Este capítulo trata sobre los sistemas de fuerzas que actúan sobre una partícula y cómo calcular su resultante. Explica cómo encontrar la resultante de dos fuerzas colineales o concurrentes, así como de sistemas con más de dos fuerzas. También cubre la descomposición de una fuerza en componentes y el cálculo de componentes cartesianas.

1. II. RESULTANTES DE LOS SISTEMAS
DE FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE
LA PARTÍCULA
En este capítulo y el siguiente estudiaremos exclusivamente sistemas
de fuerzas en el plano, es decir, en dos dimensiones. Una vez compren-
dido cabalmente será muy fácil entender los sistemas de fuerzas en tres
dimensiones, llamadas también fuerzas en el espacio. Seguiremos la divi-
sión que señalamos en el capítulo anterior: fuerzas colineales y fuerzas
concurrentes en este capítulo, y fuerzas paralelas y fuerzas no concu-
rrentes ni paralelas, en el siguiente
Resultantes de los sistemas de fuerzas colineales
Consideremos dos fuerzas concurrentes en el punto A. Por la ley del
paralelogramo sabemos que su resultante se encuentra en la diagonal del
paralelogramo formado por ellas.
Si el ángulo que forman dichas accio-
nes es my pequeño, la magnitud de la
diagonal se aproxima a la suma de los
lados. Podemos deducir que si dos
fuerzas son colineales, la resultante es
otra fuerza colineal cuya magnitud es
F2
F1
R

2. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
22
15°
x
igual a la suma de las magnitudes de
las dos fuerzas.
En el caso en que las dos fuerzas
colineales tengan sentidos contrarios,
el razonamiento anterior nos lleva a
concluir que entonces la resultante
tiene el sentido de la fuerza más
grande y su magnitud es la diferencia
entre las magnitudes de las dos fuer-
zas.
Si un sistema, en vez de ser de dos fuerzas, está formado por mil, el
procedimiento se podría repetir mil veces para obtener la magnitud y el
sentido de la resultante. O sea, que podemos generalizar y afirmar que la
obtención de la resultante de un sistema de fuerzas colineales se logra
mediante la siguiente ecuación:
es decir, que la magnitud es la resultante es igual a la suma algebraica de
las fuerzas del sistema, su sentido queda determinado por el signo de esa
suma, y su línea de acción es la misma que la de las fuerzas del sistema.
Elegimos un sistema de referencia así
15°
28 kg
16 kg
10 kg
24 kg
Ejemplo. Determine la magnitud y
la dirección de la resultante de las cuatro
fuerzas que actúan sobre la argolla de la
figura.
R
F2F1
F2
F1
R

3. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
23
El signo negativo significa que la fuerza resultante tiene sentido con-
trario del eje de las equis
Resultantes de los sistemas de fuerzas concurrentes
Dividiremos nuestro estudio en dos casos: resultante de sólo dos fuer-
zas concurrentes, y resultantes de más de dos fuerzas concurrentes.
A) Dos fuerzas concurrentes
La ley del paralelogramo establece claramente como hallar gráfica-
mente la magnitud y la dirección de la resultante de dos fuerzas que con-
curren en un punto.
Dibujamos un paralelogramo cuyos lados sean
proporcionales a las magnitudes de las fuerzas.
Por cada 10 kg daremos a los lados una longitud
de 1 cm y con el transportador medimos los án-
gulos que los lados forman con la horizontal.
Una vez dibujado el cuadrilátero, trazamos la
diagonal que pasa por el punto de concurrencia
de las fuerzas y medimos tanto su longitud co-
30°
45°
40 kg
50 kg
Ejemplo. Determine gráficamente la
resultante de las dos tensiones que jalan
la argolla de la figura.
40
50 R
75°
ϴ

4. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
24
mo el ángulo que forma con la horizontal. Como
a cada cm correspondieron 10 kg, la resultante
de estas dos fuerzas es
Puesto que el método gráfico es poco preciso e impráctico, intentare-
mos deducir un método analítico o trigonométrico.
Observemos que el paralelogramo del ejemplo está contiene dos tri-
ángulos, dos de cuyos lados son las fuerzas y el tercero, la resultante. Por
tanto, en vez de construir un paralelogramo, dibujaremos una fuerza a
continuación de la otra; y la resultante unirá el origen de la primera con la
punta de la segunda. Del triángulo conocemos, por tanto, dos lados y el
ángulo que forman entre sí. Y mediante cualquier ley del triángulo
podemos hallar la magnitud de R y su dirección.
Dibujamos esquemáticamente una fuerza a continuación de la otra y
unimos el origen de la primera con la punta de la segunda: este lado co-
rresponde a la resultante. Tenemos, pues, un triángulo del que conocemos
dos lados y el ángulo que forman entre sí. Conforme la ley de cosenos,
30°
45°
40 kg
50 kg
Ejemplo. Halle analíticamente, me-
diante la ley del triángulo, la magnitud y
la dirección de la resultante de las dos
fuerzas que actúan sobre la argolla de la
figura.
50
40
R
105°
ϴ

5. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
25
y, por la ley de senos,
por tanto = 32.6°. Y el ángulo que R forma con la horizontal es 45 –
32.6 = 12.4. Por fin
Resolución de fuerzas
Una vez que sabemos cómo hallar la resultante de dos fuerzas concu-
rrentes, trataremos de realizar el proceso contrario, es decir, resolver o
descomponer una fuerza dada en dos componentes que constituyan un sis-
tema equivalente. Ilustraremos el procedimiento de los tres casos princi-
pales mediante cuatro ejemplos. El primer caso consiste en resolver una
fuerza en dos componentes que tengan ciertas direcciones; el segundo,
descomponer la fuerza en dos componentes de cierta magnitud; y el últi-
mo, en resolver la fuerza en una componente en cierta dirección y otra de
cierta magnitud.
Comenzamos dibujando la fuerza que ha de descomponerse, y en ca-
da uno de sus extremos líneas paralelas a las direcciones de las compo-
nentes
B
A
75°
60°
120 kg
Ejemplo. Resuelva la tensión hori-
zontal de 120 kg en dos componentes: C1
en la dirección de las barra AB, y C2, en
la dirección de la barra BC.

6. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
26
60°
120
75°
15°30°
135°
120
C1C2
Ley de senos:
Dibujamos la fuerza que deseamos descomponer y, con centro en sus
extremos, trazamos dos arcos de circunferencia correspondientes a las
fuerzas de 600 y 500 lb.
Ley de cosenos
Ejemplo. Diga cuáles deben ser las
direcciones 1 y 2 de modo que la resul-
tante de las dos tensiones ejercidas sobre
la argolla sea una fuerza vertical de 750
lb.
ϴ2ϴ1
600# 500#BA
600
500
750
β
α

7. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
27
Ley de senos
Puesto que α y β son los ángulos complementarios de ϴ2 y ϴ1, res-
pectivamente,
Dibujamos la fuerza vertical que vamos a descomponer. En un extre-
mo, una línea a 30°, y con centro en el otro, trazamos un arco de circun-
ferencia que corresponde a la fuerza de 110 N
ϴ 30°
C2=1100 N
C1
2000 N
Ejemplo. Descomponga el peso de
2000 N en dos componentes: C1 que for-
me un ángulo de 30° con la vertical, y C2
cuya magnitud sea de 1100 N.
ϴ2
β
α
ϴ1
2000
30°
ϴ
α
1100
C1
2000
30°

8. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
28
Como se pueden formar dos triángulos, hay dos soluciones.
Primera solución
Ley de senos
Las primeras respuestas son
ϴ’
α’2000
30°
1100
C1’

9. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
29
Pero el áng es también el suplemento de α, lo que nos da la
segunda solución
Y las segundas respuestas son
Dibujamos la fuerza vertical de 240 lb, y una línea a 58°. El lado
menor con que se puede formar un triángulo es uno perpendicular a la
línea de 58°
Ejemplo. Descomponga el peso de
240 lb en dos componentes: C1 en
dirección de la barra BC, y C2, cuya
magnitud sea la menor posible.
A
58°
0
20
40
60
80
100
1er
trim.
2do
trim.
3er
trim.
4to
trim.
Est
Oe
No
240 #
C
B

10. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
30
Componentes cartesianas
Un caso importante y frecuente de resolución de fuerzas es el que se
efectúa en dos direcciones perpendiculares entre sí para obtener compo-
nentes ortogonales. Más frecuente aún es la descomposición en las direc-
ciones de los ejes cartesianos: se trata de obtener las componentes ortogo-
nales y en el sentido de los ejes equis y ye.
Consideremos una fuerza y el sistema car-
tesiano que se muestra en la figura. Siguiendo el
procedimiento ilustrado con el primer ejemplo,
trazamos paralelas a las direcciones deseadas en
cada uno de los extremos de la fuerza. Como el
es igual a la razón de a , y , la
razón de a , entonces, y
; con tales expresiones quedan de-
terminadas las magnitudes y los sentídos de las
componentes cartesianas (1
).
y
x
F
ϴ
ϴ
Fy
Fx
F
32°
58°
240
C2
C1
58°
240

11. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
31
Ejemplo. Obtenga las componentes cartesianas de cada una de
las siguientes fuerzas.
y
x
56 kg
42°
y
x
80#
30°
y
x
45°
20°
2400 N
y
x
150 kg
68°
2 m

12. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
32
A
B5
m
12
m
260
kg
12
2
13
5
Fy
Fx
260
Es frecuente que la información acerca de las
fuerzas esté relacionada con las dimensiones
de los cuerpos y no con sus ángulos. Pensemos
por ejemplo, en el cable que sostiene un poste
de la figura. Si se sabe que la tensión del cable
es de 260 kg, podríamos establecer la siguiente
comparación de dos triángulos semejantes. Por
el teorema de Pitágoras se puede calcular la
longitud de la hipotenusa del primer triángulo
y entonces establecer las siguientes proporcio-
nes:
por tanto , y , es decir, y
En general podemos establecer, según la nomenclatura de la figura, que
y que .
Ejemplo. Diga cuáles son las componentes cartesianas de las fuer-
zas que se muestran a continuación.
y
x
75 kg
4
3
4
35

13. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
33
B) Más de dos fuerzas concurrentes
Consideremos un cuerpo sujeto a la acción de mil fuerzas concu-
rrentes. Elijamos un sistema de referencia cartesiano, con un eje de las
equis horizontal con sentido hacia la derecha, y un eje de las yes vertical
cuyo sentido sea hacia arriba.
Cada una de las fuerzas puede descomponerse en sus componentes
cartesianas en esas direcciones, sin que se alteren los efectos externos; o
sea, que tenemos ahora un sistema equivalente de dos mil fuerzas, mil
horizontales y mil verticales. Cada uno de esos conjunto s de mil fuerzas
constituye un sistema de fuerzas colineales, cuyas resultantes son, respec-
tivamente, una fuerza horizontal y una fuerza vertical, que podemos re-
presentar como y y cuyos sentidos y magnitudes pueden deter-
minarse mediante las ecuaciones
y
Con este procedimiento hemos obtenido un nuevo sistema de fuerzas
equivalente al original formado por dos fuerzas concurrentes. Estas dos se
pueden componer en una sola mediante la ley del paralelogramo. Esta úl-
tima es la resultante del sistema y su línea de acción contiene el punto de
concurrencia de las fuerzas del sistema (2
).
85 #
y
x
8
15
8
15
17

14. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
34
Elegimos un sistema de referencia cartesiano
120 kg
40 kg
45°
60 kg
30°Ejemplo. La argolla de la figura está
sujeta a las tres fuerzas que se muestran.
Determine la resultante de esas fuerzas.
30°
40
45°
120
60 x
y
y
179.5
ϴ
R
x
64.9

15. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
35
Además de escoger un sistema de referencia, trabajamos con las
pendientes de las fuerzas.
Ejemplo. La figura representa un
poste soportado por tres cables coplana-
res. Las tensiones en los cables AB, AC y
CD son, respectivamente, 150, 260 y 170
lb. Sustituya las tres tensiones que actúan
en el extremo A por una sola que produz-
ca los mismos efectos externos sobre el
poste.
35´10´18´
C D
24´
B
A
x
150
y
170
0
260
3
4
5
8
15
12
3
4
5
8
15125 13
17
y
x
160
440
R
ϴ

16. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
36
Dibujemos las fuerzas en su sistema de referencia
Como es horizontal,
Ejemplo. Tres remolcadores empu-
jan una embarcación durante sus manio-
bras en un puerto. Cada remolcador ejer-
ce una fuerza de 2 kN. Diga cuál debe
ser el valor del ángulo , de modo que la
resultante de los tres empujes tenga la
dirección del eje longitudinal del buque.
Diga también cuál es la magnitud de la
resultante.
15°
15°
ϴ
15°
15°
α
2
2
2
x
y

17. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
37
NOTAS DEL CAPÍTULO II
(1
) Aquí podría comenzarse a definir los vectores y emplear un lenguaje
vectorial, haciendo ; sin embargo, nos parece que no resul-
ta útil, sino hasta abordar el estudio de las fuerzas en el espacio, es decir,
en tres dimensiones.
(2
) Si empleáramos un lenguaje vectorial, diríamos que la resultante es
(pues y son las componentes cartesianas de la re-
sultante); y que la resultante es la suma vectorial de las fuerzas del siste-
ma, es decir, . Pero, insistimos, no tiene ninguna ventaja en este
momento, pues lo que interesa es conocer la magnitud y la dirección de la
fuerza buscada.

18. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
38
Serie de ejercicios de Estática
RESULTANTES DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS
QUE ACTÚAN SOBRE LA PARTÍCULA
Las direcciones de las fuerzas se miden con respecto a la horizontal, en
el sentido indicado por las flechas.
1 y 2. Halle gráficamente la magnitud y la
dirección de las resultantes de los dos sistemas
de fuerzas de las figuras. Utilice una escala
tal, que permita resolver los problemas ocu-
pando una hoja tamaño carta.
3 y 4. Resuelva analíticamente los dos
problemas anteriores.
(Sol. 533 kg ↗10.8º; 5.69 N ↘ 6.6º)
5. El cable AB ejerce una tensión de 120
kips y el AC otra de 80. Determine la magni-
tud y la dirección de la fuerza única que es ca-
paz de producir los mismos efectos externos
sobre la argolla.
(Sol. 188.4 kip ↖ 9.2º)
6. Se desea sostener el cuerpo de 140 lb
que se muestra en la figura. Diga qué tensión T
deberá aplicarse para lograrlo y cuál debe ser
el ángulo.
(Sol. T = 81.2 lb; ϴ = 29.5º)

19. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
39
7. Descomponga la fuerza horizontal de
500 kg en dos componentes, en las direcciones
que se indican. Diga cuáles son las magnitudes
de las componentes C1 y C2.
(Sol. C1 = 543 kg, C2 = 442 kg)
8. Los tractores A y B remolcan una
embarcación a lo largo de un canal. La cuerda
jalada por el tractor A forma un ángulo ϴ =
25º respecto al eje del canal; la cuerda que jala
B tiene una tensión de 3 kips y forma un án-
gulo ϕ= 40º respecto al eje del canal. ¿Cuál es
la tensión en la cuerda de A? ¿Qué magnitud
tiene la resultante de las dos tensiones?
(Sol. TA = 4.56 kip; R = 6.43 kip)
9. Si la embarcación del problema anterior
produce una resistencia de 200 kN, y la cuerda
gobernada por el tractor A debe soportar la mí-
nima tensión posible, ¿qué ángulo ϴ deberá
formar con eje del canal, si ϕ= 40º? ¿Cuál es
la tensión de cada cuerda?
(Sol. ϴ= 50º; TA = 128.6 kN; TB = 153.2 kN)
10. Determine la magnitud de F y del án-
gulo ϴ para lograr que la resultante de las
compresiones ejercidas por los perfiles de la
figura sea horizontal y de 2.4 ton. La fuerza Q
es de 1.8 ton y el ángulo ϕ= 45º.
( Sol.F=2.30 ton, ϴ=64.5º;
F’=1.097 ton, ϴ’=25.5º)

20. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
40
11. Si la fuerza F del elemento estructural
del problema anterior es de 60 kips, Q de 75 y
su resultante debe ser horizontal y de 90 kips,
¿qué valores deben tener los ángulos ϴ y ϕ?
(Sol. ϴ=41.4º; ϕ=55.8º)
12. El cuerpo que sostiene la grúa de la
figura es de 800 kg. ¿Cuáles son las compo-
nentes de ese peso en las direcciones de las
barras AB y BC?
(Sol. CAB = 1200 kg; CBC = 1600 kg)
13. El cable en el que se aplica la tensión
de 750 kg tiene una pendiente de 4/3. Determi-
ne sus componentes cartesianas, conforme al
sistema mostrado en la figura.
(Sol. Fx = 628 kg; Fy = 410 kg)
14. Diga cuáles son la magnitud y la dire-
cción de la resultante de las tres tensiones que
las cuerdas ejercen sobre la argolla de la figu-
ra.
(Sol. 47.9 lb ↘38.8º)
15. Determine la magnitud y la dirección
de la resultante de las cuatro fuerzas que se re-
presentan en la figura.
(Sol. 325 N ↗24.6º)

21. Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula
41
16. ¿Por qué fuerza única habría que
cambiar las tres ejercidas por los perfiles so-
bre el elemento estructural mostrado, de modo
que se produjeran los mismos efectos externos
sobre éste?
(Sol. 2260 lb ↘16.7º)
17. En el centro de un hexágono regular
están aplicadas fuerzas de 1, 3, 5, 7, 9 y 11 N,
colocadas en ese mismo orden y dirigidas
hacia los vértices. Determine la magnitud de
su resultante y diga en la dirección de cuál de
las fuerzas actúa.
(Sol. 12 N en dirección de la fuerza de 9 N)
18. Además de las dos fuerzas mostradas,
sobre el poste de la figura actúa la tensión del
cable. Diga cuáles son las magnitudes de di-
cha tensión y de la resultante de las tres fuer-
zas, sabiendo que es vertical.
(Sol. T = 676 kg; R = 804 kg)