Problemas Olimpiada Matemática Pais Vasco- FASE FINAL (2º ESO- alumnos 13-14 años)final_eduardo_chiilida

OLIMPIADA MATEMÁTICA de
EUSKADI
(Dirigida al alumnado de 2º de E.S.O.)
"EDUARDO CHILLIDA"
PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA FASE
FINAL(con soluciones) Olimpiadas: 1 a 13
Autores: Ana Fdez de Betoño, Santiago Fernández,
Alberto Bagazgoitia, José Manuel López Irastorza,,
Fernando Fouz

PROBLEMAS PROPUESTOS
EN LA FASE FINAL
Olimpiadas: 1 a 13

1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI 2002-03
2º E.S.O.
FASE FINAL
1.- Tenemos una bolsa con 90 caramelos de los siguientes sabores: limón, menta,
naranja y fresa. Hay el doble de caramelos de limón que de fresa, hay un 20% más de
caramelos naranja que de fresa y hay un 10% menos de caramelos de menta que de
limón.
Si vas sacando caramelos sin mirar,
a) ¿Cuál es el número mínimo de caramelos que tendrás que sacar para asegurarte
que tienes por lo menos dos caramelos del mismo sabor?
b) ¿Cuál es el mínimo número de caramelos que tienes que sacar para asegurarte de
que tienes por lo menos dos sabores diferentes?
c) A Elena le gustan sólo los caramelos de fresa o de limón y a Fernando los de
naranja o menta. Al sacar un caramelo al azar ¿quién tiene mayor probabilidad
de que sea de su gusto? ¿Cuánto vale esa probabilidad?
2.- Tres amigos A, B, y C eligen los 5 primeros partidos de la quiniela para hacer sus
pronósticos. Éstas son sus papeletas:
A 1 X 2 B 1 X 2 C 1 X 2
1ºPar * 1ºPar * 1ºPar *
Finalizados los partidos, A y B obtuvieron 3 aciertos y C dos.
¿Cuáles fueron los resultados de los partidos? Razónalo
3.- Diez personas P1, P2, P3 , ... P10 , están sentadas en círculo y jugando a pasarse la
pelota de una a otra.
La primera P1 pasa la pelota a P4 , ésta a P7 y así sucesivamente
saltando de tres en tres.
¿Al cabo de cuántos pasos volverá la pelota a P1? ¿Cuántas
vueltas al círculo habrá dado la pelota?
¿Y si P1 pasa la pelota a P5, ésta a P9 y así sucesivamente?
Responde a las mismas preguntas si hubiese 30 personas y los
pases fuesen de 8 en 8.
¿Puedes generalizar?: Si hay N personas y los pases se hacen de r en r, después de
cuántos pases volverá la pelota a la primera persona? ¿cuántas vueltas al círculo habrá
dado la pelota?

4º.- Calcular el área limitada por los arcos BGC y AFD y los segmentos AB y
CD, siendo los tres triángulos ABE, BCE Y ECD equiláteros.(AE=1)

2º E.S.O.
FASE FINAL ( 15–V–04)
1.- El número 1234......979899100, ¿cuántas cifras tiene? ¿es múltiplo de 3, de 5, de 6
de 8, de 9? ¿Cuál es el dígito que ocupa el lugar 100?
2.- Si AB = 10 cms. y CD = 1/5 AB calcula la relación entre el área de la figura rayada
y la punteada. (Todos los arcos son semicircunferencias)
3.-. Las tres atletas Amaia, María y Nerea corrieron 20 carreras y anotaron cada vez
quién llegó primera, quién segunda y quién tercera. Nunca hubo puestos empatados.
Amaia llegó antes que María 12 veces, María llegó antes que Nerea en 11 carreras y
Nerea llegó antes que Amaia en 14 ocasiones. Se sabe además que ocurrieron todos los
ordenamientos posibles de las tres atletas. ¿Cuántas carreras ganó cada una de las
atletas? Explica el razonamiento.

