Ejercicios Selectividad Campo Gravitatorio

CAMPO GRAVITATORIO #1
1. a) Al desplazarse un cuerpo desde una posición A hasta otra B, su energía potencial
disminuye. ¿Puede asegurarse que su energía cinética en B es mayor que en A? Razone
la respuesta.
b) La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m, situado a una altura h sobre
la superficie terrestre, puede expresarse en las dos formas siguientes: mgh o
−GMTm/RT+h. Explique el significado de cada una de esas expresiones y por qué
corresponden a diferentes valores (y signo).
2. a) Determine la densidad media de la Tierra.
b)¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra la intensidad del campo
gravitatorio terrestre se reduce a la tercera parte?
3. a) La energía potencial de un cuerpo de masa m en el campo gravitatorio
producido por otro cuerpo de masa m’ depende de la distancia entre ambos. ¿Aumenta
o disminuye dicha energía potencial al alejar los dos cuerpos? ¿Por qué?
b) ¿Qué mide la variación de energía potencial del cuerpo de masa m al desplazarse
desde una posición A hasta otra B? Razone la respuesta.
4. Razone la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a) El peso de un cuerpo en la superficie de un planeta cuya masa fuera la mitad que la
de la Tierra sería la mitad de su peso en la superficie de la Tierra.
b) El estado de “ingravidez” de los astronautas en el interior de las naves espaciales
orbitando alrededor de la Tierra se debe a que la fuerza que ejerce la Tierra sobre ellos
es nula.
5. a) El origen elegido habitualmente para la energía potencial gravitatoria lleva a que ésta
tome valores negativos. ¿Por qué la energía potencial gravitatoria terrestre, en las
proximidades de la superficie de la Tierra, toma valores positivos e iguales a mgh?
b) Discuta la siguiente afirmación: “Puesto que el valor de g disminuye al aumentar la
distancia al centro de la Tierra, la energía potencial mgh disminuye con la altura sobre
el suelo”.
G = 6,67 ·10 N m
2
kg
-11 -2
; RT
= 6370 km ; g = 10 m s
–2
6. a) Defina la energía potencial. ¿Para qué tipo de fuerzas puede definirse? ¿Por qué?
b) ¿Un satélite de masa m describe una órbita circular de radio r alrededor de un planeta
de masa M. Determine la energía mecánica del satélite explicando el razonamiento
seguido.
7. Explicando las leyes físicas que utiliza, calcule:
a) A qué altura sobre la superficie de la Tierra la intensidad del campo gravitatorio
terrestre es de 2 m s
–2
.
b) Con qué velocidad debe lanzarse verticalmente un cuerpo para que se eleve hasta una
altura de 500 km sobre la superficie de la Tierra.

1. – a) Si estamos hablando de energía potencial es porque estamos en un campo de fuerzas
conservativo en el cual la energía mecánica permanece constante
EMA = EPA + ECA
EM = EP + EC
EMB = EPB + ECB
como EMA = EMB y EPB < EPA esto implica que ECB > ECA
b) T
P
T
M m
E
R h
⋅
= −
+
esta ecuación nos da la energía potencial del sistema formado por la
Tierra y un cuerpo de masa m situado a una altura h sobre su superficie, su valor es
negativo porque se considera que la energía potencial es cero en el infinito y que disminuye
al decrecer la distancia.
PE m g h∆ = ⋅ ⋅ esta ecuación nos da el valor de la “variación” de energía potencial
para pequeñas diferencias de altura (h << RT) en la superficie terrestre, su valor es positivo
porque la energía potencial aumenta con la altura.
2. – a) La densidad de un cuerpo es la relación entre su masa y el volumen que ocupa, para el
caso de la Tierra:
34
3
T T
T
T
T
M M
d
V Rπ
= =
⋅ ⋅
como 2
T
T
M
g G
R
= ⋅ despejando la masa de la
Tierra
2
T
T
g R
M
G
⋅
= y sustituyendo en la ecuación de la densidad
2
3
3
3
5.619
4 4
3
T
T
T
T
g R g Kg
G R mG R ππ
⋅ ⋅
= = =
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
d
b)
2
T
T
M
g G
R
= ⋅
dividiendo nos queda
( )
2
2
3 T
T
R h
R
+
=
( )
2
1
3
T
T
M
g G
R h
⋅ = ⋅
+
3 T
T
R h
R
+
= y despejando h
( )3 1 4.663Th R Km= − ⋅ =

3. –
a) la ecuación de la energía potencial para dos cuerpos de masas m y m’ separados una
distancia r es la siguiente:
'
P
m m
E G
r
⋅
= − ⋅
al separarlos, aumenta r y disminuye el valor absoluto de la energía potencial, pero como su
signo es negativo, la energía potencial aumenta
b) El trabajo realizado por las fuerzas conservativas del campo gravitatorio, equivale a la
variación negativa de la energía potencial del sistema.
P PA PBW E E E= −∆ = −
4. –
a) En la Tierra 2
T
T
M
g G
R
= ⋅ en el planeta X 2
1
2
T
X
X
M
g G
R
⋅
= ⋅
como el peso de un cuerpo es la cuestión planteada en este apartado será
verdadera siempre y cuando se cumpla que
P m g= ⋅
1
2
Xg Tg= ⋅ para lo cual es necesario que
T XR R= como se deduce de las ecuaciones anteriores.
b) Es falsa, a la altura que orbitan los astronautas la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra
sobre ellos es considerable (sin ella seguirían una trayectoria rectilínea), pero al llevar una
velocidad v perpendicular a la fuerza gravitatoria, esta actúa como fuerza centrípeta y la
“ingravidez” se debe a su estado permanente de caída libre.
5. –
a) Ver apartado b del problema número 1 de esta relación.
b) Es cierto que el valor de g disminuye al aumentar h (altura sobre la superficie)
( )
2
T
T
M
g G
R h
= ⋅
+
pero mide la variación de la energía potencial (m g h⋅ ⋅ PE∆ ), no el valor de la energía
potencial
T
P
T
M m
E
R h
⋅
= −
+
que disminuye con la altura en valor absoluto, pero que al ser negativo aumenta por lo tanto
la variación de la energía potencial ( PE m g h∆ = ⋅ ⋅ ) aumenta con la altura.

