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ESTATICA DE FLUIDOS 
PRESENTADO POR 
OPTACIANO VÁSQUEZ GARCIA 
DOCENTE DE LA FACULTAD DE CIENCIAS 
UNASAM- HUARAZ-PERÚ 
© 2014
I. OBJETIVOS: 
Al finalizar la unidad el alumno está 
en las condiciones de 
• Entender el concepto de distribuciones de presiones 
hidrostáticas. 
• Usar la ley fundamental de la hidrostática en la 
medición de presiones mediante el uso de 
manómetros 
• Determinar fuerzas hidrostáticas sobre superficies 
sumergidas y los centros de presiones 
Determinar las fuerzas de flotación y sus 
correspondientes puntos de aplicación
II. INTRODUCCIÓN 
Mecanica de fluidos 
Gases Líquidos Estatica Dinámica 
Air, He, Ar, 
N2, etc. 
Agua, aceites, 
alcoholes, etc. 
0  i F 
0  i F 
Estabilidad Buoyantez 
Viscoso/ sin 
viscocidad 
Compressible 
Incompresible 
Estable/inestable 
Laminar 
Turbulento 
← Flujos 
Compresibilidad Viscosidad 
Presión 
de vapor 
Densidad 
Presiónre 
CAPITULO I 
INTRODUCCIÓN 
Capitulo II. 
Estatica de 
fluidos 
Dinámica de 
fluidos 
Tensión 
superficial
III. DEFINICIÓN DE FLUIDO 
Un fluido es la sustancia que cambia su forma 
continuamente siempre que esté sometido a un esfuerzo 
cortante, sin importar que tan pequeño sea.
Estados de la materia 
La materia puede existir en cuatro estados: 
SOLIDO, LÍUIDO GAS Y PLASMA 
Cada uno de estos estados depende de la fuerza de 
cohesión molecular entre las moleculas del cuerpo
SOLIDOS 
 Tienen volumen y forma 
definida. 
 Sus moléculas tienen 
ubicaciones específicas 
debido a fuerzas eléctricas 
 Vibran alrededor de sus posiciones 
de equilibrio. 
 Pueden ser modeladas como esferas 
rígidas unidas por resortes
SOLIDOS 
 Cuando se aplica fuerzas 
externas al sólido, éste puede 
estirarse o comprimirse. En el 
modelo de resortes, estos se 
estiran o comprimen 
 Si se suprime la fuerza el 
sólido recupera su forma original: 
esta propiedad se concoce como 
elasticidad
SOLIDO CRISTALINO 
1. Los átomos dentro del 
cristal tienen una 
estrucctura ordenada 
2. En la figura se presenta 
el cloruro de sodio, 
Las esferas grises son los iones 
sodio y las verdes el ion cloro
SOLIDOS AMORFOS 
1. Los átomos están distribuidos aleatoriamente 
como se muestra en la figura 
Entre otros se tiene a los vidrios.
LIQUIDOS 
1. Tienen volumen 
definido pero no tienen 
forma definida 
2. Existen a temperaturas 
mayores que los 
sólidos 
2. Las moléculas se 
mueven aleatoriamente 
dentro del líquido 
Las fuerza intermoleculaleres no son suficientes 
para mantener las moléculas en posiciones fijas
PROPIEDADES DE LOS LIQUIDOS 
1. Propiedades hidrostáticas: 
a) Presión 
b) Tensión superficial 
c) Boyantez 
2. Propiedades hidrodinámicas: 
a) Viscocidad 
b) Flujo y transporte
GASES 
1. No tienen volumen ni forma definida 
2. Las moleculas de un gas se encuentran en 
continuo movimiento 
3. Sus moléculas se ejercen mutuamente fuerzas 
muy débiles 
4. La distancia promedio entre sus moléculas es 
mucho mayor que el tamaño de las moleculas
PLASMA 
1. Materia caliente a muy alta temperatura 
2. Muchos de los electrones en estas sustancias se 
encuentran libres de sus átomos 
3. Esto da como resultado una gran cantidad de 
iones libres electricamente cargados 
4. El plasma existe en una gran cantidad de estrellas
PROPIEDADES FISICAS DE 
LOS FLUIDOS 
Una propiedad es una carácterística de una sustancia , la 
cual es invariante cuando está en un estado particular 
Las propiedades pueden ser: (a) EXTENSIVAS: las cuales 
dependen de la cantidad de sustancia presente (volumen, energia 
momentum, peso,etc. (b) INTENSIVAS: las cuales son 
independientes de la cantidad de sustancia ( volumen específico, 
densidad, energía especifica, etc 
La propiedades intensivas son los valores de las propiedades 
que se aplican a los fluidos. Son: Densidad, peso específico, 
gravedad específica, viscocidad, tensión superficial, presión de 
vapor, compresibilidad
DENSIDAD 
La densidad , de una sustancia es una medida de la 
concentración de la materia, y se expresa como la masa 
por unidad de volumen 
Matemáticamente se expresa 
 , , ,  lim 
* 
 
  
   , , ,  
   
V V 
m 
x y z t 
  V 
 
  
dm 
x y z t 
dV 
  
La densidad es función de la presión y de la temperatura 
y su unidad SI es el kg/m3 
Para cuerpos homogéneos   
m 
V
Densidad de algunas sustancias 
Sustancia ρ (kg/m3).103 Sustancia ρ (kg/m3).103 
Hielo 0,917 Agua 1,00 
Aluminio 2,7 Glicerina 1,26 
Acero 7,86 Alcohol etílico 0,806 
Cobre 8,92 Benceno 0,879 
Plata 10,5 Aire 1,29 
Plomo 11,3 Oxigeno 1,43 
Oro 19,3 
Platino 21,4
PESO ESPECÍFICO 
El peso específico , es la fuerza debido a la gravedad 
sobre la masa contenida en la unidad de volumen de una 
sustancia. Esto es, el peso por unidad de volumen. 
Matematicamente se expresa 
W 
V 
  
Las unidades de γ son el (N/m3) en el SI y (lb/pie3) en el 
sistema británico. Por otro lado, debido a que 
w = mg = ρVg, la ecuación del peso específico puede 
escribirse 
mg 
g 
    
V
GRAVEDAD ESPECIFICA 
Es una cantidad que permite comparar la 
densidad de unas sustancia con la del agua si el 
fluido es un líquido y con la del aire si es un gas 
Matematicamente se expresa 
 
sus 
 
r 
 
w 
 
Debido a que la densidad es función de la presión y 
la temperatura, para los valores precisos de la 
gravedad específica debe expresarse la presión y la 
temperatura
PRESIÓN 
La presión ejercida por un fluido sobre un recipiente, es una 
magnitud tensorial que expresa la distribución normal de una 
fuerza sobre una determinada superficie. Lo de magnitud tensorial 
implica que la presión tiene múltiples puntos de aplicación y una 
manifestación normal a la superficie. 
Para determinar la presión consideremos un fluido contenido dentro 
de una superficie S tal como se ve en la figura. Si se divide a la 
superficie en elementos de área ΔA cuya dirección es , en 
donde , es un vector unitario perpendicular a la superficie, la fuerza 
que ejercerá el fluido sobre ΔA es . Entonces la presión no es más 
sino la fuerza por unidad de área, esto es: 
F 
p 
  
 
A 
lim 
 A 
0 
F 
p 
 
A 
  
 
 
 
A  An 
dF 
p 
  
dA 
n 
F 
Módulo de elasticidad volumétrico (Ev) 
Todos los fluidos se pueden comprimir mediante la 
aplicación de fuerzas de presión y en el proceso se 
almacena energía de la forma elástica. Es decir los fluidos 
se expanden al dejar de aplicar las fuerzas aplicadas 
convirtiendo su energía almacenada. Esta propiedad elástica 
se define mediante el módulo de elasticidad volumétrico, 
cuyo valor se determina utilizando un cilindro y un embolo 
al que se le aplica una fuerza como se muestra en a figura 
1 
V 
dp 
E 
dV 
V 
  
  
  
 
Viscosidad (μ) 
Cuando se observa el movimiento de fluidos se 
distinguen dos tipos básicos de movimiento. El primero 
es el flujo laminar aquel movimiento regular en el que 
las partículas del fluido parecen deslizar unas sobre otras 
en capas o láminas. El segundo llamado flujo turbulento 
es un movimiento caracterizado por la aleatoriedad del 
movimiento de las partículas observándose remolinos de 
varios tamaños. 
Para determinar la viscosidad consideremos el flujo 
laminar de un fluido real que está confinado a moverse 
entre dos placas de extensión infinita, como se ve en la 
figura
Viscosidad (μ) 
• Por efecto de la fuerza cortante Ft, la placa se mueve hacia la 
derecha. El esfuerzo cortante será 
lim 
A 
0 
• La rapidez de deformación será 
F dF 
A dA 
 
  
   
    
   
rapidez de deformación lim 
0 
t 
d 
  
t dt 
  
   
    
  
Viscosidad (μ) 
• Por otro lado de la figura se observa además que la 
distancia Δl entre los puntos M y M’ es 
• Para ángulos pequeños la distancia Δl puede expresarse 
como 
l  vt 
l  y
Viscosidad (μ) 
• Igualando estas ecuaciones 
• Llevando al límite se tiene 
v 
v t y 
 
t y 
 
  
       
  
d  
dv 
 
dt dy
Viscosidad (μ) 
• Para fluidos newtonianos 
d  
dv 
dt dy 
     
• En donde μ es la constante de proporcionalidad y se le 
llama “coeficiente de viscosidad dinámica” 
• En el SI la viscosidad se expresa en N.s/m2 y en el sistema 
c.g.s. absoluto la unidad es el gr/cm.s unidad llamada 
como poise
Viscosidad (μ) 
• La viscosidad no depende en gran medida de la presión. 
Sin embargo se observa que la viscosidad de un líquido 
disminuye con un aumento en la temperatura mientras que 
en un gas ocurre lo contrario. La explicación de estas 
tendencias es la siguiente: en un líquido las moléculas 
tienen una movilidad limitada con fuerzas cohesivas 
grandes presentes entre moléculas. 
• Un aumento en la temperatura disminuye la cohesión entre 
moléculas disminuyendo la pegajosidad del fluido, es decir 
un descenso en la viscosidad. En un gas las moléculas 
tienen una alta movilidad y generalmente están separadas 
existiendo poca cohesión. Sin embargo las moléculas 
interactúan chocando unas con otras dando lugar a una 
disminución en la viscosidad.
ESTATICA DE FLUIDOS 
• Un fluido se considera estático si todas sus partículas 
permanecen en reposo o tienen la misma velocidad 
constante con respecto a una distancia de referencia 
inercial. En esta sección se analizará la presión y sus 
variaciones a través del fluido así como se estudiará las 
fuerzas debidas a la presión sobre superficies definidas.
Presión en un punto 
• Para determinar la presión en un punto interior a un fluido 
consideremos un elemento de fluido en forma de cuña 
como se muestra en la figura.
Presión en un punto 
• Aplicando las ecuaciones de equilibrio según las direcciones 
mostradas y teniendo en cuenta que 퐹 = 푝퐴, resulta 
0 
 
 
 1   1  
0 
4 2 5 2 
x F 
p dydz p dydz 
   
0 
 
 
    1 3 
0 
y F 
p dxdz p dxds sen 
  
5 4 pp 1 3 pp 
0 
cos 0 
z F 
 
 
    2 3 
p dxdy p dx ds  dW 
   
1 
2 3 2 p  p   dz
Presión en un punto 
• Las dos primeras ecuaciones indican que no hay variación de 
presión en dirección horizontal, mientras que la última 
ecuación indica en dirección vertical. Si hay variación de la 
presión dicha variación depende de la densidad del fluido, de 
la aceleración de la gravedad y de la diferencia de alturas. Sin 
embargo en el límite cuando dz, tiende a cero, la ecuación 
se escribe 
p2  p3 
• Por tanto 
1 2 3 p  p  p
Variación de la presión en un fluido en 
reposo. Ecuación fundamental de la 
hidrostática 
• Las variaciones de presión en una determinada dirección se 
obtienen estudiando las variaciones que la presión experimenta 
a lo largo de una dirección horizontal y vertical.
Variación de la presión en un fluido en 
reposo. Ecuación fundamental de la 
hidrostática 
• Debido a que el elemento de fluido está en equilibrio, se 
cumple. 
0 
F 
 
p 
   
     
   
    
0 
x 
x 
p dydz p dx dydz 
x x 
x 
 
0 
F 
 
p 
   
     
   
    
0 
y 
y 
p dxdz p dy dxdz 
y y 
y 
 
0 
 
F 
p 
    
0 
z 
z 
p dxdy p dz dxdy dW 
z z 
z 
 
   
     
   
0  
px 
 
 
x 
 0 
p y 
 
 
y 
pz   
 
g 
z 

Variación de la presión en un fluido 
incomprensible 
• La presión experimenta variaciones en la dirección vertical. 
• La presión depende de la densidad ρ así como de la 
aceleración de la gravedad g y ésta varía con la altura 
entonces afectará a la presión. Sin embargo, para 
propósitos ingenieriles se puede considerar a la aceleración 
de la gravedad como una constante, de otro lado como se 
trata de un fluido incompresible la densidad es constante 
entonces 
z p 
g 
z 
 
 
  
 
dp 
z   g 
 
constante dz
Variación de la presión en un 
fluido incomprensible 
• Para el sistema de referencia mostrado la variación de presión 
de un fluido incompresibles es
Variación de la presión en un 
fluido incomprensible 
A partir de este resultado, se observa que un incremento en 
la elevación (dz, positivo) corresponde a una disminución en 
la presión (dp, negativo). Siendo p1 y p2 las presiones en los 
puntos z1 y z2, respectivamente, 
p z 
2 2 
 dp   g dz p  p  g  z  z 
 z 
2 1 2 1 p z 
1 1 
Por otro lado, si el recipiente está abierto en la parte 
superior como se ve en la Figura , la presión a cualquier 
profundidad h = z1 – z2 es 
0 p  p   gh
Variación de la presión en un fluido 
incomprensible 
• La presión ejercida por el aire es constante 
• La presión ejercida por el líquido varía con la 
profundidad
Variación de la presión con la profundidad 
La presión en un fluido en reposo es independiente 
de la forma del recipiente que lo contiene. 
La presión es la misma en todos los puntos de un 
plano horizontal en un fluido dado
Principio de Pascal. 
• Debido a que la presión en un fluido sólo depende de la profundidad, 
cualquier incremento en la presión en la superficie se debe transmitir a 
cualquier punto en el fluido. Este efecto fue descubierto por primera vez 
por Blaise Pascal y se le conoce como Principio de Pascal y establece: 
“Un cambio en la presión aplicada a un fluido 
encerrado en un depósito se transmite íntegramente 
a cualquier punto del fluido y a las paredes del 
recipiente que l contiene”
Principio de Pascal. Prensa hidraulica 
• Una de las aplicaciones más importantes del principio de 
Pascal es la prensa hidráulica 
F F F A 
1 2 2 2 
     
1 2 
1 2 1 1 
P P 
A A F A
Variación de la presión para fluidos compresibles 
Gases como el aire, oxigeno y nitrogeno son compresibles de tal 
forma que debe considerarse la variación de la densidad 
dp 
Note: γ = ρg , no es constante y g 
dz 
  
p 
  
Ley de gases ideales Asi RT 
R Constante universal de 
gases 
T es la temperatura 
ρ es la densidad Entonces, 
Para condiciones isotérmicas, T es constante, To:
Presión absoluta y 
manométrica
El Barómetro 
• Fue inventado por Torricelli 
• Permite medir la presión 
atmosférica local. 
• Consta de un tubo largo de vidrio 
cerrado por un extremo y abierto 
por el otro y una cubeta con 
mercurio 
p p h 
  
 
  
 
atm vapor , 
Hg Hg 
0 
 
Hg 
atm Hg 
h 
p  
h
El Barómetro
El manómetro 
 Los manómetros son 
dispositivos que sirven para 
medir la diferencia de 
presión. 
 Uno de ellos es el 
manómetro en U 
 
2 3 
   
   
1 1 0 2 1 
0 2 2 1 1 
, 2 2 1 1 
A 
A 
A man 
p p 
p h p h 
p p h h 
p h h 
  
  
  