4.- a) Colocamos 15 discos según el
diagrama de la figura.
Sabiendo que el perímetro de cada disco
es de 6 cms, ¿qué longitud tiene el
perímetro exterior de esta figura?
Responde a la misma pregunta si la base
de la figura estuviese formada por 6
discos.
¿Y si la base estuviese formada por “n”
discos?
b) Se tiene una ficha en el círculo superior Z que desplazaremos hacia abajo, al círculo
de la derecha o al de la izquierda , según la regla siguiente:
Z
Se lanza una moneda al aire: si sale CARA (C) movemos la
ficha al círculo inferior de la derecha y si sale CRUZ (X) al
de la izquierda.
Se repiten las tiradas hasta llegar a la fila inferior. (En el
gráfico tienes el camino que corresponde a la sucesión
CXCCX)
Tu amigo te propone el siguiente juego: Si la ficha llega a las
casillas C o D gana él, en caso contrario ganas tú.
¿Aceptarías el juego? ¿Quién tiene más posibilidades de
ganar? Justifícalo.
A B C D E F

OLIMPIADA: EDUARDO CHILLIDA
2º E.S.O.
FASE FINAL (14-04-2005)
1.- EL ROSETÓN
La vidriera de la fachada principal de una iglesia
contiene un rosetón como el de la figura.
Sabiendo que el radio de la circunferencia
pequeña es de 20 cms ¿qué se ha utilizado más
cristal azul o verde?
2.- LA OBRA DE ARTE
Ion ha decidido crear una obra de arte matemática. Para ello divide un lienzo de 1 m2
en 9 cuadrados iguales y pinta el cuadrado central de rojo.
Lugo divide cada uno de los 8 cuadrados restantes en otros nueve cuadrados iguales y
pinta el cuadrado central de azul.
Vuelve a dividir cada uno de los cuadrados restantes en otros 9 cuadraditos y pinta el
cuadradito central de amarillo. Continúa este proceso usando un color diferente para
cada nuevo conjunto de cuadrados centrales hasta que más de la mitad de la superficie
total del lienzo ha sido pintada con pintura.
¿Cuántos colores diferentes ha usado Ion y cuántos cuadrados centrales ha pintado?

3. LA ESCALERA NUMÉRICA
Se disponen los números pares de la siguiente manera:
...
20 ... 4º Pel
12 18 ... 3º Pel
6 10 16 ... 2º Pel
2 4 8 14 ... 1º Pel
1ºEsc 2ºEsc 3ºEsc 4º Esc
Como puedes ver forman una escalera numérica. En el primer escalón hay únicamente
un número, el 2, en el segundo escalón dos números, el 4 y el 6, etc. Si seguimos
construyendo escalones.
a) ¿Qué número estará en el peldaño superior del vigésimo(20º) escalón?
b) ¿ En qué escalón está el número 2006? ¿ sabrías exactamente en qué peldaño?
4.- LA COMPETICIÓN DE ATLETISMO
Eduardo, Mikel e Iñigo organizaron varias carreras de atletismo entre ellos, de manera
que se dan un número determinado de puntos por llegar el primero (p), segundo (s) o
tercero (t), siendo p>s>t>0. Al final de las carreras Eduardo tenía 20 puntos, Mikel 9 e
Iñigo 10. La primera prueba la ganó Iñigo.
a) ¿Cuántas carreras se disputaron?
b) Determina los puntos que le correspondían al primero, al segundo y al tercer
clasificado.

OLIMPIADA EDUARDO CHILLIDA
2º E.S.O.
FASE FINAL
1.- PROBLEMAS REDONDOS:
a) Un grupo de alumnos ha salido de excursión y se
han sentado en corro para comer el bocadillo. Dos
profesoras, Arantxa y Marta, empiezan a contar el
número de alumnos. Lo hacen en el mismo
sentido, pero como no han comenzado en el
mismo alumno resulta que el 7º alumno de
Arantxa es el 13º de Marta y el 3º de Marta es el
32º de Arantxa. ¿Cuántos alumnos hay?
a) En otro grupo, que también está sentado en corro, vemos que 7 chicas tienen
otra chica a su derecha, (inmediatamente a su derecha) y que 12 chicas tienen un
chico a su derecha. Además los ¾ de los chicos tienen una chica a su derecha.
¿Cuántos chicos y chicas hay en total?
2.- EL PRECIO DEL MÓVIL
Un distribuidor de teléfonos móviles había comprado 36 teléfonos iguales para
su venta. Sabía que cada uno le había costado menos de 100 €, pero al revisar la factura
observó que sólo se veían las dos cifras centrales del total: *49* €.
Ayúdale a obtener el precio de cada móvil.
3.- CORTANDO EL CUBO
Uniendo los puntos medios de las aristas de un cubo, como se ve en la figura, se
obtienen pirámides triangulares. Si cortamos esas pirámides triangulares, ¿cuántos
caras, aristas y vértices tiene el sólido que queda? Razónalo.

