Sobre diagramas de esfuerzo muy util en resistencia de materiales

1. UNIDAD VI: FUERZAS INTERNAS..
Sumario.
6.1 – Diversos tipos de cargas y apoyo externos e internos.
6.2 – Fuerzas cortantes y momento flexionante en una viga por el método de las ecuaciones
6.3 - Fuerzas cortantes y momento flexionante en una viga por el método de las sumas
- OBJETIVOS PARTICULARES
1. Comprender la importancia de los diagramas de acciones internas para el análisis y el
diseño de los elementos estructurales.
2. Construir diagramas de acciones internas en vigas y marcos estáticamente determinados
utilizando el método de las ecuaciones y el método de la suma.
3. Considerar el dominio de la temática para su aplicación en asignaturas posteriores dentro
del pensum de la carrera.
2.1. - UTILIDAD DE LOS DIAGRAMAS.
Diagrama: gráfica de las variaciones de las fuerzas internas en una estructura.
Para la determinación de las fuerzas interiores es necesario plantear las ecuaciones de
equilibrio correspondiente al sistema de cargas de la parte del cuerpo considerada. De

2. este modo, al trazar secciones en un cuerpo y separar o eliminar una de sus partes, se
observa que en la parte considerada actúan, además de las fuerzas externas, las fuerzas
internas, cuya resultante no es más que la acción de la parte elíminada del cuerpo sobre
la parte que hemos considerado.
El objeto principal de los diagramas es establecer procedimientos para determinar las
fuerzas que existen en una sección transversal de una viga. Por eso en los diseños de los
elementos o piezas de máquinas es necesario conocer la sección o secciones de posibles
fallas, para lo cual es necesario representar gráficamente la variación de las fuerzas a lo
largo de la barra.
Estos diagramas, según la clase de cantidades que representen, se llaman
respectivamente, diagramas de fuerzas cortantes, diagrama de fuerza axial y diagramas
de momento flexionante. Es conveniente trazar tales gráficas directamente abajo del
diagrama de cuerpo libre de la viga, empleando la misma escala horizontal para la
longitud de aquella.
2.2 - METODO DE LAS ECUACIONES: CORTANTE MAXIMO Y MOMENTOS
MAXIMOS Y MINIMOS. PUNTO DE INFLEXION.
Para ilustrar el método de las ecuaciones para los diagramas tendremos:
A
B
a b
P
L
Determinando las reacciones de los apoyos, se tiene:
RAy = Pb
L
RBy = Pa
L
Una vez encontrada las reacciones, se toma una sección de recta, a la izquierda de la
carga P, para una sección situada a una distancia de tal modo que este se encuentre en
los rangos de 0  x  a , puede concluirse, por el equilibrio que:
RA x
Q
N
M
Fy = 0
Q + RA = 0
Q = - RA =- Pb
L
Fx = 0
N= 0
M = 0
M - RA (x)= 0
M = RA (x) = Pb
L
(x)
Por las expresiones anteriores, las fuerzas cortante Q es constante desde el apoyo A
hasta el punto de aplicación de la carga, pero el momento flexionante varía a lo largo de la
viga, entonces se tiene:
M = Pb
L
(x)
Si x = 0 M = 0;
Si x = 0
M = Pb
L
(a)
Luego se analiza toda la sección de la recta, incluyendo la carga P, esto es, para
a  x  L , se tiene:

3. RA a
Q
N
M
x - a
P
L
Fy = 0
Q + RA - P = 0
Q = - Pb
L
+ P = PL - Pb
L
= Pa
L
M = 0
M - RA(x) + P (x - a)= 0
M = Pb
L
(x) - P (x - a)
Se observa que la fuerza cortante es constante y que el momento flexionante es una
función lineal de x, luego tendremos:
Si x = a
M = Pba
L
Si x = L M = Pb - P (L - a) = Pb - Pb = 0
RA a x - a
P
L
RB
(-)
(+)
- Pb
L
Pa
L
Q
Pa / L
M
De acuerdo a lo anterior podemos decir que:
1 - En el diagrama de fuerza cortante se producen saltos en los puntos en que hay
cambios bruscos de cargas (fuerzas externas o reacciones) igual sucede para los
diagramas de fuerza axial.
2 - La magnitud del salto es igual a la magnitud de la carga.
3 - Lo mismo se puede señalar en el caso de momento flexionante cuando existe un
momento concentrado.
4 - En la región entre dos cambios bruscos obtendremos líneas rectas o curvas que
pueden expresarse por medio de ecuaciones matemáticas.
Si tenemos ecuaciones de la forma:
y = f(x) entonces la derivada de esta función,
y = dy/dx = constante, la gráfica es una línea recta
Y si la
Constante < 0 : tendremos una recta descendente.
Constante > 0 : tendremos una recta ascendente.
Constante = 0 : tendremos una recta horizontal.
Si
Y = d2 y /d2 x es distinto de cero, la gráfica es una curva.
Y si:
Y > 0 : la curva será cóncava hacia arriba.
Y < 0 : la curva será cóncava hacia abajo.
Cuando la función es de segundo grado y haciendo y = o. Obtendremos el punto de