 
El manómetro diferencial 
En el manómetro mostrado en la figura. Determine 
la diferencia de presiones entre A y B
EJEMPLO 01 
Un tanque cerrado contiene aire comprimido y aceite 
(GE = 0,90) como se muestra en la figura. Un tubo 
manométrico que usa mercurio (GE = 13,6) es conectado al 
tanque como se muestra. Para las alturas en las columnas 
ℎ1 = 36 푝푢푙; ℎ2 = 6 푝푢푙푔 푦 ℎ3 = 9푝푢푙푔 . Determine la lectura 
del manómetro instalado en el tanque
EJEMPLO 02 
Un tanque cilíndrico cerrado llenado con agua tiene un domo 
hemisférico y está conectado a un sistema de tuberías 
invertido como se muestra en la figura. Si el manómetro en A 
indica 60 kPa. Determine la presión en el tanque B y (b) la 
presión en el punto C inmediatamente debajo del domo 
hemisférico
EJEMPLO 03 
Si la presión atmosférica local es 14,2 psi. Determine 
la presión absoluta en la tubería de gas natural.
EJEMPLO 04 
Una tanque de gasolina está conectado a un manómetro de 
presión a través de un manómetro doble-U, como se muestra 
en la figura. Si la lectura del manómetro es 370 kPa. 
Determine la presión en el manómetro de la línea de la 
gasolina
EJEMPLO 05 
Calcule la diferencia de presiones entre los centros de los 
tanques A y B. Si el sistema completo se rota 180º alrededor 
del eje MM. ¿Qué cambios en la presión entre los tanques 
serán necesarios para mantener inalterables las posiciones de 
los fluidos?
EJEMPLO 06 
¿Cuál es la diferencia de presión entre los puntos A 
y B de los tanques?
EJEMPLO 07 
Determine la presión del aire en el recipiente de la 
izquierda, si la cota del líquido manométrico en el 
tubo en A es 32,5 m
EJEMPLO 08 
Los fluidos del manómetro invertido de la figura se 
encuentran a ퟐퟎ°푪. Si 풑푨 − 풑푩 = ퟗퟕ풌푷풂. ¿Cuál es la 
altura H en centímetros
EJEMPLO 09 
La presión del punto A de la figura es de 25 푙푏/푝푢푙푔2. 
Todos los fluidos se encuentran a 20 °C. ¿Cuál es la 
presión del aire a la cual se encuentra la cámara 
cerrada B?. La DR para el aceite SAE 30 es 0,891
EJEMPLO 10 
Para el sistema de manómetros mostrados en la 
figura, determine la lectura h del manómetro en U
EJEMPLO 11 
Los dos tanques de agua son conectados a través de 
un manómetro de mercurio mediante tubos 
inclinados, como se muestra en la figura. Si la 
diferencia de presiones entre los dos tanques es 20 
kPa. Determine las cantidades a y 
EJEMPLO 12 
La diferencia de presiones entre el tanque de aceite y 
el tanque de agua es medido por el manómetro 
mostrado en la figura. Para las alturas y densidades 
relativas de los fluidos. Determine Δ푃 = 푝퐵 − 푝퐴
EJEMPLO 13 
La presión del agua que fluye a través de la tubería 
es medida por el manómetro mostrado en la figura. 
Con los datos consignados determine la presión en la 
tubería.
EJEMPLO 14 
Los compartimentos B y C en la figura se encuentran 
llenos de aire, el barómetro lee 26 cm de mercurio 
cuando los manómetros leen «x» y 25 cm, 
respectivamente. ¿Cuál será el valor de x
EJEMPLO 14 
En la figura mostrada el tanque A contiene gasolina 
(SG = 0,70), el tanque B contiene aceite (SG = 0,9), y el 
fluido manométrico es mercurio. Determine la nueva lectura 
diferencial si la presión en el tanque A decrece 25 kPa, y la 
presión en el tanque B permanece constante. La lectura del 
manómetro diferencial es 0,30 m como se muestra.
EJEMPLO 15 
La presión manométrica del aire en la parte superior del 
tanque mostrado en la figura es 10,7 kPa y la densidad (ρs) 
del fluido manométrico de una de las ramas en U es 
desconocida. Determinar ρs para las deflexiones indicadas. 
Considere que la densidad relativa del Heptano es 0,681 y del 
Mercurio es 13,6
EJEMPLO 15
FUERZAS HIDROSTÁTICAS 
Una válvula de una compuerta de una presa se 
encuentra sometida a presiones distribuidas como se 
muestra en la figura
Fuerza hidrostática sobre una superficie 
plana horizontal sumergida 
Consideremos la superficie sumergida 
mostrada en la figura 
La fuerza hidrostática sobre dA será 
dF   pdAk 
La fuerza hidrostática resultante 
será 
F   pdAk 
R 
A
Fuerza hidrostática sobre una superficie 
plana horizontal sumergida 
Teniendo en cuenta la 
variación de la presión con 
la profundidad 
R  0  
F   p   gh dAk 
A 
Debido a que todos los 
puntos de la superficie 
están, a la misma 
profundidad 
  R 0 
F   p   gh  dAk 
A 
  R 0 F   p   gh Ak
Fuerza hidrostática: 
CENTRO DE PRESIONES 
El centro de presiones se determina aplicando el teorema 
de momentos 
El momento de la fuerza 
resultante con respecto a los ejes 
x ó y es igual al momento del 
conjunto de fuerzas distribuidas 
respecto al mismo eje x ó y. Es 
decir 
x F   xpdA 
C R 
A 
y F   ypdA 
C R 
A
Fuerza hidrostática: 
CENTRO DE PRESIONES 
Reemplazando la magnitud de FR y el valor de la presión 
a una profundidad h, tenemos 
C  0   0  
x p  gh A   x p  gh dA 
A 
1 
x xdA 
C 
  C xx 
A 
A 
    C 0 0 
y p  gh   y p  gh dA 
A 
1 
  Cy  y 
y ydA 
C 
A 
A 
Esta ecuaciones indican que la 
fuerza hidrostática esta dirigida 
hacia abajo y esta aplicada en el 
centroide de la región
Fuerza hidrostática sobre una superficie 
plana inclinada sumergida 
Considere la superficie 
inclinada un ángulo  
Para encontrar la fuerza 
resultante se divide a la 
superficie en elementos 
de área dA. 
Debido a que el fluido 
esta en reposo no existe 
esfuerzos cortantes, 
entonces la fuerza FR 
actuará 
perpendicularmente a 
dA. Esto es
Fuerza hidrostática sobre una superficie 
plana inclinada sumergida 
• En la figura se muestra la fuerza hidrostática sobre la placa
Fuerza hidrostática sobre una superficie 
plana inclinada sumergida 
• En la figura se muestra la fuerza hidrostática sobre la placa
Fuerza hidrostática sobre una superficie 
plana inclinada sumergida 
La fuerza hidrostática será 
dF   pdAk 
Teniendo en cuenta que la 
presión a una profundidad h 
es 푝 = 푝0 + 휌푔ℎ 
  0 0 dF   p  gh dAk 
De la figura se tiene además 
que ℎ = 푦 푠푒푛휃, entonces 
  0 0 dF   p  gysen dAk
Fuerza hidrostática sobre una superficie 
plana inclinada sumergida 
La fuerza resultante será 
F ρgysen dAˆ 
    
 R 0 
 
A 
p  
k 
F   p Akˆ  
 gsen  
ydAk 
ˆ 
R 0 
 
A 
Teniendo en cuenta la definición 
de centroide 
 ydA  y A 
CG 
A 
F   ( p A gsen y A ) k 
ˆ R 0 
CG De la figura se observa h  y sen 
CG CG F   ( p  gh ) Ak 
ˆ R 0 
CG F  p A 
La magnitud de la fuerza 
R CG hidrostática será
Centro de presiones 
El punro de aaplicación de la fuerza 
resultante se determina aplicando el 
principio de momentos 
Momento respecto al eje x 
y F  ydF  y p  
h dA 
( ) 
  
0 
 
  
 
y p y sen dA 
  
( ) 
0 
  
2 
p ydA sen y dA 
  
0 
  
  
  
y F p y A sen I 
CP R 0 
CG xx 
CP R 
Donde 푰풙풙 = 풚ퟐ풅푨 es el momento de inercia de área, respecto al 
eje x
Centro de presiones 
Utilizando el teorema de los ejes 
paralelos 
Entonces se tiene 
2 
xx G,x CG I  I  y A 
2 
y p A p y A sen I y A 
    
 
   
   
  
( ) 
CP CG CG G x CG 
0 , 
p sen y y A sen I 
p h y A sen I 
(   ) 
  
(  ) 
  
CG CG G x 
0 , 
CG CG G x 
0 , 
CP CG CG CG G , 
x 
y p A p y A sen I 
  
  
G,x 
CP CG 
sen I 
CG 
y y 
p A 
 
Centro de presiones 
Momento respecto al eje y 
x F  xdF  x p  
h dA 
( ) 
  
0 
 
  
 
x p y sen dA 
  
( ) 
0 
  
p xdA sen xydA 
  
0 
  
  
  
x F p x A sen I 
CP R 0 
CG xy 
CP R 
Donde 푰풙풚 = 풙풚풅푨 es el 
producto de inercia del área. 
Utilizando el teorema de Steiner se 
tiene 
xy G,xy CG CG I  I  x y A
Centro de presiones 
Entonces se tiene 
x p A p x A sen I x y A 
    
 
   
   
  
( ) 
CP CG CG G xy CPG CG 
0 , 
p sen y x A sen I 
p h x A sen I 
(   ) 
  
(  ) 
  
CG CG G xy 
0 , 
CG CG G x 
0 , 
CP CG CG CG G xy 
, 
x p A p x A sen I 
  
  
G,xy 
  
CP CG 
sen I 
CG 
x x 
p A
FUERZA RESULTANTE 
La magnitud de la fuerza resultante FR actuando sobre una 
superficie plana de una placa completamente sumergida en 
un fluido homogéneo es igual al producto de la presión en el 
centro de gravedad pCG de la superficie por el área A de dicha 
placa y está actuando en el centro de presiones
Propiedades geométricas de regiones 
conocidas
Fuerza hidrostática sobre una superficie 
plana vertical
Fuerza hidrostática sobre una superficie 
plana vertical: Prisma de presiones 
Consideremos una superficie vertical de altura ℎ y ancho 푏 
como se muestra en la figura. 
La fuerza hidrostática resultante es 
h 
F  p A  h A  bh 
( )( ) 
2 R CG CG
Fuerza hidrostática sobre una superficie 
plana vertical 
Es decir la fuerza hidrostática es igual al volumen del prisma 
de presiones 
1 
2 FR Volumen del prisma de presiones  h bh 
  
Fuerza hidrostática sobre una superficie 
plana vertical 
 Su punto de aplicación será 
3 90 ( /12) 
( / 2)( ) 2 6 
sen bh h h 
2 
3 
CP CG 
CP 
y y 
h bh 
y h 
 
 
 
    

Fuerza hidrostática sobre una superficie 
plana vertical 
Si la superficie no se extiende hasta la superficie libre 
(compuerta) como se muestra en la figura
Fuerza hidrostática sobre una superficie 
plana vertical 
La fuerza resultante se obtiene sumando el paralelepípedo de 
presiones más la cuña de presiones
Fuerza hidrostática sobre una superficie 
plana vertical 
La fuerza resultante se obtiene 
sumando el paralelepípedo de 
presiones más la cuña de presiones 
F V V 
R paralelipipedo prisma 
F F F 
R 1,( ABDE ) 2,( BCD 
) 
F  h A  h h A 
1 2 1 ( ) ( ) 
R 
  
  
   
La localización de la fuerza 
resultante se obtiene tomando 
momentos. Es decir 
Donde
MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS 
El momento de inercia del 
área alrededor del eje x, es 
El momento de inercia del 
área alrededor del eje y, es 
• El productor de inercia
Teorema de los ejes paralelos 
• El momento del area con 
respecto a ejes paralelos 
se expresa en la forma
EJEMPLO 01 
La placa AB de 3 m por 4 m de 
un depósito al aire es 
basculante en torno a su borde 
inferior y se mantiene en 
posición mediante una barra 
delgada BC. Sabiendo que va a 
llenarse de glicerina, cuya 
densidad es 1263 kg/m3. 
Determinar la fuerza T en la 
barra y las reacciones en la 
bisagra A cuando el depósito 
se llena hasta una profundidad 
d = 2,9 m.
EJEMPLO 02 
La compuerta de 6 m de 
ancho mostrada en la 
figura se mantiene en la 
posición mostrada en la 
figura mediante un 
momento M aplicado en 
sentido antihorario. Halle el 
valor de dicho momento 
para mantener cerrada la 
compuerta
EJEMPLO 03 
La placa rectangular AB, 
mostrada en sección vertical 
tiene 4 m de altura por 6 m de 
anchura(normal al plano de la 
figura) y bloquea el extremo de 
un depósito de agua de 3 m de 
profundidad. La placa se 
encuentra articulada en A y en 
el extremo inferior B es 
sostenida por una pared 
horizontal. Encuentre la fuerza 
en B ejercida por el muro de 
contención
EJEMPLO 04 
La compuerta semicircular AB se encuentra 
embisagrada en su borde inferior y mantenida en 
posición vertical gracias a una fuerza horizontal P. 
¿Cuál es el valor de la fuerza P mínima necesaria 
para esto
EJEMPLO 5 
La compuerta rígida OAB, tiene 3 m de ancho normal al plano 
del dibujo y se encuentra articulada en O y apoyada en B. 
Despreciando el peso de la compuerta, y suponiendo que el 
rozamiento de la bisagra es despreciable. Determine la 
magnitud de la fuerza P necesaria para mantener cerrada la 
compuerta.
EJEMPLO 6 
El tanque de agua mostrado en la figura se 
encuentra presurizado como se muestra mediante la 
lectura del manómetro. Determine la fuerza 
hidrostática por unidad de anchura de la compuerta.
EJEMPLO 07 
En la figura se muestra un tanque de agua dulce con 
fondo inclinado. La compuerta rectangular del fondo 
(normal al plano del dibujo), de 1,6 m por 0,8 m, se 
encuentra engoznada en A y se abre venciendo la 
presión del agua por acción de la tracción P del 
cable. Determine la magnitud de la fuerza 푃.
EJEMPLO 08 
La compuerta vertical accionada por el resorte está 
engoznada por su borde superior A según un eje horizontal y 
cierra el extremo de un canal rectangular de agua dulce de 
1,2 m de anchura (normal al plano del papel). Calcular la 
fuerza 퐹 que debe ejercer el resorte para limitar la 
profundidad del agua a una profundidad h =1,8 m.
EJEMPLO 09 
El eje de la compuerta de 2 m de ancho normal 
plano del papel fallará con un momento de 
160 kN.m. Determine el máximo valor de la 
profundidad del líquido h. El peso específico del 
líquido es 10 kN/m3.
EJEMPLO 10 
La presa de concreto está diseñada para que su cara AB 
tenga una pendiente gradual en el agua, como se muestra. 
Por esto, la fuerza friccional en la base BD de la presa se 
incrementa debido a la fuerza hidrostática del agua que 
actúa sobre la presa, Calcule la fuerza hidrostática que actúa 
en la cara AB de la presa. La presa tiene un ancho de 
60 pies. 휌푤 = 62,4 푙푏/푝푖푒3.
EJEMPLO 12 
El aire del espacio superior del tanque cerrado es 
mantenido a una presión de 5,5 kPa sobre la 
atmosférica- Determine la fuerza resultante ejercida 
por el aire y el agua sobre uno de los extremos del 
tanque
EJEMPLO 13 
Un cilindro hidráulico acciona la palanca articulada que 
cierra la compuerta vertical venciendo la presión del 
agua dulce represada al otro lado. La compuerta es 
rectangular con una anchura de 2 m perpendicular al 
plano del dibujo. Para una altura de agua h = 3 m, 
calcular la presión p del aceite actuante sobre el pistón 
de 150 mm del cilindro hidráulico
EJEMPLO 14 
Una placa rectangular 
uniforme AB, representada 
en sección, tiene una masa 
de 1600 kg y separa los dos 
cuerpos de agua dulce en 
un depósito que tiene una 
anchura de 3 m (normal al 
plano de la figura). 
Determine la tensión T del 
cable soportante.
EJEMPLO 15 
En la figura se representa la 
sección normal de una compuerta 
rectangular AB de dimensiones 4m 
por 6m que cierra el paso de un 
canal de agua. La masa de la 
compuerta es de 8500 kg y está 
engoznada en un eje horizontal 
que pasa por C. Determine: (a) 
La fuerza ejercida por el agua 
sobre la compuerta, (b) el punto 
de aplicación de dicha fuerza y (c) 
la fuerza vertical P ejercida por la 
cimentación sobre el borde inferior 
A de la compuerta.
EJEMPLO 16 
Calcular la magnitud, dirección y localización de la 
fuerza resultante ejercida por los fluidos sobre el 
extremo del tanque cilíndrico de la figura.
EJEMPLO 17 
Una placa rectangular, 
mostrada de perfil en la 
figura, tiene una altura de 
274 cm y una anchura de 
244 cm (normal al papel) y 
separa depósitos de agua 
dulce y petróleo. El petróleo 
tiene una densidad relativa 
de 0,85. determine la altura 
h que ha de alcanzar el 
agua para que sea nula le 
reacción en B.
EJEMPLO 18 
Calcular la fuerza vertical mínima F, requerida para 
mantener cerrada la cubierta de esta caja. La 
cubierta tiene una anchura de 3m de perpendicular 
a plano del dibujo.
EJEMPLO 19 
En la figura mostrada. (a) Determine la fuerza única 
resultante que actúa sobre la compuerta Ģ provocada por la 
presión hidrostática para el caso en el que θ = 53º. El ancho 
de la compuerta es 5 m y la densidad del agua es 1 g/cm3, 
(b) Calcule las reacciones en el perno A y el piso B.
EJEMPLO 20 
En un canal de agua dulce, de 1.5 m de ancho, se construye 
un dique temporal clavando dos tablas a los pilotes ubicados a 
los lados del canal y apuntalando una tercera tabla AB contra 
los pilotes y el piso del canal. Sin tomar en cuenta la fricción, 
determine la magnitud y la dirección de la tensión mínima 
requerida en la cuerda BC para mover la tabla AB.
EJEMPLO 21 
La compuerta AB está 
situada al final del canal de 
agua de 6 ft de ancho y se 
mantiene en la posición 
mostrada en la figura 
mediante bisagras instaladas 
a lo largo de su extremo 
superior A. Si el piso del 
canal no tiene fricción, 
determine las reacciones en 
A y B.
EJEMPLO 22 
Una compuerta colocada en 
el extremo de un canal de 
agua dulce de 1 m de 
ancho fue fabricada con 
tres placas de acero 
rectangulares de 125 kg 
cada una. La compuerta 
está articulada en A y 
descansa sin fricción sobre 
un apoyo puesto en D. Si d 
0.75 m, determine las 
reacciones en A y D.
EJEMPLO 23 
Al final de un canal de agua dulce se encuentra una 
compuerta en forma de prisma que está sostenida por medio 
de un pasador y una ménsula colocados en A y descansa sin 
fricción sobre un soporte ubicado en B. El pasador se localiza 
a una distancia de h = 4 pulg. por abajo del centro de 
gravedad C de la compuerta. Determine la profundidad del 
agua d para la cual se abrirá la compuerta.
EJEMPLO 24 
Una puerta rectangular de 4 m de anchura, 8 m de 
largo con un peso de 300 kg se mantiene en su lugar 
mediante un cable flexible horizontal como se muestra 
en la Figura. El agua actúa contra la puerta que está 
articulada en el punto A. La fricción de la bisagra es 
insignificante. Determine la tensión en el cable
EJEMPLO 25 
Una compuerta circular de 3 m de diámetro, tiene su 
centro a 2,5 m debajo de la superficie del agua, y 
descansa sobre un plano con pendiente de 60º. 
Determine la magnitud, dirección y localización de la 
fuerza total sobre la compuerta debido al agua.
EJEMPLO 26 
Un área triangular de 2 m de base y de 1,5 m de 
altura tiene su base horizontal y yace en un plano 
inclinado 45º, con su ápice debajo de la base y a 
2,75 m debajo de la superficie libre del agua. 
Determine la magnitud, dirección y la localización de 
la fuerza resultante del agua sobre el área 
triangular.
EJEMPLO 27 
Una compuerta, cuya 
sección transversal se 
muestra en la figura, 
cierra una abertura de 0,6 
m de ancho por 1,2m de 
alto. La compuerta es 
homogénea y su masa es 
de 600 kg. Calcular la 
fuerza P requerida para 
abrir la compuerta.
EJEMPLO 28 
La compuerta AB es una placa 
rectangular de 280 Kgf que tiene 1,5 
m de altura y 1,1 m de anchura y se 
utiliza para cerrar el canal de desagüe 
en la parte inferior de un depósito de 
petróleo. A consecuencia de la 
condensación en el depósito, se 
recoge agua dulce en la parte inferior 
del canal. Calcular el momento M 
respecto del eje del pasador en B 
necesario para cerrar la compuerta 
contra la acción de las fuerzas 
hidrostáticas del agua y del petróleo, 
la densidad relativa del petróleo es 
0,85.
Ejemplo 29 
La compuerta rectangular 
mostrada en la figura tiene 
1,2 m de ancho y un 
resorte se encarga de 
mantenerla cerrada. 
Cuando la compuerta está 
cerrada la fuerza de 
compresión sobre el resorte 
vale 15000 N. Determine el 
valor de H para que la 
compuerta empiece a 
abrirse.
Ejemplo 30 
Una placa plana cierra 
una abertura triangular 
existente en la pared 
vertical del depósito que 
contiene un líquido de 
densidad ρ . La placa está 
articulada en el borde 
superior O del triángulo. 
Determine la fuerza P 
requerida para cerrar la 
compuerta venciendo la 
presión del líquido.
Ejemplo 31 
La tapa de la abertura de 20 
por 30 cm del depósito está 
roblonada, siendo despreciables 
las tensiones iniciales en los 
roblones. Si el depósito se llena 
con mercurio (DR = 13,6) hasta 
el nivel que se indica. 
Determine: (a) La fuerza 
ejercida por el mercurio sobre 
la tapa de la abertura y (b) la 
tensión inducida en cada uno 
de los roblones A y B.
Ejemplo 32 
Las caras de un canjilón en 
forma de V para agua dulce, 
representado en sección, 
están articuladas por su 
intersección común que 
pasa por O y unidas por un 
cable y un torniquete 
colocados cada 183 cm a lo 
largo del canjilón. Determine 
la tensión T que soporta 
cada torniquete.
Ejemplo 33 
En la figura puede verse la 
sección de una compuerta ABD 
que cierra una abertura de 1,5 m 
de anchura en un calla de agua 
salada. Para el nivel del agua 
indicado. Determine la fuerza de 
compresión F del vástago del 
cilindro hidráulico que mantenga 
una fuerza de contacto de 3 kN 
por metro de anchura de 
compuerta a lo largo de la línea 
de contacto que pasa por A. La 
compuerta pesa 17 kN y su 
centro de gravedad está en G.
Ejemplo 34 
Halle la fuerza total sobre la compuerta AB y el 
momento de esta fuerza respecto del fondo de la 
compuerta.
Ejemplo 35 
Una compuerta rectangular uniforme de peso W, 
altura r y longitud b es sostenida por goznes en A. 
Si el peso específico del fluido es 훾, determine el 
ángulo θ requerido si la compuerta debe permitir 
flujo cuando d = r
Ejemplo 35 
La compuerta ABC de 500 lb de 
peso, cierra un orificio rectangular 
de 4 pies de alto por 5 pies de 
anchura normal al plano del dibujo 
de un canal de agua dulce. Si el 
centro de gravedad de la 
compuerta se ubica a 1 pie a la 
izquierda de AC y a 2 pies sobre 
BC. Determine la reacción en la 
bisagra en A y la reacción 
horizontal que es producida en la 
compuerta en C. Para el agua 
 = 62,4 lb/pie3
Problema 36 
El agua fresca de un canal es retenida por una compuerta AB 
rectangular plana que tiene una anchura a = 0,6 m (normal al 
plano del dibujo) y se encuentra articulada en B. El muro 
vertical BD se encuentra fijo. Despreciando el peso de la 
compuerta. Determine la fuerza F necesaria para comenzar 
abrir la compuerta
Problema 36 
La compuerta mostrada en la figura se encuentra 
articulada en el punto H. Si la compuerta tiene una 
anchura de 3 m (normal al plano del dibujo) y es 
utilizada para retener agua dulce (ρ = 1000 kg/m3). 
Determine la fuerza F aplicada en el extremo A de la 
compuerta para mantenerla cerrada.
Problema 36 
Una compuerta en forma de L abisagrada en O pesa 9000 N y 
tiene su centro de gravedad G a 0,5 m a la derecha de la cara 
vertical como se muestra en la figura. Si la compuerta tiene 2 
m de ancho (normal al plano del dibujo). (a) ¿Cuál podría ser 
el valor del contrapeso W para ayudar a mantener la 
compuerta en la posición indicada?, (b) ¿Cuál es la magnitud y 
la dirección de la reacción de la bisagra en O?
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS 
Cuando la placa sumergida es curva, la presión que actúa 
perpendicularmente, cambia de dirección continuamente. por 
tanto la magnitud y punto de aplicación de 퐹푅 se determina 
calculando sus componentes horizontal y vertical.
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS 
• El análisis del cuerpo de fluido ABC mostrado en la figura, 
permite el cálculo de las componentes de la fuerza resultante 
ejercida por la superficie AB, F’H y F’V, sobre el fluido, y 
posteriormente las respetivas e iguales y opuestas FH y FV . Es 
decir 
´' 
F F F 
    
