5 selectividad problemas

EXAMENES DE MATEMÁTICAS
SELECTIVIDAD-UPV
(RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS)

1998/2013

EXAMENES DE MATEMÁTICAS (BLOQUE E: PROBLEMAS) SELECTIVIDAD-UPV. 1998/2013

Junio 98.
Cuestión E: Mikel sale con un montón de cromos y vuelve a casa sin ninguno. Su, madre le
pregunta qué ha hecho con los cromos a lo que Mikel responde: A cada amigo que encontré le di la
mitad de los cromos que tenía en ese momento más uno. Su madre le pregunta que con cuantos
amigos se ha encontrado a lo que Mikel contesta que con cinco. ¿cuántos cromos tenía Mikel al
salir de casa? Razona la respuesta.
Problema E. Sea A la matriz dada por
 1 1
A=

 0 2
Encontrar una ley de formación para las potencias sucesivas de A, es decir, para A n , y demostrar
dicha ley mediante un razonamiento por inducción

Septiembre 98
Cuestión E. Un comerciante desea saber la opinión de los consumidores sobre sus nuevos refrescos
de manzana y de limón. Para ello encarga un estudio a la empresa SMART, dedicada a los sondeos
de opinión. Los datos obtenidos por el estudio de SMART son
1. Al 12 % de los encuestados no les gusta ninguno de los refrescos.
2. Entre las mujeres al 91% le gusta la manzana y al 94 % el limón.
3. Al 92% de los hombres les gusta la manzana y al 90% el limón.
Tras recibir los datos, el empresario decide no pagar a SMART por el estudio. ¿Por qué? Contestar
de manera razonada.

Problema E. La gráfica que sigue corresponde a una función f.

Entre las tres gráficas restantes están representadas las de su derivada primera f ′( x ) y la de su
derivada segunda f ′′( x ) . Además hay otra gráfica sin relación con las anteriores. Sabiendo que las
gráficas están representadas en el mismo intervalo, ¿cuál de entre las tres que siguen es la grafica de

f ′( x ) ? ¿Cuál es la de f ′′( x ) ?

Razonar la respuesta.

–1–


Junio 99
Cuestión E. David, Ignacio e Ibon son tres estudiantes de segundo curso de bachillerato y
compañeros de clase que tienen una afición común: el “surfing”. Cierto día el socorriste de la playa
les informa que la fuerza de las olas medida en newtons y en función del tiempo t en horas será la
siguiente

F (t ) = 400 − 50t
Si la fuerza de las olas es menor que 50 newtons entonces no se puede practica reste deporte por
que el mar está demasiado en calma. Por otra parte, si la fuerza de las olas es superior a los 200
newtons las normas de seguridad impiden dicha práctica. Con los datos anteriores, si t va desde las
0 horas de un día hasta las 24 horas del mismo día. ¿en qué horario puede practicarse el “surfing”?

Problema E. De dos números naturales M y N se sabe que M − 1 y N − 1 son múltiplos de cuatro.
Demostrar que la diferencia de sus cuadrados M 2 − N 2 , es múltiplo de 8.
¿Ocurre necesariamente lo mismo si los dos números son pares? Razonar la contestación.

Septiembre 99
Cuestión E. Sea E la matriz
 1 0
E =

 1 3
para cada número natural n se considera la matriz E n consistente en elevar E a la n-esima potencia
Encontrar una ley de formación para E n y justificar mediante el principio de inducción que dicha
ley se cumple para todo n.

Problema E. Las gráficas que siguen corresponden. a las funciones

f ( x ) = x sin (πx ) ,

g ( x ) = x 2 sin (πx ) y h( x ) = x 2 cos(πx ) en el intervalo [− 2,2], pero no se sabe si están en ese orden o

si están desordenadas.

Relacionar de forma razonada cada gráfica con la función correspondiente.

–2–


Junio 2000
Cuestión E. Estudiar el rango de la matriz que sigue, mediante transformaciones de filas y
columnas, indicando en cada caso la transformación realizada.

b a a
M = a b a
a a b

Problema E. Un agricultor tiene una finca de forma rectangular, uno de cuyos lados limita con un
río. Si quiere vallar los tres lados restantes, ¿cuál será el coste mínimo si se sabe que cada metro de
valla vale 8 euros y la superficie de la finca es de 2000 metros cuadrados?

Julio 2000.
Cuestión E. Encontrar deforma razonada la última cifra del número N dado por
N = 355505550555 + 55505550555

Problema E. Encontrar la expresión general de las matrices de orden dos cuyo producto por la
izquierda y por la derecha con la matriz
 1 0
H =
 2 3



es el mismo

Junio 2001
Cuestión E. Se sabe que el dominio de definición de la función F ( x ) es el intervalo I = [1,9] .
Hallar, de forma razonada, los dominios de definición de las siguientes funciones

 1 − 3t 
2
G (t ) = F 
 , H (t ) = F t , J (t ) = F ( 2t − 1 )
 2 

( )

Problema E. En una reunión hay un conjunto de personas, se saludan todas entre sí excepto una de
ellas que únicamente saluda a cuatro personas.
Sabiendo que número total de saludos es igual a 109, calcular el número de personas que se
encontraban en la reunión.