4. coordenada en el cual se presenta un momento máximo relativo o momento mínimo
relativo.
Si hacemos y = o obtendremos las coordenadas del punto donde el momento cambia de
signo, a este punto se le conoce como punto de inflexión.
Ejemplo:
Construya los diagramas de las fuerzas axial, cortante y momento flexionante por el
método de las ecuaciones, encuentre el momento máximo y mínimo respectivamente y
además la distancia del punto de inflexión desde el apoyo A.
668 kg/m
1.8 m 1.2 m
A
B
C
Realizamos el diagrama de cuerpo libre.
D.C.L
668 kg/m
Ay
Ax
By= 334 kg = 1670 kg
= 0
Las reacciones de los apoyos la obtenemos a partir de las condiciones de
equilibrio:
Fx = 0
Ax = 0
MA = 0
By(1.8 m) - (668 kg/m)(1.5 m) = 0
By = 1670 kg
Fy = 0
By+By - (668 kg/m)(3m) = 0
Ay = 334 kg
Luego tendremos el análisis de las fuerzas internas por intervalos o sea cuando:
0  x  1.8.
D.C.L
Ay = 334 kg
Q
N
M
x
668 kg/m
Fy = 0
Q + 334 kg - (668 kg/m) (x) = 0
Q = (668 kg/m) (x) - 334 kg
Al derivar esta ecuación, se obtiene el siguiente resultado:
Q´ = 668.
Este resultado obtenido nos indica una línea recta ascendente, de Acuerdo a la regla de la
ecuación.
Luego, si x toma los valores extremos, entonces:
Si x = 0 Q = - 334 kg.
Si x = 1.8 m Q = 868.4 kg

5. Realizando el cálculo para el momento flexionante, tenemos:
M = 0
M - (334 kg)(x) + (668 kg/m)(x)(x/2) = 0
M = (334 kg)(x) - (334 kg/m)(x2)
Al derivar esta ecuación nos queda:
M´ = 334 - 668 x
Realizamos una segunda derivada, lo que nos queda:
M´´ = - 668
Por tanto, de la segunda derivada nos queda un valor negativo, por lo cual, de acuerdo a
la regla del método de las ecuaciones, esta es una curva cóncava hacia abajo.
Luego si comenzamos a dar valores a x, de sus extremos, tenemos:
Si x = 0 M = 0
Si x = 1.8 M = - 481 kg.m
Análisis de las fuerzas internas, para el intervalo de 1.8  x  3.
D.C.L
Ay = 334 kg
Q
N
M
x
668 kg/m
x - 1.81670
Al realizar el equilibrio de las fuerzas, se tiene:
Fy = 0
Q + 334 kg + 1670 kg - (668 kg/m)(x) = 0
Q = - 2004 + (668 kg/m)(x)
Derivando la ecuación anterior, se tiene que la fuerza cortante es:
Q´= 668
El valor resultante de la derivada es un valor positivo y de acuerdo a la regla de la
ecuación, es una línea recta ascendente. Luego si sustituimos el valor de x por sus
condiciones extremas, se tiene:
Si x = 1.8 Q = - 801.6 kg
Si x = 3 Q = 0
Luego para el momento se tiene:
 M = 0
M - (334 kg)(x) - (1670 kg)(x - 1.8) + (668kg/m)(x)(x/2) = 0
M = (334 kg) + (1670)(x-1.8) - (334 kg)(x2
)
Derivando la ecuación de momento, se tiene:
M´ = - 1002 - (668)(x)
Volviendo a derivar se tiene:
M´´= - 668

