Ejercicios resueltos-bedford

Universidad Nacional San Cristóbal De
Huamanga
Facultad De Ingeniería Minas, Geología Y
Civil
Escuela De Formación Profesional De
”Ingeniería Civil”
Resolución de Problemas
Mecánica para Ingeniería (Bedford-Fowler)
”Cinemática de Partícula y cuerpo Rígido”
Asignatura :Dinámica (IC-246)
Alumnos : Calderón Quispe, Gilmer
Navarro Bautista, Paul
Maldonado Carlos, Juan José
Infante Leva , Samuel
Docente : Ing. Cristian Castro Pérez
Ayacucho - Peru - 2013

Universidad Nacional san Cristóbal de Huamanga
Escuela de Formación Profesional Ing. Civil
Departamento Académico de Ingeniería Minas y civil
Problemas
1. Problema 2.33
Si Θ=1 rad Y dΘ/dt = 1rad/s, ¿cual es la velocidad de P con respecto de O? Estrategia: se
puede escribir la posición de P respecto de O como:
s = (2pie) cos θ + (2pie) cos θ
Y luego calcular la derivada de esta expresión con respecto al tiempo para determinar la velocidad.
s
2 m
O
P
2 m
Solución
La ubicación de P desde el punto O está dado por:
s = 2 cos θ + 2 cos θ = 4 cos θ
derivando respecto del tiempo para hallar la velocidad
ds
dt
= −4senθ
dθ
dt
Evaluando para θ = 1rad y ds
dt = 1rad/s
ds
dt
= −4sen(1rad) = −3,37m/s
2. Problema 2.53
Un oscilador consiste en una masa y un resorte conectados como se muestra. La coordenada
s mide el desplazamiento de la masa respecto a su posición cuando el resorte no esta estirado.
Si el resorte es lineal, la masa esta sometida a una desaceleración proporcional a s. Suponga que
a = −4sm/s2 , y que la masa tiene una velocidad v = 1m/s en la posición s = 0.
Dinámica 2 DAIMC

s
a) ¿Qué distancia se moverá la masa hacia la derecha antes de que el resorte se detenga?
b) )¿Qué velocidad tendrá la masa cuando regrese a la posición s = 0?
Solución
como la aceleracion esta en funcion de ”S” usaremos:
vdv = ads
Del datoa = −4s sustituyendo
vdv − 4sds
integramos
v2
2
= −
4s2
2
+ C
v2
2
= −2s2
+ C (1)
Para v(0) = 1m/s y s = 0 en (1)
(1)2
2
= −2(0)2
+ C −→ C =
1
2
Quedando la ecuacion (1) de la forma
v2
2
= −2s2
+
1
2
(α)
a) La velocidad es cero cuando se detiene entonces.
(0)2
2
= −2s2
+
1
2
quedaría
s = ±
1
2
m
la distancia que se mueve hacia la derecha
∴ s =
1
2
m
Dinámica 3 DAIMC

b) La velocidad para s = 0
De la ecuacion α
v2
2
= −2(0)2
+
1
2
v = ±1m/s
como el móvil regresa
v = −1ˆim/s
3. Problema 2.82
un automóvil viaja a 100km/h sobre un camino recto con pendiente creciente cuyo perﬁl
vertical se puede aproximar con la ecuación mostrada. Cuando la coordenada horizontal del
automóvil es x = 400m, ¿Cuál es su aceleración?
y = 0.0003x2
y
x
Solución
Datos
v = 100Km/h = 27 78m/s
y = 0 0003x2
con c = 0 0003 ⇒ y = cx2
sabemos que:
v = ˙x2 + ˙y2 (I)
derivando la ecuación de la trayectoria
˙y = 2cx ˙x (II)
Remplazando en la expresión(I)
v = ˙x2 + (2cx ˙x)2
despejamos ˙x
˙x =
v
1 + (2cx)2
(III)
Dinámica 4 DAIMC
lllllllllllllllllllllllll

remplazamos para x = 400m
˙x = 27 013m/s
Derivamos nuevamente (III)
¨x =
−4vcx2
(1 + (2cx))3/2
remplazamos para x = 400m
¨x = −0 099m/s2
Derivando la ecuación (II )
ÿ = 2c( ˙x2
+ x¨x) Remplazando para x = 400m
ÿ = 0 414m/s2
La aceleración será
a = −0 099î + 0 414ˆj m/s2
4. Problema 2.107
un automóvil incrementa su velocidad a una razón constante de 40mi/h en A y a 60mi/h en
B. ¿Cuál es la magnitud de su aceleración 2s después de que pasa por el punto A?
y
x
30°
30° B
A
80 pies
80 pies
120 pies
100 pies
Solución
Datos:
vA = 40mi/h ⇒ 58 667pies/s
vB = 60mi/h ⇒ 88 0pies/s
Partamos de:
vdv = ads a=cte (condición del problema)
Dinámica 5 DAIMC

