Cinemática de fluidos

1. UNIVERSIDAD
NACIONAL PEDRO
RUIZ GALLO
DOCENTE: ING. FREDY DÁVILA HURTADO.
CURSO: MECÁNICA DE FLUIDOS.
TEMA: CINEMÁTICA DE FLUIDOS.
INTEGRANTES:
 CHAMBERGO BANCES RONALD.

2.  ELIAS MUÑOZ KEVIN.
 GONZÁLEZ CHACÓN KEVIN.
 SERRANO QUISPE LUIS ANGEL.
 TAFUR ALVA TONY.
INTRODUCCION
La cinemática de fluidos trata la descripción del movimiento de los fluidos sin
necesariamente considerar las fuerzas y movimientos que lo causan. A continuación se
estudiara la derivada material y su papel en la transformación de las ecuaciones de
conservación en base en la descripción lagrangiana del flujo de fluidos o la descripción
euleriana del flujo de fluidos. Además se verá diversas maneras de visualizar los campos
de fluidos: líneas de corriente, líneas de traza, líneas de trayectoria, líneas fluidas y se
describirá tres maneras de traza gráfica a partir de los datos de flujo: gráficas de perfiles,
graficas vectoriales y graficas de contornos. Se explicará las cuatros propiedades
cinemáticas fundamentales del movimiento y deformación de los flujos: razón de
translación, razón de rotación, razón de deformación lineal y razón de deformación por
esfuerzo cortante. También veremos los conceptos de vorticidas, rotacionalidad e
irrotacionalidad en los flujos de fluidos. Por último, se estudiara el teorema del transporte
de Reynolds.

3. I. DESCRIPCIONES LAGRANGIANA Y EULERIANA.
En el estudio de la mecánica de partículas , se presta atención a partículas
individuales donde el movimiento es considerar como una función del tiempo la
posición, velocidad y aceleración de cada partícula se expresa como s(x,y,z,t);
V(x,y,z,t); a(x,y,z,t), y las cantidades de interés pueden ser calculadas en el punto
(x,y,z) donde se localiza el punto de inicio de este concepto se le conoce como
descripción lagranguiana del movimiento nombrada así en honor a Joseph
L.Lagranguiana utilizada en los cursos de dinámica.
La descripción lagranguiana consiste en seguir muchas partículas y su influencia en
otras pero llega a ser una tarea difícil conforme el número de partículas es cada vez
mayor, como en el flujo de un fluido.
Otro método seria seguir cada partícula por separado y identificar puntos en el
espacio y luego observar la velocidad de las partículas que pasan por cada punto, se
puede observar que el cambio de velocidad conforme las partículas pasan por cada
punto esto es y observar si la velocidad cambiacon el tiempo
en cada punto determinado es decir:
Esta descripción del movimiento es conocida como euleriana en honor a Leonhard
Euler; las propiedades del flujo yal como la velocidad son funciones tanto del espacio
como del tiempo en coordenadas cartesianas la velocidad se expresa como: V=V(x,
y, z, t); la región del flujo considerada se llama campo de flujo.
Campo de presión: P = P(x, y, z, t).
Campo de velocidad: v=v(x, y, z, t).
Campo de aceleración: a=a(x, y, z, t).
De manera colectiva, estas variables de campo (y otras) definen el campo de flujo.
El campo de velocidad de la ecuación se puede desarrollar en las coordenadas
cartesianas (x, y, z), (i, j, k).

4. V = (u, v, w) = u(x, y, z, t) +v(x, y, z, t) j+ w(x, y, z, t) k.
Campo de aceleraciones
El campo vectorial de las aceleraciones es una consecuencia derivada de las
velocidades, dado que el vector aceleración de una partícula fluida en un punto se
define como la variación temporal de la velocidad en ese punto. Empleando las
variables de Lagrange, tendríamos que la velocidad de una partícula fluida estaría en
función de X, Y, Z, t; es decir (x, y, z, t) no permanece constante sino que varía en
forma continua y dan en cada instante la posición de la partícula que estudiamos.
Dado esto la aceleración de la partícula será:
Esta ecuación es la derivada tomada con respecto al tiempo siguiendo el movimiento
del punto, y como podemos apreciar no tiene dirección como en el caso de la
velocidad.
A esta derivada se la conoce como la dedicada total y corresponde a la aceleración
de las partículas fluidas, que puede asumirse como la superposición de dos efectos.
a. En el instante “t”, supuesto el campo permanente. La partícula, bajo estas
circunstancias, cambiará de posición en éste campo permanente. Así su velocidad
sufrirá variaciones en los diversos puntos del campoque, en general, serán diferentes
de un instante a otro. Esta aceleración debida al cambio de posición es llamada
aceleración convectiva o de transporte.
b. Si consideramos, que la aceleración no proviene del cambio de posición ocupada
por la partícula fluida, sino de la variación de la velocidad, en la posición ocupada por
la partícula, por el tiempo, tenemos que la aceleración es la aceleración local y