0 x BC H 
' 
F  
F 
H BC 
' 
F F F W 
     
0 y V AC ABC 
' 
F F W 
  
V AC ABC 
debe ser colineal con FBC y 
' 
H F 
' 
V F 
colineal con la resultante de 
FAC yWABC
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS 
• Existe otra técnica mediante la cual los ingenieros obtienen las 
componentes de las fuerzas resultantes producidas por 
distribuciones de presión sobre superficies curvas
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS 
• La componente horizontal 
actuando sobre 푑퐴 será 
• La fuerza resultante horizontal 
será 
• Teniendo en cuenta la 
geometría de la figura 
F   zdA  z A 
• El punto de aplicación de FH se 
obtiene aplicando el teorema 
de momentos 
• Es decir 
z F z dA 
dFH  dF sen  p sen dA 
H F   p sen dA 
H yz CG yz, proy 
A 
2 
CP H yz 
2 1 
z z dA 
CP yz 
F 
H 
 
 
 
 
 

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS 
Esto es: La componente horizontal 푭푯 de la fuerza 
debida a las presiones sobre una superficie curva es 
igual a la fuerza debía a las presiones que se ejercería 
sobre la proyección de la superficie curva. El plano 
vertical de proyección es normal a la dirección de la 
componente. 
H CG yz, proy F  z A 
El punto de aplicación de la fuerza horizontal se 
encuentra en el centro de presiones del área 
proyectada 
2 1 
z z dA 
  
CP yz 
F 
H
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS 
La componente vertical de la fuerza FV, paralela al eje z, es
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS 
• La componente vertical 
actuando sobre 푑퐴 es 
• La fuerza resultante vertical 
será 
F   p  dA 
• De la geometría de la figura 
F   pdA   hdA 
• Pero 푑푉 = ℎ(푑퐴푥푦 ), entonces 
La componente vertical 
debida a las presiones 
sobre una superficie curva 
es igual al peso del fluido 
situado verticalmente por 
encima de la superficie 
curva y extendida hasta la 
superficie libre. 
dFV  dF cos  p cos dA 
cos V 
A 
H xy xy 
A A 
F   dV 
V 
A 
VF  V
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS 
• La línea de acción de la componente vertical se determina 
igualando los momentos de las componentes diferenciales 
verticales, respecto a un eje convenientemente elegido, con el 
momento de la fuerza resultante respecto al mismo eje, esto 
es 
x F xdV 
 
 
 
 
x xdV 
1 
CP V 
CP 
CP 
V 
x xdV 
V 
 
 
 
 

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS 
Es decir la fuerza vertical pasa por el centroide del 
volumen de fluido real o imaginario que se extiende 
por encima de la superficie curva hasta la superficie 
libre real o imaginaria. El punto de aplicación de la fuerza 
vertical pasa por el centroide del volumen
Ejemplo 01 
Calcular las componentes horizontal y vertical de la 
fuerza hidrostática que se ejerce sobre el panel en 
cuarto de círculo situado en el fondo del depósito de 
agua mostrado en la figura.
Ejemplo 02 
Determine completamente la fuerza hidrostática 
ejercida por el agua ( 휌 = 1000 푘푔/푚3 ) sobre la 
compuerta en forma de cuarto circular de r = 4 푚 de 
radio y ancho 푏 = 30 푚
Ejemplo 03 
La compuerta AB cuarto cilíndrica, mide 10 푝푖푒푠 de 
anchura y está abisagrada en B. Determine la 
mínima fuerza 퐹 necesaria para impedir su apertura. 
La compuerta es uniforme y pesa 푊 = 3000 푙푏.
Ejemplo 04 
La compuerta de 2 푚 de ancho retiene un líquido de peso 
específico 훾 = 9푘푁/푚3 como se muestra en la figura. 
Determine: (a) la fuerza horizontal así como su punto de 
aplicación; (b) la fuerza vertical ejercida por el fluido si como 
su punto de aplicación y (c) el momento M requerido para 
mantenerla compuerta en dicha posición. Desprecie el peso 
de la compuerta.
Ejemplo 05 
La compuerta cuarto circular de 2 푚 de anchura, mostrada se 
encuentra abisagrada en la parte inferior. Determine: (a) las 
fuerzas horizontal y vertical ejercida por el agua sobre la 
compuerta, (b) la fuerza 푃 necesaria para mantener la 
compuerta en dicha posición
Ejemplo 06 
Calcule la fuerza P necesaria para mantener la 
compuerta de 4 푚 de ancho en la posición que se 
muestra. Desprecie el peso de la compuerta
Ejemplo 07 
Calcular la fuerza P necesaria para abrir apenas la 
compuerta mostrada en la figura si H = 6 m, 
R = 2 m y la compuerta tiene 4 m de longitud
Ejemplo 08 
La compuerta homogénea mostrada en la figura consiste en un 
cuarto de cilindro circular de 1 m de radio y es utilizada para 
mantener el agua a una profundidad de 4 m. Es decir, cuando 
la profundidad del agua excede los 4 m la compuerta se abre 
lentamente y por su base comienza a fluir el agua. Determine 
el peso de la compuerta por unidad de longitud.
Ejemplo 09 
Calcule las componentes horizontal y vertical de la 
fuerza hidrostática sobre la pared semiesférica de 
radio R = 600 mm del fondo del depósito mostrado 
en la figura.
Ejemplo 10 
Un tanque cerrado que tiene un domo hemisférico de 4 푝푖푒푠 de 
diámetro es llenado con agua como se muestra en la figura. Un 
tubo manométrico en U es conectado al tanque como se 
muestra. Determine la fuerza vertical del agua sobre el domo si 
el manómetro diferencial lee 7 pies y la presión del aire sobre 
el extremo del manómetro es 12,6 psi
Ejemplo 11 
El cilindro de 0,5 m de radio mostrado en la figura 
tiene una longitud de 3 m. Determine las 
componentes horizontal y vertical de la fuerza que 
ejerce el agua sobre el cilindro.
Ejemplo 12 
Determine la fuerza 푃 , necesaria para que la 
compuerta parabólica mostrada se encuentre en 
equilibrio. Considere que 퐻 = 4 푚y el ancho de la 
compuerta es 푎 = 4 푚.
Ejemplo 13 
En la compuerta de la figura que posee una anchura 
perpendicular al papel de 1 푚. Calcular la resultante 
y línea de aplicación de las fuerzas horizontales y 
verticales y el momento que crean en el punto 0.
Ejemplo 14 
El cilindro de la figura de 1.8 m de diámetro pesa 
24500 N y tiene una longitud de 1.5 m, normal al 
dibujo. Determinar las reacciones en A y B en kgf 
despreciando rozamientos.
Ejemplo 15 
Calcular la fuerza F 
necesaria para mantener 
la compuerta mostrada 
en la figura en la posición 
cerrada. Considere que 
R = 60 cm y que la 
compuerta tiene un 
ancho de 1,2 m
Ejemplo 16 
La compuerta cuarto-circular AB mostrada en sección, tiene 
una anchura horizontal de 183 cm (normal al plano del papel) 
y regula la circulación de agua dulce sobre el borde B. La 
compuerta tiene un peso total de 30840 N y está articulada 
por su borde superior A. Determine la fuerza mínima 
necesaria para mantener cerrada la compuerta. Desprecie el 
grosor frente a su radio de 275 cm.
Ejemplo 17 
El costado correspondiente al agua de una presa de hormigón 
tiene forma parabólica de vértice en A. Determinar la posición 
b del punto B de la base en que actúa la fuerza resultante del 
agua contra el frente C de la presa.
Ejemplo 18 
El apoyo semicónico BC de 1,2 m de 
radio y 1,8 m de altura, se utiliza 
para soportar el cuarto de esfera AB 
de 1,2 m de radio, sobre la cara de 
corriente arriba de un dique. 
Determine: (a) La magnitud, 
dirección y punto de aplicación de la 
fuerza horizontal hidrostática sobre 
el cuarto de esfera; (b) La magnitud 
y dirección de la fuerza vertical 
hidrostática sobre el cuarto de 
esfera; (c) La magnitud y la 
localización de las componentes 
horizontal y vertical de la fuerza 
hidrostática ejercida por el agua 
sobre la superficie semicónica BC
Ejemplo 19 
La compuerta de la figura tiene la forma de un cuarto de 
circunferencia y mide 3 m de anchura. Calcular las 
componentes horizontal y vertical de la fuerza hidrostática 
sobre la misma, indicar en donde se encontraría el punto de 
aplicación y el momento que crean en el punto O.
Ejemplo 20 
¿Cuál es la fuerza vertical sobre la esfera si las dos 
secciones del tanque están completamente aisladas 
una de la otra por el tabique AB?.
Ejemplo 21 
En la figura se muestra un tanque que se encuentra 
herméticamente dividido en dos partes que contienen agua y 
aire encima y aceite debajo. Una esfera cerrada D se 
encuentra soldada a la placa delgada reforzada que actúa 
como partición EC y se extiende por igual en el agua por 
encima y en el aceite por debajo, como se muestra en el 
diagrama. ¿Cuál es la fuerza vertical causada por los fluidos 
sobre la esfera?.
Ejemplo 22 
Un tronco está en equilibrio como se muestra en la 
figura. Determine: (a) La fuerza ejercida por el aceite 
sobre el tronco, (b) la fuerza ejercida por el agua sobre 
el tronco, (c) La fuerza ejercida por el muro sobre el 
tronco y (d) El peso específico relativo del tronco si su 
longitud es de 4m m y R = 0,6 m.
Ejemplo 23 
El agujero que hay en el fondo del depósito de la 
figura, está cerrado con un tapón cónico cuya 
densidad es 400 푘푔/푚3 . Determine la fuerza F 
necesaria para mantener cerrado el depósito.
Ejemplo 24 
El depósito cuya sección recta se muestra en la figura, tiene 
2 m de anchura y está lleno de agua a presión. Determine las 
componentes de la fuerza requerida para mantener el cilindro 
de 1 m de radio en la posición mostrada, despreciando el 
peso del mismo.
Ejemplo 25 
Un taque se encuentra dividido 
en dos cámaras independientes. 
La presión del aire actúa en 
ambas secciones. Un 
manómetro mide la diferencia 
entre éstas presiones. Una 
esfera de madera (DR = 0,60) 
se coloca en la pared tal como 
se muestra. Determine: (a) La 
fuerza vertical sobre la esfera, 
(b) la magnitud (solamente) de 
la fuerza horizontal resultante 
causada por los fluidos.
Ejemplo 26 
El depósito mostrado en la 
figura se usa para almacenar 
aceite (푆퐺 = 0,90). Determine 
la magnitud de la fuerza 
resultante que actúa sobre la 
superficie en forma de 
hemisferio de 1,40 푚 de 
diámetro
Ejemplo 27 
¿Cuál es la fuerza horizontal sobre la compuerta ejercido por 
todos los fluidos de adentro y de afuera?. La densidad relativa 
del aceite es 0,8.
Ejemplo 28 
El apoyo semicónico se usa para soportar una torre 
semicilíndrica sobre la cara de corriente arriba de un dique. 
Calcular la magnitud, dirección y sentido de las componentes 
vertical y horizontal de la fuerza ejercida por el agua sobre el 
apoyo: (a) cuando la superficie del agua se encuentra en la 
base del semicilindro; (b) cuando la superficie del agua se 
encuentra a 1,2 m sobre este punto.
Ejemplo 29 
Hallar las componentes vertical y horizontal, valor y 
punto de aplicación, sobre la compuerta de la figura 
cuyo perfil responde a la ecuación de una parábola 
y una longitud perpendicular al papel de 2 m. El 
líquido que retiene la compuerta tiene un peso 
especifico de 훾 = 9000 푁/푚3.
Ejemplo 30 
La compuerta AB, mostrada en la figura es utilizada 
para retener agua de mar ( = 10050 N/m3) tiene la 
forma de tres octavos de círculo, una anchura de 3 m, 
está articulada en B y se apoya en A. Determine las 
fuerza de reacción en A y B.
Ejemplo 31 
La figura muestra un depósito 
abierto de gasolina que tiene 
una anchura de 4 m normal al 
plano del dibujo. Determine: 
(a) la magnitud de las 
componentes horizontal y 
vertical de la fuerza que la 
gasolina ejerce sobre la 
superficie curva; (b) la 
magnitud y dirección de la 
fuerza resultante ejercida por el 
fluido sobre la superficie curva
Ejemplo 32 
El domo hemisférico de la figura tiene un peso de 
30 푘푁 , está lleno de agua y remachada al suelo 
mediante seis remaches igualmente espaciados. 
Determine la fuerza que soporta cada remache para 
mantener el domo en su posición
Ejemplo 33 
Dos cascarones hemisféricos son unidos con ocho pernos 
equidistantes como se muestra en la figuras. El contenedor 
esférico resultante, el cual pesa 300 lb, es llenado con 
mercurio ( 휌푟 = 13,6) y soportado por un cable como se 
muestra. Si el contenedor tiene una ventilla en su parte 
superior. Determine la fuerza que aparece en cada uno de los 
pernos
Ejemplo 34 
Calcular la magnitud y dirección de la fuerza 
resultante del agua sobre el tapón cónico sólido
Ejemplo 35 
Un túnel semicircular pasa por debajo de un río que tiene 8 
m de profundidad. Determine la fuerza hidrostática 
resultante que actúa por metro de longitud a lo largo de la 
longitud del túnel. El túnel tiene 6 m de ancho
Ejemplo 36
Ejemplo 37 
Se muestra una superficie curva que tiene un cuerpo de 
fluido estático. Calcule la magnitud de las componentes 
horizontal, vertical y resultante de la fuerza que el fluido 
ejerce sobre dicha superficie y su ángulo. La superficie mide 
3.00 pies de longitud, el ángulo es de 75° y el fluido es agua 
(Calcular en sistema Ingles consistente.
Ejemplo 38 
El depósito cilíndrico de la figura tiene un extremo 
semiesférico ABC, y contiene aceite (DR = 0,9) y agua. 
Determine: (a) La magnitud de la fuerza vertical resultante 
sobre el extremo semiesférico ABC, (b) La magnitud y 
dirección de la fuerza horizontal resultante ejercida por los 
fluidos sobre la superficie semiesférica ABC.
Ejemplo 38 
F  
V 
V ace sobrela 
1 sup. 
1 1 
 
acei cilindro esfera 
. 2 4 
3 
2 
. 
2 3 
1 
1 1 4 . 
. 
2 4 3 
(3 )(5) .(3 ) 
acei 
900 
2 3 
38170,4 
V 
V V 
R 
R H 
F kgf 
 
  
  
 
    
    
      
    
    
      
    
 
Ejemplo 38 
1 1 
F V V 
  
  
V aceite cilindro w esfera 
2 2 4 
2 3 
    
  
      
  
aceite w 
    
    
2 3 
2 
( ) ( ) 
1 4 
( ) 
2 4 3 
(3 )(5) (3 ) 
  
 900    1000 
  
2 3 
    
91891,6 
V 
R H R 
F kgf 
 
• Fuerza horizontal 
  
2 2 
          
H CG pro acei CG 
1 . . 
1 
   4(3)   (3 ) 
 
900 5 
2 3 2 
47417,3 .................(3) 
H 
R 
F p A h 
F kg 
  
 
 
      
 
2 2 
        
             
H CG pro . acei . acei . 
w 
4 4 3 (3 ) 
( ) 900(5) 1000( ) 
3 2 3 2 
81617,3 .................................(4) 
H 
R R x 
F p A h 
F kg 
  
  
  
        
 