4.- ¿CUÁNTOS PALILLOS?
a) Se construye un primer cubo con palillos y luego se va formando una hilera de
cubos como ves en la figura:
n = 1 n = 2 n = 3
a1) ¿Cuántos palillos se han usado para construir cada una de las figuras?
a2) ¿Cuántos palillos habrá que usar para construir la hilera de 10 cubos?
a3) Si tenemos 500 palillos, ¿de cuántos cubos será la hilera más larga que se puede
formar? ¿Cuántos palillos sobrarán?
b) Construimos ahora una hilera de cubos como la anterior pero con dos cubos de
anchura.
n = 1 n = 2 n = 3
¿ Cuántos palillos se necesitarán ahora para construir una hilera de longitud n?

2º curso E.S.O.
FASE FINAL (12-5-2007)
1.- EL TREN
El tren que va de Vitoria a San Sebastián tiene el doble de plazas de segunda
clase que de primera. Hoy el 25% de las plazas de segunda están vacías y también el
40% de las de primera. Además en primera uno de cada seis pasajeros es mujer,
mientras que en segunda lo es una de cada tres.
a) Cuál es el porcentaje de plazas vacías en total?
b) Del total de mujeres, ¿qué porcentaje va en primera y qué porcentaje en
segunda?
c) Del total de hombres, ¿qué porcentaje va en primera y qué porcentaje en
segunda?
2.- EL ROBOT
Un edificio en forma de prisma, como se muestra en la figura, es un laboratorio
biológico que dispone de un robot que se
mueve por su fachada y cuya misión es
taponar determinados puntos, por donde
sale el aire de los laboratorios, cuando se
detectan fugas peligrosas. En un
momento determinado suena la alarma .
Calcula la distancia mínima que debe
recorrer el robot en cada uno de los
siguientes casos:
a) El robot están en el vértice P y la
fuga se produce en el punto A (a 15 metros del suelo y en mitad de la fachada).
b) El robot está en el vértice P y la fuga se produce en el vértice opuesto Q
c) La fuga se produce en el punto A y el robot está en B ( a 5 metros del suelo y en
mitad de la fachada opuesta)

3.- SALIDA DELTRABAJO
Juan va en coche a buscar a su novia Ana a la salida del trabajo. Todos los días
llega puntual a las 7 de la tarde. Hoy Ana ha terminado el trabajo un poco antes y va
andando por el camino que suele recorrer su novio. Al cabo de 20 minutos se
encuentran, Juan la recoge y llegan a su destino 6 minutos antes de lo habitual. ¿A qué
hora salió Ana del trabajo? (La velocidad del coche y de Ana se supone constante)
4. TORRE DE CUBOS
Un artista ha construido con 14 cubos iguales
de 1 dm. de lado esta torre de tres pisos. Quiere pintar
toda la superficie exterior, ¿cuántos dm2
debe pintar?
¿Y si la torre tuviese 5 pisos?
¿Y si tuviese n pisos?. Obtén una fórmula en función
del nº de pisos.

2º curso E.S.O.
1.- EMBALDOSADO BICOLOR
L = 5 L = 7 L = 9
i) ¿Cuántas baldosas blancas se necesitarán para pasar del cuadrado de lado 9 al de
lado 11?
ii) ¿ Cuántas se necesitarán para pasar del cuadrado de lado 21 al de 23? ¿De qué
color tendrán que ser?
iii) En general, para pasar del cuadrado de lado L al de L+2, ¿cuántas baldosas se
necesitarán? ¿De qué color serán?
Explica cómo lo haces.
2.- FIGURA GEOMÉTRICA
Si el lado del hexágono es de 10 cm. ¿Cuánto mide la
superficie no sombreada interior a la circunferencia
mayor ?.

3.- NÚMEROS TRILLIZOS
Si elegimos un número natural al azar, es difícil que sea a la vez divisible por 13 y por
37. Sin embargo, comprueba que si a partir del número 35 construimos el número de 6
cifras que se obtiene repitiéndolo tres veces, en este caso el 353535, resulta que sí es
divisible por 37 y por 13.
¿Ocurrirá siempre lo mismo partiendo de cualquier otro número de dos cifras?
Explica la respuesta.
4.- EL CONCURSO
i) En un concurso televisivo se va a repartir un premio entre 10 personas siguiendo el
siguiente procedimiento: Los participantes se colocan en fila y
a) se eliminarán todos los que estén en lugares impares: 1,3,5,...
b) entre los que queden, se volverán a eliminar los que ocupen lugares impares y
así sucesivamente, hasta que quede sólo uno, que será el ganador.
Si te ofrecen la posibilidad de elegir el lugar en el que colocarte, ¿cuál elegirías?
Justifica tu respuesta.
ii) Y si fuesen 35 participantes, ¿en qué lugar te colocarías? ¿Y si fuesen 100?
¿Puedes dar un resultado general para cualquier número de participantes? ¿Al cabo de
cuántas rondas se decidirá el ganador?