6. –
a) Ver problema número 3 de la relación DINÁMICA FCA 04
b) La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial M C PE E E= +
la energía potencial
P
M m
E G
r
⋅
= −
la energía cinética 21
2
CE m v= ⋅ ⋅ como la fuerza gravitatoria ejerce de fuerza centrípeta
2
2
M m m v
G
r r
⋅ ⋅
⋅ = despejando 2 M m
m v G
r
⋅
⋅ = ⋅ sustituyendo en la ecuación de la
energía cinética
1
2 2
C
M m M
E G G
r r
m⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅
⋅
2 2
M
M m M m M
E G G G
r r
m
r
⋅ ⋅ ⋅
= − ⋅ + ⋅ = − ⋅
⋅ ⋅
7. –
a) La gravedad en la superficie 0 2
T
T
M
g G
R
= ⋅ a una altura h
( )
2
T
T
M
g G
R h
= ⋅
+
dividiendo ambas ecuaciones miembro a miembro
( )
2
0
2
T
T
R hg
g R
+
= sustituyendo y
despejando h
( )
2
2
10
2
T
T
R h
R
+
= 5 T
T
R h
R
+
= ( )5 1 7.873Th R= − ⋅ = Km
P
b) La energía cinética que hay que comunicar al cuerpo ha de ser igual ala variación de la
potencial CE E= ∆ , desarrollando esta ecuación:
21 1
2
T T
T
T T T
M m M m
m v G G G M m
1
TR h R R R
⎛ ⎞ ⎛⋅ ⋅
⋅ ⋅ = − − − = ⋅ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜
+ +⎝ ⎠ ⎝ h
⎞
⎟
⎠
( )
21
2
T
T T
h
v G M
R R h
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ +
como 2
T
T
M
g G
R
= ⋅ 2
TG M g RT⋅ = ⋅ sustituyendo
( )
2 21
2
T
T T
h
v g R
R R h
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ +
2 3.045T
T
R h m
v g
R h s
⋅
= ⋅ ⋅ =
+

1. Un satélite describe una órbita circular alrededor de la Tierra. Conteste
razonadamente a las siguientes preguntas:
a) ¿Qué trabajo realiza la fuerza de atracción hacia la Tierra a lo largo de
media órbita?
b) Si la órbita fuera elíptica, ¿cuál sería el trabajo de esa fuerza a lo largo de
una órbita completa?
2. a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre un cuerpo de 1000
kg, situado en el punto medio entre la Tierra y la Luna y calcule el valor de la
fuerza resultante. La distancia desde el centro de la Tierra hasta el de la Luna
es 3,84·108
m.
b) ¿A qué distancia del centro de la Tierra se encuentra el punto, entre la Tierra
y la Luna, en el que el campo gravitatorio es nulo?
G = 6,67·10-11
N m2
kg-2
; M T = 5,98·1024
kg ; M L = 7,35·1022
kg
3. a) Considere un punto situado a una determinada altura sobre la superficie
terrestre. ¿Qué velocidad es mayor en ese punto, la orbital o la de escape?
b) A medida que aumenta la distancia de un cuerpo a la superficie de la Tierra
disminuye la fuerza con que es atraído por ella. ¿Significa eso que también
disminuye su energía potencial? Razone las respuestas.
4. La misión Cassini a Saturno-Titán comenzó en 1997 con el lanzamiento de
la nave desde Cabo Cañaveral y culminó el pasado 14 de enero de 2005, al
posarse con éxito la cápsula Huygens sobre la superficie de Titán, el mayor
satélite de Saturno, más grande que nuestra Luna e incluso más que el planeta
Mercurio.
a) Admitiendo que Titán se mueve alrededor de Saturno describiendo una
órbita circular de 1,2·109
m de radio, calcule su velocidad y periodo orbital.
b) ¿Cuál es la relación entre el peso de un objeto en la superficie de Titán y en
la superficie de la Tierra?
G = 6,67·10-11
N m2
kg-2
; MSaturno= 5,7·1026
kg ; MTitán= 1,3·1023
kg ;
RTitán= 2,6·106
m ; g = 10 m s-2
5. a) Razone cuáles son la masa y el peso en la Luna de una persona de 70
kg.
b) Calcule la altura que recorre en 3 s una partícula que se abandona, sin
velocidad inicial, en un punto próximo a la superficie de la Luna y explique las
variaciones de energía cinética, potencial y mecánica en ese desplazamiento.
G = 6,67·10-11
N m2
kg-2
; M L = 7,2 ·1022
kg ; R L = 1,7·106
m
6. Dibuje en un esquema las líneas de fuerza del campo gravitatorio creado por
una masa puntual M. Sean A y B dos puntos situados en la misma línea de
fuerza del campo, siendo B el punto más cercano a M.
a) Si una masa, m, está situada en A y se traslada a B, ¿aumenta o disminuye
su energía potencial? ¿Por qué?
b) Si una masa, m, está situada en A y se traslada a otro punto C, situado a la
misma distancia de M que A, pero en otra línea de fuerza, ¿aumenta o
disminuye la energía potencial? Razone su respuesta.

1. -
a) Ninguno. Como se desprende de la expresión del potencial gravitatorio para cuerpos
esféricos (la Tierra)
TM
V G
r
= ⋅
todos los puntos situados a la misma distancia r del centro de gravedad de la Tierra,
tienen el mismo valor de potencial. Si unimos todos esos puntos mediante una
superficie, esta será una “superficie equipotencial” que para el caso de la Tierra, toma la
forma de una esfera.
Una de las implicaciones del carácter conservativo de la fuerza gravitatoria, es que
esta no realiza trabajo alguno sobre un cuerpo que se mueva por una superficie
equipotencial (una órbita circular pertenece a una superficie equipotencial). Puesto que
el potencial es el mismo no hay variación de energía potencial y en consecuencia, el
trabajo es nulo.
b) Otra de las implicaciones de los campos conservativos es que no se produce trabajo
en trayectorias cerradas. Al ser el mismo el punto inicial que el final, no hay variación
de energía potencial y por lo tanto el trabajo es nulo.
2. –
a)
( )
2 24
11
2 22 8
2
5,98 10 1000
6,67 10 10,82
/ 2 3,84 10
2
T
GT
M m N m Kg Kg
F G
Kgd
m
−⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ =
⎛ ⎞⋅
⎜ ⎟
⎝ ⎠
N
( )
2 22
11
2 22 8
2
7,35 10 1000
6,67 10 0,13
/ 2 3,84 10
2
L
GL
M m N m Kg Kg
F G
Kgd
m
−⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ =
⎛ ⎞⋅
⎜ ⎟
⎝ ⎠
N
N10,69RES GT GLF F F= − =
b)
Para que la fuerza resultante sea nula, los módulos de la fuerza gravitatoria de la
Tierra y de la Luna han de ser igualesTier

GT GLF F=
( )
22
T LM m M
G G
x d x
m⋅ ⋅
⋅ = ⋅
−
( )
2 2
T LM d x M x⋅ − = ⋅ desarrollando obtenemos la siguiente ecuación de segundo
grado ( ) 2 2
2 0T L T TM M x M d x M d− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =
sustituyendo resolviendo24 2 33 41
5,91 10 4,59 10 8,82 10 0x x⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =
( )
233 33 24 41
24
4,59 10 4,59 10 4 5,91 10 8,82 10
2 5,91 10
x
⋅ ± ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
siendo los dos resultados
8
1 4,28 10 3,49 108
2x m y x= ⋅ = ⋅ m como x ha de ser menor que d, en
este caso el resultado que se nos pide es
8
3,49 10x m= ⋅
3. –
a) Las expresiones de ambas velocidades son: T
orb
T
G M
v
R h
⋅
=
+
2
2T T
escp orb
T T
G M G M
v
R h R h
⋅ ⋅ ⋅
= = ⋅ =
+ +
2 v⋅ la velocidad de escape es 2 veces
mayor que la orbital.
b) No, la expresión de la energía potencial es T
P
T
M m
E G
R h
⋅
= − ⋅
+
al aumentar h,
disminuye el valor numérico de la energía potencial, pero al ser esta negativa su valor
real aumenta.
a) Como la fuerza gravitatoria actúa de fuerza centrípeta cpt =F FG
2
2
Saturno Titán
Titán
M
M
Mv
⋅ = ⋅G
rr
⋅
despejando
11 2 2 26
9
6,67
5.628
1,2⋅10
Saturno Kg m
mr
⋅10−
⋅−
N m⋅ Kg⋅ 5,7 10⋅
v
⋅G M
= = =
s
para calcular su periodo, utilizamos la tercera ley de
π π⋅
( 10 )
2 2
32 3 3 9 3
11 2 2 26
44
10
Saturno
Saturno
=T K m
⋅G M Kg− −
⋅
r⋅ = r⋅ = 1,2⋅ ⋅
6,67 10⋅ N m Kg⋅ ⋅ 5,7⋅ ⋅
1,79= ⋅1012
T s2
1,= 36 106
⋅ s que suponen unos 15,5 días
b)
2,6⋅10 )
2 23
11
22 2 2
( 6
6,67⋅10 1,28Titán
Titán
Titán
M ⋅N m Kg m
g = ⋅G
s2
R Kg m
− 13 10⋅
= ⋅ =
Titán TitánP m= ⋅ g
dividiendo Titán
0,= 128Titán
Tierra Tierra
P g
P g
=
Tierra TierraP m= ⋅ g
4.

