EDO-Masa Resorte

1. Dpto. Matem´atica Aplicada. E.T.S.A.M. C´alculo. E.Pati˜no, P. Gal´an.
C´ALCULO. Hoja 15.
Sistemas masa-resorte
Consideremos un resorte de longitud l suspendido verticalmente de un soporte r´ıgido. Si
colgamos de ´el una masa m, el resorte se alargar´a una cantidad, llamada elongaci´on,
que denotamos por ∆l (v´ease Figura 1).
Figure 1: Sistema masa-resorte.
Movimiento arm´onico simple o libre no amortiguado
mx (t) + kx(t) = 0. (1)
Ejemplo 1. Si situamos una masa de 5 kg en un resorte, ´este se alarga 10 cm.
Liberamos la masa 8 cm por debajo de la posici´on de equilibrio. ¿Cu´al es la ecuaci´on del
movimiento suponiendo un movimiento arm´onico simple? (T´omese el valor aproximado
de g = 10 m/s2
).
Soluci´on: x(t) = 8 cos(10t).
Figure 2: Movimiento libre no amortiguado.
Movimiento libre amortiguado
mx (t) + cx (t) + kx(t) = 0. (2)
La ecuaci´on caracter´ıstica se escribe como
mλ2
+ cλ + k = 0 (3)
cuyas ra´ıces son
λ =
−c ±
√
c2 − 4km
2m
.
Dependiendo del signo de c2
− 4km distinguiremos tres casos:

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(a) Sistema sobreamortiguado. Si c2
−4km > 0, tendremos dos ra´ıces reales distintas,
λ1 =
−c +
√
c2 − 4km
2m
y λ2 =
−c −
√
c2 − 4km
2m
.
La soluci´on de la ecuaci´on diferencial (2) viene dada por
x(t) = c1eλ1t
+ c2eλ2t
. (4)
Ejemplo 2. Supongamos que una masa de 1 kg alarga 5 m un resorte. Determinar la
ecuaci´on del movimiento libre amortiguado si la masa se libera dos metros por debajo de
la posici´on de equilibrio con una velocidad ascendente de 3 m/s suponiendo que la fuerza
amortiguadora es 3 veces la velocidad instant´anea.
Soluci´on; x(t) = e−t
+ e−2t
.
Figure 3: Sistema sobreamortiguado.
(b) Sistema subamortiguado Si c2
− 4km < 0, tendremos como soluciones de la
ecuaci´on caracter´ıstica (3) dos ra´ıces complejas conjugadas,
λ1 =
−c + i
√
4km − c2
2m
y λ2 =
−c − i
√
4km − c2
2m
.
La soluci´on de la ecuaci´on diferencial (2) viene dada ahora por
x(t) = c1e− c
2m
t
cos
√
4km − c2
2m
t + c2e− c
2m
t
sen
√
4km − c2
2m
t
= e− c
2m
t
c1 cos
√
4km − c2
2m
t + c2 sen
√
4km − c2
2m
t .
Ejemplo 3. Determinar la ecuaci´on del movimiento de un sistema masa-resorte para el
caso m = 1 kg, c = 2 N s/m y k = 10 N/m suponiendo que la masa se libera desde la
posici´on de equilibrio con una velocidad descendente de 3 m/s.
Soluci´on: x(t) = e−t
sen(3t).
Figure 4: Sistema subamortiguado.