2º curso E.S.O.
FASE FINAL (9-V-09)
1.- RELLENANDO EL HUECO
Un cuadrado se cubre mediante cuatro rectángulos y un
cuadrado cuyos lados son enteros mayores que 1, como lo
muestra la figura. Las áreas de dos de los rectángulos están
escritas sobre ellos.
¿Cuál es el área del cuadrado pequeño?
2.- EN CLASE DE MATEMÁTICAS
El profesor de matemáticas realizó tres pruebas para calificar a sus alumnos.
Todos los alumnos debían realizar por lo menos dos de ellas y hubo 12 alumnos que
realizaron las tres. El 70% realizó la primera prueba, el 80% la segunda y el 90% la
tercera.
a) ¿Cuántos alumnos había en la clase?. Explica el razonamiento
b) Si elegimos un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya realizado
solamente las dos primeras pruebas?
3.- EN LA GRANJA
Un granjero tiene ante sí seis cestas con huevos. Cada una tiene huevos de una clase, de
gallina o de pata. Cada cesta tiene el número de huevos que se indica: 6, 15, 29, 12, 14
y 23
El granjero dice señalando una cesta : “si vendo esta cesta, me quedará el doble de
huevos de gallina que de pata” ¿A qué cesta se refiere?

4.- ¿TIENES BUENA VISTA?
a)
¿Cuánto vale la suma infinita K++++=
16
1
8
1
4
1
2
1
S ?
Explícalo y justifícalo basándote en las figuras
b)
¿Cuánto vale la suma infinita K+





+





+





+=
432
4
1
4
1
4
1
4
1
S ?
Explícalo y justifícalo basándote en las figuras.

2º curso E.S.O.
FASE FINAL (15-V-2010)
1.- JUGANDO A LA CARTAS
Ana y Juan están jugando a las cartas. El que pierde el
primer juego paga 1 € al ganador, 2 € en el 2º juego, 4 € en el
3º, y así sucesivamente, en cada juego se duplica el pago.
Ana empezó con 21 € y perdió todo su dinero en 5 juegos.
¿Qué resultado obtuvo Ana en cada juego?
2. EL CUADRO DEL ARTISTA:
Un artista dispone de un lienzo blanco de 30 x 30 cms, cuadriculado en 900 cuadraditos
de 1 cm2
. Decide pintarlo de acuerdo a los siguientes criterios:
- En primer lugar pintará de azul todos los cuadraditos que ocupen lugares
múltiplos de 3
- A continuación pintará de rojo los que ocupen lugares múltiplos de 4 (incluidos
los que ya estén pintados)
- Por último pintará de verde los que ocupen lugares múltiplos de 10 (aunque
estén pintados de otro color)
En la figura puedes ver el
comienzo del cuadro
a) Al final, ¿cuántos cuadraditos quedarán pintados de cada color?
b) ¿Cuántos cuadraditos se habrán pintado exactamente dos veces? ¿Y
cuántos tres veces?

3.- VIAJANDO EN TREN
Un tren, que viaja siempre a velocidad constante, tuvo
que detenerse por un fallo mecánico una hora después de haber
salido. Los técnicos lo repararon en media hora, pero, a partir de
ahí, el tren viajó a la mitad de la velocidad normal y llegó a su
destino con 2 horas de retraso. Si la avería hubiese ocurrido 100
kms. más adelante el retraso habría sido sólo de 1 hora.
Determina la distancia recorrida por el tren y su velocidad normal.
4.- DUPLICANDO LA BANDERA
a) En esta trama de puntos tienes
dibujados dos cuadrados. El área del más
pequeño es 1 cm2
. ¿Cuánto vale el área
del otro?
¿Cuál es la relación entre sus lados?
b) Aquí tienes el diseño de una bandera. Construye
otra, con la misma forma y con los vértices en la
trama, de manera que su área sea el doble de la
dada.
AYUDA: El mástil de la bandera no tiene por qué
estar vertical.