Integrando
v2
= 2as + C para vA = 58 667pies/s; s = 0
C = v2
− 2as = 3441 817
de v2 = 2as + C hallamos la aceleración
a =
v2 − C
2s
Remplazando para vB = 88pies/s
s = 80(2) +
30
180
π(120 + 100)
s = 275 192pies
a =
(88)2
− 3441 817
2(275 192)
a = 7 816pies/s2
La velocidad en funcion del tiempo
v(t) = vA + at ⇒ 58 667 + (7 816)t
s(t) = vA +
1
2
at2
⇒ 58 667t + 1
2(7 816)t2
v(2) = 74 299pies/s
s(2) = 132 966pies Ubicado en el primer arco
Hallando aceleracion normal
an =
v2
R
an =
(74 299)2
120
an = 46 003pies/s2
∴ |a| = (46 003)2
+ (7 816)2
|a| = 46 662pies/s2
5. Problema 2.132
La barra gira en el plano x−y de la ﬁgura con velocidad angular constante ω0 = 12rad/s. La
componente radial de la aceleración del collarín C es ar = −8r. Cuando r = 1m, la componente
radial de la velocidad de C es vr = 2m/s. Determine la componente radial y transversal de la
velocidad de C cuandor = 1,5m.
Dinámica 6 DAIMC

x
y
r
C
v 0
Solución:
Usando la regla de la cadena y escribiendo en términos de la aceleración radial
d2r
d2t
=
dvr
dt
=
dvr
dr
dr
dt
=
dvr
dr
vr
Luego tenemos
ar =
d2r
d2t
− r(
dθ
dt
)2
= −8r
d2r
d2t
= ([
dθ
dt
]2
− 8)r = (122
− 82
)r ⇒ 136r rad/s2
Calculando la velocidad radial
d2r
d2t
= vr
dvr
dr
= 136r
vr
2
vrdvr = 136
1 5
1
rdvr
v2
r
2
−
22
2
= 136(
1 52
2
−
12
2
)
Resolviendo obtenemos
vr = 13 2 m/s
Ademas tenemos
vθ = r
dθ
dt
= (1 5)(12) ⇒ vθ = 18 m/s
De esta manera tenomos:
V = 13 2ˆer + 18ˆeθ m/s
Dinámica 7 DAIMC
........

6. Problema 2.150
Dos automóviles A y B se aproximan a una intersección. A viaja a 20m/s y va desacelerando
a 2m/s2, y B viaja a 10m/s y va desacelerando a 3m/s2. En el sistema coordenado fijo a la
tierra mostrado, determine la velocidad de A respecto a B y la velocidad de B respecto a A.
Solución:
Se toma com origen de cooerdenadas la interseccion de su trayectoria
vA = −20î y vB = 10ˆj
vA/B esta dado por vA/B = vA − vB
vA/B = −20î − 10ˆj
vA/B = (−20)2 + (−10)2 ⇒ vA/B = 22 36 m/s
De forma analoga para VB/A
vB/A = 10ˆj − (−20î) = 10ˆj + 20î
vB/A =
√
500 ⇒ vB/A = 22 36 m/s
7. Problema 2.171
Un río fluye hacia el norte a 3m/s (suponga que la corriente es uniforme). Si se quiere viajar
en línea recta del punto C al punto D en un bote que navega a velocidad constante de 10m/s
respecto al agua, ¿en qué dirección debe apuntar el bote? ¿Cuánto tarda en efectuar el cruce?
será
Dinámica 8 DAIMC