Problema N° 39 
El agua fresca de un canal es retenida por una 
compuerta cilíndrica de radio 푟 = 1,5 푚 y una anchura 
푎 = 2 푚 (normal al plano del papel). La compuerta es 
soportada por un pasador en B y un cable AC. 
Despreciando el peso de la compuerta. Determine: (a) 
la fuerza soportada por el cable y (b) la reacción en B.
Problema N° 40 
En la figura se muestra una compuerta con una porción curva 
utilizada para retener agua de mar (ρ = 1030 kg/m3). 
Cuando el nivel del agua alcanza cierta altura, la fuerza 
ejercida por el fluido abre la compuerta y el agua de mar fluye 
a través de ella. La compuerta tiene 1 m de anchura (normal 
al plano del dibujo) y ésta ha sido diseñada para que el nivel 
del agua de mar no exceda 2 m de profundidad. Determine la 
longitud L de la porción recta de la compuerta requerida para 
esto.
Problema N°41 
El agua en un canal es retenida por 
una compuerta de 5 pulg de 
anchura. La compuerta es 
soportada por un pasador en B y un 
cable vertical en A, y el contacto 
entre la compuerta y la base del 
depósito es de rozamiento 
despreciable. El muro vertical BC 
está fijo. Si la compuerta uniforme 
tiene un peso de 50 lb. Determine la 
fuerza T requerida en el cable para 
comenzar a abrir la compuerta. 
Considere que γagua = 62,4 lb/pie3; 
g = 32,2 pies/s2
Problema N° 42 
El agua es retenida en un canal por una compuerta cilíndrica 
de 0,6 m de anchura (normal al dibujo) articulada en B. Si el 
muro vertical BD se encuentra fijo y el peso de la compuerta es 
despreciable. Determine la fuerza F requerida para iniciar la 
apertura de la compuerta
Problema N° 43 
La compuerta AB en forma de sector circular es un sexto de un 
circulo de radio R = 6 m y tiene una anchura de 10 m normal 
al plano del dibujo. Determine: (a) la magnitud, dirección y 
localización respecto de A de la componente horizontal de la 
fuerza ejercida por el agua sobre la compuerta, (b) la 
magnitud, la dirección y localización respecto de A de la 
componente vertical de la fuerza hidrostática 
•
Problema N° 44 
En la figura se muestra una compuerta con una porción curva 
utilizada para retener agua de mar (ρ = 1030 kg/m3). Cuando 
el nivel del agua alcanza cierta altura, la fuerza ejercida por el 
fluido abre la compuerta y el agua de mar fluye a través de 
ella. La compuerta tiene 1 m de anchura (normal al plano del 
dibujo) y ésta ha sido diseñada para que el nivel del agua no 
exceda 2 m de profundidad. Determine la longitud L de la 
porción recta de la compuerta requerida para esto.
Problema N° 45 
La compuerta BC en forma de arco circular que subtiene un 
ángulo de 60° tiene 4 m de anchura (normal al plano del papel, 
es utilizada para almacenar el cuerpo de agua mostrado en la 
figura. Determine: (a) la magnitud, dirección y punto de 
aplicación de la componente horizontal de la fuerza hidrostática 
que el agua ejerce sobre la compuerta y (b) la magnitud y 
dirección de la fuerza hidrostática vertical.
Problema N° 46 
La compuerta ABC es un arco circular, a veces llamada 
compuerta Tainter, que se puede subir o bajar mediante una 
articulación en O como se muestra en la figura. Para la 
posición mostrada determine: (a) la fuerza hidrostática ejercida 
por el agua sobre la compuerta, (b) la línea de acción de la 
fuerza resultante. ¿Pasa esta fuerza por O?
LEY DE ARQUÍMEDES
BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN 
Cuando un cuerpo se encuentra total o parcialmente 
sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascendente 
que actúa sobre él llamada fuerza de empuje o flotación. 
La causa de esta fuerza es la diferencia de presiones 
existentes sobre las superficies superior e inferior. Las leyes 
de boyantez o empuje se enuncian: 
1° Un cuerpo sumergido en un fluido 
experimenta una fuerza de flotación 
(empuje) verticalmente hacia arriba igual 
al peso de fluido que desaloja. 
2° Un cuerpo que flota desplaza un volumen de 
fluido equivalente a su propio peso.
BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN 
Para demostrar la primera de éstas leyes consideremos un 
cuerpo totalmente sumergido en un fluido como se muestra 
en la Figura
BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN 
La fuerza de flotación o empuje sobre el cuerpo sumergido es 
la diferencia entre la componente vertical debida a la presión 
sobre la parte inferior AMB y la componente vertical de la 
fuerza debida a la presión sobre la parte superior AUB. Esto 
es 
' 
dF dF dF 
  
  
    
  
 
B V V 
p dA pdA 
p h dA p h dA 
h h dA 
' 
( ) ( ) 
( ) 
  
0 2 0 1 
2 1 
 
 
dF hdA 
B 
Pero 푑푉 = ℎ 푑퐴, entonces 
dFB  dV B sumerg 
F    dV V 
V
BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN 
Para encontrar la línea de acción de la fuerza de flotación se 
toma momentos de la fuerza diferencial alrededor de un eje 
conveniente y se iguala al momento de la resultante con 
respecto al mismo eje, esto es 
y F   
ydV 
C B 
V 
V 
C 
V 
ydV 
y 
dV 
 
 
 
 
La línea de acción de la fuerza de flotación pasa a 
través del centroide del volumen de fluido desplazado.
BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN 
• Un análisis similar probará que para un cuerpo que flota, tal 
como se muestra en la figura, la fuerza de flotación viene 
expresada en la forma 
FB Vdesplazado f S W   gV 
• Al evaluar el equilibrio estático del cuerpo se observa que el 
peso W, debe ser igual a la fuerza de flotación o empuje , por 
tanto. Un cuerpo que flota desplaza un volumen de fluido 
equivalente a su propio peso
BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN 
Por otro lado, cuando el cuerpo flota en la superficie de 
separación de dos fluidos inmiscibles como se muestra en la 
figura, la fuerza de flotación sobre un prisma vertical de 
sección recta dA, es 
dF p p dA 
  
    
  
  
  
( ) 
2 1 
( ) ( ) 
( ) 
( ) 
  
   
  
  
  
1 2 2 1 1 
2 2 1 1 
2 2 1 1 
1 1 2 2 
B 
B 
B 
B 
H h H h dA 
dF h h dA 
F  
h h dA 
F V V 
Para ubicar la fuerza de 
flotación se toma momentos 
respecto a un eje 
convenientemente elegido 
esto es C B 1 1 1 2 2 2 y F   y dV   y dV
ESTABILIDAD DE CUERPOS 
SUMERGIDOS 
La estabildad rotacional de un cuerpo sumergido 
depende de la ubicación del centro de gravedad G y 
el centro de flotación B. 
– Cuando G se encuentra debajo de B: Estable 
– Cuando G se encuentra sobre B: Inestable 
– Cuando G coincide con B: estabilidad neutra.
ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS 
Sin embargo, existe algunas situaciones en el cual el cuerpo puede ser 
estable si G está por encima de C esta situación se muestra en la figura a. 
Cuando el cuerpo gira, el centro de flotación del volumen de fluido 
desplazado se mueve a un nuevo punto B’, que se muestra en la figura b. 
Si el centro de flotación se desplaza lo suficiente, surge un momento 
restaurador y el cuerpo es estable. Esto lo determina la altura 
metacéntrica GM definida como la distancia desde G hasta el punto de 
intersección de la fuerza de flotación antes de la rotación con la fuerza de 
flotación después de la rotación. Si GM es positiva como se muestra, el 
cuerpo es estable; si GM es negativa (M está debajo de G) el cuerpo es 
inestable.
Ejemplo 01 
¿Cuál es el peso total de la barcaza y su carga para 
que flote como se muestra en la figura?. 
Considere que la barcaza tiene 6 m de ancho.
Ejemplo 02 
Una cuña de madera con densidad relativa 0,6 es 
forzada dentro del agua mediante una fuerza de 
150 lbf. El ancho de la cuña es de 2 pies. ¿ Cuál es 
la profundidad d ?.
Ejemplo 03 
El tapón circular de 0,25 m 
de diámetro y 0,025 m de 
espesor tiene un peso 
específico de 76 kN/m3. 
Calcular el diámetro D de la 
esfera de peso despreciable 
para que la válvula se abra 
cuando el agua tenga 1,5 
m de profundidad. 
Considere que el peso del 
cable es despreciable.
Ejemplo 04 
El listón de madera de 0,05 m por 0,05 m por 3 m 
cuya densidad es 400 kg/m3 de la figura se 
mantiene en la posición mostrada por la acción de la 
cuerda fija en el punto A. Calcular: (a) El ángulo θ 
cuando ℎ = 0,90 푚, (b) El valor mínimo de ℎpara 
que θ sea 90º.
Ejemplo 05 
El cuerpo homogéneo A 
de la figura es un cono 
circular recto (ρ = 
640kg/m3). El cuerpo B 
(ρ = 2400kg/m3) se fija a 
A mediante un alambre. 
Si los cuerpos están en 
equilibrio en la posición 
mostrada. Determinar: 
(a) El volumen del bloque 
B, (b) La resultante de la 
fuerza que el fluido 
ejerce sobre la superficie 
lateral del cono
Ejemplo 06 
Los cuerpos A y B de la figura son 
dos cilindros sólidos y homogéneos, 
la sección transversal de cada 
cilindro es 0,09 m2. Las densidades 
de los cilindros A y B son de 1800 y 
2600 kg/m3, respectivamente. Un 
resorte de tensión (uno que sólo 
actúa a tensión) interconecta a A 
con el fondo del tanque. En la figura 
se representa al resorte sin 
deformar. Calcule la posición de la 
superficie del cilindro A con 
respecto a la superficie 
correspondiente del cilindro B 
cuando el módulo de elasticidad del 
resorte es 900 N/m.
Ejemplo 07 
Los dos bloques prismáticos A 
y B de la figura son de madera 
(ρm= 600 kg/m3). Las áreas de 
las secciones transversales son 
0,045 m2 para A y 0,108 m2 
para B. La barra CD se 
construyó con la misma 
madera y el área de su sección 
transversal es 0,018 m2. 
Calcular la distancia que el 
bloque B debe subir o hundirse 
para que el sistema recobre su 
configuración de equilibrio.
Ejemplo 08 
La cáscara de acero semicilíndrica con los extremos 
cerrados tiene una masa de 26,6 kg. Halle la masa m 
del lastre de plomo que debe colocarse en la cáscara 
para que ésta sobresalga del agua la mitad de su 
radio de 150 mm. La densidad del acero es de 7700 
kg/m3 y la densidad del plomo es 11300 kg/m3.
Ejemplo 09 
Una balsa cuadrada de 3 m está compuesta por tablones de 
0,075 m fijos a un madero de 3 m de longitud y 0,3 m por 
0,3 m en un extremo y a otro madero de 3 m de longitud y 
0,3m por 0,6 m en el otro extremo como se muestra en la 
figura. La densidad relativa de la madera es 0,4. La balsa flota 
en agua. Sobre la balsa debe colocarse un cuerpo W de 150 
kg. Determine: (a) La ubicación de W para que la balsa flote 
nivelada; (b) La distancia entre la parte superior de la balsa y 
la superficie del agua.
Ejemplo 10 
La viga de madera pesa 6,3 kN/m3 y se mantiene 
en posición horizontal por el ancla de concreto (24 
kN/m3). Calcular el peso total mínimo que puede 
tener el ancla de concreto.
Ejemplo 11 
• Una baliza de canal consta de un 
cilindro de acero hueco de 300 
mm de diámetro y 90 kg de 
masa, que se ancla en el fondo 
con un cable como se indica. Con 
la marea alta, h = 0,6 m. 
Determine la tensión T en el 
cable. Hallar así mismo el valor 
de h cuando el cable se afloja al 
bajar la marea. La densidad del 
agua marina es de 1030 kg/m3. 
Supóngase que la baliza está 
lastrada para que se mantenga 
en una posición vertical.
Ejemplo 12 
Un cilindro de masa 푚 y 1 m de diámetro es conectado a una 
compuerta de 2 m de anchura (normal al plano del dibujo) 
como se muestra en la figura. La compuerta se abre cuando 
el nivel del agua h es inferior a los 2,5 m. Despreciando el 
peso de la polea y el rozamiento. Determine la masa que se 
requiere para el cilindro.
Ejemplo 13 
En la figura mostrada, la esfera boyante de radio R unida el 
extremo de la compuerta AB mediante un cable de peso 
despreciable atado en B. Si la compuerta cuadrada AB se abre 
cuando el agua alcanza el punto medio de la esfera boyante. 
Determine: (a) la fuerza hidrostática sobre la compuerta, (b) 
el radio R de la esfera boyante necesaria para abrir la 
compuerta y (c) La reacción en la articulación A. Desprecie el 
peso de la esfera y de la compuerta.
Ejemplo 14 
Un tanque cilíndrico de paredes 
delgadas cerrado por un extremo 
tiene 1 m de diámetro y 90 kg de 
masa. El extremo abierto del tanque 
se sumerge en agua y se mantiene en 
la posición mostrada mediante un 
bloque de acero de densidad 7840 
kg/m3. Suponiendo que el aire 
atrapado en el depósito es 
comprimido a temperatura constante. 
Determine: (a) la lectura del 
manómetro de presión colocado en la 
parte superior del tanque y (b) el 
volumen del bloque de acero
Ejemplo 15 
La placa de peso despreciable cierra un hueco de 1 푝푖푒 de diámetro 
de un tanque que contiene aire y agua como se muestra en la 
figura, un bloque de concreto (훾 = 150 푙푏/푝푖푒3 ) y que tiene un 
volumen de 1,5 푝푖푒3 es suspendido de la placa y se encuentra 
sumergido completamente en agua. Conforme la presión del aire es 
incrementada, la lectura diferencial Δℎ en el tubo manométrico de 
mercurio inclinado, se incrementa. Determine la lectura Δℎ 
dinamómetro antes de que la placa se abra. El peso del aire tiene 
un efecto despreciable sobre la lectura del manómetro.
Ejemplo 16 
Un cilindro de 2 m de longitud y 1 m de diámetro, flota en un 
tanque abierto el cual contiene un líquido de peso específico 
γ. Un tubo manométrico es conectado al tanque como se 
muestra en la figura. Cuando la presión en el tanque A es 0,1 
psi por debajo de la presión atmosférica , los niveles de los 
fluidos son los mostrados. Determine el peso del cilindro.
Ejemplo 16
TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS LÍQUIDAS 
• Consideremos un recipiente abierto conteniendo un líquido tal 
como se muestra, sometido a una aceleración uniforme 
horizontal. 
• En la figura se observa que después de ser sometido a dicha 
aceleración el líquido por si mismo se dispone de tal forma que 
se mueve como un sólido sometido a una fuerza aceleradora. 
•
TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS LÍQUIDAS 
• Para determinar la variación de presión en dirección 
vertical se considera el DCL de una porción de fluido 
en forma vertical y se aplica la segunda ley de 
Newton. 
y y F ma 
  
   
  
  
dF dF dW m 
2 1 
p dA p dA gdV 
p p dA ghdA 
 
 
 
2 1 
2 1 
2 1 
(0) 
( ) 
p  p  
gh
TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS LÍQUIDAS 
• Para determinar la variación de presión en la dirección 
horizontal, se considera el DCL en la posición horizontal tal 
como se muestra en la figura, y se aplica la segunda ley 
de Newton, esto es
TRASLACIÓN HORIZONTAL DE MASAS LÍQUIDAS 
• La aplicación de la ley de Newton nos da 
  
  
y y 
1 2 
    
0 1 0 1 
• Simplificando se tiene 
( ) 
x 
x 
F ma 
dF dF dm a 
p   gh dA  p   gh dA  
 L dA a 
g h h L a 
  
(  ) 
 
1 2 
( h  
h ) 
a 
1 2 
x 
x 
L g 
x 
a 
tg 
g 
 
 

TRASLACIÓN VERTICAL DE MASAS LÍQUIDAS 
• Consideremos el movimiento de un depósito conteniendo un 
fluido, en dirección vertical con una aceleración 푎푦. La figura, 
muestra en este caso la superficie libre permanece horizontal 
durante el movimiento. Es decir la presión en planos 
horizontales permanece constante, pero en dirección vertical 
no,
TRASLACIÓN VERTICAL DE MASAS LÍQUIDAS 
• Aplicando la segunda ley de Newton en dirección vertical se 
tiene 
  
  
y y 
2 1 
   
   
2 1 
2 1 
  
  
 
2 1 
( ) 
y 
( ) ( ) 
( ) 
y 
y 
( ) 
y 
F ma 
dF dF dm a 
p p dA gdV dV a 
p p dA ghdA h dA a 
p  p  h g  
a 
Esta ecuación indica que la 
presión varía con la 
profundidad y con la 
aceleración del depósito
TRASLACIÓN VERTICAL DE MASAS LÍQUIDAS 
• Si ahora el depósito se mueve hacia abajo, se tiene 
  
y y 
    
2 1 
   
   
( ) 
1 2 
( ) 
1 2 
  
  
 
2 1 
( ) 
y 
( ) 
En el caso de que el tanque se 
suelta desde el reposo, es decir 
tiene un movimiento de caída libre 
y 
y 
y 
F ma 
dF dF dW dm a 
p p dA gdV dVa 
p p dA ghdA hdAa 
p  p  h g  
a 
p  p   h(g  
g) 
2 1 
p  
p 
2 1
ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS 
Consideremos un depósito que contiene un fluido de 
densida ρ el cual se hace rotar alrededor de su eje 
como se muestra en la figura
ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS 
Del DCL de fluido, se observa que las variaciones de la presión 
en la dirección vertical es análoga al caso hidrostático, esto es 
F ma 
  
   
 
z z 
dF dF dW 
2 1 0 
z 
   
( ) ( )( ) 
z 
p 
pdA p dz dA g dz dA 
z 
p 
g 
z 
 
 
 
 
  

ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS 
Analizando el movimiento en dirección normal se tiene 
   
  
n n 
' ' 
2 1 
( ) 
 
   
( ) ( )( ) 
En la dirección azimutal 
2 
2 
n 
r 
r r 
r 
F ma 
dF dF dm a 
p 
p dr dA p dA dr dA r 
r 
p 
r 
z 
  
 
 
 
 
 
0 
p 
 
 
 

ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS 
• La variación total de la presión será 
p p p 
  
 
   
   
r z 
dp dr dz d 
r z 
dp rdr gdz 
   
  2 
 
 
• Integrando indefinidamente 
2 
dp rdr gdz 
   
 
   
2 2 
 
p   gz  
C 
2 
r 
 
• La constante C esta dada por 
p    
gz  
C 
C  p  
gz 
0 0 
 
0 0 
Remplazando C 
se obtiene 
2 2 
0 0 ( ) 
2 
r 
p p g z z 
 
    
ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS 
La forma que adopta la superficie libre del fluido se obtiene 
haciendo 푝 = 푝0 debido a que en la superficie libre la presión 
es 푝0 , entonces tenemos 
2 
    
( ) 
0 0 0 
2 2 
0 
2 
2 
r 
p p g z z 
r 
Z Z 
g 
 
 
 
  
Esta ecuación indica que la superficie 
libre es un paraboloide de revolución 
Cuando existe una superficie libre en el recipiente 
que está girando el volumen que ocupa el fluido 
que está debajo de la superficie libre del 
paraboloide de revolución tiene que ser igual al 
volumen de fluido que tenía cuando estaba en 
reposo.
ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS 
En el caso de un cilindro circular que gira alrededor de su eje, 
la elevación del líquido desde el vértice hasta la pared del 
cilindro es según la ecuación 
2 2 
0 2 
R 
h 
g 
 
 
Por otro lado, debido a que el volumen 
del paraboloide de revolución es igual 
a la mitad del volumen del cilindro 
circunscrito, el volumen del líquido 
por encima del plano horizontal es, 
2 2 4 2 
R R 
2 1 
( )( ) 
2 2 4 
   
