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PRACTICA DIRIGIDA DE RAZONAMIENTO MATEMATICO
TEMA: Ecuaciones PROFESOR: Lic. Marco A. Vega Mucha
El arte de plantear ecuaciones
“El idioma del álgebra es la ecuación”.
“Para resolver un problema referente a números o a relaciones abstractas de cantidades,
basta traducir dicho problema, del idioma que hablamos, al idioma algebraico...” (Isaac
Newton – 1765).
Lo afirmado por Newton, encierra el logro final de lo que siempre buscaron los
matemáticos antiguos: una forma de expresar algebraicamente las incógnitas que podía
contener un problema.
Uno de los primeros pasos lo dio el celebre matemático árabe
Al–kuaritzmi, quien designa a la incógnita con el nombre de
“LA COSA” que en árabe es “XAI” y cuya letra inicial “x” se
tomo posteriormente para representar a la incógnita.
Leonardo de Pisa, mas conocido como Fibonacci (1175) es el
autentico representante del álgebra en la edad media. El hizo
un viaje de estudios al Oriente y es precisamente a su
regreso que introduce en Europa la numeración y el álgebra
indoarábigos que practicaban los “cosistas” (así llamaban en
el Oriente a los matemáticos), tales conocimientos los publico
en su libro “Liber - Abacci” en donde resolvía problemas usando métodos prácticos para
operar con soltura tanto con cantidades conocidas como con desconocidas.
Aquí va un ejemplo de cómo razonaba Fibonacci:
* Un devoto rogó Júpiter que le duplicara el número de monedas que tenia en el bolsillo y
que por ello le pagaría 8 monedas. Así se hizo. Entonces rogó a Venus que hiciera igual
milagro, volvió a ocurrir y pago 8 monedas, finalmente rogó a Mercurio que le duplicara
el numero de monedas. Así ocurrió y pago 8 monedas, pero se encontró finalmente
poseedor de nada. ¿Cuántas monedas tenia al principio?
Solución de Fibonacci:
Llamemos cosa al capital inicial: lo duplico tuvo dos cosas, pago 8 monedas y le
quedaron dos cosas menos 8 monedas, lo duplico por segunda vez y tuvo cuatro cosas
menos 16 monedas, pero como pago 8 monedas le quedaron cuatro cosas menos 24
monedas. Lo duplico por tercera vez y tuvo entonces ocho cosas menos 48 monedas;
pero como volvió a pagar 8 monedas, le quedaron ocho cosas menos 56 monedas”.
Por consiguiente: “8 cosas = 56 monedas”
de donde : “cosa = 7 monedas”
El ejemplo expuesto, contribuirá seguramente a que usted que ya conoce las técnicas
modernas, intente con más optimismo la solución de otros problemas en donde se tenga
que utilizar las ecuaciones que son las herramientas más poderosas del matemático.
Grupo de Estudio “Vega
Carreño”
Av. Lima Norte Nº 184 – Chosica – Costado del Parque Echenique
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Grupo de Estudio “VEGA CARREÑO”
Plantear una ecuación consiste en
interpretar, comprender y expresar en
una ecuación matemática el enunciado
verbal de cualquier problema.
Es decir:
Lenguaje verbal Lenguaje mate
(enunciado de traducción matico (ecua-
un problema) ciòn)
Recomendaciones para plantear una
ecuación
No existen reglas sencillas que
garanticen el éxito en la resolución de
problemas. Sin embargo es posible
establecer algunas pautas generales y
algunos principios que pueden ser útiles
en la solución de problemas:
1. Leer y comprender el problema.
2. Ubicar la incógnita y relacionarlo con
los datos del problema.
3. Plantear la ecuación y resolverla.
4. Comprobar el resultado. Ver si la
respuesta es razonable.
Para plantear correctamente una
ecuación es necesario simbolizar
correctamente el enunciado de un
problema. Veamos a continuación
algunos ejemplos de enunciados y su
respectiva representación matemática.