5. –
a) La masa en la Luna es igual que en la Tierra o en cualquier otro lugar, puesto que
dicha magnitud no depende del campo gravitatorio en que se encuentre, si no de la
cantidad de materia del cuerpo.
( )
2 22
11
22 2 6 2
7,2 10
6,67 10 . 1,66
1,7 10
Luna
Luna
Luna
M N m Kg m
g G 2
R Kg sm
− ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ =
⋅
2
70 1,66 116Luna Luna
m
P m g Kg
s
= ⋅ = ⋅ = N
b) v0 = 0 t = 3 s 2 2 2
2
1 1
1,66 3 7,47
2 2
Luna
m
h g t s
s
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = m
al caer libremente (no hay energía cinética inicial), la energía potencial disminuye
convirtiéndose en energía cinética, ya que al estar en un campo conservativo la energía
mecánica permanece constante
0M C PE E E= −∆∆ =
6. –
a)
A
M ⋅m
E = − ⋅GPA
r
PB
B
M ⋅m
E = − ⋅G
r
como rA > rB implica que EPA > EPB luego la energía potencial disminuye.
b) La energía potencial no varía porque el cuerpo se desplaza por una superficie
equipotencial (ver problema número 1 de esta relación).

1.- Si por alguna causa la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su
masa, razone cómo se modificarían:
a) La intensidad del campo gravitatorio en su superficie.
b) Su órbita alrededor del Sol.
2.- Un satélite orbita a 20.000 km de altura sobre la superficie terrestre.
a) Calcule su velocidad orbital.
b) Razone cómo se modificarían sus energías cinética y mecánica si su altura se
redujera a la mitad.
G = 6,67 · 10-11
N m2
kg-2
; RT = 6370 km ; MT = 6 · 1024
kg
3.- a) Un satélite artificial describe una órbita circular en torno a la Tierra. ¿Qué trabajo
realiza la fuerza con la que la Tierra atrae al satélite, durante una órbita? Justifique la
respuesta.
b) Razone por qué el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento es siempre
negativo.
4.- La masa del planeta Júpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra, su
diámetro 10 veces mayor que el terrestre y su distancia media al Sol 5 veces mayor que
la de la Tierra al Sol.
a) Razone cuál sería el peso en Júpiter de un astronauta de 75 kg.
b) Calcule el tiempo que Júpiter tarda en dar una vuelta completa alrededor del Sol,
expresado en años terrestres.
g = 10 m s-2
; radio orbital terrestre = 1,5 · 1011
m.
5.- Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) Según la ley de la gravitación la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es
directamente proporcional a la masa de éste. Sin embargo, dos cuerpos de diferente
masa que se sueltan desde la misma altura llegan al suelo simultáneamente.
b) El trabajo realizado por una fuerza conservativa en el desplazamiento de una
partícula entre dos puntos es menor si la trayectoria seguida es el segmento que une
dichos puntos.
6.- Dos masas, de 5 y 10 kg, están situadas en los puntos (0, 3) y (4, 0) m,
respectivamente.
a) Calcule el campo gravitatorio en el punto (4, 3) m y represéntelo gráficamente
b) Determine el trabajo necesario para trasladar una masa de 2 kg desde el punto (4, 3)
hasta el punto (0, 0) m. Explique si el valor del trabajo obtenido depende del camino
seguido.
G = 6,67 · 10-11
N m2
kg-2
7.- Conteste razonadamente a las siguientes preguntas:
a) Si se redujera el radio de la órbita lunar en torno a la Tierra, ¿aumentaría su
velocidad orbital?
b) ¿Dónde es mayor la velocidad de escape, en la Tierra o en la Luna?
8.- a) La Luna se encuentra a una distancia media de 384.000 km de la Tierra y su
periodo de traslación alrededor de nuestro planeta es de 27 días y 6 horas. Determine
razonadamente la masa de la Tierra.
b) Si el radio orbital de la Luna fuera 200.000 km, ¿cuál sería su período orbital?
G = 6,67 · 10-11
N m2
kg-2

1.-
a) En la Tierra real 2
T
T
M
g G
R
= ⋅
En la Tierra hipotética '
2
T
T
R
R = 22
'
'
4
T T
TT
M G M
g G
RR
⋅
= ⋅ = ' 4g g=
b) No se modificaría en absoluto porque el centro de gravedad de la “nueva” Tierra
seguiría siendo el mismo.
2.- h = 20.000 Km = 2 · 107
m
a) El satélite se mantiene en órbita porque la fuerza gravitatoria que le ejerce la Tierra
actúa como fuerza centrípeta
sustituyendocpt GF F=
2
2
T sat
sat
M mv
m G
r r
⋅
= despejando TG M
v
r
⋅
=
como nos quedaTr R h= +
11 2 2 24
6 7
6,67 10 6 10
3895,7
6,37 10 2 10
T
T
G M N m Kg Kg m
v
R h m m
− −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = =
+ ⋅ + ⋅ s
b) '
2
h
h = Llamamos 6 7
6,37 10 2 10 2,637 10Tr R h m m m= + = ⋅ + ⋅ = ⋅ 7
76 7
' ' 6,37 10 1 10 1,637 10Tr R h m m m= + = ⋅ + ⋅ = ⋅
la energía cinética para ambos casos es
1
2
T sat
c
M m
E G
r
⋅
= y
1
'
2 '
T sa
c
tM m
E G
r
⋅
=
dividiendo ambas expresiones entre sí obtenemos
'
1,61
'
c
c
E r
E r
= = es decir ' 1,61c cE E=
la energía cinética al ser positiva es 1,61 veces mayor en la nueva situación.
La energía mecánica para ambos casos es
1
2
T sat
m
M m
E G
r
⋅
= − y
1
'
2 '
T sat
m
M m
E G
r
⋅
= −
dividiendo ambas expresiones entre sí obtenemos
'
'
m
m
E r
E r
= =1,61 es decir ' =1,61E Em m
la energía mecánica es 1,61 veces mayor, en valor absoluto, en la nueva situación pero
como su signo es negativo, realmente es menor.