6. De la información anterior y de acuerdo a la regla de la ecuación, se tiene una curva
cóncava hacia abajo. Luego:
Si x = 1.8 M = - 480.96 kg.m
Si x = 3 M = 0.
De las informaciones obtenidas a través de los cálculos, se puede realizar los diagramas
de fuerza cortantes y momento flexionante.
334 kg
668 kg/m
1670
- 334
868
-801
Q (kg)
M (kg.m)
83.5
- 480.96
P
1.8 m 1.2 m
Para encontrar la distancia del apoyo A hasta donde se encuentra la altura máxima de la
gráfica de momento, se toma del diagrama de la fuerza cortante y realizando el sistema
de ecuación e igualando a cero se tiene:
(668 kg) (x) - 334kg = 0, despejando; x = 334/668 = 0.5 m
Con el valor de x = 0.5 m, sustituimos en la ecuación de momento del primer tramo, la
cual resulta como:
0  x  0.5
M = 334x - (334)(x2)
Si x = 0 M = 0.
Si x = 0 M = 83.5 kg.m. (Momento máximo)
El momento mínimo es de - 480.96 kg.m
Luego determinamos el punto de inflexión (P) , a partir de la ecuación de momento en el
primer tramo, haciendo M = 0, se tiene:
334 x - 334 x2 = 0
x (334 - 334 x) = 0
x1 = 0
x2 = 1 m
Entonces la distancia del apoyo A hasta donde se encuentra el punto de inflexión (P) es
de 1 m.
Problemas.
Construya los diagramas de la fuerza cortante y momentos flexionante por el método de
las ecuaciones, encuentre el momento máximo y mínimo respectivamente. Encuentre el
punto de inflexión si existe (todos los diagramas de cortante y de momento deben de
cerrar)
a) -

7. 3m
3m 1.8m 1.8m
835 kg/m 835 kg/m
1.8 m 1.8m
668 kg/m 500kg
b) -
q o
A B
L
668 kg/m 668 kg/m
500 kg
1.2 m 1.5m 1.5m 1.2m
c) -
1 ton
1 ton
2 ton/m
1.25 m1.25 m 1.25 m
d) -
1
2
2.5 ton
3 ton
1.5 ton.m
1.8 m 1.8 m
A
e) -
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m
10 KN
20 KN 30 KN
20 KN
A B
2.4 - METODO DE LA SUMA
Este es un método eficiente, alternativo que permite construir los diagramas de

8. fuerza axial, fuerza cortante y momento flexionante.
En vez del método directo de cortar o seccionar una viga y determinar la fuerza cortante y
el momento flexionante en una sección transversal por medio de la estática, es posible
emplear un eficiente método alternativo. Este método lo realizaremos con la siguiente
regla.
Regla para el método de la suma.
1) - En un intervalo donde no hay carga el cortante permanece constante.
2) - Si en un punto existe una fuerza concentrada vertical en el diagrama de cortante
habrá un cambio o salto de igual magnitud pero de sentido contrario, igual para la fuerza
axial y para los momentos concentrados en sus respectivos diagramas.
3) - Si el diagrama de cortante es de forma rectangular positivo el momento será igual al
área del diagrama del cortante y su gráfica será una línea recta descendente.
4) - Si el diagrama de cortante es rectangular negativo el momento será igual al área y su
gráfica será una línea recta ascendente.
5) - Si en un tramo existe una carga distribuida uniforme hacia abajo, el diagrama de
cortante será una recta ascendente, si la carga va hacia arriba será una recta
descendente.
6) - Si el diagrama del cortante es una recta no horizontal, el diagrama de momento será
una curva parabólica de segundo grado y su valor estará dado por el área del cortante
que le corresponde en el intervalo. Si el área del cortante es negativo el diagrama de
momento aumentara y si es positivo disminuirá.
7) - Si el diagrama de cortante es una recta no horizontal ascendente, el momento será
parabólica en segundo grado y cóncava hacia abajo, si es descendente será cóncava
hacia arriba.
Ejemplo: construir los diagramas de fuerza axial, cortante y momento flexionante por el
método de la suma de la siguiente viga.
4m 2m 5m 3m 1m
2 t o n 4 t o n /m 2 t o n .m
Para realizar el diagrama de cuerpo libre, es necesario poner una letra en cada
punto donde esta aplicada la fuerza, comenzando de izquierda a derecha.
4m 2m 5m 3m 1m
2 t o n 4 t o n /m 2 t o n .m
Ax
Ay
B C D E
Fy
D.C.L
En el caso correspondiente, determinamos las reacciones de los apoyos.
Fx = 0