1 2
3 4
2º curso E.S.O.
1.- EL TABLERO CAMBIANTE
Tenemos un tablero con cuatro casillas numeradas.
Inicialmente las casillas 1 y 2 están pintadas de negro y la 3 y la
4 de blanco. Cada cierto tiempo una de las casillas cambia de color: de
blanco a negro o viceversa. El cambio de color se produce en el orden 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3,
4,... La figura muestra los primeros pasos:
Inicio Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5
a) ¿Qué aspecto tendrá el tablero en el paso 15?
b) ¿Y en el paso 2011?
c) En esos 2011 pasos, ¿cuántas veces habrá tenido el tablero el aspecto del Paso
2?
2.- EL DESCUENTO
a) Un comerciante rebaja unos pantalones que valían 150€ hasta los 90€. ¿Qué
porcentaje de descuento les ha aplicado?
b) A unos zapatos, que también valían 150€, les aplica un primer descuento. Como
no consigue venderlos, al precio rebajado le aplica un segundo descuento,
quedando el precio final en 90€.
Si los porcentajes de descuento aplicados son números enteros, ¿qué porcentaje
aplicó en cada paso?

3.- ABRIENDO PISTA
Dos grupos de tres esquiadores cada uno van a iniciar un descenso y tienen que
decidir qué grupo saldrá primero. Para ello deciden jugar al PISA.
El juego consiste en que dos esquiadores, uno de cada equipo, avanzan
alternativamente, uno al encuentro del otro, a lo largo de una línea pintada en el suelo,
colocando en cada jugada el talón de un pie pegado a la punta del otro. El primer
jugador coloca un pie, luego el segundo jugador coloca el suyo, y así sucesivamente
hasta que un jugador pise el pie del otro. El jugador que pisa al adversario gana el juego.
En el equipo de Mikel los tres esquiadores tiene la misma longitud de bota, 33
cms, mientras que en el equipo de Julen tienen una largura 25, 30 y 35 cms
respectivamente. La longitud de la línea de juego es de 578 cms.
Para determinar quién pone el primer pie se lanza una moneda a cara o cruz.
Para que el equipo de Julen gane el juego, independientemente de quién empiece
a jugar, ¿a qué esquiador deberá escoger para jugar?
4.- EL TOLDO
En una sala cúbica de 8 m. de lado se quiere instalar
un toldo ABCD como se indica en la figura.
Los puntos A y C son puntos medios de los lados, y
los puntos B y D son puntos centrales de las caras
opuestas.
a) ¿Qué figura geométrica adoptará el toldo?
b) Calcula el área del toldo
c) Calcula su perímetro

2º curso E.S.O.
1.- ¿CUÁNTOS SIETES?
¿Qué proporción de números de tres cifras
contienen al menos una vez el dígito 7?
2.- CONSTRUYENDO HEXÁGONOS
Siguiendo el patrón de las tres primeras figuras,
a) ¿Cuántos triángulos pequeños aparecerán en la cuarta figura? ¿Y en la novena?
Explica el método que utilizas para contar
b) ¿Puedes generalizar y decir cuántos triángulos pequeños habrá en la figura que ocupe
el lugar n? Justifícalo

3.- EL TERRENO
Los terrenos de dos agricultores están limitados por la línea ABCD, según la
figura adjunta. (AB=30m., BC=24m. y CD=10m.) Acuerdan diseñar un nuevo límite
según un segmento AE, con la condición de que se conserven las áreas iniciales. ¿A qué
distancia del punto D deberá colocarse el punto E?
4.- LA DIANA
Una cuadrilla de 10 amigos lanzan, al azar, 24 dardos cada uno sobre una diana
de tipo hexagonal regular que tiene 40 centímetros de lado.
Si ningún dardo se ha clavado fuera de la diana hexagonal grande ¿cuántos dardos
crees tú que caerán dentro de la zona interior, correspondiente al pequeño hexágono
regular?
Nota: Se sabe que el segmento AB es igual a 20 centímetros.

2º curso E.S.O.
1. EL GRAN NÚMERO
¿Cuántos ceros tendrá el número
54460
5.3.2=N ?
¿Cuál será la primera cifra distinta de cero?
Razona tu respuesta
2. LOS TRES SEGMENTOS
Un triángulo grande ha sido dividido en cuatro
triángulos y tres cuadriláteros, mediante tres
segmentos. La suma de los perímetros de los
cuadriláteros es 25 cm.
La suma de los perímetros de los cuatro
triángulos es 20 cm.
El perímetro del triángulo grande es 19 cm.
¿Cuál es la suma de las longitudes de los tres
segmentos?