5. corresponde al porcentaje local de variación de velocidad debido a la no-
permanencia del flujo.
Derivada material
Al operador derivada total d/dt de la ecuación 4-9 se le da un nombre especial, el de
derivada material; algunos autores le asignan una notación especial, D/Dt, para hacer
resaltar que se forma cuando sigue una partícula de fluido a medida que se mueve
por el campo de flujo. Otros nombres para derivada material incluyen total, de
partícula, lagrangiana, euleriana y sustancial.
II. FUNDAMENTOS DE VISUALIZACION DE FLUJO
La visualización de flujo
Existen numerosos tipos de patrones de flujo que se pueden visualizar, físicamente
(experimentalmente) o en forma computacional (dinámica computacional de fluidos)
CFD.
Líneas de corriente y tubos de corriente
Una línea de corriente es una curva que, en todas partes es tangente al vector de
velocidad local instantáneo. Son útiles como indicadores de la dirección instantánea
del movimiento del fluido en todo el campo de flujo.
Ecuación para una línea de corriente
dr
V
=
dx
u
=
dy
v
=
dz
w

6. Línea de corriente en el plano
(
dy
dx
)
a lo largo de la linea de corriente
=
v
u
Un tubo de corriente consta de un haz de líneas de corriente. Un flujo no estacionario,
el patrón de las líneas de corrientes puede cambiar de manera significativa con el
tiempo.
Líneas de trayectorias
Es la trayectoria real recorrida por una partícula de fluido durante algún periodo. Una
línea de trayectoria es un concepto lagrangiano en el que sencillamente se sigue de
una partícula conforme se desplaza en el campo del flujo.
Ubicación de la partícula trazadora en el instante t
𝐗⃗⃗ = 𝐗 𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢𝐨 + ∫ 𝐕⃗⃗ 𝐝𝐭
𝐭
𝐭𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢𝐨
Para el flujo estacionario, las líneas de trayectoria son idénticas a las líneas de
corriente.
Líneas de traza
Es el lugar geométrico de las partículas de fluido que han pasado de manera
secuencial por un punto prescrito en el flujo.
Las líneas de traza constituyen el patrón de flujo más común generado en un
experimento físico.
Una línea de traza es una fotografía instantánea de un patrón de flujo integrado
respecto del tiempo, una línea de trayectoria es la trayectoria de una partícula de flujo
expuesta en el tiempo durante algún periodo.
Ubicación integrada de la partícula trazadora.
X⃗⃗ = X inyeccion + ∫ V⃗⃗ dt
t actual
tinyección

7. En un flujo complejo no estacionario, cuando el lugar geométrico de las ubicaciones
de las partículas trazadoras en t=tactual se conectan por medio de una curva suave,
el resultado sería la línea de traza buscada.
Líneas fluidas (línea de tiempo)
Es un conjunto de partículas adyacentes de fluido que se marcaron en el mismo
instante (anterior).Son útiles en donde se va examinar la uniformidad de un flujo(o la
falta de ello).
Técnicas refractivas de visualización de flujo
Se basa en la propiedad refractiva de las ondas luminosas.
Existen dos técnicas básicas de visualización del flujo; estas son las estrioscopía y
la fotografía por sombras. La interferometría es una técnica de visualización que
utiliza el cambio de fase de la luz cuando pasa a través del aire de densidades
variantes.
La imagen producida por la técnica fotografía por sombras seforma cunado los rayos
refractarios de luz redisponen la sombra proyectada sobre una pantalla de visión o el
plano focal de una cámara, hacen que aparezcan patrones brillantes y oscuros en la
sombra.
Técnicas de visualización de flujo sobre la superficie.
La dirección del flujo de fluidos arriba de una superficie solida se puede visualizar con
mechones, son útiles en especial para localizar regiones de separación de flujo, en
donde la dirección se invierte de manera repentina, para este mismo fin podemos
utilizar la técnica llamada visualización mediante aceite superficial.
III. GRAFICAS DE LOS DATOS SOBRE FLUJO DE FLUIDOS
Gráfica de perfiles
Una gráfica de perfiles indica cómo varía el valor de una propiedad escalar a lo largo
de una dirección deseada en el campo de flujo.
Ha trazado la gráfica de cómo una variable y varía como función de una segunda
variable x. En la mecánicade fluidos sepueden creargráficas de perfiles de cualquier

