras semejantes utilizando los siguientes procedimientos.

Semejanza por Radiación
• Se elige un punto O exterior a la
figura y desde él se trazan rectas que
pasen por los vértices de esta.
• Sobre la prolongación de una recta, la
que pasa por el punto A. se marca el
punto A. Por A se traza un segmento
AB' paralelo al lado AB.
• Repitiendo la misma operación con
todos los lados se obtendrá la figura
semejante.
• Observa que se establece la
proporción:
AB/AB' = BC/B'C‘ = CD/C‘D‘= …

Semejanza por radiación: (Desde un
vértice)
• Dada una figura ABCDE, se elige el vértice A. y
desde él se trazan rectas que pasen por los
demás vértices
• Se sitúa un punto B' en la prolongación del lado
AB, Por el punto B' se traza una paralela al lado
BC, hasta cortar a la prolongación de AC en C’
• A partir de él, se repite la misma operación
hasta completar la figura semejante.
• Comprueba que se establece la proporción
entre los lados:
AB/A’B‘= BC/B’C‘=CD/C’D’=DE/D’E’=…

Aplicaciones en la expresión plástica
• Como ocurre con la igualdad, la simetría y la semejanza se pueden
utilizar como recursos para realizar obras artísticas y estructuras
arquitectónicas, ornamentales y de diseño
Esta fotografía se basa en un
juego de formas circulares
semejantes que producen una
ligera sensación de
movimiento.
Este anuncio publicitario de papel
presenta una estructura simétrica que
simplifica el recorrido visual del
observador.

Visual
Simetría y semejanza en la expresión plástica. 3º ESO
Simetría y semejanza
F. ESQUINAS
Laberinto, 1997.
F. ESQUINAS
Sin título, 1998.

Escalas
• Una escala es la relación que existe entre dos figuras,
una de ellas es la del dibujo y la otra, la figura real.
• Se expresa mediante un cociente o razón entre las
medidas del dibujo y las de la realidad:
Escala =
PAÍS
VASCO/
EUSKADI
CASTILLA-LA MANCHA
Medida del DIBUJO
Medida de la REALIDAD A N D A L U C Í A
REGIÓN
DE
MURCIA
F R A N C I A
CATALUÑA/
CATALUNYA
ISLAS BALEARES/
ILLES BALEARS
COMUNIDAD VALENCIANA/
COMUNITAT VALENCIA
PRINCIPADO
DE ASTURIAS
COMUNIDAD FORAL
DE NAVARRA
LA RIOJA
CASTILLA
Y
LEÓN
ANDORRA
C A N A R I A S CEUTA Y MELILLA
M A R R U E C O S
G A L I C I A
A R A G Ó N
COMUNIDAD
DE MADRID
Escala 1: 15.500.000
0 100 200 km
EESSCCAALLAASS

Visual
3º ESO
ESCALA DE
AMPLIACIÓN
11 mm
24 mm
Escala 1:1
ESCALA
NATURAL
ESCALA DE
REDUCCIÓN
22 mm
48 mm
Escala 2:1
12 mm
5,5 mm
Escala 1:2
Cuando el dibujo mide lo mismo que el objeto
real, se dice que está representado a escala
natural; si es más pequeño que el objeto real,
se dice que está a escala de reducción, y si es
mayor, a escala de ampliación.
ESCALA NATURAL
ESCALA DE REDUCCIÓN
ESCALA DE AMPLIACIÓN
EESSCCAALLAASS

EESSCCAALLAASS
Escalas Gráficas
• La escala gráfica es una especie de regla graduada que se construye
para poder trabajar fácilmente en una escala determinada sin tener
que realizar ninguna operación matemática previa. Se denominan
también escalas volantes.
Observa cómo se emplea una escala gráfica para poder medir la planta trazada a escala 1/75

Escalas Gráficas y Escalas Volantes
5 0 1 2 10
Escala gráfica 3:1
Contraescala
ESCALÍMETRO
Escala de ampliación 7:4
7 cm
4 cm
Escala de reducción 5:8
5 cm
8 cm
ESCALA VOLANTE
Y CONTRAESCALA
1 cm
2,6 cm
0,5 cm
1,4 cm
EESSCCAALLAASS

9 La proporción
10
Visual
Actividades de consolidación. 3º ESO
Actividades
REALIZA EL GIRO
DE UNA FIGURA.
DIBUJA UN OBJETO
SIMÉTRICO.
CONSTRUYE LA FIGURA
SIMÉTRICA.
REALIZA UNA
AMPLIACIÓN A
ESCALA 3:1.