3.-
a) El trabajo realizado por una fuerza sobre un
cuerpo viene dado por la expresión
cosW F x F x α= ×∆ = ⋅∆ ⋅
v donde x∆ es el desplazamiento y α es el
ángulo que forma la fuerza y el desplazamiento.GF
La fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta
que, por definición, es siempre perpendicular al
desplazamiento, es decir 90ºα = , por lo tanto el
trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es
nulo (cos90º 0= ).
También se puede resolver este apartado teniendo en cuenta que el campo gravitatorio
es conservativo y en consecuencia
pW E= −∆
en una órbita el punto inicial y el final son el mismo y la variación de la energía
potencial es cero, por lo tanto el trabajo realizado en una órbita es nulo.
b) Por definición, la fuerza de rozamiento se opone al movimiento, por lo tanto su
signo será negativo al igual que el del trabajo de rozamiento
4.-
a) MJ = 300 MT si el diámetro es diez veces el de la Tierra, lo mismo ocurre con el
radio, por lo tanto RJ = 10 RT.
Plantemos la ecuación de la gravedad en Júpiter y sustituimos los valores en función
de los de la Tierra
( )
22 2
300
3 3
10
J T T
J T
J TT
M M M
g G G G g
R RR
= = = ⋅ = ⋅
si el astronauta pesa 75 Kg (fuerza) en la Tierra, en Júpiter pesará tres veces más, es
decir 225 Kg (fuerza). También podríamos calcular el peso del astronauta sabiendo que
gJ = 30 m·s-2
2
75 30 2250 225P m g Kg m s N Kgf−
= ⋅ = ⋅ ⋅ = =
b) Aplicando la tercera ley de Kepler a los dos planetas y sabiendo que rJ = 5 rT
2 3
JT KSol= ⋅ Jr 2 3
T Sol T=T K ⋅r
dividiendo ambas expresiones obtenemos
(
3
)2 3
2 3 3
5 TJ
TT T
r
=
T r
T r r
J
= =125 125 11,18 11,18J T TT = T⋅ = T⋅ = años

5.-a) Si aplicamos la ley de gravitación universal a la interacción producida entre la
Tierra y los cuerpos que están en su superficie o cercanos a ella obtenemos
2
T
G
T
M m
F G
R
u
⋅
= − ⋅
como vemos la fuerza es directamente proporcional a la masa del cuerpo.
En la caída libre lo que importa es la aceleración
2
G T
T
F M
a G u
m R
= = − ⋅ = g
y como observamos en la ecuación anterior no de pende de la masa del cuerpo, por lo
tanto, aunque dos cuerpos tengan distinta masa, si caen de la misma altura llegan al
suelo simultáneamente. Esta afirmación es verdadera.
b) El campo gravitatorio es conservativo y en consecuencia
pW E= −∆
como la variación de energía potencial solo depende de los puntos inicial y final
podemos indicar que el trabajo realizado entre dos puntos no depende del camino
seguido. Esta afirmación es falsa.
6.- m1 = 5 Kg m2 = 10 Kg
a)
Calculamos las intensidades de campo creadas por las masas m1 y m2 en el punto (4,3)
111
1 2
1
= −g G 2,08⋅10−
⋅
m N
i
Kr
⋅i = −
g
112
2 2
2
= −g G
m
7,41⋅10−
⋅ j
N
Kr
⋅ j = −
g
sumando vectorialmente obtenemos
= −2,08 11
7,41− −11 N
⋅10 ⋅ −ig
Kg
⋅10 ⋅ j

b) Calculamos el potencial gravitatorio creado por las masas m1 y m2 en los puntos
(0,0) y (4,3)
11 101 2
(0,0)
1 2
5 10
6,67 10 2,78 10
3 4
m m J
V G
r r K
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + = − ⋅ + = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ g
11 101 2
(4,3)
1 2
5 10
6,67 10 3,06 10
4 3
m m J
V G
r r K
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + = − ⋅ + = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ g
calculamos el trabajo para trasladar una carga de 2 Kg desde el punto (4,3) hasta el
punto (0,0) mediante la expresión que lo relaciona con la diferencia de potencial
( ) ( )10 10 11
(0,0) (4,3) 2 2,78 10 3,06 10 / 5,6 10W m V V Kg J Kg J− −
= − = ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ −
7.-a) La velocidad orbital de la Luna en torno a la Tierra se deduce de igualar la fuerza
centrípeta a la gravitatoria
T
orbt
G M
v
r
⋅
=
si disminuye el radio de la órbita (r) es evidente que aumenta la velocidad orbital.
b) La velocidad de escape desde la superficie de un cuerpo celeste viene dada por
varias expresiones, la que nos sirve para comparar en este caso es 2escpv g= ⋅ ⋅r
particularizamos para la Tierra y la Luna
( ) 2escp Tierra T Tv g R= ⋅ ⋅ ( ) 2escp Luna L Lv g R= ⋅ ⋅
tanto comoTg TR son mayores que yLg LR , por lo tanto >( )escp Tierrav ( )escp Lunav
8.-
a) rL = 3,84 · 108
m TL = 2354400 s
aplicamos la tercera ley de Kepler
2
2 3 4
L T L
T
T r
⋅G M
π
= ⋅K r = ⋅ 3
L
y despejamos la masa de la Tierra
2
10244
LT
L
M K
⋅G T
π
= ⋅r 63
= ⋅ g
b) rL = 2 · 108
m
( días horas)
2
34
888354 10 6L L
T
T s
⋅G M
π
= r⋅ =

1. Un satélite artificial de 500 kg orbita alrededor de la Luna a una altura de 120
km sobre su superficie y tarda 2 horas en dar una vuelta completa.
a) Calcule la masa de la Luna, razonando el procedimiento seguido.
b) Determine la diferencia de energía potencial del satélite en órbita respecto
de la que tendría en la superficie lunar.
G = 6,67 ·10-11
N m 2
kg -2
; R Luna = 1740 km
2. a) Enuncie las leyes de Kepler y razone si la velocidad de traslación de un
planeta alrededor del Sol es la misma en cualquier punto de la órbita.
b) Justifique si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: “la gravedad en la
superficie de Venus es el 90% de la gravedad en la superficie de la Tierra y, en
consecuencia, si midiésemos en Venus la constante de gravitación universal,
G, el valor obtenido sería el 90% del medido en la Tierra”.
3. a) ¿Puede ser negativa la energía cinética de una partícula? ¿Y la energía
potencial? En caso afirmativo explique el significado físico del signo.
b) ¿Se cumple siempre que el aumento de energía cinética es igual a la
disminución de energía potencial? Justifique la respuesta.
4. La masa de Marte es 9 veces menor que la de la Tierra y su diámetro es 0,5
veces el diámetro terrestre.
a) Determine la velocidad de escape en Marte y explique su significado.
b) ¿Cuál sería la altura máxima alcanzada por un proyectil lanzado
verticalmente hacia arriba, desde la superficie de Marte, con una velocidad de
720 km h-1
?
g = 10 m s -2
RT = 6370 km
5. a) Analice las características de la interacción gravitatoria entre dos masas
puntuales.
b) ¿Cómo se ve afectada la interacción gravitatoria descrita en el apartado
anterior si en las proximidades de las dos masas se coloca una tercera masa,
también puntual? Haga un esquema de las fuerzas gravitatorias que actúan
sobre la tercera masa.
6. a) Haciendo uso de consideraciones energéticas, deduzca la expresión de la
velocidad mínima que habría que imprimirle a un objeto de masa m, situado en
la superficie de un planeta de masa M y radio R, para que saliera de la
influencia del campo gravitatorio del planeta.
b) Se desea que un satélite se encuentre en una órbita geoestacionaria.
Razone con qué período de revolución y a qué altura debe hacerlo.
7. Suponga que la masa de la Tierra se duplicara.
a) Calcule razonadamente el nuevo periodo orbital de la Luna suponiendo que
su radio orbital permaneciera constante.
b) Si, además de duplicarse la masa terrestre, se duplicara su radio, ¿cuál
sería el valor de g en la superficie terrestre?
G = 6,67·10-11
N m2
kg-2
; MT = 6 ·1024
kg ; RT = 6370km ; Rorbital Luna = 3,84·108
m