8. variable escalar (presión, temperatura, densidad, etcétera), pero la más común que
se usa en este libro es la gráfica del perfil de velocidad.
Se debe observar que como la velocidad es una cantidad vectorial, se suele trazar la
gráfica de la magnitud de la velocidad o de una de las componentes del vector
velocidad como función de la distancia en alguna dirección deseada.
En la figura se ha trazado la gráfica de u como función de y.
Por último, es costumbre añadir flechas a las gráficas de perfiles de velocidad para
hacerlas visualmente más atractivas, aunque no se suministre información adicional
mediante esas flechas.
Gráfica vectorial
Una gráfica vectorial es un arreglo de flechas que indican la magnitud y dirección de
una propiedad vectorial en un instante.
En tanto que las líneas de corriente indican la dirección del campo de velocidad
instantánea, no indican de manera directa la magnitud de la velocidad. Por tanto, un
patrón útil de flujo, tanto para los flujos experimentales como computacionales de
fluidos, es la gráfica vectorial, que consta de un arreglo de flechas que indican la
magnitud y la dirección de una propiedad vectorial instantánea.
Con la finalidad de ilustrar más las gráficas vectoriales, se generó un campo
bidimensional de flujo que consiste en un flujo libre que choca contra un bloque de
sección transversal rectangular. Se realizaron cálculos CFD y, en las figuras a
continuación, se muestran los resultados. Note que, por naturaleza, este flujo es

9. turbulento y no estacionario, pero en la figura sólo se han calculado y presentado los
resultados promediados en un tiempo largo.
En la figura a) se tienen las gráficas de las líneas de corriente; se muestra una vista
del bloque completo y gran parte de su estela. Las líneas de corriente cerradas de
arriba y abajo del plano de simetría indican grandes remolinos de recirculación, uno
arriba y otro abajo de la recta de simetría.
En la figura b), se muestra una gráfica de vectores de velocidad. En esta gráfica,
resulta claro que el flujo se acelera alrededor de la esquina corriente arriba del
bloque, de tal manera que la capa límite no puede ajustarse a la brusca esquina y se
separa del propio bloque, con lo que se producen los grandes remolinos de
recirculación corriente abajo de éste.
En la figura c) se tiene la gráfica de una vista de acercamiento de la región del flujo
separado, en donde se comprueba el flujo inverso en la mitad inferior del gran
remolino de recirculación.

10. Gráfica de contornos
Una gráfica de contornos muestra las curvas de valor constante de una propiedad
escalar en un determinado instante.
En la mecánica de fluidos se generan gráficas de contornos de la presión, la
temperatura, la magnitud de la velocidad, las propiedades de turbulencia, etc.
Una gráfica de contornos puede revelar con rapidez las regiones de valores altos o
bajo de la propiedad del flujo que se está estudiando.
Los contornos se pueden rellenar con colores o sombras de gris; esto se conoce
como gráfica de contornos rellenos.
En la figura a) se muestran contornos rellenos con sombras de tonalidades grises
para identificar las regiones de niveles diferentes de presión (las regiones oscuras
indican presión baja y las regiones claras indican presión alta).