V R 
   
g g
EJEMPLO 01 
Un depósito rectangular de 8 m de longitud, 3 m de 
profundidad y 2 m de anchura contiene 1,5 m de 
agua. Si está sometido a una aceleración horizontal 
en la dirección de su longitud de 2,45 푚/푠2 . (a) 
Calcular la fuerza total sobre cada uno de los 
extremos del depósito debido a la acción del agua y 
(b) demostrar que la diferencia entre estas fuerza es 
igual a la fuerza no equilibrada, necesaria para 
acelerar la masa líquida
EJEMPLO 02 
Si el depósito del problema anterior se llena de 
agua y se acelera en la dirección de su longitud con 
una aceleración de 1,52 푚/푠2 . ¿Cuántos litros de 
agua se verterán del depósito?
EJEMPLO 03 
Un recipiente que contiene agua se acelera 
paralelamente y hacia arriba de un plano inclinado 
30° con respecto a la horizontal con una aceleración 
de 3,66 푚/푠2. ¿Qué ángulo formará la superficie libre 
con la horizontal?.
EJEMPLO 04 
Un depósito cúbico está lleno con 1,5 m de aceite de 
densidad relativa DR = 0,752. Determine la fuerza 
que actúa sobre uno de los lados del depósito 
cuando: (a) se somete a una aceleración vertical y 
dirigida hacia arriba de 4,9 푚/푠2 y (b) cuando la 
aceleración de 4,9 푚/푠2 es vertical y dirigida hacia 
abajo.
EJEMPLO 05 
Un tanque pesa 80 N y contiene 0,25 m3 de agua. 
Sobre el tanque actúa una fuerza de 100 N en 
dirección horizontal tal como se muestra en la figura. 
¿Cuál es el ángulo θ cuando la superficie libre del 
agua alcanza una orientación fija con respecto al 
tanque?.
EJEMPLO 06 
Un depósito abierto de sección cuadrada de 1,8 m de lado 
pesa 3500 N y contiene 90 cm de agua. Está sometido a la 
acción de una fuerza no equilibrada de 10600 N paralela a 
uno de sus lados. ¿Cuál debe ser la altura de las paredes del 
depósito para que no se derrame agua?. ¿Qué valor tiene la 
fuerza que actúa sobre la pared donde la profundidad es 
mayor?.
EJEMPLO 06 
El tanque rectangular cerrado mostrado en la figura 
tiene 1,2 m de alto, 2,4 m de largo y 1,5 m de ancho, 
está lleno con gasolina en sus tres cuartas partes y la 
presión en el espacio de aire arriba de la gasolina es de 
140 kPa. Calcular las presiones en las esquinas de éste 
tanque cuando se le acelera horizontalmente según la 
dirección de su longitud, a 4,5 m/s2. Considere que la 
densidad de la gasolina es 680 kg/m3.
EJEMPLO 07 
Al tanque rectangular se le da una aceleración constante a de 
0,4g. ¿Cuál es la fuerza ejercida por los fluidos sobre la pared 
izquierda AB cuando se alcanza una configuración estable del 
agua con respecto al tanque?: El ancho del tanque es de 1,5 
pies.
EJEMPLO 08 
Un depósito cilíndrico 
abierto de 2 m de altura y 
0,5 m de radio, contiene 
1,5 m de agua. Si el 
cilindro gira alrededor de 
su eje geométrico. (a) 
¿Qué velocidad angular se 
puede alcanzar sin que se 
derrame nada de agua?. 
(b) ¿Cuál es la presión en 
el fondo del depósito en C 
y en D cuando la velocidad 
angular es  = 6 rad/s?.
EJEMPLO 09 
Considere que el depósito 
del problema 08 se 
encuentra cerrado y que el 
aire en la parte superior 
del cilindro es de 
1,9 푘푔/푐푚2 . Cuando se 
hace girar al cilindro a una 
velocidad angular de 12 
rad/s. ¿Cuáles son las 
presiones, en los puntos 
C y D de la figura?
EJEMPLO 10 
Un depósito cilíndrico 
abierto de 1,2 m de 
diámetro y 1,8 m de 
profundidad se llena con 
agua y se le hace girar a 
60 RPM. (a) ¿Qué volumen 
de líquido se derrama? 
¿cuál es la profundidad en 
el eje? Y ¿Cuál es la 
presión en la parte inferior 
del eje en el centro de la 
base del tanque?
EJEMPLO 11 
Un tanque vertical cilíndrico de 1,5 m de altura y de 0,9 m de 
diámetro se llena con agua hasta una profundidad de 1,2 m. 
Se cierra entonces el tanque y se eleva la presión en el 
espacio sobre el agua hasta 69 kPa. Calcular la presión en la 
intersección de la pared y el fondo del tanque cuando este se 
hace girar alrededor de su eje central vertical a 150 RPM.