Enunciado Representación
matemática
Un numero
El doble de un numero
El doble de un numero,
aumentado en 5
El doble, de un numero
aumentado en 5
El triple de un numero,
disminuido en 7
El triple, de un numero
disminuido en 7
Lo que tiene Omar es igual
a lo que tiene Silvana
Omar tiene el doble que
Silvana
Carlos tiene dos veces
lo que tiene Diana
Carlos tiene dos veces mas
de lo que tiene Diana
“x” es tres veces “y”
“x” es tres veces mas
que “y”
“a” es a “b” como 3 es a
5
“m” y “n” están en la
misma razón que 2 y 7
La suma de tres
números
La suma de tres
números consecutivos
La suma de tres números
pares consecutivos
La suma de los cuadrados
de tres números
El cuadrado de la suma
de tres números
El cubo del doble de un
numero
El doble del cubo de un
numero
“A” excede a “B” en 4
“m” es excedido en 5
por “n”
Tres menos dos veces
un numero cualquiera.
Tres menos de dos veces
un numero cualquiera.
PROBLEMAS
1. ¿Cual es el numero que multiplicado
por dos es cuatro unidades menos que 3
veces 6.
a) 7 b) 8 c) 9 d) 6 e) no se puede
2. El cuadrado de la suma de dos
números consecutivos es 81. Hallar la
diferencia del triple del mayor y el doble
del menor.
a) 9 b) 8 c) 7 c) 12 e) 10
3. ¿Cuál es el numero que excede a 24
tanto como es excedido por 56?
a) 32 b) 36 c) 40 c) 42 e) 38
4. El exceso de un número sobre 20 es
igual al doble del exceso del mismo
número sobre 70. Hallar el número
disminuido en su cuarta parte.
a) 120 b) 80 c) 90 c) 110 e) 98
5. El costo del envío de un paquete
postal de “P” kg. es de s/.10 por el
primer kilogramo y de s/.3 por cada
kilogramo adicional. Entonces el costo
total de envío de dicho paquete es:
a) 10 + 3p b) 10 – 3p c) 10 + 3(p + 1)
d) 10 + 3(p-1) e) 10 - 3(p - 1)
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
6. En un corral se cuentan 88 patas y 30
cabezas. Si lo único que hay son gallinas
y conejos, ¿cuál es la diferencia entre el
número de gallinas y el de conejos?
a) 2 b) 8 c) 7 c) 0 e) 1
7. En un examen un alumno gana dos
puntos por cada respuesta correcta, pero
pierde un punto por cada equivocación.
Después de haber contestado 40
preguntas obtiene 56 puntos. ¿Cuántas
correctas contesto?
a) 32 b) 28 c) 36 c) 24 e) 38
8. A cierto número par, se le suma el par
de números pares que le preceden y los
dos números impares que le siguen
obteniéndose 968 unidades en total. El
producto de los dígitos del número par
en referencia es:
a) 162 b) 63 c) 120 c) 150 e) 36
9. En una reunión se cuentan tantos
caballeros como 3 veces el número de
damas. Después que se retiran 8 parejas
el número de caballeros que aun quedan
es igual a 5 veces el número de damas.
¿Cuántos caballeros había inicialmente?
a) 16 b) 32 c) 72 c) 64 e) 48
10. En una clase de Álgebra de “m”
alumnos; “n duermen, “p” cuentan
chistes y el resto escucha clases. ¿Cuál
es el exceso de los que duermen y
cuentan chistes sobre los que atienden?
a) n + 2p – m b) 2n+ 2p + m
c) 2n+ 2p - m d) n + p + m e) ninguna
11. Yo tengo el triple de la mitad de lo
que tu tienes, mas 10 soles; pero si
tuvieras el doble de lo que tienes,
tendrías 5 soles mas de lo que tengo.
¿Cuánto tengo?
a) 52 soles b) 53 soles c) 54 soles
c) 55 soles e) 56 soles
12. Ciento cuarenta y cuatro manzanas
cuestan tantos soles como manzanas
dan por s/.169. ¿Cuánto vale dos
docenas de manzanas?
a) s/.26 b) s/.25 c) s/.13
c) s/.15 e) s/.12
Grupo de Estudio “VEGA CARREÑO”
13. Un niño sube por los escalones de
una escalera de 2 en 2 y las baja de 3 en
3, dando en cada caso un número exacto
de pasos. Si en la bajada dio 10 pasos
menos que en la subida. ¿Cuántos
escalones tiene la escalera?
a) 45 b) 50 c) 55 c) 60 e) 65
14. En una reunión hay “m” mujeres
mas que hombres y cuando llegan “n”
parejas resulta que el numero de
hombres constituyen los 3/8 de la
reunión. ¿Cuántos hombres había
inicialmente?