11. En la figura b) se muestran los mismos contornos de presión, pero como una gráfica
de líneas de contorno con los niveles indicados de la presión manométrica en
unidades de pascales.
IV. OTRAS DESCRIPCIONES CINEMÁTICAS
Tipos de movimiento o deformación de los elementos de fluidos
En la mecánica de fluidos, como en la de los sólidos, un elemento puede pasar por
cuatro tipos fundamentales de movimientos o deformación, como se ilustra en dos
dimensiones:
a) Traslación
b) Rotación
c) Deformación lineal (a veces conocida como deformación por tensión)
d) Deformación por esfuerzo cortante.
El estudio de la dinámica de fluidos se complica todavía más porque los cuatro tipos
de movimiento o deformación suelen ocurrir de manera simultánea.
- Traslación
Se estudiaran la velocidad (razón de traslación), la
velocidad angular (razón de rotación), y la razón de
deformación lineal y la razón de deformación por esfuerzo
cortante.
El vector de razón de traslación se describe en forma matemática como el vector de
velocidad. En coordenadas cartesianas:

12. -Rotación
La razón de rotación (velocidad angular) en un punto se
define como la razón promedio de rotación de dos rectas
inicialmente perpendiculares que se intersecan en ese
punto.
Expresado en coordenadas cartesianas:
- Deformación lineal
La razón de deformación lineal se define como la razón de
incremento en la longitud por unidad de longitud. Desde el
punto de vista matemático, la razón de deformación lineal
depende de la orientación o dirección inicial del segmento
rectilíneo en el que se mide la deformación lineal. Por lo tanto, no se puede expresar
como una cantidad escalar o vectorial, se denota como la dirección Xα en
coordenadas cartesianas, normalmente se toma la dirección Xα como la de cada una
de los tres ejes de coordenadas, aun cuando no es necesario restringirse a estas
instrucciones.
- Deformación volumétrica
La razón de incremento de volumen de un elemento de fluido por unida de volumen
se conoce como su razón de deformación volumétrica o razón de deformación de
volumen. Su propiedad cinemática se define como positiva cuando el volumen
aumenta. Otro sinónimo de razón de deformación volumétrica es el de razón de
dilatación volumétrica.

13. - Deformación por esfuerzo cortante
La razón de formación por esfuerzo cortante en un punto se define
comola mitad de la razón de disminucióndel ángulo entre dos rectas
inicialmente perpendiculares que se intersecan en el punto.
Por último, resulta que se pueden combinar matemáticamente la razón de
deformación lineal y la razón de deformación por esfuerzo cortante en un tensor
simétrico de segundo orden conocido como tensor de razones de deformación
Vorticidad y rotacionalidad
El vector de vorticidad se define matemáticamente como el rotacional del vector de
velocidad V
La vorticidad es igual al doble de la velocidad angular de una partícula de fluido. Por
lo tanto, la vorticidad es una medida de la rotación de una partícula de fluido.

14. Si la vorticidad en un punto en un campo de flujo es diferente de cero, la partícula de
fluido que llegue a ocupar ese punto en el espacio está girando; se dice que el flujo
en esa región es rotacional. Si la vorticidad en una región del flujo es cero o las
partículas de fluido allí no están girando; se dice que el fluido en esa región es
irrotacional.
La vorticidad de un elemento de fluido no puede cambiar, excepto por la acción de
viscosidad, el calentamiento no uniforme (gradientes de temperatura) u otros
fenómenos no uniformes. Por consiguiente, si un flujo se origina en una región
irrotacional, continúa siendo irrotacional hasta que algún proceso no uniforme lo
altera.
La presencia de vorticidad en una región del flujo siempre implica la rotación de las
partículas fluidas.
Se produce como consecuencia de la acción combinada de los esfuerzos cortantes
que se producen entre distintas capas de fluido, provocando que la partícula de fluido
rote sobre uno o varios de sus ejes.
Una forma más concisa de expresar el vector vorticidad es mediante el determinante
del producto vectorial entre el operador nabla y la velocidad:

15. Comparación de dos flujos circulares
No todos los flujos con líneas de corriente circulares son rotacionales. Para ilustrar
este punto, se considerarán dos flujos bidimensionales incompresibles y estacionarios,
donde los dos tienen líneas de corriente circulares en el plano rθ:
Se presentan esquemas de los perfiles de velocidad para los dos flujos, junto con sus
líneas de corriente. Ahora se calcula y compara el campo de vorticidad para cada uno
de estos dos flujos
Líneas de corriente y perfiles de velocidad para el flujo A, rotación de cuerpo sólido y
flujo B, un vórtice lineal. El flujo A es rotacional, pero el B es irrotacional en todas
partes, excepto en el origen.