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  • 1. ESTATICA DE FLUIDOS PRESENTADO POR OPTACIANO VÁSQUEZ GARCIA DOCENTE DE LA FACULTAD DE CIENCIAS UNASAM- HUARAZ-PERÚ © 2014
  • 2. I. OBJETIVOS: Al finalizar la unidad el alumno está en las condiciones de • Entender el concepto de distribuciones de presiones hidrostáticas. • Usar la ley fundamental de la hidrostática en la medición de presiones mediante el uso de manómetros • Determinar fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas y los centros de presiones Determinar las fuerzas de flotación y sus correspondientes puntos de aplicación
  • 3. II. INTRODUCCIÓN Mecanica de fluidos Gases Líquidos Estatica Dinámica Air, He, Ar, N2, etc. Agua, aceites, alcoholes, etc. 0  i F 0  i F Estabilidad Buoyantez Viscoso/ sin viscocidad Compressible Incompresible Estable/inestable Laminar Turbulento ← Flujos Compresibilidad Viscosidad Presión de vapor Densidad Presiónre CAPITULO I INTRODUCCIÓN Capitulo II. Estatica de fluidos Dinámica de fluidos Tensión superficial
  • 4. III. DEFINICIÓN DE FLUIDO Un fluido es la sustancia que cambia su forma continuamente siempre que esté sometido a un esfuerzo cortante, sin importar que tan pequeño sea.
  • 5. Estados de la materia La materia puede existir en cuatro estados: SOLIDO, LÍUIDO GAS Y PLASMA Cada uno de estos estados depende de la fuerza de cohesión molecular entre las moleculas del cuerpo
  • 6. SOLIDOS  Tienen volumen y forma definida.  Sus moléculas tienen ubicaciones específicas debido a fuerzas eléctricas  Vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio.  Pueden ser modeladas como esferas rígidas unidas por resortes
  • 7. SOLIDOS  Cuando se aplica fuerzas externas al sólido, éste puede estirarse o comprimirse. En el modelo de resortes, estos se estiran o comprimen  Si se suprime la fuerza el sólido recupera su forma original: esta propiedad se concoce como elasticidad
  • 8. SOLIDO CRISTALINO 1. Los átomos dentro del cristal tienen una estrucctura ordenada 2. En la figura se presenta el cloruro de sodio, Las esferas grises son los iones sodio y las verdes el ion cloro
  • 9. SOLIDOS AMORFOS 1. Los átomos están distribuidos aleatoriamente como se muestra en la figura Entre otros se tiene a los vidrios.
  • 10. LIQUIDOS 1. Tienen volumen definido pero no tienen forma definida 2. Existen a temperaturas mayores que los sólidos 2. Las moléculas se mueven aleatoriamente dentro del líquido Las fuerza intermoleculaleres no son suficientes para mantener las moléculas en posiciones fijas
  • 11. PROPIEDADES DE LOS LIQUIDOS 1. Propiedades hidrostáticas: a) Presión b) Tensión superficial c) Boyantez 2. Propiedades hidrodinámicas: a) Viscocidad b) Flujo y transporte
  • 12. GASES 1. No tienen volumen ni forma definida 2. Las moleculas de un gas se encuentran en continuo movimiento 3. Sus moléculas se ejercen mutuamente fuerzas muy débiles 4. La distancia promedio entre sus moléculas es mucho mayor que el tamaño de las moleculas
  • 13. PLASMA 1. Materia caliente a muy alta temperatura 2. Muchos de los electrones en estas sustancias se encuentran libres de sus átomos 3. Esto da como resultado una gran cantidad de iones libres electricamente cargados 4. El plasma existe en una gran cantidad de estrellas
  • 14. PROPIEDADES FISICAS DE LOS FLUIDOS Una propiedad es una carácterística de una sustancia , la cual es invariante cuando está en un estado particular Las propiedades pueden ser: (a) EXTENSIVAS: las cuales dependen de la cantidad de sustancia presente (volumen, energia momentum, peso,etc. (b) INTENSIVAS: las cuales son independientes de la cantidad de sustancia ( volumen específico, densidad, energía especifica, etc La propiedades intensivas son los valores de las propiedades que se aplican a los fluidos. Son: Densidad, peso específico, gravedad específica, viscocidad, tensión superficial, presión de vapor, compresibilidad
  • 15. DENSIDAD La densidad , de una sustancia es una medida de la concentración de la materia, y se expresa como la masa por unidad de volumen Matemáticamente se expresa  , , ,  lim *       , , ,     V V m x y z t   V    dm x y z t dV   La densidad es función de la presión y de la temperatura y su unidad SI es el kg/m3 Para cuerpos homogéneos   m V
  • 16. Densidad de algunas sustancias Sustancia ρ (kg/m3).103 Sustancia ρ (kg/m3).103 Hielo 0,917 Agua 1,00 Aluminio 2,7 Glicerina 1,26 Acero 7,86 Alcohol etílico 0,806 Cobre 8,92 Benceno 0,879 Plata 10,5 Aire 1,29 Plomo 11,3 Oxigeno 1,43 Oro 19,3 Platino 21,4
  • 17. PESO ESPECÍFICO El peso específico , es la fuerza debido a la gravedad sobre la masa contenida en la unidad de volumen de una sustancia. Esto es, el peso por unidad de volumen. Matematicamente se expresa W V   Las unidades de γ son el (N/m3) en el SI y (lb/pie3) en el sistema británico. Por otro lado, debido a que w = mg = ρVg, la ecuación del peso específico puede escribirse mg g     V
  • 18. GRAVEDAD ESPECIFICA Es una cantidad que permite comparar la densidad de unas sustancia con la del agua si el fluido es un líquido y con la del aire si es un gas Matematicamente se expresa  sus  r  w  Debido a que la densidad es función de la presión y la temperatura, para los valores precisos de la gravedad específica debe expresarse la presión y la temperatura
  • 19. PRESIÓN La presión ejercida por un fluido sobre un recipiente, es una magnitud tensorial que expresa la distribución normal de una fuerza sobre una determinada superficie. Lo de magnitud tensorial implica que la presión tiene múltiples puntos de aplicación y una manifestación normal a la superficie. Para determinar la presión consideremos un fluido contenido dentro de una superficie S tal como se ve en la figura. Si se divide a la superficie en elementos de área ΔA cuya dirección es , en donde , es un vector unitario perpendicular a la superficie, la fuerza que ejercerá el fluido sobre ΔA es . Entonces la presión no es más sino la fuerza por unidad de área, esto es: F p    A lim  A 0 F p  A      A  An dF p   dA n F 
  • 20. Módulo de elasticidad volumétrico (Ev) Todos los fluidos se pueden comprimir mediante la aplicación de fuerzas de presión y en el proceso se almacena energía de la forma elástica. Es decir los fluidos se expanden al dejar de aplicar las fuerzas aplicadas convirtiendo su energía almacenada. Esta propiedad elástica se define mediante el módulo de elasticidad volumétrico, cuyo valor se determina utilizando un cilindro y un embolo al que se le aplica una fuerza como se muestra en a figura 1 V dp E dV V        
  • 21. Viscosidad (μ) Cuando se observa el movimiento de fluidos se distinguen dos tipos básicos de movimiento. El primero es el flujo laminar aquel movimiento regular en el que las partículas del fluido parecen deslizar unas sobre otras en capas o láminas. El segundo llamado flujo turbulento es un movimiento caracterizado por la aleatoriedad del movimiento de las partículas observándose remolinos de varios tamaños. Para determinar la viscosidad consideremos el flujo laminar de un fluido real que está confinado a moverse entre dos placas de extensión infinita, como se ve en la figura
  • 22. Viscosidad (μ) • Por efecto de la fuerza cortante Ft, la placa se mueve hacia la derecha. El esfuerzo cortante será lim A 0 • La rapidez de deformación será F dF A dA              rapidez de deformación lim 0 t d   t dt            
  • 23. Viscosidad (μ) • Por otro lado de la figura se observa además que la distancia Δl entre los puntos M y M’ es • Para ángulos pequeños la distancia Δl puede expresarse como l  vt l  y
  • 24. Viscosidad (μ) • Igualando estas ecuaciones • Llevando al límite se tiene v v t y  t y             d  dv  dt dy
  • 25. Viscosidad (μ) • Para fluidos newtonianos d  dv dt dy      • En donde μ es la constante de proporcionalidad y se le llama “coeficiente de viscosidad dinámica” • En el SI la viscosidad se expresa en N.s/m2 y en el sistema c.g.s. absoluto la unidad es el gr/cm.s unidad llamada como poise
  • 26. Viscosidad (μ) • La viscosidad no depende en gran medida de la presión. Sin embargo se observa que la viscosidad de un líquido disminuye con un aumento en la temperatura mientras que en un gas ocurre lo contrario. La explicación de estas tendencias es la siguiente: en un líquido las moléculas tienen una movilidad limitada con fuerzas cohesivas grandes presentes entre moléculas. • Un aumento en la temperatura disminuye la cohesión entre moléculas disminuyendo la pegajosidad del fluido, es decir un descenso en la viscosidad. En un gas las moléculas tienen una alta movilidad y generalmente están separadas existiendo poca cohesión. Sin embargo las moléculas interactúan chocando unas con otras dando lugar a una disminución en la viscosidad.
  • 27. ESTATICA DE FLUIDOS • Un fluido se considera estático si todas sus partículas permanecen en reposo o tienen la misma velocidad constante con respecto a una distancia de referencia inercial. En esta sección se analizará la presión y sus variaciones a través del fluido así como se estudiará las fuerzas debidas a la presión sobre superficies definidas.
  • 28. Presión en un punto • Para determinar la presión en un punto interior a un fluido consideremos un elemento de fluido en forma de cuña como se muestra en la figura.
  • 29. Presión en un punto • Aplicando las ecuaciones de equilibrio según las direcciones mostradas y teniendo en cuenta que 퐹 = 푝퐴, resulta 0    1   1  0 4 2 5 2 x F p dydz p dydz    0       1 3 0 y F p dxdz p dxds sen   5 4 pp 1 3 pp 0 cos 0 z F       2 3 p dxdy p dx ds  dW    1 2 3 2 p  p   dz
  • 30. Presión en un punto • Las dos primeras ecuaciones indican que no hay variación de presión en dirección horizontal, mientras que la última ecuación indica en dirección vertical. Si hay variación de la presión dicha variación depende de la densidad del fluido, de la aceleración de la gravedad y de la diferencia de alturas. Sin embargo en el límite cuando dz, tiende a cero, la ecuación se escribe p2  p3 • Por tanto 1 2 3 p  p  p
  • 31. Variación de la presión en un fluido en reposo. Ecuación fundamental de la hidrostática • Las variaciones de presión en una determinada dirección se obtienen estudiando las variaciones que la presión experimenta a lo largo de una dirección horizontal y vertical.
  • 32. Variación de la presión en un fluido en reposo. Ecuación fundamental de la hidrostática • Debido a que el elemento de fluido está en equilibrio, se cumple. 0 F  p                0 x x p dydz p dx dydz x x x  0 F  p                0 y y p dxdz p dy dxdz y y y  0  F p     0 z z p dxdy p dz dxdy dW z z z             0  px   x  0 p y   y pz    g z 
  • 33. Variación de la presión en un fluido incomprensible • La presión experimenta variaciones en la dirección vertical. • La presión depende de la densidad ρ así como de la aceleración de la gravedad g y ésta varía con la altura entonces afectará a la presión. Sin embargo, para propósitos ingenieriles se puede considerar a la aceleración de la gravedad como una constante, de otro lado como se trata de un fluido incompresible la densidad es constante entonces z p g z      dp z   g  constante dz
  • 34. Variación de la presión en un fluido incomprensible • Para el sistema de referencia mostrado la variación de presión de un fluido incompresibles es
  • 35. Variación de la presión en un fluido incomprensible A partir de este resultado, se observa que un incremento en la elevación (dz, positivo) corresponde a una disminución en la presión (dp, negativo). Siendo p1 y p2 las presiones en los puntos z1 y z2, respectivamente, p z 2 2  dp   g dz p  p  g  z  z  z 2 1 2 1 p z 1 1 Por otro lado, si el recipiente está abierto en la parte superior como se ve en la Figura , la presión a cualquier profundidad h = z1 – z2 es 0 p  p   gh
  • 36. Variación de la presión en un fluido incomprensible • La presión ejercida por el aire es constante • La presión ejercida por el líquido varía con la profundidad
  • 37. Variación de la presión con la profundidad La presión en un fluido en reposo es independiente de la forma del recipiente que lo contiene. La presión es la misma en todos los puntos de un plano horizontal en un fluido dado
  • 38. Principio de Pascal. • Debido a que la presión en un fluido sólo depende de la profundidad, cualquier incremento en la presión en la superficie se debe transmitir a cualquier punto en el fluido. Este efecto fue descubierto por primera vez por Blaise Pascal y se le conoce como Principio de Pascal y establece: “Un cambio en la presión aplicada a un fluido encerrado en un depósito se transmite íntegramente a cualquier punto del fluido y a las paredes del recipiente que l contiene”
  • 39. Principio de Pascal. Prensa hidraulica • Una de las aplicaciones más importantes del principio de Pascal es la prensa hidráulica F F F A 1 2 2 2      1 2 1 2 1 1 P P A A F A
  • 40. Variación de la presión para fluidos compresibles Gases como el aire, oxigeno y nitrogeno son compresibles de tal forma que debe considerarse la variación de la densidad dp Note: γ = ρg , no es constante y g dz   p   Ley de gases ideales Asi RT R Constante universal de gases T es la temperatura ρ es la densidad Entonces, Para condiciones isotérmicas, T es constante, To:
  • 41. Presión absoluta y manométrica
  • 42. El Barómetro • Fue inventado por Torricelli • Permite medir la presión atmosférica local. • Consta de un tubo largo de vidrio cerrado por un extremo y abierto por el otro y una cubeta con mercurio p p h       atm vapor , Hg Hg 0  Hg atm Hg h p  h
  • 44. El manómetro  Los manómetros son dispositivos que sirven para medir la diferencia de presión.  Uno de ellos es el manómetro en U  2 3       1 1 0 2 1 0 2 2 1 1 , 2 2 1 1 A A A man p p p h p h p p h h p h h        
  • 45. El manómetro diferencial En el manómetro mostrado en la figura. Determine la diferencia de presiones entre A y B
  • 46. EJEMPLO 01 Un tanque cerrado contiene aire comprimido y aceite (GE = 0,90) como se muestra en la figura. Un tubo manométrico que usa mercurio (GE = 13,6) es conectado al tanque como se muestra. Para las alturas en las columnas ℎ1 = 36 푝푢푙; ℎ2 = 6 푝푢푙푔 푦 ℎ3 = 9푝푢푙푔 . Determine la lectura del manómetro instalado en el tanque
  • 47. EJEMPLO 02 Un tanque cilíndrico cerrado llenado con agua tiene un domo hemisférico y está conectado a un sistema de tuberías invertido como se muestra en la figura. Si el manómetro en A indica 60 kPa. Determine la presión en el tanque B y (b) la presión en el punto C inmediatamente debajo del domo hemisférico
  • 48. EJEMPLO 03 Si la presión atmosférica local es 14,2 psi. Determine la presión absoluta en la tubería de gas natural.
  • 49. EJEMPLO 04 Una tanque de gasolina está conectado a un manómetro de presión a través de un manómetro doble-U, como se muestra en la figura. Si la lectura del manómetro es 370 kPa. Determine la presión en el manómetro de la línea de la gasolina
  • 50. EJEMPLO 05 Calcule la diferencia de presiones entre los centros de los tanques A y B. Si el sistema completo se rota 180º alrededor del eje MM. ¿Qué cambios en la presión entre los tanques serán necesarios para mantener inalterables las posiciones de los fluidos?
  • 51. EJEMPLO 06 ¿Cuál es la diferencia de presión entre los puntos A y B de los tanques?
  • 52. EJEMPLO 07 Determine la presión del aire en el recipiente de la izquierda, si la cota del líquido manométrico en el tubo en A es 32,5 m
  • 53. EJEMPLO 08 Los fluidos del manómetro invertido de la figura se encuentran a ퟐퟎ°푪. Si 풑푨 − 풑푩 = ퟗퟕ풌푷풂. ¿Cuál es la altura H en centímetros
  • 54. EJEMPLO 09 La presión del punto A de la figura es de 25 푙푏/푝푢푙푔2. Todos los fluidos se encuentran a 20 °C. ¿Cuál es la presión del aire a la cual se encuentra la cámara cerrada B?. La DR para el aceite SAE 30 es 0,891
  • 55. EJEMPLO 10 Para el sistema de manómetros mostrados en la figura, determine la lectura h del manómetro en U
  • 56. EJEMPLO 11 Los dos tanques de agua son conectados a través de un manómetro de mercurio mediante tubos inclinados, como se muestra en la figura. Si la diferencia de presiones entre los dos tanques es 20 kPa. Determine las cantidades a y 
  • 57. EJEMPLO 12 La diferencia de presiones entre el tanque de aceite y el tanque de agua es medido por el manómetro mostrado en la figura. Para las alturas y densidades relativas de los fluidos. Determine Δ푃 = 푝퐵 − 푝퐴
  • 58. EJEMPLO 13 La presión del agua que fluye a través de la tubería es medida por el manómetro mostrado en la figura. Con los datos consignados determine la presión en la tubería.
  • 59. EJEMPLO 14 Los compartimentos B y C en la figura se encuentran llenos de aire, el barómetro lee 26 cm de mercurio cuando los manómetros leen «x» y 25 cm, respectivamente. ¿Cuál será el valor de x
  • 60. EJEMPLO 14 En la figura mostrada el tanque A contiene gasolina (SG = 0,70), el tanque B contiene aceite (SG = 0,9), y el fluido manométrico es mercurio. Determine la nueva lectura diferencial si la presión en el tanque A decrece 25 kPa, y la presión en el tanque B permanece constante. La lectura del manómetro diferencial es 0,30 m como se muestra.
  • 61. EJEMPLO 15 La presión manométrica del aire en la parte superior del tanque mostrado en la figura es 10,7 kPa y la densidad (ρs) del fluido manométrico de una de las ramas en U es desconocida. Determinar ρs para las deflexiones indicadas. Considere que la densidad relativa del Heptano es 0,681 y del Mercurio es 13,6
  • 63. FUERZAS HIDROSTÁTICAS Una válvula de una compuerta de una presa se encuentra sometida a presiones distribuidas como se muestra en la figura
  • 64. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana horizontal sumergida Consideremos la superficie sumergida mostrada en la figura La fuerza hidrostática sobre dA será dF   pdAk La fuerza hidrostática resultante será F   pdAk R A
  • 65. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana horizontal sumergida Teniendo en cuenta la variación de la presión con la profundidad R  0  F   p   gh dAk A Debido a que todos los puntos de la superficie están, a la misma profundidad   R 0 F   p   gh  dAk A   R 0 F   p   gh Ak
  • 66. Fuerza hidrostática: CENTRO DE PRESIONES El centro de presiones se determina aplicando el teorema de momentos El momento de la fuerza resultante con respecto a los ejes x ó y es igual al momento del conjunto de fuerzas distribuidas respecto al mismo eje x ó y. Es decir x F   xpdA C R A y F   ypdA C R A
  • 67. Fuerza hidrostática: CENTRO DE PRESIONES Reemplazando la magnitud de FR y el valor de la presión a una profundidad h, tenemos C  0   0  x p  gh A   x p  gh dA A 1 x xdA C   C xx A A     C 0 0 y p  gh   y p  gh dA A 1   Cy  y y ydA C A A Esta ecuaciones indican que la fuerza hidrostática esta dirigida hacia abajo y esta aplicada en el centroide de la región
  • 68. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana inclinada sumergida Considere la superficie inclinada un ángulo  Para encontrar la fuerza resultante se divide a la superficie en elementos de área dA. Debido a que el fluido esta en reposo no existe esfuerzos cortantes, entonces la fuerza FR actuará perpendicularmente a dA. Esto es
  • 69. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana inclinada sumergida • En la figura se muestra la fuerza hidrostática sobre la placa
  • 70. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana inclinada sumergida • En la figura se muestra la fuerza hidrostática sobre la placa
  • 71. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana inclinada sumergida La fuerza hidrostática será dF   pdAk Teniendo en cuenta que la presión a una profundidad h es 푝 = 푝0 + 휌푔ℎ   0 0 dF   p  gh dAk De la figura se tiene además que ℎ = 푦 푠푒푛휃, entonces   0 0 dF   p  gysen dAk
  • 72. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana inclinada sumergida La fuerza resultante será F ρgysen dAˆ      R 0  A p  k F   p Akˆ   gsen  ydAk ˆ R 0  A Teniendo en cuenta la definición de centroide  ydA  y A CG A F   ( p A gsen y A ) k ˆ R 0 CG De la figura se observa h  y sen CG CG F   ( p  gh ) Ak ˆ R 0 CG F  p A La magnitud de la fuerza R CG hidrostática será
  • 73. Centro de presiones El punro de aaplicación de la fuerza resultante se determina aplicando el principio de momentos Momento respecto al eje x y F  ydF  y p  h dA ( )   0     y p y sen dA   ( ) 0   2 p ydA sen y dA   0       y F p y A sen I CP R 0 CG xx CP R Donde 푰풙풙 = 풚ퟐ풅푨 es el momento de inercia de área, respecto al eje x
  • 74. Centro de presiones Utilizando el teorema de los ejes paralelos Entonces se tiene 2 xx G,x CG I  I  y A 2 y p A p y A sen I y A              ( ) CP CG CG G x CG 0 , p sen y y A sen I p h y A sen I (   )   (  )   CG CG G x 0 , CG CG G x 0 , CP CG CG CG G , x y p A p y A sen I     G,x CP CG sen I CG y y p A  
  • 75. Centro de presiones Momento respecto al eje y x F  xdF  x p  h dA ( )   0     x p y sen dA   ( ) 0   p xdA sen xydA   0       x F p x A sen I CP R 0 CG xy CP R Donde 푰풙풚 = 풙풚풅푨 es el producto de inercia del área. Utilizando el teorema de Steiner se tiene xy G,xy CG CG I  I  x y A
  • 76. Centro de presiones Entonces se tiene x p A p x A sen I x y A              ( ) CP CG CG G xy CPG CG 0 , p sen y x A sen I p h x A sen I (   )   (  )   CG CG G xy 0 , CG CG G x 0 , CP CG CG CG G xy , x p A p x A sen I     G,xy   CP CG sen I CG x x p A
  • 77. FUERZA RESULTANTE La magnitud de la fuerza resultante FR actuando sobre una superficie plana de una placa completamente sumergida en un fluido homogéneo es igual al producto de la presión en el centro de gravedad pCG de la superficie por el área A de dicha placa y está actuando en el centro de presiones
  • 78. Propiedades geométricas de regiones conocidas
  • 79. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical
  • 80. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical: Prisma de presiones Consideremos una superficie vertical de altura ℎ y ancho 푏 como se muestra en la figura. La fuerza hidrostática resultante es h F  p A  h A  bh ( )( ) 2 R CG CG
  • 81. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical Es decir la fuerza hidrostática es igual al volumen del prisma de presiones 1 2 FR Volumen del prisma de presiones  h bh   
  • 82. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical  Su punto de aplicación será 3 90 ( /12) ( / 2)( ) 2 6 sen bh h h 2 3 CP CG CP y y h bh y h        
  • 83. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical Si la superficie no se extiende hasta la superficie libre (compuerta) como se muestra en la figura
  • 84. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical La fuerza resultante se obtiene sumando el paralelepípedo de presiones más la cuña de presiones
  • 85. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical La fuerza resultante se obtiene sumando el paralelepípedo de presiones más la cuña de presiones F V V R paralelipipedo prisma F F F R 1,( ABDE ) 2,( BCD ) F  h A  h h A 1 2 1 ( ) ( ) R        La localización de la fuerza resultante se obtiene tomando momentos. Es decir Donde
  • 86. MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS El momento de inercia del área alrededor del eje x, es El momento de inercia del área alrededor del eje y, es • El productor de inercia
  • 87. Teorema de los ejes paralelos • El momento del area con respecto a ejes paralelos se expresa en la forma
  • 88. EJEMPLO 01 La placa AB de 3 m por 4 m de un depósito al aire es basculante en torno a su borde inferior y se mantiene en posición mediante una barra delgada BC. Sabiendo que va a llenarse de glicerina, cuya densidad es 1263 kg/m3. Determinar la fuerza T en la barra y las reacciones en la bisagra A cuando el depósito se llena hasta una profundidad d = 2,9 m.