–3–


Julio 2001
Cuestión E. Una persona regala a sus sobrinos los libros de su biblioteca de forma que regala a
cada sobrino 17 libros.
Además se sabe que si hubiese regalado al primer sobrino un libro, al segundo dos, al tercero tres y
así sucesivamente también habría agotado su biblioteca.
Con los datos anteriores calcular el número de sobrinos y el número total de libros.

Problema E. A ambas orillas de un río de 20 metros de ancho hay dos palmeras la una frente a la
otra. La altura de una es de 12 metros y la de la otra es de 8 metros. En la copa de cada palmera s
encuentran sendos pájaros que descubren un pez en la superficie del agua. Los pájaros se lanzan a la
vez y a la misma velocidad alcanzando al pez al mismo tiempo ¿a qué distancia de la base del
tronco de cada palmera apareció el pez?

Junio 2002
Cuestión E. En una caja hay monedas de tres tipos: de dos euros, de un euro y de cincuenta
céntimos de euro.
Se sabe que en total hay 33 monedas y el valor conjunto de todas ellas es de 40 euros.
¿Se puede determinar el número de cada tipo de monedas?
Si la respuesta es afirmativa encontrar el número de cada uno de los tipos de moneda.
Si la respuesta es negativa encontrar al menos dos conjuntos diferentes de 33 monedas de los tipos
descritos y de manera que el valor total sea de 40 euros.

Problema E Encontrar la última cifra del número

N = 7 160 + 1314

Julio 2002.
Cuestión E. Se sabe que los lados de un triángulo tienen longitud entera cuando se expresan en
centímetros, y que el perímetro del triángulo es de 8 cm.
Llamando A al área del triángulo, calcular todos los valores posible de A.

–4–


Problema E. Dos alumnos de 2º curso discuten el valor de la potencia n-esima de la matriz A dada
por
 1 3
A=

 0 2
Uno afirma que para cada n natural se verifica que

(

)

 1 3 2n − 1 

An = 


2n 
0
Y el otro dice que la verdadera fórmula para A n es

 1 3n 
An = 

0 2n 
¿Alguno de ellos está en lo cierto? Razonar la contestación.

Junio 2003
Cuestión E. Dados dos números a y b tales que a ⋅ b > 0 demostrar que
a b
+ ≥2
b a

Problema E. Se dispone de un trozo de cartón cuyo lado mide 120 cm. De sus esquinas se quitan
cuatro cuadrados iguales para hacer con el cartón restante una caja sin tapa, cuyo volumen se quiere
maximizar.
Calcular las dimensiones de la caja que verifica dichas condiciones.

Julio 2003
Cuestión E. En una bolsa hay monedas de dos tipos: de cinco céntimos y de dos céntimos de euro.
En total hay 42 monedas y su valor total es de 1.74 euros.
¿Cuántas monedas hay de cada clase?

Problema E. ¿Cuantas diagonales tiene un polígono regular de 20 lados?
¿Cuántas diagonales tiene un polígono regular de 40 lados?

–5–


Junio 2004
Cuestión E. A una velada de baile asistieron un total de 20 personas. La primera chica bailó con 7
muchachos, la segunda con 8 y así sucesivamente, hasta la última que bailó con todos los
muchachos. ¿Cuántos muchachos había en la velada?

Problema E. El beneficio obtenido por la producción y venta de x kilos de un artículo viene dado
por la función
B ( x ) = −0.01x 2 + 3.6 x − 180
a) Determinar los kilos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo.
b) Determinar los kilos que hay que producir y vender como máximo para que la empresa no tenga
pérdidas.

Julio 2004
Cuestión E. Encontrar todas las matrices cuadradas de orden dos que conmutan respecto al
producto con al matriz dada por
1 2
A=
0 1




Problema E. En una carrera de motocicletas tres salen simultáneamente. La segunda hace 15
kilómetros por hora menos que la primera y 3 kilómetros por hora más que la tercera, y llega 12
minutos después a la meta que la primera y 3 minutos antes que la tercera. Determinar
a) La distancia de la carrera.
b) La velocidad de cada motocicleta.

Junio 2005
Cuestión E. En el interior de dos cajas hay repartidas monedas de 10 céntimos, 20 céntimos y 50
céntimos de euro. En total hay 1600 monedas y su valor es de 440 euros. La primera caja contiene
únicamente monedas de 10 y 20 céntimos. La segunda caja contiene solo 500 monedas de 50
céntimos.
¿Cuantas monedas hay de cada clase?