a)
2
23 nm +
b)
3
nm +
c)
3
nm −
d)
2
nm +
e)
2
23 nm −
15. Un anciano deja una herencia de
“2mn” soles a un cierto número de
parientes. Sin embargo “m” de estos
renuncia a su parte y entonces cada uno
de los restantes se beneficia en “n” soles
mas. ¿Cuántos son los parientes?
a) m + n b) m2
+ m- n c) m2
+ n
d) 2m e) m2
+ mn + n
16. Por cada televisor que se vende se
gana “m” soles. Si se ha ganado “n”
soles y aun sobran “a” televisores;
¿cuántos televisores se tenia al inicio?
a)
a
amn +
b)
n
anm +
c)
ma
nam +
d)
n
mna +
e)
m
man +
17. Si los alumnos se sientan de tres en
tres en la carpetas habrían dos carpetas
vacías pero si se sientan de dos en dos
se quedarían de pie 6 de ellos. ¿Cuántas
carpetas quedarían vacías si se sentaran
3 alumnos en la primera carpeta, 2 en la
segunda, 3 en la tercera, 2 en la cuarta
y así sucesivamente?
a) 2 b) 3 c) 4 c) ninguna e) 1
18. Si un litro de leche pura pesa 1032
gramos. Calcule la cantidad de agua que
contiene 11 litros de leche adulterada,
los cuales pesan 11,28 kg.
a) 3 l b) 4 l c) 3,26 l c) 2,25 l e) 2 l
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
19. Un caballo y un mulo caminaban
juntos llevando sobre sus lomos pesados
sacos. Lamentábase el jamelgo de su
enojosa carga a lo que el mulo le dijo:
"¡de que te quejas!, si yo te tomara un
saco mi carga seria el doble de la tuya.
En cambio si yo te doy un saco, tu carga
se igualaría a la mía”. ¿Cuántos sacos
llevaba el caballo y cuantos el mulo?
a) c = 6 ; M = 8 b) c = 3 ; M = 6
c) c = 5 ; M = 6 d) c = 7 ; M = 5
e) c = 7 ; M = 9
Grupo de Estudio “VEGA
CARREÑO”
20. Un microbús parte de la plaza Grau
con dirección al Callao y llega al
paradero final con 43 pasajeros.
Sabiendo que cada pasaje cuesta 2
soles, y que ha recaudado en total 120
soles, y en cada paradero bajaba un
pasajero pero subían tres. ¿Cuántos
pasajeros partieron del paradero inicial?
a) 6 b) 8 c) 9 c) 11 e) 15
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Ecuaciones1

  • 1. PRACTICA DIRIGIDA DE RAZONAMIENTO MATEMATICO TEMA: Ecuaciones PROFESOR: Lic. Marco A. Vega Mucha El arte de plantear ecuaciones “El idioma del álgebra es la ecuación”. “Para resolver un problema referente a números o a relaciones abstractas de cantidades, basta traducir dicho problema, del idioma que hablamos, al idioma algebraico...” (Isaac Newton – 1765). Lo afirmado por Newton, encierra el logro final de lo que siempre buscaron los matemáticos antiguos: una forma de expresar algebraicamente las incógnitas que podía contener un problema. Uno de los primeros pasos lo dio el celebre matemático árabe Al–kuaritzmi, quien designa a la incógnita con el nombre de “LA COSA” que en árabe es “XAI” y cuya letra inicial “x” se tomo posteriormente para representar a la incógnita. Leonardo de Pisa, mas conocido como Fibonacci (1175) es el autentico representante del álgebra en la edad media. El hizo un viaje de estudios al Oriente y es precisamente a su regreso que introduce en Europa la numeración y el álgebra indoarábigos que practicaban los “cosistas” (así llamaban en el Oriente a los matemáticos), tales conocimientos los publico en su libro “Liber - Abacci” en donde resolvía problemas usando métodos prácticos para operar con soltura tanto con cantidades conocidas como con desconocidas. Aquí va un ejemplo de cómo razonaba Fibonacci: * Un devoto rogó Júpiter que le duplicara el número de monedas que tenia en el bolsillo y que por ello le pagaría 8 monedas. Así se hizo. Entonces rogó a Venus que hiciera igual milagro, volvió a ocurrir y pago 8 monedas, finalmente rogó a Mercurio que le duplicara el numero de monedas. Así ocurrió y pago 8 monedas, pero se encontró finalmente poseedor de nada. ¿Cuántas monedas tenia al principio? Solución de Fibonacci: Llamemos cosa al capital inicial: lo duplico tuvo dos cosas, pago 8 monedas y le quedaron dos cosas menos 8 monedas, lo duplico por segunda vez y tuvo cuatro cosas menos 16 monedas, pero como pago 8 monedas le quedaron cuatro cosas menos 24 monedas. Lo duplico por tercera vez y tuvo entonces ocho cosas menos 48 monedas; pero como volvió a pagar 8 monedas, le quedaron ocho cosas menos 56 monedas”. Por consiguiente: “8 cosas = 56 monedas” de donde : “cosa = 7 monedas” El ejemplo expuesto, contribuirá seguramente a que usted que ya conoce las técnicas modernas, intente con más optimismo la solución de otros problemas en donde se tenga que utilizar las ecuaciones que son las herramientas más poderosas del matemático. Grupo de Estudio “Vega Carreño” Av. Lima Norte Nº 184 – Chosica – Costado del Parque Echenique
  • 2. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Grupo de Estudio “VEGA CARREÑO” Plantear una ecuación consiste en interpretar, comprender y expresar en una ecuación matemática el enunciado verbal de cualquier problema. Es decir: Lenguaje verbal Lenguaje mate (enunciado de traducción matico (ecua- un problema) ciòn) Recomendaciones para plantear una ecuación No existen reglas sencillas que garanticen el éxito en la resolución de problemas. Sin embargo es posible establecer algunas pautas generales y algunos principios que pueden ser útiles en la solución de problemas: 1. Leer y comprender el problema. 2. Ubicar la incógnita y relacionarlo con los datos del problema. 3. Plantear la ecuación y resolverla. 4. Comprobar el resultado. Ver si la respuesta es razonable. Para plantear correctamente una ecuación es necesario simbolizar correctamente el enunciado de un problema. Veamos a continuación algunos ejemplos de enunciados y su respectiva representación matemática. Enunciado Representación matemática Un numero El doble de un numero El doble de un numero, aumentado en 5 El doble, de un numero aumentado en 5 El triple de un numero, disminuido en 7 El triple, de un numero disminuido en 7 Lo que tiene Omar es igual a lo que tiene Silvana Omar tiene el doble que Silvana Carlos tiene dos veces lo que tiene Diana Carlos tiene dos veces mas de lo que tiene Diana “x” es tres veces “y” “x” es tres veces mas que “y” “a” es a “b” como 3 es a 5 “m” y “n” están en la misma razón que 2 y 7 La suma de tres números La suma de tres números consecutivos La suma de tres números pares consecutivos La suma de los cuadrados de tres números El cuadrado de la suma de tres números El cubo del doble de un numero El doble del cubo de un numero “A” excede a “B” en 4 “m” es excedido en 5 por “n” Tres menos dos veces un numero cualquiera. Tres menos de dos veces un numero cualquiera. PROBLEMAS 1. ¿Cual es el numero que multiplicado por dos es cuatro unidades menos que 3 veces 6. a) 7 b) 8 c) 9 d) 6 e) no se puede 2. El cuadrado de la suma de dos números consecutivos es 81. Hallar la diferencia del triple del mayor y el doble del menor. a) 9 b) 8 c) 7 c) 12 e) 10 3. ¿Cuál es el numero que excede a 24 tanto como es excedido por 56? a) 32 b) 36 c) 40 c) 42 e) 38 4. El exceso de un número sobre 20 es igual al doble del exceso del mismo número sobre 70. Hallar el número disminuido en su cuarta parte. a) 120 b) 80 c) 90 c) 110 e) 98 5. El costo del envío de un paquete postal de “P” kg. es de s/.10 por el primer kilogramo y de s/.3 por cada kilogramo adicional. Entonces el costo total de envío de dicho paquete es: a) 10 + 3p b) 10 – 3p c) 10 + 3(p + 1) d) 10 + 3(p-1) e) 10 - 3(p - 1)