  • 89. EJEMPLO 02 La compuerta de 6 m de ancho mostrada en la figura se mantiene en la posición mostrada en la figura mediante un momento M aplicado en sentido antihorario. Halle el valor de dicho momento para mantener cerrada la compuerta
  • 90. EJEMPLO 03 La placa rectangular AB, mostrada en sección vertical tiene 4 m de altura por 6 m de anchura(normal al plano de la figura) y bloquea el extremo de un depósito de agua de 3 m de profundidad. La placa se encuentra articulada en A y en el extremo inferior B es sostenida por una pared horizontal. Encuentre la fuerza en B ejercida por el muro de contención
  • 91. EJEMPLO 04 La compuerta semicircular AB se encuentra embisagrada en su borde inferior y mantenida en posición vertical gracias a una fuerza horizontal P. ¿Cuál es el valor de la fuerza P mínima necesaria para esto
  • 92. EJEMPLO 5 La compuerta rígida OAB, tiene 3 m de ancho normal al plano del dibujo y se encuentra articulada en O y apoyada en B. Despreciando el peso de la compuerta, y suponiendo que el rozamiento de la bisagra es despreciable. Determine la magnitud de la fuerza P necesaria para mantener cerrada la compuerta.
  • 93. EJEMPLO 6 El tanque de agua mostrado en la figura se encuentra presurizado como se muestra mediante la lectura del manómetro. Determine la fuerza hidrostática por unidad de anchura de la compuerta.
  • 94. EJEMPLO 07 En la figura se muestra un tanque de agua dulce con fondo inclinado. La compuerta rectangular del fondo (normal al plano del dibujo), de 1,6 m por 0,8 m, se encuentra engoznada en A y se abre venciendo la presión del agua por acción de la tracción P del cable. Determine la magnitud de la fuerza 푃.
  • 95. EJEMPLO 08 La compuerta vertical accionada por el resorte está engoznada por su borde superior A según un eje horizontal y cierra el extremo de un canal rectangular de agua dulce de 1,2 m de anchura (normal al plano del papel). Calcular la fuerza 퐹 que debe ejercer el resorte para limitar la profundidad del agua a una profundidad h =1,8 m.
  • 96. EJEMPLO 09 El eje de la compuerta de 2 m de ancho normal plano del papel fallará con un momento de 160 kN.m. Determine el máximo valor de la profundidad del líquido h. El peso específico del líquido es 10 kN/m3.
  • 97. EJEMPLO 10 La presa de concreto está diseñada para que su cara AB tenga una pendiente gradual en el agua, como se muestra. Por esto, la fuerza friccional en la base BD de la presa se incrementa debido a la fuerza hidrostática del agua que actúa sobre la presa, Calcule la fuerza hidrostática que actúa en la cara AB de la presa. La presa tiene un ancho de 60 pies. 휌푤 = 62,4 푙푏/푝푖푒3.
  • 98. EJEMPLO 12 El aire del espacio superior del tanque cerrado es mantenido a una presión de 5,5 kPa sobre la atmosférica- Determine la fuerza resultante ejercida por el aire y el agua sobre uno de los extremos del tanque
  • 99. EJEMPLO 13 Un cilindro hidráulico acciona la palanca articulada que cierra la compuerta vertical venciendo la presión del agua dulce represada al otro lado. La compuerta es rectangular con una anchura de 2 m perpendicular al plano del dibujo. Para una altura de agua h = 3 m, calcular la presión p del aceite actuante sobre el pistón de 150 mm del cilindro hidráulico
  • 100. EJEMPLO 14 Una placa rectangular uniforme AB, representada en sección, tiene una masa de 1600 kg y separa los dos cuerpos de agua dulce en un depósito que tiene una anchura de 3 m (normal al plano de la figura). Determine la tensión T del cable soportante.
  • 101. EJEMPLO 15 En la figura se representa la sección normal de una compuerta rectangular AB de dimensiones 4m por 6m que cierra el paso de un canal de agua. La masa de la compuerta es de 8500 kg y está engoznada en un eje horizontal que pasa por C. Determine: (a) La fuerza ejercida por el agua sobre la compuerta, (b) el punto de aplicación de dicha fuerza y (c) la fuerza vertical P ejercida por la cimentación sobre el borde inferior A de la compuerta.
  • 102. EJEMPLO 16 Calcular la magnitud, dirección y localización de la fuerza resultante ejercida por los fluidos sobre el extremo del tanque cilíndrico de la figura.
  • 103. EJEMPLO 17 Una placa rectangular, mostrada de perfil en la figura, tiene una altura de 274 cm y una anchura de 244 cm (normal al papel) y separa depósitos de agua dulce y petróleo. El petróleo tiene una densidad relativa de 0,85. determine la altura h que ha de alcanzar el agua para que sea nula le reacción en B.
  • 104. EJEMPLO 18 Calcular la fuerza vertical mínima F, requerida para mantener cerrada la cubierta de esta caja. La cubierta tiene una anchura de 3m de perpendicular a plano del dibujo.
  • 105. EJEMPLO 19 En la figura mostrada. (a) Determine la fuerza única resultante que actúa sobre la compuerta Ģ provocada por la presión hidrostática para el caso en el que θ = 53º. El ancho de la compuerta es 5 m y la densidad del agua es 1 g/cm3, (b) Calcule las reacciones en el perno A y el piso B.
  • 106. EJEMPLO 20 En un canal de agua dulce, de 1.5 m de ancho, se construye un dique temporal clavando dos tablas a los pilotes ubicados a los lados del canal y apuntalando una tercera tabla AB contra los pilotes y el piso del canal. Sin tomar en cuenta la fricción, determine la magnitud y la dirección de la tensión mínima requerida en la cuerda BC para mover la tabla AB.
  • 107. EJEMPLO 21 La compuerta AB está situada al final del canal de agua de 6 ft de ancho y se mantiene en la posición mostrada en la figura mediante bisagras instaladas a lo largo de su extremo superior A. Si el piso del canal no tiene fricción, determine las reacciones en A y B.
  • 108. EJEMPLO 22 Una compuerta colocada en el extremo de un canal de agua dulce de 1 m de ancho fue fabricada con tres placas de acero rectangulares de 125 kg cada una. La compuerta está articulada en A y descansa sin fricción sobre un apoyo puesto en D. Si d 0.75 m, determine las reacciones en A y D.
  • 109. EJEMPLO 23 Al final de un canal de agua dulce se encuentra una compuerta en forma de prisma que está sostenida por medio de un pasador y una ménsula colocados en A y descansa sin fricción sobre un soporte ubicado en B. El pasador se localiza a una distancia de h = 4 pulg. por abajo del centro de gravedad C de la compuerta. Determine la profundidad del agua d para la cual se abrirá la compuerta.
  • 110. EJEMPLO 24 Una puerta rectangular de 4 m de anchura, 8 m de largo con un peso de 300 kg se mantiene en su lugar mediante un cable flexible horizontal como se muestra en la Figura. El agua actúa contra la puerta que está articulada en el punto A. La fricción de la bisagra es insignificante. Determine la tensión en el cable
  • 111. EJEMPLO 25 Una compuerta circular de 3 m de diámetro, tiene su centro a 2,5 m debajo de la superficie del agua, y descansa sobre un plano con pendiente de 60º. Determine la magnitud, dirección y localización de la fuerza total sobre la compuerta debido al agua.
  • 112. EJEMPLO 26 Un área triangular de 2 m de base y de 1,5 m de altura tiene su base horizontal y yace en un plano inclinado 45º, con su ápice debajo de la base y a 2,75 m debajo de la superficie libre del agua. Determine la magnitud, dirección y la localización de la fuerza resultante del agua sobre el área triangular.
  • 113. EJEMPLO 27 Una compuerta, cuya sección transversal se muestra en la figura, cierra una abertura de 0,6 m de ancho por 1,2m de alto. La compuerta es homogénea y su masa es de 600 kg. Calcular la fuerza P requerida para abrir la compuerta.
  • 114. EJEMPLO 28 La compuerta AB es una placa rectangular de 280 Kgf que tiene 1,5 m de altura y 1,1 m de anchura y se utiliza para cerrar el canal de desagüe en la parte inferior de un depósito de petróleo. A consecuencia de la condensación en el depósito, se recoge agua dulce en la parte inferior del canal. Calcular el momento M respecto del eje del pasador en B necesario para cerrar la compuerta contra la acción de las fuerzas hidrostáticas del agua y del petróleo, la densidad relativa del petróleo es 0,85.
  • 115. Ejemplo 29 La compuerta rectangular mostrada en la figura tiene 1,2 m de ancho y un resorte se encarga de mantenerla cerrada. Cuando la compuerta está cerrada la fuerza de compresión sobre el resorte vale 15000 N. Determine el valor de H para que la compuerta empiece a abrirse.
  • 116. Ejemplo 30 Una placa plana cierra una abertura triangular existente en la pared vertical del depósito que contiene un líquido de densidad ρ . La placa está articulada en el borde superior O del triángulo. Determine la fuerza P requerida para cerrar la compuerta venciendo la presión del líquido.
  • 117. Ejemplo 31 La tapa de la abertura de 20 por 30 cm del depósito está roblonada, siendo despreciables las tensiones iniciales en los roblones. Si el depósito se llena con mercurio (DR = 13,6) hasta el nivel que se indica. Determine: (a) La fuerza ejercida por el mercurio sobre la tapa de la abertura y (b) la tensión inducida en cada uno de los roblones A y B.
  • 118. Ejemplo 32 Las caras de un canjilón en forma de V para agua dulce, representado en sección, están articuladas por su intersección común que pasa por O y unidas por un cable y un torniquete colocados cada 183 cm a lo largo del canjilón. Determine la tensión T que soporta cada torniquete.
  • 119. Ejemplo 33 En la figura puede verse la sección de una compuerta ABD que cierra una abertura de 1,5 m de anchura en un calla de agua salada. Para el nivel del agua indicado. Determine la fuerza de compresión F del vástago del cilindro hidráulico que mantenga una fuerza de contacto de 3 kN por metro de anchura de compuerta a lo largo de la línea de contacto que pasa por A. La compuerta pesa 17 kN y su centro de gravedad está en G.
  • 120. Ejemplo 34 Halle la fuerza total sobre la compuerta AB y el momento de esta fuerza respecto del fondo de la compuerta.
  • 121. Ejemplo 35 Una compuerta rectangular uniforme de peso W, altura r y longitud b es sostenida por goznes en A. Si el peso específico del fluido es 훾, determine el ángulo θ requerido si la compuerta debe permitir flujo cuando d = r
  • 122. Ejemplo 35 La compuerta ABC de 500 lb de peso, cierra un orificio rectangular de 4 pies de alto por 5 pies de anchura normal al plano del dibujo de un canal de agua dulce. Si el centro de gravedad de la compuerta se ubica a 1 pie a la izquierda de AC y a 2 pies sobre BC. Determine la reacción en la bisagra en A y la reacción horizontal que es producida en la compuerta en C. Para el agua  = 62,4 lb/pie3
  • 123. Problema 36 El agua fresca de un canal es retenida por una compuerta AB rectangular plana que tiene una anchura a = 0,6 m (normal al plano del dibujo) y se encuentra articulada en B. El muro vertical BD se encuentra fijo. Despreciando el peso de la compuerta. Determine la fuerza F necesaria para comenzar abrir la compuerta
  • 124. Problema 36 La compuerta mostrada en la figura se encuentra articulada en el punto H. Si la compuerta tiene una anchura de 3 m (normal al plano del dibujo) y es utilizada para retener agua dulce (ρ = 1000 kg/m3). Determine la fuerza F aplicada en el extremo A de la compuerta para mantenerla cerrada.
  • 125. Problema 36 Una compuerta en forma de L abisagrada en O pesa 9000 N y tiene su centro de gravedad G a 0,5 m a la derecha de la cara vertical como se muestra en la figura. Si la compuerta tiene 2 m de ancho (normal al plano del dibujo). (a) ¿Cuál podría ser el valor del contrapeso W para ayudar a mantener la compuerta en la posición indicada?, (b) ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la reacción de la bisagra en O?
  • 126. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS Cuando la placa sumergida es curva, la presión que actúa perpendicularmente, cambia de dirección continuamente. por tanto la magnitud y punto de aplicación de 퐹푅 se determina calculando sus componentes horizontal y vertical.
  • 127. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS • El análisis del cuerpo de fluido ABC mostrado en la figura, permite el cálculo de las componentes de la fuerza resultante ejercida por la superficie AB, F’H y F’V, sobre el fluido, y posteriormente las respetivas e iguales y opuestas FH y FV . Es decir ´' F F F     0 x BC H ' F  F H BC ' F F F W      0 y V AC ABC ' F F W   V AC ABC debe ser colineal con FBC y ' H F ' V F colineal con la resultante de FAC yWABC
  • 128. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS • Existe otra técnica mediante la cual los ingenieros obtienen las componentes de las fuerzas resultantes producidas por distribuciones de presión sobre superficies curvas
  • 129. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS • La componente horizontal actuando sobre 푑퐴 será • La fuerza resultante horizontal será • Teniendo en cuenta la geometría de la figura F   zdA  z A • El punto de aplicación de FH se obtiene aplicando el teorema de momentos • Es decir z F z dA dFH  dF sen  p sen dA H F   p sen dA H yz CG yz, proy A 2 CP H yz 2 1 z z dA CP yz F H      
  • 130. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS Esto es: La componente horizontal 푭푯 de la fuerza debida a las presiones sobre una superficie curva es igual a la fuerza debía a las presiones que se ejercería sobre la proyección de la superficie curva. El plano vertical de proyección es normal a la dirección de la componente. H CG yz, proy F  z A El punto de aplicación de la fuerza horizontal se encuentra en el centro de presiones del área proyectada 2 1 z z dA   CP yz F H
  • 131. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS La componente vertical de la fuerza FV, paralela al eje z, es
  • 132. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS • La componente vertical actuando sobre 푑퐴 es • La fuerza resultante vertical será F   p  dA • De la geometría de la figura F   pdA   hdA • Pero 푑푉 = ℎ(푑퐴푥푦 ), entonces La componente vertical debida a las presiones sobre una superficie curva es igual al peso del fluido situado verticalmente por encima de la superficie curva y extendida hasta la superficie libre. dFV  dF cos  p cos dA cos V A H xy xy A A F   dV V A VF  V
  • 133. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS • La línea de acción de la componente vertical se determina igualando los momentos de las componentes diferenciales verticales, respecto a un eje convenientemente elegido, con el momento de la fuerza resultante respecto al mismo eje, esto es x F xdV     x xdV 1 CP V CP CP V x xdV V     
  • 134. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS Es decir la fuerza vertical pasa por el centroide del volumen de fluido real o imaginario que se extiende por encima de la superficie curva hasta la superficie libre real o imaginaria. El punto de aplicación de la fuerza vertical pasa por el centroide del volumen
  • 135. Ejemplo 01 Calcular las componentes horizontal y vertical de la fuerza hidrostática que se ejerce sobre el panel en cuarto de círculo situado en el fondo del depósito de agua mostrado en la figura.
  • 136. Ejemplo 02 Determine completamente la fuerza hidrostática ejercida por el agua ( 휌 = 1000 푘푔/푚3 ) sobre la compuerta en forma de cuarto circular de r = 4 푚 de radio y ancho 푏 = 30 푚
  • 137. Ejemplo 03 La compuerta AB cuarto cilíndrica, mide 10 푝푖푒푠 de anchura y está abisagrada en B. Determine la mínima fuerza 퐹 necesaria para impedir su apertura. La compuerta es uniforme y pesa 푊 = 3000 푙푏.
  • 138. Ejemplo 04 La compuerta de 2 푚 de ancho retiene un líquido de peso específico 훾 = 9푘푁/푚3 como se muestra en la figura. Determine: (a) la fuerza horizontal así como su punto de aplicación; (b) la fuerza vertical ejercida por el fluido si como su punto de aplicación y (c) el momento M requerido para mantenerla compuerta en dicha posición. Desprecie el peso de la compuerta.
  • 139. Ejemplo 05 La compuerta cuarto circular de 2 푚 de anchura, mostrada se encuentra abisagrada en la parte inferior. Determine: (a) las fuerzas horizontal y vertical ejercida por el agua sobre la compuerta, (b) la fuerza 푃 necesaria para mantener la compuerta en dicha posición
  • 140. Ejemplo 06 Calcule la fuerza P necesaria para mantener la compuerta de 4 푚 de ancho en la posición que se muestra. Desprecie el peso de la compuerta
  • 141. Ejemplo 07 Calcular la fuerza P necesaria para abrir apenas la compuerta mostrada en la figura si H = 6 m, R = 2 m y la compuerta tiene 4 m de longitud
  • 142. Ejemplo 08 La compuerta homogénea mostrada en la figura consiste en un cuarto de cilindro circular de 1 m de radio y es utilizada para mantener el agua a una profundidad de 4 m. Es decir, cuando la profundidad del agua excede los 4 m la compuerta se abre lentamente y por su base comienza a fluir el agua. Determine el peso de la compuerta por unidad de longitud.
  • 143. Ejemplo 09 Calcule las componentes horizontal y vertical de la fuerza hidrostática sobre la pared semiesférica de radio R = 600 mm del fondo del depósito mostrado en la figura.
  • 144. Ejemplo 10 Un tanque cerrado que tiene un domo hemisférico de 4 푝푖푒푠 de diámetro es llenado con agua como se muestra en la figura. Un tubo manométrico en U es conectado al tanque como se muestra. Determine la fuerza vertical del agua sobre el domo si el manómetro diferencial lee 7 pies y la presión del aire sobre el extremo del manómetro es 12,6 psi
  • 145. Ejemplo 11 El cilindro de 0,5 m de radio mostrado en la figura tiene una longitud de 3 m. Determine las componentes horizontal y vertical de la fuerza que ejerce el agua sobre el cilindro.
  • 146. Ejemplo 12 Determine la fuerza 푃 , necesaria para que la compuerta parabólica mostrada se encuentre en equilibrio. Considere que 퐻 = 4 푚y el ancho de la compuerta es 푎 = 4 푚.
  • 147. Ejemplo 13 En la compuerta de la figura que posee una anchura perpendicular al papel de 1 푚. Calcular la resultante y línea de aplicación de las fuerzas horizontales y verticales y el momento que crean en el punto 0.
  • 148. Ejemplo 14 El cilindro de la figura de 1.8 m de diámetro pesa 24500 N y tiene una longitud de 1.5 m, normal al dibujo. Determinar las reacciones en A y B en kgf despreciando rozamientos.
  • 149. Ejemplo 15 Calcular la fuerza F necesaria para mantener la compuerta mostrada en la figura en la posición cerrada. Considere que R = 60 cm y que la compuerta tiene un ancho de 1,2 m
  • 150. Ejemplo 16 La compuerta cuarto-circular AB mostrada en sección, tiene una anchura horizontal de 183 cm (normal al plano del papel) y regula la circulación de agua dulce sobre el borde B. La compuerta tiene un peso total de 30840 N y está articulada por su borde superior A. Determine la fuerza mínima necesaria para mantener cerrada la compuerta. Desprecie el grosor frente a su radio de 275 cm.
  • 151. Ejemplo 17 El costado correspondiente al agua de una presa de hormigón tiene forma parabólica de vértice en A. Determinar la posición b del punto B de la base en que actúa la fuerza resultante del agua contra el frente C de la presa.
  • 152. Ejemplo 18 El apoyo semicónico BC de 1,2 m de radio y 1,8 m de altura, se utiliza para soportar el cuarto de esfera AB de 1,2 m de radio, sobre la cara de corriente arriba de un dique. Determine: (a) La magnitud, dirección y punto de aplicación de la fuerza horizontal hidrostática sobre el cuarto de esfera; (b) La magnitud y dirección de la fuerza vertical hidrostática sobre el cuarto de esfera; (c) La magnitud y la localización de las componentes horizontal y vertical de la fuerza hidrostática ejercida por el agua sobre la superficie semicónica BC
  • 153. Ejemplo 19 La compuerta de la figura tiene la forma de un cuarto de circunferencia y mide 3 m de anchura. Calcular las componentes horizontal y vertical de la fuerza hidrostática sobre la misma, indicar en donde se encontraría el punto de aplicación y el momento que crean en el punto O.
  • 154. Ejemplo 20 ¿Cuál es la fuerza vertical sobre la esfera si las dos secciones del tanque están completamente aisladas una de la otra por el tabique AB?.
  • 155. Ejemplo 21 En la figura se muestra un tanque que se encuentra herméticamente dividido en dos partes que contienen agua y aire encima y aceite debajo. Una esfera cerrada D se encuentra soldada a la placa delgada reforzada que actúa como partición EC y se extiende por igual en el agua por encima y en el aceite por debajo, como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es la fuerza vertical causada por los fluidos sobre la esfera?.
  • 156. Ejemplo 22 Un tronco está en equilibrio como se muestra en la figura. Determine: (a) La fuerza ejercida por el aceite sobre el tronco, (b) la fuerza ejercida por el agua sobre el tronco, (c) La fuerza ejercida por el muro sobre el tronco y (d) El peso específico relativo del tronco si su longitud es de 4m m y R = 0,6 m.
  • 157. Ejemplo 23 El agujero que hay en el fondo del depósito de la figura, está cerrado con un tapón cónico cuya densidad es 400 푘푔/푚3 . Determine la fuerza F necesaria para mantener cerrado el depósito.
  • 158. Ejemplo 24 El depósito cuya sección recta se muestra en la figura, tiene 2 m de anchura y está lleno de agua a presión. Determine las componentes de la fuerza requerida para mantener el cilindro de 1 m de radio en la posición mostrada, despreciando el peso del mismo.
  • 159. Ejemplo 25 Un taque se encuentra dividido en dos cámaras independientes. La presión del aire actúa en ambas secciones. Un manómetro mide la diferencia entre éstas presiones. Una esfera de madera (DR = 0,60) se coloca en la pared tal como se muestra. Determine: (a) La fuerza vertical sobre la esfera, (b) la magnitud (solamente) de la fuerza horizontal resultante causada por los fluidos.
  • 160. Ejemplo 26 El depósito mostrado en la figura se usa para almacenar aceite (푆퐺 = 0,90). Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la superficie en forma de hemisferio de 1,40 푚 de diámetro
  • 161. Ejemplo 27 ¿Cuál es la fuerza horizontal sobre la compuerta ejercido por todos los fluidos de adentro y de afuera?. La densidad relativa del aceite es 0,8.
  • 162. Ejemplo 28 El apoyo semicónico se usa para soportar una torre semicilíndrica sobre la cara de corriente arriba de un dique. Calcular la magnitud, dirección y sentido de las componentes vertical y horizontal de la fuerza ejercida por el agua sobre el apoyo: (a) cuando la superficie del agua se encuentra en la base del semicilindro; (b) cuando la superficie del agua se encuentra a 1,2 m sobre este punto.
  • 163. Ejemplo 29 Hallar las componentes vertical y horizontal, valor y punto de aplicación, sobre la compuerta de la figura cuyo perfil responde a la ecuación de una parábola y una longitud perpendicular al papel de 2 m. El líquido que retiene la compuerta tiene un peso especifico de 훾 = 9000 푁/푚3.
  • 164. Ejemplo 30 La compuerta AB, mostrada en la figura es utilizada para retener agua de mar ( = 10050 N/m3) tiene la forma de tres octavos de círculo, una anchura de 3 m, está articulada en B y se apoya en A. Determine las fuerza de reacción en A y B.
  • 165. Ejemplo 31 La figura muestra un depósito abierto de gasolina que tiene una anchura de 4 m normal al plano del dibujo. Determine: (a) la magnitud de las componentes horizontal y vertical de la fuerza que la gasolina ejerce sobre la superficie curva; (b) la magnitud y dirección de la fuerza resultante ejercida por el fluido sobre la superficie curva
  • 166. Ejemplo 32 El domo hemisférico de la figura tiene un peso de 30 푘푁 , está lleno de agua y remachada al suelo mediante seis remaches igualmente espaciados. Determine la fuerza que soporta cada remache para mantener el domo en su posición