9 La proporción
11
Visual
En el Arte. 3º ESO
Estética y proporción en la figura humana
LISIPO
Apoxiomeno, 300
a.C.
LE CORBUSIER
Posiciones del cuerpo
humano en el
espacio, 1945.
Figuras de la Isla de
Pascua.
LEONARDO DA VINCI
Las proporciones del
hombre, hacia 1490.

Tema 9: parte 2/2
LA PROPORCIÓN Y ESTRUCTURAS
MODULARES
3º de ESO
CURSO 2011-2012
Por Rafael Q.

RReeddeess m moodduulalareress
• Las redes modulares son estructuras, generalmente geométricas,
que permiten relacionar figuras iguales o semejantes, llamadas
módulos, en una misma superficie.
La red modular debe compactar el
plano, es decir, cubrirlo por
completo sin dejar superficies
vacías
EJEMPLOS:
Las formadas por Triángulos y
Cuadrados o derivados de estos.
sí NO

Redes modulares simples
• Las redes modulares simples están formadas
por la repetición de una sola figura.
• Además de las redes triangulares y cuadradas
básicas, existen otras con distintas
peculiaridades: rectangulares, quebradas,
romboides, etc.

Redes modulares simples
Red triangular (a=b= 60º) Red cuadrada (a=b=90º) Red rectangular (a>b=90º)
Quebrada Romboide Deformada Irregular Enladrillada Escalonada

Redes modulares compuestas
Las redes modulares compuestas se forman por la yuxtaposición de varias figuras
geométricas regulares o por la superposición de dos o más redes simples.
REDES MODULARES COMPLEJAS POR: Yuxtaposición de polígonos regulares
REDES MODULARES COMPLEJAS POR: Superposición de redes simples

El módulo
El módulo es la figura básica que se repite en las
estructuras modulares.
La combinación proporcionada de varios módulos sobre una
red o trama da lugar a la composición modular.
Cuando se combinan varios módulos básicos para formar
una figura más compleja aparece un supermódulo
supermódulo módulo

Movimientos del módulo
Un módulo se puede colocar y combinar en distintas
posiciones. Entre los movimientos más usuales destacan
el giro y el desplazamiento, y aplicando el giro se puede
llegar a situar los módulos en contraposición, es decir
formando una simetría
GIRO GIRO CON SIMETRÍA

Movimientos del módulo
DESPLAZAMIENTO DE LAS
CASILLAS
DESPLAZAMIENTO VARIANDO
EL ESPACIO ENTRE CASILLAS

La circunferencia en la
composición modular
La circunferencia es una figura que no puede compactar el espacio, al igual
que el pentágono, por lo que no hay redes modulares circulares. Sin
embargo, inscribiéndola en cuadrados, se utiliza como estructura para
diseñar módulos, dejando los espacios libres como formas de apoyo

Efectos tridimensionales
Como en cualquier expresión visual, en la composición modular se pueden
crear sensaciones de espacio tridimensional utilizando diferentes recursos
gráficos:

ACTIVIDAD 1
• VISITA EL SIGUIENTE ENLACE ; Con la
herramienta que encontrarás, puedes
fácilmente crear una composición
modular creando un supermódulo a
partir de una red modular triangular.
• Realiza varias pruebas y envíame tu mejor
diseño a la dirección de siempre
AACCTTIVIVIDIDAADDEESS
ejemplos

ACTIVIDAD 2
• VISITA EL SIGUIENTE ENLACE ; Con la herramienta que encontrarás, puedes fácilmente crear
una composición modular creando un supermódulo a partir de una red modular cuadrada.
• Realiza varias pruebas y envíame tu mejor diseño a la dirección de siempre

ACTIVIDAD 3
• Realiza la Actividad Nº 18 del libro de texto (unidad 9, página 168)

Bibliografía:
•Educación Plástica y Visual II. Editorial SM
ISBN: 9788467540017
•http://www.educacionplastica.net
•Banco de imágenes google

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