16. No es sorprendente que la vorticidad para la rotación de cuerpo sólido sea diferente
de cero. De hecho, es constante con magnitud igual al doble de la velocidad angular y
apunta en la misma dirección.
V. EL TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS
La relación entre las razones de cambio respecto del tiempo de una propiedad
extensiva para un sistema y para un volumen de control se expresa por el teorema del
transporte de Reynolds (RTT, Reynolds transport theorem), el cual proporciona el
vínculo entre los enfoques de sistema y de volumen de control
Represente por B cualquier propiedad extensiva (como la masa, la energía o la
cantidad de movimiento) y sea b = B/m la propiedad intensiva correspondiente. Cuando
se observe que las propiedades extensivas son aditivas, la propiedad extensiva B del
sistema, en los instantes t y t +△t se puede expresar como:
donde A1 y A2 son las áreas de las secciones transversales en las ubicaciones 1 y 2.

17. Con la finalidad de generalizar el proceso, se considera un área superficial diferencial,
dA sobre la superficie de control y se denota su vector normal exterior unitario por n⃗ .
El gasto de la propiedad b a través de dA es ρbV⃗⃗ ⋅ n⃗ dA ya que el producto punto V⃗⃗ ⋅ n⃗
da la componente normal de la velocidad. Entonces, por integración se determina que
la razón neta de flujo de salida a través de toda la superficie de control (SC) es:
4-39
En general, dentro del volumen de control, las propiedades pueden variar con la
posición. En ese caso, la cantidad total de la propiedad B dentro del volumen de control
debe determinarse por integración:
4-40
Por tanto, el término dBCV/dt de la ecuación 4-38 es igual a , y representa
la razón de cambio respecto del tiempo del contenido de la propiedad B en el volumen
de control. Un valor positivo de dBCV/dt indica un aumento en el contenido de B, y uno
negativo indica una disminución. Con la sustitución de las ecuaciones 4-39 y 4-40 en
la ecuación 4-38 se llega al teorema del transporte de Reynolds, conocido también
como transformación de sistema a volumen de control para un volumen fijo de control:
4-41
Puesto que el volumen de control no se mueve ni sedeforma con el tiempo, la derivada
respecto del tiempo en el primer término de la expresión del lado derecho de la
ecuación se puede introducir a la integral, dado que el dominio de integración no
cambia con el tiempo (en otras palabras, es irrelevante si se deriva o se integra
primero). Pero, en ese caso, la derivada respecto del tiempo se debe expresar como
una derivada parcial (∂ ∂t⁄ ), ya que tanto la densidad como la cantidad b pueden
depender de la posición dentro del volumen de control. Una forma alternativa del
teorema del transporte de Reynolds para un volumen fijo de control es:

18. 4-42
La ecuación 4-41 se dedujo para un volumen fijo de control. Sin embargo, muchos
sistemas prácticos, como la turbina y las aspas de una hélice, incluyen volúmenes no
fijos de control. Por fortuna, la ecuación 4-41 también es válida para volúmenes de
control en movimiento o deformación, siempre que la velocidad absoluta V⃗⃗ del fluido
del último término se reemplace por la velocidad relativa Vr
⃗⃗⃗ ,
velocidad relativa : Vr
⃗⃗⃗ = V⃗⃗ − VSC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4-43
donde VSC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ es la velocidad local de la superficie de
control (Fig.). De donde, la forma más general del
teorema del transporte de Reynolds es:
4-44
Note que para un volumen de control que se mueve o deforma con el tiempo, la
derivada respecto del tiempo debe aplicarse después de la integración, como en la
ecuación 4-44.
Como un ejemplo sencillo de un volumen de control en movimiento, considere un
automóvil de juguete que se desplaza a una velocidad absoluta constante V⃗⃗ auto = 10
km/h hacia la derecha. Un chorro de agua a alta velocidad (velocidad absoluta =
V⃗⃗ chorro = 25 km/h hacia la derecha) choca contra la parte posterior del automóvil de
juguete y lo impulsa (Fig. 4-58). Si se traza un volumen de control alrededor del
cochecito, la velocidad relativa es Vr
⃗⃗⃗ = 25 - 10 = 15 km/h hacia la derecha. Esto
representa la velocidad a la cual un observador que se mueve con el volumen de
control (en movimiento con el coche)observaría el fluido cruzarla superficie de control.
En otras palabras, Vr
⃗⃗⃗ es
la velocidad del fluido que se expresa con relación a un sistema de coordenadas que
se mueve con el volumen de control.