9. Ax = 0
MA = 0
-(2ton)(4m) - (4ton)(5m)(2.5m +6m) - 2ton.m + Fy(15m) = 0
Fy = 12 ton

Fy = 0
Ay - 2ton - (4ton)(5m) + 10.66 = 0
Ay = 10 ton
Para la realización del análisis de las fuerzas interna por el método de la suma,
comenzaremos su estudio con la fuerza cortante (Q) partiendo del punto que esta a la
izquierda, que es el punto A. Por tanto, de acuerdo a la regla de la suma se tiene:
Punto A: Q = - 10 ton
Zona de A-B: Q = constante en 10 ton.
Punto B: Q = - 10 ton + 2 ton = -8 ton.
Zona de B-C: Q = constante en - 8 ton.
Como no existe una fuerza concentrada en el punto C, si no que pertenece a una fuerza
distribuida, se tendrá que realizar como una operación en zona y luego se restará del
restante (-10.53).
Zona C-D: Q = (4ton/m)(5m) - 8 ton = 12 ton.
Zona D-E: Q = constante en 12 ton.
En el punto E no existe una fuerza aplicada, si no un momento aplicado, por lo tanto no se
toma en consideración como fuerza cortante, por eso la fuerza cortante se mantiene
constante.
Zona E-F: Q = constante en 12 ton.
Punto F: Q = 12 ton - 12 ton = 0.
Como se podrá observar la fuerza cortante al final del apoyo termina en cero, eso significa
que la gráfica tiene que cerrar. Inmediatamente se construye el diagrama del cortante,
este nos servirá de apoyo para la determinación del momento flector.
Para el análisis de los momentos, realizaremos cálculos de áreas para cada sector,
poniendo en cada uno de ellos la letra minúscula (a) y un sub índice donde indique el
sector de la fuerza cortante estudiado.

10. 2 t o n
4 t o n /m 2 t o n .m
4m 2m 5m 3m 1m
Ax
Ay
B C D E
Fy
Q (ton)
a1
-10 -8
a2
a3
a4
12
a5
M (ton.m)
40
56
64
46
10
12
a6
Areas de las curvas del cortante.
a1 = b.h = (4m)(10ton) = 40 ton.m
Por lo tanto el primer momento es M1 = 40 ton.m
a2 = (2m)(8ton) = 16 ton.m
El segundo momento será la suma de las áreas a1 y a2, dado que ambos están en la
parte negativa del diagrama de cortante.
M2 = a1 + a2 = 40 + 16 = 56 ton.m
En la parte de las áreas tres y cuatro se tienen dos triángulos, por lo que tendremos que
encontrar las bases de cada triángulo. Realizando semejanza de triángulos se obtuvieron
los siguientes valores
a3 = b.h/2 = (2m)(8ton)/2 = 8 ton.m.
El área del primer triángulo se suma con el momento dos para obtener el tercer momento.
M3 = M2 + a3 = 56 + 8 = 64 ton.m
Luego se realiza el cálculo del área del otro triángulo.
a4 = b.h/2 = (3m)(12)/2 = 18 ton.m
En este caso se ha invertido el signo del diagrama de la fuerza cortante, por tanto, se
restará del momento tres para obtener el cuarto momento.
M4 = M3 - a4 = 64 - 18 = 46
Realizamos la quinta área del diagrama de la fuerza cortante.
a5 = (3m)(12ton) = 36 ton.m
Restándolo del quinto momento se tiene.
M5 = M4 - a5 = 46 - 36 = 10 ton.m
Cómo se podrá observar en el esquema existe un momento externo puntual aplicado de 2
ton.m, el cual trasladándolo a la fuerza interna cambia de signo, por lo que se le sumara al
momento anteriormente encontrado.
M6 = M5 + M = 10 + 2 = 12 ton.m
En el diagrama de momento sufrirá un salto de 2 ton.m.
Realizando la sexta área del diagrama de fuerza cortante, se tiene:
a6 = (1m)(12ton) = 12 ton.m
Restándolo del ultimo momento se tiene:
M7 = M6 - a6 = 12 - 12 = 0.
Se puede observar que el momento es cero, por lo tanto el diagrama de momento
flextor se cierra, lo que se cumple con el equilibrio de las fuerzas.

11. La realización del diagrama, de acuerdo a los resultados, están dado de acuerdo al
diagrama de cuerpo libre.
Ejercicios.
Además de los problemas planteados en los incisos anteriores, resuélvase también los
siguientes ejercicios usando el método de la suma.
a) -
1
2
4 ton3 ton
4.5 ton/m
6 ton.m
3.5 m 7 m 3.5 m
b) -
700 lb.pie
400 lb/pie
1000 lb
800 lb
450 lb.pie
300 lb/pie
4 pie
3 pie
6 pie 3 pie
1 pie 1 pie
1 pie
3 pie
c) -
2 m 2 m 2 m
10 KN 30 KN
A
B
1
1
4
3
4
3
BIBLIOGRAFIA
Resistencia de materiales tomo II.
Gilda Fernandez Levy.
Editorial pueblo y educación . Cuba.
Introducción a la mecánica de sólidos.
Egor P. Popop.
Editorial limusa. México.