1.- MSAT = 500 Kg
h = 120 Km
G = 6,67 · 10-11
2
2
N m
Kg
⋅
RL = 1740 Km
T = 2 h = 7200 s r = RL + h = 1,86 · 106
m
a) La tercera ley de Kepler aplicada a la Luna dice
2
LT K r= ⋅ 3
2
12
3
8 10L
T
K
r
−
= = ⋅
Como
2
4
L
L
K
G M
π
=
⋅
2
224
7,4 10L
L
M Kg
G K
π
= = ⋅
⋅
b) La Energía potencial del satélite en la orbita viene dada por la expresión:
9
1,33 10L SAT
P
M M
E G
r
J
⋅
= − = − ⋅
en la superficie lunar
9
1,42 10L SAT
P
L
M M
E G
R
J
⋅
= − = − ⋅
7
9 10P Pórbita PspfE E EP JΔ = − = ⋅
2.- a) Ver TEORÍA
b) La afirmación es falsa, G como su propio nombre indica, es una constante universal,
es decir su valor es el mismo para todo el universo. La gravedad de Venus es menor que
la de la Tierra por el valor de su masa y de su radio.
3.- a) La energía cinética de una partícula no puede ser negativa, no tiene sentido ya
que la ecuación de la energía cinética es
21
2
CE m v= ⋅
aunque el módulo de la velocidad puede ser negativo su cuadrado es positivo.
La energía potencial si es negativa, viene dada por la ecuación
P
M m
E G
r
⋅
= −
El signo negativo proviene de la necesidad que se cumplan las condiciones de dicha
energía y son que crece con la distancia y ha de ser cero en el infinito. Si fuera positiva
no se cumplirían dichas condiciones.
b) Si se trata de un campo conservativo y solo actúan las fuerzas del campo, si se
cumple. Si actúan fuerzas no conservativas no se cumple.

4.-
9
T
M
M
M = si el diámetro es la mitad, el radio también
6
3185 3,185 10
2
T
M
R
R km m= = = ⋅
a) Para determinar la velocidad de escape en Marte partimos de su ecuación
2 M
escape
M
G M
v
R
⋅ ⋅
= pero como no nos dan ni G ni MM, el valor de dicho
producto lo sustituimos por su equivalente despejado de la expresión de la gravedad
2
M M MG M g R⋅ = ⋅ sustituyendo la expresión de la velocidad de escape se queda
2escape M Mv g R= ⋅ ⋅
conocemos el radio de Marte, hemos de calcular g en su superficie
2
2 2 2
/9 4 4
4,44
( / 2) 9 9
M T T
M T
M T T
M M M
g G G G g m s
R R R
−
= = = = = ⋅
sustituimos en la ecuación anterior y operamos
1 1
2 5318 5,32escape M Mv g R m s km s− −
= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅
b) Al preguntarnos sobre la altura máxima alcanza por un proyectil lanzado
verticalmente hacia arriba, desde la superficie de Marte, con una velocidad de
720 km h-1
(200 m s-1
), está claro que en dicho punto su velocidad será cero, esto nos
permite establecer la siguiente ecuación para el balance de energía
( ) ( ) (C P PE inicial E inicial E final+ = ) es decir C PE E= Δ
2
0
1
2
M M
M
M m M
m v G G
r R
⎛ ⎞m⋅ ⋅
⋅ = − − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
eliminando m y sacando factor común obtenemos
2 2
0
1 1 1
2
M M M
M M
v G M g R
1 1
R r R
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⋅ − = ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠r
despejando v0
2
y deshaciendo el paréntesis
2
2
0
2
2 M
M M
M ⋅g R
v g ⋅ R
r
= − despejando r y sustituyendo
2
2
0
2
3189511
2
MM
M M
⋅g R
r m
g R⋅ −v
= = como M=r R + h
4511M m=h r R− =

Esta sería la forma correcta de resolver este apartado, aunque si considerásemos que la
velocidad con la que lanzamos el cuerpo no es lo suficientemente elevada para que la
altura que alcance el cuerpo sea relevante con respecto al radio de Marte, podríamos
plantear la variación de la energía potencial como mgh
2
0
1
2
m v m g h⋅ = ⋅ ⋅
2
0
4504
2 M
v
h m
g
= =
como vemos el error cometido es muy pequeño.
5.- a) La interacción gravitatoria entre dos cuerpos es atractiva y puede expresarse
mediante una fuerza central directamente proporcional al producto de las masas de los
cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. La
constante de proporcionalidad es la llamada constante de gravitación universal G,
vectorialmente, expresamos esta fuerza de la siguiente manera:
2
'
G r
m m
F G
r
u
⋅
= −
es la ley de gravitación universal desarrollada por Newton.
La fuerza que actúa sobre m es igual que la actúa sobre m’, pero dirigida en sentido
contrario.
b) Cuando tenemos un conjunto de varias masas la fuerza que actúa sobre una de ellas
es igual a la resultante de las fuerzas que las demás ejercen sobre ella, consideradas
individualmente.
F 2,1= +F F3,1

6.- a) Que un cuerpo salga de la influencia del campo gravitatorio del planeta significa
que llegue a una distancia infinita (EP = 0) y que su velocidad sea cero (EC = 0), por lo
tanto su energía mecánica sería cero. A la velocidad necesaria que hay que darle al
cuerpo en la superficie del planeta para que eso ocurra se le llama velocidad de escape.
Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica se mantiene constante,
en consecuencia, podemos plantear la siguiente ecuación
(superficie) (superficie) 0P CE E+ = 21
0
2
escape
M m
m v G
R
⋅
⋅ − =
despejando
2
escape
G M
v
R
⋅ ⋅
=
b) Un satélite geoestacionario se caracteriza por estar situado en todo momento sobre
el mismo punto del planeta, esto se consigue si su periodo de rotación es el mismo del
planeta sobre el que orbita (en el caso de la Tierra el periodo de rotación del satélite
sería de 24 h).
Para calcular la altura de la órbita partimos de la tercera ley de Kepler
sustituyendo k por su valor2
T k r= ⋅ 3
2
2 34
T r
G M
π
= ⋅
⋅
despejamos r
2
3
2
4
T G M
r
π
⋅ ⋅
= y como r R h= +
2
3
2
4
T G M
h R
π
⋅ ⋅
= −
7.- a) M =T' 2MT 3,84= 108
⋅ morbital Luna=r R
si llamamos v’ a la nueva velocidad orbital de la Luna podemos calcularla partiendo de
la igualación entre la fuerza centrípeta y la fuerza gravitatoria
2
2
L
L
v'
=M G
M ' ⋅T M
r r
despejando 1T'
' T
1443= ,7
⋅G M
v m
r r
−G M2⋅
= = s
calculamos el periodo en las nuevas condiciones T’
'
πr
v
T '
2
= =1671179,8s 19,34días( )
b) =' 2T TM M TT =' 2R R
llamamos g’ a la gravedad de la Tierra en la nueva situación
( R )
2
22
2'
4
' 2
TT
T T
g G= =' G
M M
R
= m −
s,9