  • 167. Ejemplo 33 Dos cascarones hemisféricos son unidos con ocho pernos equidistantes como se muestra en la figuras. El contenedor esférico resultante, el cual pesa 300 lb, es llenado con mercurio ( 휌푟 = 13,6) y soportado por un cable como se muestra. Si el contenedor tiene una ventilla en su parte superior. Determine la fuerza que aparece en cada uno de los pernos
  • 168. Ejemplo 34 Calcular la magnitud y dirección de la fuerza resultante del agua sobre el tapón cónico sólido
  • 169. Ejemplo 35 Un túnel semicircular pasa por debajo de un río que tiene 8 m de profundidad. Determine la fuerza hidrostática resultante que actúa por metro de longitud a lo largo de la longitud del túnel. El túnel tiene 6 m de ancho
  • 171. Ejemplo 37 Se muestra una superficie curva que tiene un cuerpo de fluido estático. Calcule la magnitud de las componentes horizontal, vertical y resultante de la fuerza que el fluido ejerce sobre dicha superficie y su ángulo. La superficie mide 3.00 pies de longitud, el ángulo es de 75° y el fluido es agua (Calcular en sistema Ingles consistente.
  • 172. Ejemplo 38 El depósito cilíndrico de la figura tiene un extremo semiesférico ABC, y contiene aceite (DR = 0,9) y agua. Determine: (a) La magnitud de la fuerza vertical resultante sobre el extremo semiesférico ABC, (b) La magnitud y dirección de la fuerza horizontal resultante ejercida por los fluidos sobre la superficie semiesférica ABC.
  • 173. Ejemplo 38 F  V V ace sobrela 1 sup. 1 1  acei cilindro esfera . 2 4 3 2 . 2 3 1 1 1 4 . . 2 4 3 (3 )(5) .(3 ) acei 900 2 3 38170,4 V V V R R H F kgf                                        
  • 174. Ejemplo 38 1 1 F V V     V aceite cilindro w esfera 2 2 4 2 3               aceite w         2 3 2 ( ) ( ) 1 4 ( ) 2 4 3 (3 )(5) (3 )    900    1000   2 3     91891,6 V R H R F kgf  
  • 175. • Fuerza horizontal   2 2           H CG pro acei CG 1 . . 1    4(3)   (3 )  900 5 2 3 2 47417,3 .................(3) H R F p A h F kg            
  • 176. 2 2                      H CG pro . acei . acei . w 4 4 3 (3 ) ( ) 900(5) 1000( ) 3 2 3 2 81617,3 .................................(4) H R R x F p A h F kg                
  • 177. Problema N° 39 El agua fresca de un canal es retenida por una compuerta cilíndrica de radio 푟 = 1,5 푚 y una anchura 푎 = 2 푚 (normal al plano del papel). La compuerta es soportada por un pasador en B y un cable AC. Despreciando el peso de la compuerta. Determine: (a) la fuerza soportada por el cable y (b) la reacción en B.
  • 178. Problema N° 40 En la figura se muestra una compuerta con una porción curva utilizada para retener agua de mar (ρ = 1030 kg/m3). Cuando el nivel del agua alcanza cierta altura, la fuerza ejercida por el fluido abre la compuerta y el agua de mar fluye a través de ella. La compuerta tiene 1 m de anchura (normal al plano del dibujo) y ésta ha sido diseñada para que el nivel del agua de mar no exceda 2 m de profundidad. Determine la longitud L de la porción recta de la compuerta requerida para esto.
  • 179. Problema N°41 El agua en un canal es retenida por una compuerta de 5 pulg de anchura. La compuerta es soportada por un pasador en B y un cable vertical en A, y el contacto entre la compuerta y la base del depósito es de rozamiento despreciable. El muro vertical BC está fijo. Si la compuerta uniforme tiene un peso de 50 lb. Determine la fuerza T requerida en el cable para comenzar a abrir la compuerta. Considere que γagua = 62,4 lb/pie3; g = 32,2 pies/s2
  • 180. Problema N° 42 El agua es retenida en un canal por una compuerta cilíndrica de 0,6 m de anchura (normal al dibujo) articulada en B. Si el muro vertical BD se encuentra fijo y el peso de la compuerta es despreciable. Determine la fuerza F requerida para iniciar la apertura de la compuerta
  • 181. Problema N° 43 La compuerta AB en forma de sector circular es un sexto de un circulo de radio R = 6 m y tiene una anchura de 10 m normal al plano del dibujo. Determine: (a) la magnitud, dirección y localización respecto de A de la componente horizontal de la fuerza ejercida por el agua sobre la compuerta, (b) la magnitud, la dirección y localización respecto de A de la componente vertical de la fuerza hidrostática •
  • 182. Problema N° 44 En la figura se muestra una compuerta con una porción curva utilizada para retener agua de mar (ρ = 1030 kg/m3). Cuando el nivel del agua alcanza cierta altura, la fuerza ejercida por el fluido abre la compuerta y el agua de mar fluye a través de ella. La compuerta tiene 1 m de anchura (normal al plano del dibujo) y ésta ha sido diseñada para que el nivel del agua no exceda 2 m de profundidad. Determine la longitud L de la porción recta de la compuerta requerida para esto.
  • 183. Problema N° 45 La compuerta BC en forma de arco circular que subtiene un ángulo de 60° tiene 4 m de anchura (normal al plano del papel, es utilizada para almacenar el cuerpo de agua mostrado en la figura. Determine: (a) la magnitud, dirección y punto de aplicación de la componente horizontal de la fuerza hidrostática que el agua ejerce sobre la compuerta y (b) la magnitud y dirección de la fuerza hidrostática vertical.
  • 184. Problema N° 46 La compuerta ABC es un arco circular, a veces llamada compuerta Tainter, que se puede subir o bajar mediante una articulación en O como se muestra en la figura. Para la posición mostrada determine: (a) la fuerza hidrostática ejercida por el agua sobre la compuerta, (b) la línea de acción de la fuerza resultante. ¿Pasa esta fuerza por O?
  • 186. BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN Cuando un cuerpo se encuentra total o parcialmente sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascendente que actúa sobre él llamada fuerza de empuje o flotación. La causa de esta fuerza es la diferencia de presiones existentes sobre las superficies superior e inferior. Las leyes de boyantez o empuje se enuncian: 1° Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotación (empuje) verticalmente hacia arriba igual al peso de fluido que desaloja. 2° Un cuerpo que flota desplaza un volumen de fluido equivalente a su propio peso.
  • 187. BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN Para demostrar la primera de éstas leyes consideremos un cuerpo totalmente sumergido en un fluido como se muestra en la Figura
  • 188. BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN La fuerza de flotación o empuje sobre el cuerpo sumergido es la diferencia entre la componente vertical debida a la presión sobre la parte inferior AMB y la componente vertical de la fuerza debida a la presión sobre la parte superior AUB. Esto es ' dF dF dF            B V V p dA pdA p h dA p h dA h h dA ' ( ) ( ) ( )   0 2 0 1 2 1   dF hdA B Pero 푑푉 = ℎ 푑퐴, entonces dFB  dV B sumerg F    dV V V
  • 189. BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN Para encontrar la línea de acción de la fuerza de flotación se toma momentos de la fuerza diferencial alrededor de un eje conveniente y se iguala al momento de la resultante con respecto al mismo eje, esto es y F   ydV C B V V C V ydV y dV     La línea de acción de la fuerza de flotación pasa a través del centroide del volumen de fluido desplazado.
  • 190. BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN • Un análisis similar probará que para un cuerpo que flota, tal como se muestra en la figura, la fuerza de flotación viene expresada en la forma FB Vdesplazado f S W   gV • Al evaluar el equilibrio estático del cuerpo se observa que el peso W, debe ser igual a la fuerza de flotación o empuje , por tanto. Un cuerpo que flota desplaza un volumen de fluido equivalente a su propio peso
  • 191. BOYANTEZ (EMPUJE) Y FLOTACIÓN Por otro lado, cuando el cuerpo flota en la superficie de separación de dos fluidos inmiscibles como se muestra en la figura, la fuerza de flotación sobre un prisma vertical de sección recta dA, es dF p p dA             ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )            1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 B B B B H h H h dA dF h h dA F  h h dA F V V Para ubicar la fuerza de flotación se toma momentos respecto a un eje convenientemente elegido esto es C B 1 1 1 2 2 2 y F   y dV   y dV
  • 192. ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS La estabildad rotacional de un cuerpo sumergido depende de la ubicación del centro de gravedad G y el centro de flotación B. – Cuando G se encuentra debajo de B: Estable – Cuando G se encuentra sobre B: Inestable – Cuando G coincide con B: estabilidad neutra.
  • 193. ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS Sin embargo, existe algunas situaciones en el cual el cuerpo puede ser estable si G está por encima de C esta situación se muestra en la figura a. Cuando el cuerpo gira, el centro de flotación del volumen de fluido desplazado se mueve a un nuevo punto B’, que se muestra en la figura b. Si el centro de flotación se desplaza lo suficiente, surge un momento restaurador y el cuerpo es estable. Esto lo determina la altura metacéntrica GM definida como la distancia desde G hasta el punto de intersección de la fuerza de flotación antes de la rotación con la fuerza de flotación después de la rotación. Si GM es positiva como se muestra, el cuerpo es estable; si GM es negativa (M está debajo de G) el cuerpo es inestable.
  • 194. Ejemplo 01 ¿Cuál es el peso total de la barcaza y su carga para que flote como se muestra en la figura?. Considere que la barcaza tiene 6 m de ancho.
  • 195. Ejemplo 02 Una cuña de madera con densidad relativa 0,6 es forzada dentro del agua mediante una fuerza de 150 lbf. El ancho de la cuña es de 2 pies. ¿ Cuál es la profundidad d ?.
  • 196. Ejemplo 03 El tapón circular de 0,25 m de diámetro y 0,025 m de espesor tiene un peso específico de 76 kN/m3. Calcular el diámetro D de la esfera de peso despreciable para que la válvula se abra cuando el agua tenga 1,5 m de profundidad. Considere que el peso del cable es despreciable.
  • 197. Ejemplo 04 El listón de madera de 0,05 m por 0,05 m por 3 m cuya densidad es 400 kg/m3 de la figura se mantiene en la posición mostrada por la acción de la cuerda fija en el punto A. Calcular: (a) El ángulo θ cuando ℎ = 0,90 푚, (b) El valor mínimo de ℎpara que θ sea 90º.
  • 198. Ejemplo 05 El cuerpo homogéneo A de la figura es un cono circular recto (ρ = 640kg/m3). El cuerpo B (ρ = 2400kg/m3) se fija a A mediante un alambre. Si los cuerpos están en equilibrio en la posición mostrada. Determinar: (a) El volumen del bloque B, (b) La resultante de la fuerza que el fluido ejerce sobre la superficie lateral del cono
  • 199. Ejemplo 06 Los cuerpos A y B de la figura son dos cilindros sólidos y homogéneos, la sección transversal de cada cilindro es 0,09 m2. Las densidades de los cilindros A y B son de 1800 y 2600 kg/m3, respectivamente. Un resorte de tensión (uno que sólo actúa a tensión) interconecta a A con el fondo del tanque. En la figura se representa al resorte sin deformar. Calcule la posición de la superficie del cilindro A con respecto a la superficie correspondiente del cilindro B cuando el módulo de elasticidad del resorte es 900 N/m.
  • 200. Ejemplo 07 Los dos bloques prismáticos A y B de la figura son de madera (ρm= 600 kg/m3). Las áreas de las secciones transversales son 0,045 m2 para A y 0,108 m2 para B. La barra CD se construyó con la misma madera y el área de su sección transversal es 0,018 m2. Calcular la distancia que el bloque B debe subir o hundirse para que el sistema recobre su configuración de equilibrio.
  • 201. Ejemplo 08 La cáscara de acero semicilíndrica con los extremos cerrados tiene una masa de 26,6 kg. Halle la masa m del lastre de plomo que debe colocarse en la cáscara para que ésta sobresalga del agua la mitad de su radio de 150 mm. La densidad del acero es de 7700 kg/m3 y la densidad del plomo es 11300 kg/m3.
  • 202. Ejemplo 09 Una balsa cuadrada de 3 m está compuesta por tablones de 0,075 m fijos a un madero de 3 m de longitud y 0,3 m por 0,3 m en un extremo y a otro madero de 3 m de longitud y 0,3m por 0,6 m en el otro extremo como se muestra en la figura. La densidad relativa de la madera es 0,4. La balsa flota en agua. Sobre la balsa debe colocarse un cuerpo W de 150 kg. Determine: (a) La ubicación de W para que la balsa flote nivelada; (b) La distancia entre la parte superior de la balsa y la superficie del agua.
  • 203. Ejemplo 10 La viga de madera pesa 6,3 kN/m3 y se mantiene en posición horizontal por el ancla de concreto (24 kN/m3). Calcular el peso total mínimo que puede tener el ancla de concreto.
  • 204. Ejemplo 11 • Una baliza de canal consta de un cilindro de acero hueco de 300 mm de diámetro y 90 kg de masa, que se ancla en el fondo con un cable como se indica. Con la marea alta, h = 0,6 m. Determine la tensión T en el cable. Hallar así mismo el valor de h cuando el cable se afloja al bajar la marea. La densidad del agua marina es de 1030 kg/m3. Supóngase que la baliza está lastrada para que se mantenga en una posición vertical.
  • 205. Ejemplo 12 Un cilindro de masa 푚 y 1 m de diámetro es conectado a una compuerta de 2 m de anchura (normal al plano del dibujo) como se muestra en la figura. La compuerta se abre cuando el nivel del agua h es inferior a los 2,5 m. Despreciando el peso de la polea y el rozamiento. Determine la masa que se requiere para el cilindro.
  • 206. Ejemplo 13 En la figura mostrada, la esfera boyante de radio R unida el extremo de la compuerta AB mediante un cable de peso despreciable atado en B. Si la compuerta cuadrada AB se abre cuando el agua alcanza el punto medio de la esfera boyante. Determine: (a) la fuerza hidrostática sobre la compuerta, (b) el radio R de la esfera boyante necesaria para abrir la compuerta y (c) La reacción en la articulación A. Desprecie el peso de la esfera y de la compuerta.
  • 207. Ejemplo 14 Un tanque cilíndrico de paredes delgadas cerrado por un extremo tiene 1 m de diámetro y 90 kg de masa. El extremo abierto del tanque se sumerge en agua y se mantiene en la posición mostrada mediante un bloque de acero de densidad 7840 kg/m3. Suponiendo que el aire atrapado en el depósito es comprimido a temperatura constante. Determine: (a) la lectura del manómetro de presión colocado en la parte superior del tanque y (b) el volumen del bloque de acero
  • 208. Ejemplo 15 La placa de peso despreciable cierra un hueco de 1 푝푖푒 de diámetro de un tanque que contiene aire y agua como se muestra en la figura, un bloque de concreto (훾 = 150 푙푏/푝푖푒3 ) y que tiene un volumen de 1,5 푝푖푒3 es suspendido de la placa y se encuentra sumergido completamente en agua. Conforme la presión del aire es incrementada, la lectura diferencial Δℎ en el tubo manométrico de mercurio inclinado, se incrementa. Determine la lectura Δℎ dinamómetro antes de que la placa se abra. El peso del aire tiene un efecto despreciable sobre la lectura del manómetro.
  • 209. Ejemplo 16 Un cilindro de 2 m de longitud y 1 m de diámetro, flota en un tanque abierto el cual contiene un líquido de peso específico γ. Un tubo manométrico es conectado al tanque como se muestra en la figura. Cuando la presión en el tanque A es 0,1 psi por debajo de la presión atmosférica , los niveles de los fluidos son los mostrados. Determine el peso del cilindro.
  • 211. TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS LÍQUIDAS • Consideremos un recipiente abierto conteniendo un líquido tal como se muestra, sometido a una aceleración uniforme horizontal. • En la figura se observa que después de ser sometido a dicha aceleración el líquido por si mismo se dispone de tal forma que se mueve como un sólido sometido a una fuerza aceleradora. •
  • 212. TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS LÍQUIDAS • Para determinar la variación de presión en dirección vertical se considera el DCL de una porción de fluido en forma vertical y se aplica la segunda ley de Newton. y y F ma          dF dF dW m 2 1 p dA p dA gdV p p dA ghdA    2 1 2 1 2 1 (0) ( ) p  p  gh
  • 213. TRASLACIÓN HORIZONTALDE MASAS LÍQUIDAS • Para determinar la variación de presión en la dirección horizontal, se considera el DCL en la posición horizontal tal como se muestra en la figura, y se aplica la segunda ley de Newton, esto es
  • 214. TRASLACIÓN HORIZONTAL DE MASAS LÍQUIDAS • La aplicación de la ley de Newton nos da     y y 1 2     0 1 0 1 • Simplificando se tiene ( ) x x F ma dF dF dm a p   gh dA  p   gh dA   L dA a g h h L a   (  )  1 2 ( h  h ) a 1 2 x x L g x a tg g   
  • 215. TRASLACIÓN VERTICAL DE MASAS LÍQUIDAS • Consideremos el movimiento de un depósito conteniendo un fluido, en dirección vertical con una aceleración 푎푦. La figura, muestra en este caso la superficie libre permanece horizontal durante el movimiento. Es decir la presión en planos horizontales permanece constante, pero en dirección vertical no,
  • 216. TRASLACIÓN VERTICAL DE MASAS LÍQUIDAS • Aplicando la segunda ley de Newton en dirección vertical se tiene     y y 2 1       2 1 2 1      2 1 ( ) y ( ) ( ) ( ) y y ( ) y F ma dF dF dm a p p dA gdV dV a p p dA ghdA h dA a p  p  h g  a Esta ecuación indica que la presión varía con la profundidad y con la aceleración del depósito
  • 217. TRASLACIÓN VERTICAL DE MASAS LÍQUIDAS • Si ahora el depósito se mueve hacia abajo, se tiene   y y     2 1       ( ) 1 2 ( ) 1 2      2 1 ( ) y ( ) En el caso de que el tanque se suelta desde el reposo, es decir tiene un movimiento de caída libre y y y F ma dF dF dW dm a p p dA gdV dVa p p dA ghdA hdAa p  p  h g  a p  p   h(g  g) 2 1 p  p 2 1
  • 218. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS Consideremos un depósito que contiene un fluido de densida ρ el cual se hace rotar alrededor de su eje como se muestra en la figura
  • 219. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS Del DCL de fluido, se observa que las variaciones de la presión en la dirección vertical es análoga al caso hidrostático, esto es F ma       z z dF dF dW 2 1 0 z    ( ) ( )( ) z p pdA p dz dA g dz dA z p g z       
  • 220. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS Analizando el movimiento en dirección normal se tiene      n n ' ' 2 1 ( )     ( ) ( )( ) En la dirección azimutal 2 2 n r r r r F ma dF dF dm a p p dr dA p dA dr dA r r p r z        0 p    
  • 221. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS • La variación total de la presión será p p p          r z dp dr dz d r z dp rdr gdz      2   • Integrando indefinidamente 2 dp rdr gdz        2 2  p   gz  C 2 r  • La constante C esta dada por p    gz  C C  p  gz 0 0  0 0 Remplazando C se obtiene 2 2 0 0 ( ) 2 r p p g z z      
  • 222. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS La forma que adopta la superficie libre del fluido se obtiene haciendo 푝 = 푝0 debido a que en la superficie libre la presión es 푝0 , entonces tenemos 2     ( ) 0 0 0 2 2 0 2 2 r p p g z z r Z Z g      Esta ecuación indica que la superficie libre es un paraboloide de revolución Cuando existe una superficie libre en el recipiente que está girando el volumen que ocupa el fluido que está debajo de la superficie libre del paraboloide de revolución tiene que ser igual al volumen de fluido que tenía cuando estaba en reposo.
  • 223. ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS En el caso de un cilindro circular que gira alrededor de su eje, la elevación del líquido desde el vértice hasta la pared del cilindro es según la ecuación 2 2 0 2 R h g   Por otro lado, debido a que el volumen del paraboloide de revolución es igual a la mitad del volumen del cilindro circunscrito, el volumen del líquido por encima del plano horizontal es, 2 2 4 2 R R 2 1 ( )( ) 2 2 4    V R    g g
  • 224. EJEMPLO 01 Un depósito rectangular de 8 m de longitud, 3 m de profundidad y 2 m de anchura contiene 1,5 m de agua. Si está sometido a una aceleración horizontal en la dirección de su longitud de 2,45 푚/푠2 . (a) Calcular la fuerza total sobre cada uno de los extremos del depósito debido a la acción del agua y (b) demostrar que la diferencia entre estas fuerza es igual a la fuerza no equilibrada, necesaria para acelerar la masa líquida
  • 225. EJEMPLO 02 Si el depósito del problema anterior se llena de agua y se acelera en la dirección de su longitud con una aceleración de 1,52 푚/푠2 . ¿Cuántos litros de agua se verterán del depósito?
  • 226. EJEMPLO 03 Un recipiente que contiene agua se acelera paralelamente y hacia arriba de un plano inclinado 30° con respecto a la horizontal con una aceleración de 3,66 푚/푠2. ¿Qué ángulo formará la superficie libre con la horizontal?.
  • 227. EJEMPLO 04 Un depósito cúbico está lleno con 1,5 m de aceite de densidad relativa DR = 0,752. Determine la fuerza que actúa sobre uno de los lados del depósito cuando: (a) se somete a una aceleración vertical y dirigida hacia arriba de 4,9 푚/푠2 y (b) cuando la aceleración de 4,9 푚/푠2 es vertical y dirigida hacia abajo.
  • 228. EJEMPLO 05 Un tanque pesa 80 N y contiene 0,25 m3 de agua. Sobre el tanque actúa una fuerza de 100 N en dirección horizontal tal como se muestra en la figura. ¿Cuál es el ángulo θ cuando la superficie libre del agua alcanza una orientación fija con respecto al tanque?.
  • 229. EJEMPLO 06 Un depósito abierto de sección cuadrada de 1,8 m de lado pesa 3500 N y contiene 90 cm de agua. Está sometido a la acción de una fuerza no equilibrada de 10600 N paralela a uno de sus lados. ¿Cuál debe ser la altura de las paredes del depósito para que no se derrame agua?. ¿Qué valor tiene la fuerza que actúa sobre la pared donde la profundidad es mayor?.
  • 230. EJEMPLO 06 El tanque rectangular cerrado mostrado en la figura tiene 1,2 m de alto, 2,4 m de largo y 1,5 m de ancho, está lleno con gasolina en sus tres cuartas partes y la presión en el espacio de aire arriba de la gasolina es de 140 kPa. Calcular las presiones en las esquinas de éste tanque cuando se le acelera horizontalmente según la dirección de su longitud, a 4,5 m/s2. Considere que la densidad de la gasolina es 680 kg/m3.
  • 231. EJEMPLO 07 Al tanque rectangular se le da una aceleración constante a de 0,4g. ¿Cuál es la fuerza ejercida por los fluidos sobre la pared izquierda AB cuando se alcanza una configuración estable del agua con respecto al tanque?: El ancho del tanque es de 1,5 pies.
  • 232. EJEMPLO 08 Un depósito cilíndrico abierto de 2 m de altura y 0,5 m de radio, contiene 1,5 m de agua. Si el cilindro gira alrededor de su eje geométrico. (a) ¿Qué velocidad angular se puede alcanzar sin que se derrame nada de agua?. (b) ¿Cuál es la presión en el fondo del depósito en C y en D cuando la velocidad angular es  = 6 rad/s?.
  • 233. EJEMPLO 09 Considere que el depósito del problema 08 se encuentra cerrado y que el aire en la parte superior del cilindro es de 1,9 푘푔/푐푚2 . Cuando se hace girar al cilindro a una velocidad angular de 12 rad/s. ¿Cuáles son las presiones, en los puntos C y D de la figura?
  • 234. EJEMPLO 10 Un depósito cilíndrico abierto de 1,2 m de diámetro y 1,8 m de profundidad se llena con agua y se le hace girar a 60 RPM. (a) ¿Qué volumen de líquido se derrama? ¿cuál es la profundidad en el eje? Y ¿Cuál es la presión en la parte inferior del eje en el centro de la base del tanque?
  • 235. EJEMPLO 11 Un tanque vertical cilíndrico de 1,5 m de altura y de 0,9 m de diámetro se llena con agua hasta una profundidad de 1,2 m. Se cierra entonces el tanque y se eleva la presión en el espacio sobre el agua hasta 69 kPa. Calcular la presión en la intersección de la pared y el fondo del tanque cuando este se hace girar alrededor de su eje central vertical a 150 RPM.