3.- DECORANDO EL TABLERO
Un tablero cuadrado de 99 cuadrículas de lado se decoró con los cuatros símbolos:
☼ ♣ ♥ ♦ de la forma indicada en la figura:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 …..
1 ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ …..
2 ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ …..
3 ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ …..
4 ♦ ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ ♦
5 ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ ♦ ☼
6 ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ ♣
7 ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ ♥
8 ♦ ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ ♦
9 ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ ♦
…. ….
a) ¿Qué símbolo fue el más usado? Justifícalo.
b) Dibuja cómo quedó decorado el cuadradito 3x3 correspondiente a la esquina
inferior derecha:
97 98 99
97
98
99
4.- TRAVESÍA EN BARCO
Un barco sale todos los días a mediodía del puerto de El
Havre a Nueva York y, a la misma hora, sale otro de la
misma compañía desde Nueva York hacia El Havre. La
travesía se hace siempre en siete días, tanto en un sentido
como en otro.
¿Con cuántos barcos de esa compañía, siguiendo la ruta
opuesta, se encontrará el que sale de El Havre hoy a mediodía?
Justifícalo.

2º curso E.S.O.
1.- CONSTRUYENDO UNA PARED
Un grupo de obreros trabaja construyendo
una pared. Deben realizar el trabajo en tres días,
trabajando 6 horas por la mañana y 2 horas por la
tarde. Cada día levantan 40 m 2
de pared, sin
embargo, para poder completar la obra se dan cuenta
que la tarde del tercer día se debe incorporar a un
número de obreros igual a la mitad de los que
empezaron y que, además, deben trabajar dos horas
extras.
¿Cuál es la superficie que tiene la pared una vez construida?
2.- EMPAPELANDO CON CHINCHETAS
Elena quiere empapelar una pared con cuadraditos de papel de colores de 10
cms. de lado. Los papeles se fijarán a la pared con
chinchetas en todas las esquinas. Una misma chincheta
puede servir para pinchar hasta cuatro esquinas
diferentes.
(Ver figura: 6 cuadrados con 12 chinchetas)
Si ha usado exactamente 2014 chinchetas,
a) ¿cuál es el rectángulo de mayor área que ha
podido formar?
b) ¿cuántas chinchetas pinchan 4 papeles?

3.- TRIÁNGULOS Y HEXÁGONO
Dos triángulos equiláteros de perímetro 18 cms.se
sobreponen de modo que sus lados queden paralelos,
como se ve en la figura. ¿Cuál es el perímetro del
hexágono sombreado?
4.- TORNEO DE AJEDREZ
Los seis mejores ajedrecistas del mundo han
jugado un torneo en el que se han enfrentado todos
contra todos exactamente una vez. Al final del torneo
se publicaron los resultados en la tabla siguiente:
Nombre Ganadas Perdidas Tablas
Magnus Carlsen x y z
Levon Aronian 3 1 1
Vladimir Kramnik 2 1 2
Veselin Topalov 0 0 5
Viswanathan Anand 1 3 1
Alexander Grischuk 0 4 1
¿Cuáles fueron los resultados de M.Carlsen?. Justifica la respuesta.

2º curso E.S.O.
1.- EN EL 2015
.Si sumamos todas las cifras del número
N=102015
– 2015
¿Esa suma será mayor o menor que 2015?
¿Cuál es su diferencia?
2.- LA LANZA
Con un hexágono y un pentágono regulares puestos convenientemente realizamos el
diseño de una punta de lanza, tal como indica el dibujo ¿Cuál es el ángulo de la punta de
la lanza?

3.- EL CUESTIONARIO
Cien personas respondieron a un cuestionario
formado por 3 preguntas. Cada pregunta debía
contestarse, sí o no, y sólo una de estas respuestas
era correcta. Si sabemos que:
8 personas contestaron bien las tres preguntas
9 personas contestaron bien sólo la primera y la
segunda
11 personas contestaron bien sólo la primera y la
tercera
6 personas contestaron bien sólo la segunda y la tercera
55 personas contestaron bien al menos la primera pregunta
32 personas contestaron bien al menos la segunda pregunta
49 personas contestaron bien al menos la tercera pregunta
¿Cuántas personas respondieron mal a todas las preguntas?
4.- LA HABITACIÓN
Una habitación está embaldosada con un diseño 5x5 de
baldosas blancas y negras según la figura. Josu empieza
a andar desde la esquina superior izquierda pisando las
baldosas negras de los bordes. Así pisará 8 baldosas
negras.
a) Si al recorrer de esta manera una habitación
cuadrada más grande pisa 148 baldosas negras,
¿cuáles son las dimensiones de la habitación?
b) Y si la habitación fuese rectangular mxn, ¿cuántas baldosas negras pisaría?