W E
S
N
500 m
D
C
400 m
3 m/ s
Solución:
Asumiendo un angulo θ medido desde el este
vbote/tierra = vbote/agua + vagua/tierra
vbote/agua = 10(cosθˆi + sinθˆj)
vagua/tierra = 3m/sˆj
vbote/tierra = [(10cosθˆi) + (3 + 10sinθˆj)]
Queremos que el bote viaje en ángulo
tanφ =
400
500
Por consiguiente tenemos:
3 + 10sinθ
10cosθ
=
400
500
⇒ θ = 25 11◦
Calculando la velocidad absoluta
v = (10cosθ)2 + (3 + 10sinθ)2 ⇒ v = 11 60m/s
Por lo tanto el tiempo será
t =
d
v
=
√
5002 + 4002
11 60
t = 55 2 s
Dinámica 9 DAIMC

8. Problema 2.194
La velocidad v = 2m/s es constante. ¿Cuáles son las magnitudes de la velocidad y aceleración
del punto P cuando x = 0,25m?
y
1 m
P
x
y = 0.2 sin xπ
Solución:
Hallando el tiempo para x = 0,25
x = 2t (MRU)
t = 0 125s
De la ecuacion y = 0 2sin(2πt) derivamos
dy
dt
= 0 4πcos(2πt) (Velocidad)
d2y
d2t
= −0 8π2
sin(2πt) (Aceleración)
Remplazando para t = 0 125s y y = 0 141
dy
dt
= vy = 0 889 m/s
d2y
d2t
= ay = −5 58 m/s2
POr consiguiente hallaremos los módulos
|v| = v = v2
x + v2
y ⇒ 2 19 m/s
|a| = a = a2
x + v2
a ⇒ 5 58 m/s2
9. Problema 6.13
La placa rectangular oscila con brazos de igual longitud. Determine el vector de velocidad de
(a) La placa rectangular (b) La barra AB
Dinámica 10 DAIMC

y
xA
B
10 rad/s
D
C
Solución:
Como se ve en la ﬁgura el cuadrilatero ABCD siempre forma un paralelogramo dado que AD =
BCyAB = DC y por tanto necesariamente AD//BC y AB//DC.
β = θ (porserunparalelogramo)
˙β = ˙θ ⇒ ωAB = ωAC = 10rad/s
ωBC = ω
De la ﬁgura
AB = AB(−cosθ, −sinθ) (I)
DC = DC(−cosβ, −sinβ) (II)
(I ) Y (II ) iguales
hallando la parte a)
La barra AB por ser un cuerpo rigido todos los puntos de este poseen igual velocidad angular y
que apunta en la direccion de eje Z+
ωAB = 10ˆkrad/s
hallando la parte b)
vB = w × rAB (I)
vC = vB + w × rBC (II)
vC = ω × rDC; Ademas rAB = rDC (III)
De las ecuacones (I),(II) y (III)
vB + w × rBC = ω × rDC
w × rAB + w × rBC = 10ˆk × rAB
w × rBC = 10ˆk × (rAB − rAB)
w × rBC = (0, 0, 0)
w = (0, 0, 0)rad/s
Dinámica 11 DAIMC

10. Problema 6.41
En la fig. p6.41, si ωAB = 2rad/s y ωBC = 4rad/s, ¿Cuál es la velocidad del punto C, donde
el cubo de la excavadora está conectado?
x
y
B
C
5 m
5.5 m
1.6 m
A
4 m 3 m 2.3 m
BC
A Bv
v
Solución:
Hallando el radio vector
rA/B = 3î + (5,5 − 1,6)ˆj = 3î + 3,9ˆj(m)
Calculando la velocidad ene el punto B
vB = ωAB × rA/B
vB =


î ˆj ˆk
0 0 2
3 3 9 0

 = −7 8î + 6ˆj(m/s)
Encontrando el radio vector BC que es:
rC/B = 2 3î + (5 − 5 5)ˆj = 2 3î − 0 5î
Hallando la velocidad en el punto C
vC = vB + ωBC × rC/B
vC = −7 8î + 6ˆj +