1. Los satélites meteorológicos son un medio para obtener información sobre el
estado del tiempo atmosférico. Uno de estos satélites, de 250 kg, gira
alrededor de la Tierra a una altura de 1000 km en una órbita circular.
a) Calcule la energía mecánica del satélite.
b) Si disminuyera el radio de la órbita, ¿aumentaría la energía potencial del
satélite? Justifique la respuesta.
G = 6,67·10-11
N m2
kg-2
; RT = 6400 km ; MT = 6,0·1024
kg
2. Un satélite del sistema de posicionamiento GPS, de 1200 kg, se encuentra
en una órbita circular de radio 3 RT.
a) Calcule la variación que ha experimentado el peso del satélite respecto
del que tenía en la superficie terrestre.
b) Determine la velocidad orbital del satélite y razone si la órbita descrita es
geoestacionaria.
G = 6,67·10-11
N m2
kg-2
; MT = 6,0·1024
kg ; RT = 6400 km
3. a) Explique qué se entiende por velocidad orbital de un satélite y deduzca
razonadamente su expresión para un satélite artificial que describe una
órbita circular alrededor de la Tierra.
b) ¿Se pueden determinar las masas de la Tierra y del satélite conociendo
los datos de la órbita descrita por el satélite? Razone la respuesta.
4. a) Analice las características de la interacción gravitatoria entre dos masas
puntuales.
b) Razone por qué la energía potencial gravitatoria de un cuerpo aumenta
cuando se aleja de la Tierra.
5. Un satélite artificial de 1000 kg describe una órbita geoestacionaria con una
velocidad de 3,1·103
m s-1
.
a) Explique qué significa órbita geostacionaria y determine el radio de la
órbita indicada.
b) Determine el peso del satélite en dicha órbita.
G = 6,67·10-11
N m2
kg-2
; MT = 6,0·1024
kg ; RT = 6400 km
6. a)Explique qué se entiende por velocidad de escape de la Tierra y deduzca
razonadamente su expresión.
b) Suponiendo que la velocidad de lanzamiento de un cohete es inferior a la
de escape, explique las características del movimiento del cohete y realice
un balance de energías.

1.-a) m = 250 kg h = 106
m r = RT + h = 7,4·106
m
La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial M C PE E E= +
la energía potencial
P
Mm
E G
r
= −
la energía cinética 21
2
CE m= v como la fuerza gravitatoria ejerce de fuerza
centrípeta
2
2
Mm mv
G
r r
= despejando 2 Mm
mv G
r
= sustituyendo en la ecuación
de la energía cinética
1
2 2
C
Mm M
E G G
r r
= =
m
9
6,76 10
2 2
M
Mm Mm Mm
E G G G
r r r
= − + = − = − ⋅ J
b) la energía potencial es P
Mm
E G
r
= − , al disminuir r, el valor numérico de la energía
potencial aumenta pero como es una magnitud negativa, su valor real disminuye.
2.-a) Si dividimos entre sí las intensidades del campo gravitatorio en la órbita y en la
superficie
2
(3 )
T
o
T
M
g G
R
= 2
T
s
T
M
g G
R
=
1
9
o
s
g
g
=
calculamos la relación entre ambos pesos
1
9
o o
s s
P m g
P m g
⋅
= =
⋅
el peso del satélite es nueve veces menor en la órbita que en la superficie.
b) La fuerza centrípeta que actúa sobre el satélite en órbita estable es la fuerza
gravitacional
2
2
Tm mmv
G
r r
= despejando T
orbital
Gm
v
r
=
como r = 3 rT obtenemos
1
4565,5
3
T
orbital
T
Gm
v m
r
s−
= =
Para que la órbita sea geoestacionaria el periodo orbital del satélite ha de ser el mismo
que el periodo sidéreo de rotación terrestre (23 horas, 56 minutos). Calculamos el
periodo del satélite aplicando la tercera ley de Kepler
=2
T kr3
la k para la Tierra es
2
4
T
k
Gm
π
= y como = 3r rT nos queda
4π 2
(3 )3
26423= (7s 21mh in)T
T
T r
Gm
= La órbita no es geoestacionaria.

3.-a) La velocidad orbital de un satélite, es aquella que debe tener para que su órbita sea
estable y ha de cumplirse que la fuerza gravitatoria que le ejerce la Tierra sea la fuerza
centrípeta
2
2
Tm mmv
G
r r
= despejando T
orbital
Gm
v
r
=
siendo r el radio de la órbita medida desde el centro de la Tierra (r = rT + h)
b) Teniendo en cuenta que los datos orbitales del satélite son, su periodo (T) y el radio
de la órbita (r). Aplicando la tercera ley de Kepler
2 3
T kr=
podemos calcular el valor de la constante k y como esta viene dada por la ecuación
2
4
T
k
Gm
π
=
despejando obtenemos la masa de la Tierra. Sin embargo, no podemos conocer la masa
del satélite, pues los datos orbitales no dependen de ella.
4.-a) La interacción gravitatoria entre dos cuerpos es atractiva y puede expresarse
2
'
G r
m m
F G
r
u
⋅
= −
La fuerza que actúa sobre m es igual que la actúa sobre m’, pero dirigida en sentido
contrario.
b) la energía potencial es P G
Mm
E
r
= − , al aumentar r, el valor numérico de la energía
potencial disminuye, pero como es una magnitud negativa, su valor real aumenta.

5.-a) Un satélite geoestacionario se caracteriza por estar situado en todo momento sobre
el mismo punto del planeta, esto se consigue si su periodo de rotación es el mismo del
planeta sobre el que orbita (en el caso de la Tierra el periodo de rotación del satélite
sería de 24 h).
Para calcular la altura de la órbita partimos de la tercera ley de Kepler
2
T k r= ⋅ 3
sustituyendo k por su valor
2
2 34
T
T r
G m
π
= ⋅
⋅
despejamos r
2
3
2
42297752 (42297 )
4
TT G m
r m
π
⋅ ⋅
= = km
en este ejercicio, también podría calcularse, partiendo de la ecuación de la velocidad
orbital, ya que el enunciado nos da el valor de esta
T
orbital
Gm
v
r
= despejando 2
41644121 (41644 )TGm
r m
v
= = km
la diferencia entre ambos cálculos estriba en que la velocidad orbital está redondeada.
b) Calculamos la gravedad en la órbita geoestacionaria (r = 42297752 m)
2
2
0,22TM
g G ms
r
−
= =
como la masa del satélite es m = 1000 kg tenemos
220P mg N= =
6.-a) Es la velocidad mínima que hay que comunicarle a un cuerpo situado en la
superficie de la Tierra para que abandone de manera definitiva el campo gravitatorio de
esta.
El cuerpo que se halla en la superficie del planeta con la correspondiente energía
potencial
P
T
G Tm m
E
r
= −
es dotado de la energía cinética necesaria para que llegue a una distancia infinita
(EP = 0) donde su velocidad y por consiguiente su energía cinética, se haga cero. El
principio de conservación de la energía mecánica exige que
21
2
escp
T
G Tm m
mv
r
⎛ ⎞
⎜+ − =⎟
⎝ ⎠
0 despejando
2 T
escp
T
Gm
v
r
=
b) Es evidente que el cohete no saldrá del campo gravitatorio terrestre. Durante la
ascensión y mientras dure el combustible, la energía cinética que le provoca la
combustión se transforma en energía potencial. Cuando el combustible se agota, su
velocidad va disminuyendo hasta quedar parado (siempre que no tenga una componente
tangencial de velocidad, en cuyo caso entraría en órbita) con la máxima energía
potencial, en este momento comienza la caída hacia la superficie de la Tierra durante la
cual, la energía potencial se transforma en cinética.