2º E.S.O.
SOLUCIONES a los problemas de la FASE FINAL
1.- Tenemos una bolsa con 90 caramelos de los siguientes sabores: limón, menta,
naranja y fresa. Hay el doble de caramelos de limón que de fresa, hay un 20% más de
caramelos de naranja que de fresa y hay un 10% menos de caramelos de menta que de
limón.
Si vas sacando caramelos sin mirar,
a) ¿Cuál es el número mínimo de caramelos que tendrás que sacar para asegurarte
que tienes por lo menos dos caramelos del mismo sabor?
b) ¿Cuál es el mínimo número de caramelos que tienes que sacar para asegurarte de
que tienes por lo menos dos sabores diferentes?
c) A Elena le gustan sólo los caramelos de fresa y de limón y a Fernando los de
naranja y menta. Al sacar un caramelo al azar ¿quién tiene mayor probabilidad
de que sea de su gusto? ¿Cuánto vale esa probabilidad?
Sol:
a) 5 caramelos
b) L+M+N+F= 90, L=2F, N=F+(1/5)F, M=(9/10)L,
L=30, F=15, N=18, M=27
Necesitaremos sacar 31 caramelos.
c) Tienen la misma probabilidad que vale ½.
2.- Tres apostantes A, B, y C pronostican los resultados de 5 partidos de fútbol. Estas
son sus papeletas:
A 1 X 2 B 1 X 2 C 1 X 2
1ºPar x 1ºPar x 1ºPar x
Finalizados los partidos, A y B obtuvieron 3 aciertos y C dos.
¿Cuáles fueron los resultados de los partidos? Razónalo
Sol:
1ºPar 2ºPar 3ºPar 4ºPar 5ºPar
1 1 1 X 1
3.- Diez personas P1, P2, P3 , ... P10 , están sentadas en círculo y jugando a pasarse la
pelota de una a otra.
La primera P1 pasa la pelota a P4 , ésta a P7 y así sucesivamente
saltando de tres en tres.

¿Al cabo de cuántos pasos volverá la pelota a P1? ¿Cuántas vueltas al círculo habrá dado
la pelota?
Sol: 1-4-7-10-3-6-9-2-5-8-1 (10 pasos y 3 vueltas)
¿Y si P1 pasa la pelota a P5, ésta a P9 y así sucesivamente?
Sol: 1-5-9-3-7-1 (5 pasos y 2 vueltas)
Responde a las mismas preguntas si hubiese 30 personas y los pases fuesen de 8 en 8.
Sol: 15 pases y 4 vueltas
¿Puedes generalizar?: Si hay N personas y los pases se hacen de r en r, después de
cuántos pases volverá la pelota a la primera persona? ¿cuántas vueltas al círculo habrá
dado la pelota?
Sol: Si m.c.d (N,r) = d, harán falta N/d pases y se darán r/d vueltas.
4.- Calcular el área limitada por los arcos BGC y AFD y los segmentos AB y CD,
siendo los tres triángulos ABE, BCE Y ECD equiláteros (AE = 1).
SOLUCIÓN: 7π/9 - √3 /3

2º E.S.O.
FASE FINAL: PROBLEMAS Y SOLUCIONES ( 15–V–04)
1.- El número 1234......979899100, ¿cuántas cifras tiene? ¿es múltiplo de 3, de 5, de 6
de 8, de 9? ¿Cuál es el dígito que ocupa el lugar 100?
SOLUCIÓN:
a) 192
b) Sólo es múltiplo de 5
c) El 5
2.- Si AB = 10 cms. y CD = 1/5 AB calcula la relación entre el área de la figura rayada
y la punteada. (Todos los arcos son semicircunferencias)
SOLUCIÓN: 1/3
3.-. Las tres atletas Amaia, María y Nerea corrieron 20 carreras y anotaron cada vez
quién llegó primera, quién segunda y quién tercera. Nunca hubo puestos empatados.
Amaia llegó antes que María 12 veces, María llegó antes que Nerea en 11 carreras y

Nerea llegó antes que Amaia en 14 ocasiones. Se sabe además que ocurrieron todos los
ordenamientos posibles de las tres atletas. ¿Cuántas carreras ganó cada una de las
atletas? Explica el razonamiento.
SOLUZIOA: Amaia 5, María 7, Nerea 8.
4.- a) Colocamos 15 discos según el
diagrama de la figura.
Sabiendo que el perímetro de cada disco
es de 6 cms, ¿qué longitud tiene el
perímetro exterior de esta figura?
Responde a la misma pregunta si la base
de la figura estuviese formada por 6
discos.
¿Y si la base estuviese formada por “n”
discos?
b) Se tiene una ficha en el círculo superior Z que desplazaremos hacia abajo, al círculo
de la derecha o al de la izquierda , según la regla siguiente:
Z
Se lanza una moneda al aire: si sale CARA (C) movemos la
ficha al círculo inferior de la derecha y si sale CRUZ (X) al
de la izquierda.
Se repiten las tiradas hasta llegar a la fila inferior. (En el
gráfico tienes el camino que corresponde a la sucesión
CXCCX)
Tu amigo te propone el siguiente juego: Si la ficha llega a las
casillas C o D gana él, en caso contrario ganas tú.
¿Aceptarías el juego? ¿Quién tiene más posibilidades de
ganar? Justifícalo.
A B C D E F
SOLUCIÓN:
a) El perímetro exterior mide 42 cms.
Con 6 discos el perímetro mediría 51 cms.
Con n discos: 9n-3 cms.
b) Tu amigo tiene 5/8 probabilidades de ganar y tú 3/8