19. Por último, mediante la aplicación del teorema de Leibnitz,
se puede demostrar que el teorema del transporte de
Reynolds para un volumen de control general que se
mueve o deforma (Ec. 4-44) equivale a la forma dada por
la ecuación 4-42, la cual se repite enseguida:
4-45
En contraste con la ecuación 4-44, el vector de velocidad V⃗⃗ de la ecuación 4-45 debe
tomarse como la velocidad absoluta (según se ve desde un marco de referencia fijo)
para aplicarse a un volumen no fijo de control.
Durante el flujo estacionario, la cantidad de la propiedad B que está dentro del volumen
de control permanece constante en el tiempo y la derivada respecto del tiempo de la
ecuación 4-44 resulta cero. Entonces el teorema del transporte de Reynolds se reduce
a:
4-46
Note que, a diferencia del volumen de control, el contenido de la propiedad B del
sistema inclusive puede cambiar con el tiempo durante un proceso estacionario. Pero,
en este caso, el cambio debe ser igual a la propiedad neta transportada por la masa a
través de la superficie de control.
En la mayoría de las aplicaciones prácticas del RTT a la ingeniería, el fluido cruza el
límite del volumen de control en un número finito de admisiones y salidas bien definidas
(Fig. 4-59). En esos casos, es conveniente cortar la superficie de control directamente
a través de cada admisión y cada salida, y reemplazar la integral de superficie de la
ecuación 4-44 con expresiones algebraicas aproximadas en cada una de ellas,
basadas en los valores promedios de las propiedades del fluido que cruza la frontera.
Defina ρprom, bprom y Vr, prom como los valores promedio de ρ, b y Vr,
respectivamente, a través de una admisión o de una salida con área A de la sección
transversal (por ejemplo, bprom = (1 A⁄ ) ∫ bdAA )

20. cuando se aplican sobre una admisión o una salida de área A de la seccióntransversal,
extrayendo la propiedad b de la integral de superficie y reemplazándola con su
promedio. Ésta conduce a:
donde mṙ es el gasto de masa a través de la admisión o de la salida en relación con la
superficie de control (en movimiento). La aproximación en esta ecuación es exacta
cuando la propiedad b es uniforme sobre el área A de la sección transversal. La
ecuación 4-44 queda:
En algunas aplicaciones, se puede desear volver a escribir la ecuación 4-47 en
términos de gasto volumétrico (en vez de gasto de masa). En esos casos,se hace una
aproximación adicional, que mṙ = ρpromVr
̇ = ρprom Vr,prom A . Esta aproximación es
exacta cuando la densidad del fluido ρ es uniforme sobre A; entonces la ecuación 4-
47 se reduce a:

21. VI. CONCLUSIONES
 En general en el curso de fluidos lo que más se suele utilizar es el método
euleriano puesto que las leyes físicas que la utilizan son más fáciles de aplicar
a situaciones reales, pero existen casos en los que se requieren utilizar
descripción lagranguiana comopor ejemplo en las boyas a la deriva utilizadas
para estudiar las corrientes oceánicas.
 La visualización del flujo es útil no sólo en los experimentos físicos, sino
también en las resoluciones numéricas (dinámica computacional de fluidos,
CFD). Precisamente lo primero que un ingeniero hace cuando utiliza CFD,
después de obtener una solución numérica, es simular alguna forma de
visualización del flujo, de modo que pueda ver la “imagen completa”, en vez
de sólo una lista de números y datos cuantitativos.
 Es necesario trazar las gráficas de los datos de flujo en formatal que sepueda
adquirir una sensación de cómo varían las propiedades de ese flujo en el
tiempo o el espacio.
VII. BIBLIOGRAFÍA
Mecánica de Fluidos Fundamentos y Aplicaciones Yanus Gengel John Gimbla
Editorial: Mc Gram Gill (1ra edición)
Mecánica de Fluidos Merle C. Potter David Wiggert (3ra edición)
VIII. LINKOGRAFÍA
http://trabajosfluidostermino7.blogspot.pe/2008/03/cinemtica-de-fluidos.html
http://sgcg.es/articulos/2011/10/03/descripcion-lagrangiana-y-descripcion-euleriana/
https://es.wikipedia.org/wiki/Especificaci%C3%B3n_lagrangiana_y_euleriana_del_c
ampo_de_flujo