î ˆj ˆk
0 0 −4
2 3 −0 5 0


vC = −9 8î − 3 2ˆj m/s
11. Problema 6.83
En la fig. p6.85, si ωAB = 2rad/s, αAB = 2rad/s2, ωBC = −1rad/s, y αBC = −2rad/s2,
¿Cuál es la aceleración del punto C donde se conecta el cucharón de la excavadora?
Dinámica 12 DAIMC

x
y
B
C
5 m
5.5 m
1.6 m
A
4 m 3 m 2.3 m
BC
BC
A B
A Ba a
v
v
Solución:
De la grafica hallando los puntos A, B,y C medidos del extremo inferior izquierdo
rA = 4î + 1 6ˆj
rB = 7î + 5 5ˆj
rC = 9 3î + 5ˆj
Calculando los vectores de posición relativos
rB/A = rB − rA =⇒ (7î + 5 5ˆj) − (4î + 1 6ˆj) = 3î + 3 9ˆj
rC/B = rC − rB =⇒ (9 3î + 5ˆj) − (7î + 5 5ˆj) = 2 3î − 0 5ˆj
Encontrando la aceleración del punto B
aB = αAB × rB/A − ω2
ABrB/A
aB =


î ˆj ˆk
0 0 2
3 3 9 0

 − (22
)(3î + 3 9ˆj)
aB = 2(−3 9î + 3ˆj) − 4(3î + 3 9ˆj) = −19 8î − 9 6ˆj m/s2
La aceleración del punto C en términos de la aceleración en el punto B es:
aC = aB + αBC × rC/B − ω2
BCrC/B
aC = −19 8î − 9 6ˆj +


î ˆj ˆk
0 0 −4
2 3 0 5 0

 − 12
(2 3î − 0 5ˆj)
aC = −24 1î − 18 3ˆj m/s2
12. Problema 6.110
La velocidad angular ωAC = 50/s. Determine la velocidad angular del actuador hidráulico
BC y la razón a la que se extiende.
Dinámica 13 DAIMC

2.4 m
1.2 m1.4 m
A B
C
aA C
v A C
Solución:
Transformando la velocidad angular
ωAC = 5(
π
180
) = 0 0873 rad/s
La velocid del punto C está dado por
vC = ωAC × rC/A
vC =


î ˆj ˆk
0 0 ωAC
2 6 2 4 0

 = −2 2094î + 0 2269ˆj m/s (I)
Hallando el vector unitario paralelo al actuador BC
ê =
1 2î + 2 4ˆj
√
1 22 + 2 42
= 0 4472î + 0 8944ˆj
La velocidad del punto C en términos de la velocidad del actuador está dado por:
vC = vCrele + ωBC × rC/B
vC = vCrel(0 4472î + 0 8944ˆj) +


î ˆj ˆk
0 0 ωBC
1 2 2 4 0


vC = vCrel(0 4472î + 0 8944ˆj) + ωBC(−2 4î + 1 2ˆj) (II)
Comparando las ecuaciones (I ) y (II )
0 2094 = 0 4472vCrel − 2 4ωBC (III)
0 2269 = 0 8944vcrel + 1 2ωBC (IV )
Dinámica 14 DAIMC

Resolviendo las ecuacones (III ) y (IV )
ωBC = 0 1076 rad/s
vCrel = 0 109 m/s
Que es también la velocidad de extensión del actuador
13. Problema 6.134
Un automóvil A en latitud norte L viaja hacia el norte en una carretera con orientación norte-
sur a una velocidad constante . Determine las componentes X,Y,Z de la velocidad y aceleración
del automóvil (a) respecto al sistema coordenado fijo a la Tierra mostrado; (b) respecto a un
sistema coordenado sin giro con su origen en el centro de la Tierra.
N
L
y
x
B
A
RE
Solución:
a) Hallando la velocidad y la aceleración respecto al coordenado fijo a la tierra
vrel = vˆj
arel =
−v2
RE
î El movimento que describe es un circulo
b) Hallando respecto a un sistema coordenado sin giro
vA = vArel + ωE × rA/B + rB (vB = 0)
va = vˆj + (ωEsinLî + ωEcosLˆj) × RE
î
va = vˆj − ωEREcosLˆk
aA = aB + aArel + 2ωE × vArel + α × rA/B + ωE × (ωE × rA/B)
donde ωE esta dado por:
ωE = ωEsinLî + ωEcosLˆj y rA/B = RE
î
aA = 0 −
v2
RE
î + 2vωEsinLˆk + (ωEsinLî + ωEcosLˆj) × (−ωEREcosLˆk)
aA = −(
v2
RE
+ ω2
EREcos2
L)î + (ω2
EREsinLcosL)ˆj + 2vωEsinLˆk
Dinámica 15 DAIMC

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