  • 3. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 6. En un corral se cuentan 88 patas y 30 cabezas. Si lo único que hay son gallinas y conejos, ¿cuál es la diferencia entre el número de gallinas y el de conejos? a) 2 b) 8 c) 7 c) 0 e) 1 7. En un examen un alumno gana dos puntos por cada respuesta correcta, pero pierde un punto por cada equivocación. Después de haber contestado 40 preguntas obtiene 56 puntos. ¿Cuántas correctas contesto? a) 32 b) 28 c) 36 c) 24 e) 38 8. A cierto número par, se le suma el par de números pares que le preceden y los dos números impares que le siguen obteniéndose 968 unidades en total. El producto de los dígitos del número par en referencia es: a) 162 b) 63 c) 120 c) 150 e) 36 9. En una reunión se cuentan tantos caballeros como 3 veces el número de damas. Después que se retiran 8 parejas el número de caballeros que aun quedan es igual a 5 veces el número de damas. ¿Cuántos caballeros había inicialmente? a) 16 b) 32 c) 72 c) 64 e) 48 10. En una clase de Álgebra de “m” alumnos; “n duermen, “p” cuentan chistes y el resto escucha clases. ¿Cuál es el exceso de los que duermen y cuentan chistes sobre los que atienden? a) n + 2p – m b) 2n+ 2p + m c) 2n+ 2p - m d) n + p + m e) ninguna 11. Yo tengo el triple de la mitad de lo que tu tienes, mas 10 soles; pero si tuvieras el doble de lo que tienes, tendrías 5 soles mas de lo que tengo. ¿Cuánto tengo? a) 52 soles b) 53 soles c) 54 soles c) 55 soles e) 56 soles 12. Ciento cuarenta y cuatro manzanas cuestan tantos soles como manzanas dan por s/.169. ¿Cuánto vale dos docenas de manzanas? a) s/.26 b) s/.25 c) s/.13 c) s/.15 e) s/.12 Grupo de Estudio “VEGA CARREÑO” 13. Un niño sube por los escalones de una escalera de 2 en 2 y las baja de 3 en 3, dando en cada caso un número exacto de pasos. Si en la bajada dio 10 pasos menos que en la subida. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? a) 45 b) 50 c) 55 c) 60 e) 65 14. En una reunión hay “m” mujeres mas que hombres y cuando llegan “n” parejas resulta que el numero de hombres constituyen los 3/8 de la reunión. ¿Cuántos hombres había inicialmente? a) 2 23 nm + b) 3 nm + c) 3 nm − d) 2 nm + e) 2 23 nm − 15. Un anciano deja una herencia de “2mn” soles a un cierto número de parientes. Sin embargo “m” de estos renuncia a su parte y entonces cada uno de los restantes se beneficia en “n” soles mas. ¿Cuántos son los parientes? a) m + n b) m2 + m- n c) m2 + n d) 2m e) m2 + mn + n 16. Por cada televisor que se vende se gana “m” soles. Si se ha ganado “n” soles y aun sobran “a” televisores; ¿cuántos televisores se tenia al inicio? a) a amn + b) n anm + c) ma nam + d) n mna + e) m man + 17. Si los alumnos se sientan de tres en tres en la carpetas habrían dos carpetas vacías pero si se sientan de dos en dos se quedarían de pie 6 de ellos. ¿Cuántas carpetas quedarían vacías si se sentaran 3 alumnos en la primera carpeta, 2 en la segunda, 3 en la tercera, 2 en la cuarta y así sucesivamente? a) 2 b) 3 c) 4 c) ninguna e) 1 18. Si un litro de leche pura pesa 1032 gramos. Calcule la cantidad de agua que contiene 11 litros de leche adulterada, los cuales pesan 11,28 kg.
  • 4. a) 3 l b) 4 l c) 3,26 l c) 2,25 l e) 2 l RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 19. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga a lo que el mulo le dijo: "¡de que te quejas!, si yo te tomara un saco mi carga seria el doble de la tuya. En cambio si yo te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía”. ¿Cuántos sacos llevaba el caballo y cuantos el mulo? a) c = 6 ; M = 8 b) c = 3 ; M = 6 c) c = 5 ; M = 6 d) c = 7 ; M = 5 e) c = 7 ; M = 9 Grupo de Estudio “VEGA CARREÑO” 20. Un microbús parte de la plaza Grau con dirección al Callao y llega al paradero final con 43 pasajeros. Sabiendo que cada pasaje cuesta 2 soles, y que ha recaudado en total 120 soles, y en cada paradero bajaba un pasajero pero subían tres. ¿Cuántos pasajeros partieron del paradero inicial? a) 6 b) 8 c) 9 c) 11 e) 15 RM - 01/MAVM