Problema E. Demuestra que la expresión
n 3 − 3n 2 + 2n
Es múltiplo de 6 para cada número natural n.
–6–


Julio 2005
Cuestión E. Un número se dice capicúa si se lee igual al derecho que al revés. Por ejemplo 121 es
un número capicúa.
a) Calcula cuantos números capicúa de cinco cifras son capicúas.
b) ¿Cuántos de ellos son mayores que 56266?

Problema E. Dos ciclistas corren por un velódromo a velocidades constantes. Cuando corren en
sentidos opuestos se encuentran cada 10 segundos, mientras que cuando van en el mismo sentido,
un ciclista alcanza al otro cada 170 segundos
¿cuál es la velocidad de cada ciclista? Se sabe que la pista tiene una longitud de 170 metros.

Junio 2006
Cuestión E. Si la base de un triangulo aumenta el 10% y la altura disminuye el 10% ¿variara el área
del triangulo original?, en caso afirmativo señalar el porcentaje de aumento o disminución.

Problema E. Por la venta de una partida de sellos, todos del mismo valor, un señor obtuvo 5,27
euros. El precio de cada sello es inferior a veinte céntimos. ¿Cuántos sellos vendió? ¿Cuál es el
valor de cada sello?

Julio 2006
Cuestión E. Una persona dio una vuelta a un campo de forma cuadrada. Por el primer lado caminó
a 4 km/h, por el segundo lado a 5 km/h, por tercero troto a 10 km/h y por el cuarto corrió a 20 km/h.
¿cual fue la velocidad promedio de la vuelta completa?.

Problema E. Se inscribe un cuadrado en un círculo de radio 1. Calcular el área comprendida entre
la circunferencia y el cuadrado.

Junio 2007
Cuestión E. Nerea eligió 3 dígitos distintos y escribió todos los números de tres cifras que se
forman con ellos, sin repeticiones. Luego sumó todos los números que obtuvo.
Hallar la suma de Nerea, sabiendo que la suma de los dígitos originales es igual a 14.

–7–


Problema E. Dos lanchas parte simultáneamente desde el mismo lugar, una en dirección Norte a
120 kilómetros por hora y la otra en dirección este a 64 kilómetros por hora. ¿Al cabo de siete
minutos y medio que distancia separa a ambas lanchas?

Julio 2007
Cuestión E. Un coleccionista decide regalar un montón de sellos. A cada persona con la que se
encuentra le da la mitad de los sellos que llevaba más uno, y se encuentra exactamente con seis
personas. Si al final regala todos los sellos. ¿Cuántos sellos tenía el coleccionista?

Problema E. Una imprenta debe realizar un trabajo de publicidad consistente en imprimir 3000
panfletos cuadrados de 8 cm. de lado. El trabajo debe hacerse o bien con hojas de tipo A cuyas
dimensiones son 22 cm. por 34 cm. o bien con hojas de tipo B cuyas dimensiones son 21 cm. por 28
cm. Decidir el tamaño de hojas que conviene emplear para desperdiciar la menor cantidad posible
de papel.

Junio 2008
Cuestión E. Un comerciante compró plumas estilográficas, lapiceros y gomas de borrar. Cada
pluma estilográfica le costo 10 euros. Cada lapicero 1 euro. Y por cada 8 gomas de borrar paro 1
euro. Si en total pagó 100 euros y compró 100 artículos, ¿cuántos artículos de cada clase compró?

Problema E. Se sabe que la suma de 45 números naturales consecutivos es iguala 1485. Encontrar
de forma razonada dichos números.

Julio 2008
Cuestión E. Se tiene una balanza de dos paltillos y con tres tipos de pesas: A, B y C. Si se colocan
4 pesas del tipo A en un paltillo y 5 pesas del tipo B en el otro, a la balanza queda equilibrada.
Ocurre lo mismo si en un platillo se colocan 2 pesas del tipo B y una pesa del tipo A y en otro
platillo 2 pesas del tipo C. ¿Cómo se inclina la balanza si se colocan 2 pesas del tipo c y dos pesas
del tipo B en un platillo y 4 pesas del tipo A en el otro? Justifica la respuesta.

Problema E. Se sabe que la función f definida por

ax + b
f (x ) =  2
x + 3

si x < −1
si x ≥ −1

Es derivable en el punto x = −1 . Hallar razonadamente el valor de a y el de b.
–8–


Junio 2009
Cuestión E. Sea S la función que a cada número le hace corresponder la suma de sus dígitos, por

(

ejemplo S (2009) = 2 + 0 + 0 + 9 = 11 . Calcular el valor de S 10100 − 100

)

Problema E. Unos cuantos amigos toman el mismo menú y han de pagar 60 euros entre todos.
Pero, dos de ellos no llevan dinero, por lo que los otros los invitan, teniendo que aumentar su
aportación en 8 euros cada uno. ¿Cuántos amigos son? ¿Cuánto cuesta cada menú?