3. Dpto. Matem´atica Aplicada. E.T.S.A.M. C´alculo. E.Pati˜no, P. Gal´an.
(c) Sistema cr´ıticamente amortiguado. Si c2
− 4km = 0, tendremos como soluci´on
de la ecuaci´on caracter´ıstica (3) una ra´ız real doble, λ = −
c
2m
. En este caso, la soluci´on
de (2) viene dada por
x(t) = c1eλt
+ c2teλt
= eλt
(c1 + c2t) . (5)
Ejemplo 4. Una masa de 2 kg se sujeta a un resorte cuya constante es k = 2 N/m.
Supongamos que sobre el sistema est´a actuando una fuerza amortiguadora que es igual
a 4 veces la velocidad instant´anea. Determinar la ecuaci´on del movimiento si la masa se
libera 1 m por debajo de la posici´on de equilibrio con una velocidad descendente de 1
m/s.
Soluci´on: x(t) = e−2t
(1 + 2t).
Figure 5: Sistema cr´ıticamente amortiguado.
Ejemplo 5. Consideremos el mismo sistema masa-resorte del ejemplo anterior con las
condiciones iniciales dadas por x(0) = 1 y x (0) = −3.
Soluci´on: x(t) = e−t
(1 − 2t).
Figure 6: Sistema cr´ıticamente amortiguado.
Movimiento forzado amortiguado
mx (t) + cx (t) + kx(t) = F(t). (6)
Ejemplo 6. A un sistema masa-resorte amortiguado cuyos par´ametros son m = 1 kg,
c = 4 N s/m y k = 3 N/m se le aplica una fuerza externa dada por F(t) = 5 cos t.
Determinar la ecuaci´on que describe el movimiento del sistema suponiendo que x(0) = 0
y x (0) = 0.
Soluci´on: x(t) = −
5
4
e−t
+
3
4
e−3t
+
1
2
cos t + sen t.
Movimiento forzado no amortiguado
mx (t) + kx(t) = F(t). (7)
Ejemplo 7. Al sujetar una masa de 2 kilogramos a un resorte cuya constante es
k = 32 N/m, ´este queda en reposo en la posici´on de equilibrio. A partir de t = 0, se

4. Dpto. Matem´atica Aplicada. E.T.S.A.M. C´alculo. E.Pati˜no, P. Gal´an.
Figure 7: Movimiento forzado amortiguado.
aplica al sistema una fuerza externa dada por F(t) = 4 cos(2t). Encontrar la ecuaci´on del
movimiento en ausencia de amortiguaci´on.
Soluci´on: x(t) = −
1
6
cos(4t) +
1
6
cos(2t)
Figure 8: Movimiento forzado no amortiguado.
Ekjemplo 8. Consideremos el mismo sistema masa-resorte del ejemplo anterior al que
se le aplica ahora una fuerza externa dada por F(t) = 3 cos(4t).
Soluci´on: x(t) =
3
16
t sen(4t).
Como puede observarse en la Figura 9, en este caso se produce el fen´omeno de resonancia,
ya que la frecuencia de la fuerza externa coincide con la del movimiento oscilatorio libre.
Figure 9: Movimiento forzado no amortiguado. Resonancia.
Ejercicios
1. Supongamos que una masa de 2 kg alarga 5 m un resorte. Determinar la ecuaci´on
del movimiento libre amortiguado si la masa se libera 2 m por encima de su posici´on
de equilibrio sin velocidad inicial suponiendo que la fuerza amortiguadora es 4 veces la
velocidad instant´anea.
Soluci´on: x(t) = −2e−t
(cos t + sen t)
2. Consideremos una masa de 5 kg sujeta a un resorte de constante k = 20 N/m. Sobre
este sistema est´a actuando una fuerza amortiguadora de constante c = 20 N s/m. Si
la masa se suelta 2 m por debajo de su posici´on de equilibrio con una velocidad inicial
descendente de 1 m/s, determ´ınese la ecuaci´on del movimiento del sistema.
Soluci´on: x(t) = 2e−2t
+ 5te−2t

5. Dpto. Matem´atica Aplicada. E.T.S.A.M. C´alculo. E.Pati˜no, P. Gal´an.
3. Determinar la ecuaci´on del movimiento de un sistema masa-resorte formado por una
masa de 8 kg suspendida de un muelle de constante k = 32 N/m suponiendo que, en
ausencia de amortiguaci´on, act´ua una fuerza externa dada por F(t) = 16 cos(4t). La
masa se libera desde la posici´on de equilibrio con una velocidad inicial ascendente de 1
m/s.
Soluci´on: x(t) =
1
6
cos(2t) −
1
2
sen(2t) −
1
6
cos(4t)
4. A un sistema masa-resorte no amortiguado cuyos par´ametros son m = 1 kg y k =
9 N/m se le aplica una fuerza externa dada por F(t) = 6 sen(3t). Determinar la ecuaci´on
que describe el movimiento del sistema suponiendo que x(0) = 1 y x (0) = 0.
Soluci´on: x(t) = cos(3t) +
1
3
sen(3t) − t cos(3t)