1. a) Explique qué se entiende por velocidad de escape y deduzca
razonadamente su expresión.
b) Razone qué energía habría que comunicar a un objeto de masa m,
situado a una altura h sobre la superficie de la Tierra, para que se alejara
indefinidamente de ella.
2. Dos masas puntuales m1 = 5 kg y m2 = 10 kg se encuentran situadas en los
puntos (-3, 0) m y (3, 0) m, respectivamente.
a) Determine el punto en el que el campo gravitatorio es cero.
b) Compruebe que el trabajo necesario para trasladar una masa m desde
el punto A (0, 4) m al punto B (0, -4) m es nulo y explique ese resultado.
3. a) Indique las características de la interacción gravitatoria entre dos masas
puntuales.
b) Explique en qué punto, entre dos masas puntuales, puede encontrarse
en equilibrio una tercera masa puntual y cuál sería su energía potencial.
4. Un satélite de 200 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra con
un periodo de dos horas.
a) Calcule razonadamente el radio de su órbita.
b) ¿Qué trabajo tendríamos que realizar para llevar el satélite hasta una
órbita de radio doble.
G = 6,67·10-11
N m2
kg-2
; MT = 6·1024
kg
5. La masa de la Tierra es 81 veces la de la Luna y la distancia entre sus
centros es 3,84·105
km.
a) Calcule en qué punto, entre la Tierra y la Luna se encontraría en equilibrio
un meteorito de 200 kg.
b) ¿Cuál sería la energía potencial del meteorito en ese punto?
G = 6,67·10-11
N m2
kg-2
, ML = 7,35·1022
kg
6. a) Enuncie las leyes de Kepler.
b) Demuestre la tercera ley de Kepler a partir de la ley de gravitación
universal de Newton para un órbita circular.
7. a) Explique qué se entiende por velocidad orbital y deduzca su expresión
para un satélite que describe una órbita circular alrededor de la Tierra.
b) Razone cómo variaría la energía mecánica del satélite si se duplicara su
masa.
8. Dos masas puntuales m = 10 kg y m’ = 5 kg están situadas en los puntos
(0,3) m y (4,0) m, respectivamente.
a) Dibuje el campo gravitatorio producido por cada una de las masas en el
punto A (0,0) m y en el punto B (4,3) m y calcule el campo gravitatorio total
en ambos puntos.
b) Determine el trabajo necesario para desplazar una partícula de 0,5 kg
desde el punto B hasta el A. Discuta el signo de este trabajo y razone si su
valor depende de la trayectoria seguida.
G = 6,67·10-11
N m2
kg-2
9. Un satélite de 3·103
kg gira alrededor de la Tierra en una órbita circular de
5·104
km de radio.
a) Determine razonadamente su velocidad orbital.
b) Suponiendo que la velocidad del satélite se anulara repentinamente y
empezara a caer sobre la Tierra, ¿con qué velocidad llegaría a la superficie
terrestre? Considere despreciable el rozamiento del aire.
G = 6,67·10-11
N m2
kg-2
; MT = 6·1024
kg; RT = 6370 km

1.- a) Es la velocidad mínima que hay que comunicarle a un cuerpo situado en la
superficie de cualquier astro para que abandone de manera definitiva el campo
gravitatorio de este.
Suponiendo que dicho astro fuese la Tierra el cuerpo que se halla en la superficie del
planeta con la correspondiente energía potencial
T
P
T
m m
E G
r
= −
es dotado de la energía cinética necesaria para que llegue a una distancia infinita
(EP = 0) donde su velocidad y por consiguiente su energía cinética, se haga cero. El
principio de conservación de la energía mecánica exige que
21
0
2
T
escp
T
m m
mv G
r
⎛ ⎞
+ − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
despejando
2 T
escp
T
Gm
v
r
=
b) Antes de resolver este apartado, hemos de suponer dos cosas, primero, que el cuerpo
inicialmente está parado con respecto a la Tierra (Ec = 0) a una altura h de su superficie
ya que el enunciado del problema no dice que esté en orbita, segundo, que el sentido de
la frase “alejarlo indefinidamente” significa, sacarlo de la influencia de su campo
gravitatorio, es decir, ponerlo en el infinito (Ep = 0) a velocidad cero (Ec = 0). Si
llamamos E a la energía que hay que comunicarle, el principio de conservación de la
energía nos dice
( ) 0pE h E+ = 0T
T
m m
G E
r h
− + =
+
T
T
m m
E G
r h
=
+
2.- a) m1 = 5 kg en el punto (-3,0) y m2 = 10 kg en el punto (3,0)
y
x 6 − x
x
m1 1g P 2g m2
Como vemos en la figura el campo gravitatorio se anula en el punto P (más cercano a
m1 ya que esta es más pequeña), donde ambos campos se anulan al ser iguales en
módulo y de sentido contrario. Si llamamos x a la distancia entre m1 y P, la distancia
entre m2 y P será, 6− x. Planteamos la ecuación de la igualdad entre módulos
1g g= 2
1 2
2 2
(6 )
m m
G G
x x
=
−
2 2
=
5 10
x 36 12− +x x
2
+5 6x x0 18− =0 0
resolviendo y escogiendo la solución adecuada nos sale x = 2,48 m, por lo tanto el punto
P será (−0,52, 0)

b) y
A
d d
x
m1 m2
d d
Como vemos en la figura, las cuatro distancias
marcadas entre los puntos A y B y ambas
masas son iguales, aplicando Pitágoras
obtenemos:
2 2
3 4 5d m= + =
calculamos el potencial en A sumando los potenciales que crean en dicho punto las
masas m1 y m2
1 2
1 2 1 2( )A A A
m m G
V V V G G m m
d d d
= + = − − = − +
calculamos el potencial en A sumando los potenciales que crean en dicho punto las
masas m1 y m2
1 2
1 2 1 2( )B B B
m m G
V V V G G m m
d d d
= + = − − = − +
como vemos ambos potenciales son iguales y por lo tanto el trabajo para trasladar una
masa m desde A hasta B es nulo porque es nula la diferencia de potencial.
3.- a) La interacción gravitatoria entre dos cuerpos es atractiva y puede expresarse
2
'
rG G
⋅m m
F
r
u= −
La fuerza que actúa sobre m es igual que
la actúa sobre m’, pero dirigida en sentido
contrario.
b) El punto entre dos masas puntuales en que puede encontrarse en equilibrio una
tercera masa puntual es aquel en que las fuerzas gravitatorias que ejercen cada una de
las masas sobre la tercera, que se encuentra entre ellas, son iguales y de sentido
contrario con lo que se anulan entre ellas y la resultante es cero. La energía potencial de
la tercera masa en ese punto sería mínima con respecto a la que tendría en cualquier otra
posición del eje X ya que se encuentra en equilibrio.