Julio 2009
Cuestión E. ¿Cuál es la última cifra del número 7 2009 − 2009 ? Razonar la contestación.

Problema E. Se sabe que la suma de cinco números impares consecutivos es igual a 625. Encontrar
dichos números de forma razonada.

Junio 2010
Ejercicio A 5
Las tres cifras de un número suman 18. Si a ese número se le resta el que resulta de invertir el orden
de sus cifras, se obtiene como resultado 594. Además la cifra de las decenas es la media aritmética
de las otras dos. Hallar el número.

Ejercicio B 5
Sean x e y dos números positivos cuyo producto vales 16.
¿Puede ser la suma x + y menor que 7? Razonar la contestación.

Julio 2010
Ejercicio A 5
Un cubo sólido de madera de lado 20 cm. Se pinta de rojo. Luego con una sierra se hacen cortes
paralelos a las caras, de centímetro en centímetro, hasta obtener 20 3 = 8000 cubitos de lado 1 cm
¿Cuántos de esos cubitos tendrán al menos una cara pintada de rojo?

–9–


Ejercicio B 5
De entre los primeros 100 números naturales, se consideran aquellos que no son múltiplos de 3.
Calcular de forma razonada la suma de dichos números.

Junio 2011
Ejercicio A 5
La suma de 30 múltiplos consecutivos de 7 es igual a 9 345. ¿Cuál es el primer y último número de
esta serie de múltiplos? Razonar la respuesta.

Ejercicio B 5
Ane, Berta y Carlos están jugando a un juego que consiste en lanzar dos dados al mismo tiempo.
Ane suma los resultados de los dos dados, mientras que Berta calcula la diferencia entre la mayor
puntuación y la menor y Carlos multiplica las puntuaciones.
Ane apuesta por el 6, Berta pro el 2 y Carlos por el 4.
¿Son equilibradas estas apuestas o alguno de los tres tiene ventaja? Razona la respuesta.

Julio 2011
Ejercicio A 5
Al comenzar un curso de la Facultad la relación de alumnos entre hombres y mujeres era de 7/8.
Al finalizar el primer cuatrimestre causaron baja 4 hombres y 10 mujeres y con ello la nueva
relación de hombres a mujeres es de 12/11.
Calcular el número de hombres y el de mujeres que comenzaron el curso.

Ejercicio B 5
En un torneo de baloncesto participan 14 equipos. Todos juegan contra todos a doble vuelta.
a) ¿Cuántos partidos se han jugado en total?
b) Si el número de equipos fuese N ¿cuántos partidos se jugarían?

– 10 –


Junio 2012
Ejercicio A 5
En el patio de un Instituto hay 80 escolares, alineados en 8 filas y 10 columnas. Cada escolar da la
mano a todos los escolares que están a su alrededor. Suponiendo que el saludo entre dos personas se
cuenta como un único saludo. ¿Cuántos saludos se dieron en total?

Ejercicio B 5
Comprueba que un polígono convexo de 6 lados tiene 9 diagonales.
a) ¿Cuántas diagonales tendrá un polígono convexo de n lados?
b) ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo que posee 230 diagonales?

Julio 2012
Ejercicio A 5
Se llama número capicúa al número entero positivo que expresado en notación decimal se lee de
igual forma de derecha a izquierda que de izquierda a derecha, como por ejemplo los números 232 y
8778.
Determinar cuántos números capicúas hay menores que 100.000.

Ejercicio B5
Si en la sucesión de números naturales:
1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11,12, 13,14,…
se suprimen los cuarenta primeros múltiplos de 5 queda una nueva sucesión.
Calcula la suma de los 160 primeros términos de la nueva sucesión.

Junio 2013
Ejercicio A 5
El número 50!= 1 ⋅ 2 ⋅ 3K 48 ⋅ 49 ⋅ 50
¿En cuántos ceros acaba?

Ejercicio B 5
En la sucesión de los 210 primeros números naturales:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,... , 210
se suprimen los múltiplos de 7. Calcular razonadamente la suma de los términos restantes.

– 11 –


Julio 2013
Ejercicio A 5
El número N = 3120 × 7140 es muy grande. ¿Sabrías obtener el dígito correspondiente a las unidades?
Razónalo

Ejercicio B 5
La suma de 25 múltiplos seguidos de 13 es 7150 .
¿Cuál es el primer múltiplo de 13 que aparece en dicha suma?
¿Cuál es el último múltiplo de 13 que aparece en dicha suma

– 12 –

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