4.- a) Para calcular el radio de la órbita aplicamos la tercera ley de Kepler teniendo en
cuenta que la constante que aparece en esta ley sólo depende de la masa del cuerpo
sobre el que se orbita, en este caso, la Tierra y que el periodo es de dos horas (7200 s)
2
T k r= ⋅ 3
2
4
T
k
GM
π
=
2
2 34
T
T r
GM
π
=
2 2 2 11 2 2 24
63 3
2 2
7200 6,67 10 6 10
8,07 10
4 4
TT GM s Nm kg kg
r m
π π
− −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = = ⋅
b) El trabajo lo calculamos como la diferencia de energía mecánica del satélite entre las
dos órbitas de radio 2r y r (r = 8,07·106
m)
(2 ) ( )
2(2 ) 2
T T
m m m
m m m m
W E E r E r G G
r r
⎛ ⎞
= Δ = − = − − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
9
2,48 19
2 4 4
T T Tm m m m m m
W G G G J
r r r
= − = = ⋅
5.- a)
Para que el meteorito se encuentre en
equilibrio, la fuerza resultante ha de ser
nula y los módulos de la fuerza
gravitatoria de la Tierra y de la Luna
han de ser iguales
GT =F FGL
( −d x
2
)
2
x
m m
⋅ =G GT Lm m⋅⋅
⋅ (d )x
2 2
T Lm ⋅ − = m ⋅ x
desarrollando obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado
(mT = 81mL = 5.95·1024
kg)
( 22
2 0LT T Tm m− ⋅ x) − ⋅m ⋅d ⋅ x + m ⋅d =
5,91 1024
⋅ ⋅ 2
4− ,59 10⋅ 33
x x⋅ 8+ ,82 10⋅ 41
0=
(4,59 10⋅ )
233 33 24 41
24
4,59⋅10
2 5,91⋅ ⋅10
x
± 4− ⋅5,91 10⋅ 8,⋅ 82 10⋅
=
siendo los dos resultados 8
1 2x 4,28= ⋅10 ym x 3,= 49 10⋅ m como8
x ha de ser menor
que d, en este caso el resultado que se nos pide es x 3,49= ⋅108
m medidos desde la
Tierra.
b) La energía potencial del meteorito en ese punto es la suma de la energía potencial del
meteorito con respecto a la Tierra y la que tiene con respecto a la Luna
p
x −d x
= −E G
m m
−G
mT Lm
= −2,55⋅108
J

6.- a) Ver teoría
b) Consideremos un planeta de masa m que orbita en torno al Sol (de masa mS) a una
distancia r, si tenemos en cuenta que la fuerza gravitacional es centrípeta
2
2
Sm m
G m
r
rω=
como ω = π2 / T , entonces
2
2 2
4Sm m
=G m
Tr
r
π
reorganizando la anterior igualdad se obtiene
2
2 34
T r
Gm
π
=
S
llamando k a los valores constantes obtenemos la tercera ley de kepler
2
2 34
S
k T
Gm
π
= = kr
7.- a) La velocidad orbital de un satélite, es aquella que debe tener para que su órbita
sea estable y ha de cumplirse que la fuerza gravitatoria que le ejerce la Tierra sea la
fuerza centrípeta
2
2
mv
= G Tm m
r r
despejando T
orbital
Gm
v
r
=
siendo r el radio de la órbita medida desde el centro de la Tierra (r = rT + h)
b) La energía mecánica del satélite en orbita viene dada por la siguiente expresión
G Tm m
E = −m
2r
si se duplicara la masa del satélite, se duplicaría la energía mecánica.

8.- a) m1 = 10 kg m2 = 5 kg
y
g1B
m1 B
g2B
gA Bg
g1A
A
g m22A
Calculamos las intensidades de campo creadas
por las masas m1 y m2 en el punto A (0,0)
111
1 2
1
7,41⋅10A
A
G
m
j
N
g ⋅ =i
r K
= − −
⋅
g
112
2 2
2
2,08⋅10A
A
G
m
i
N
g ⋅ =j
r K
= − −
⋅
g
2,08 10⋅ 11
⋅ 7,+ 41i 10⋅− −11
A
N
g
Kg
= ⋅ j
Calculamos las intensidades de campo creadas por las masas m1 y m2 en el punto B
(4,3)
111
1 2
1
4,17⋅10B
B
G
m
i
N
g
r K
= − ⋅i = − −
⋅
g
112
2 2
2
AB
B
G
m
j
N
g
r K
= − ⋅ =j −3,7⋅10−
⋅
g
4,17⋅10 11
⋅ −3,7⋅1i 0− −11
B
N
g
Kg
= − ⋅ j
b) Calculamos el potencial gravitatorio creado por las masas m1 y m2 en los puntos (0,0)
y (4,3)
11 101 2
(0,0)
1 2
3,05⋅10
3 4AA
J
V
r r K
−
6,67⋅10−⎞⎛ 10
+
5⎛ ⎞
= −G +
m m
⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ = −
⎝ ⎠⎠⎝ g
11 101 2
(4,3)
21
2,78⋅10
34BB
J
V
r r K
−
6,67⋅10−⎞⎛ 10
+
5⎛ ⎞
= −G +
m m
⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ = −
⎝ ⎠⎠⎝ g
calculamos el trabajo para trasladar una carga de 0,5 Kg desde el punto (4,3) hasta el
punto (0,0) mediante la expresión que lo relaciona con la diferencia de potencial
( )10 10 11
(0,0) (4,3)W m V= −V( ) 0,5= Kg 3⋅ ,0− 5 10⋅ 2,7+ 8 10− −
⋅ J / Kg 1,= 3− 5 10⋅ J−
el signo negativo nos indica que la energía potencial aumenta ( =W −Δ pE ), es decir,
que el trabajo se realiza contra las fuerzas del campo. Puesto que es un campo
conservativo, su valor no depende de la trayectoria seguida.

9.- a) La velocidad orbital de un satélite, es aquella que debe tener para que su órbita
sea estable y ha de cumplirse que la fuerza gravitatoria que le ejerce la Tierra sea la
fuerza centrípeta
2
2
Tm mmv
G
r r
= despejando T
orbital
Gm
v
r
=
11 2 2 24
1
7
6,67 10 6 10
2829
5 10
orb
Nm kg kg
v m
m
− −
s−⋅ ⋅ ⋅
= =
⋅
b) Si la velocidad del satélite se anulara repentinamente, en ese instante sólo tendría
energía potencial , al llegar a la superficie de la Tierra tendría energía cinética
y energía potencial , aplicando el principio de conservación de la energía
mecánica
( )pE r cE
( )p TE r
( ) ( )p c pE r E E r= + T ( ) ( )c p p TE E r E r= −
11
3,03 10T T
c
T
m m m m
E G G
r r
= − + = ⋅ J
sustituyendo la energía cinética por su expresión calculamos la velocidad
2 11
3,03 10
2
mv J= ⋅ 1
11
1
3
2 3,03 10
14212
3 10
J
v m
kg
s−⋅ ⋅
= =
⋅

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