OLIMPIADA: EDUARDO CHILLIDA
2º E.S.O.
SOLUCIONES FASE FINAL (14-04-2005)
1.- EL ROSETÓN
La vidriera de la fachada principal de una iglesia
contiene un rosetón como el de la figura.
Sabiendo que el radio de la circunferencia
pequeña es de 20 cms ¿qué se ha utilizado más
cristal azul o verde?
SOLUCIÓN:
V= verde ,, A=azul ,, R= mitad de rojo
2R+V+A = Cuadrante de la Circunf grande = 402
π/4 = 400 π
V/2 = Cuadrante radio 20 – Triángulo rectángulo isósc de cateto 20 = 202
π/4 – 202
/2
V = 200π – 400 = 228,32 cm2
R = Cuadrante de radio 20 +`Cuadrado de lado 20 – Cuadrante de radio 20 = 400 cm2
A = 400π – 2R – V = 400π – 800 – (200π – 400) = 200π –400 = V
2.- LA OBRA DE ARTE
Ion ha decidido crear una obra de arte matemática. Para ello divide un lienzo de 1 m2
en 9 cuadrados iguales y pinta el cuadrado central de rojo.
Lugo divide cada uno de los 8 cuadrados restantes en otros nueve cuadrados iguales y
pinta el cuadrado central de azul.

Vuelve a dividir cada uno de los cuadrados restantes en otros 9 cuadraditos y pinta el
cuadradito central de amarillo. Continúa este proceso usando un color diferente para
cada nuevo conjunto de cuadrados centrales hasta que más de la mitad de la superficie
total del lienzo ha sido pintada con pintura.
¿Cuántos colores diferentes ha usado Ion y cuántos cuadrados centrales ha pintado?
SOLUCION
De rojo pinta 1/9 de la superficie. Queda 8/9 sin pintar.
De azul pinta 1/9 de lo que queda (1/9)(8/9) = 8/92
. Queda sin pintar 8/9-8/92
=(8/9)2
De Amarillo pinta 1/9 de lo que queda (1/9)(8/9)2
= 82
/93
. Queda sin pintar: (8/9)2
-
82
/93
=(8/9)3
Dejará de pintar cuando (8/9)n
<0.5 Basta comprobar que (8/9)5
=0.555 y (8/9)6
= 0.493
Por tanto habrá usado 6 colores y habrá pintado:
1+8+82
+83
+84
+85
= 37449 cuadrados centrales
3. LA ESCALERA NUMÉRICA
Se disponen los números pares de la siguiente manera:
...
20 ...
12 18 ...
6 10 16 ...
2 4 8 14 ...
Como puedes ver forman una escalera numérica. En el primer escalón hay únicamente
un número, en el segundo escalón dos números, etc. Si seguimos construyendo
escalones.
a) ¿Qué número está en el peldaño superior del vigésimo(20º) escalón?
b) ¿ En qué escalón está el número 2006? ¿ sabrías exactamente en qué peldaño?
SOLUCIÓN:
a) 20*21 = 420
Escalón 1 2 3 4 5 6 20 n
PeldañoSup 2 6 12 20 30 42 420 n(n+1)
b) 44*45 = 1980 45*46 = 2070
1980 es el peldaño superior del escalón 44 y 2070 es el peldaño superior del escalón 45
El 2006 está en el escalón 45
2006-1982= 24 , luego el 2006 está en el peldaño 13º

4.- LA COMPETICIÓN DE ATLETISMO
Eduardo, Mikel e Iñigo organizaron varias carreras de atletismo entre ellos, de manera
que se dan un número determinado de puntos por llegar el primero (p), segundo (s) o
tercero (t), siendo p>s>t>0. Al final de las carreras Eduardo tenía 20 puntos, Mikel 9 e
Iñigo 10. La primera prueba la ganó Iñigo.
a) ¿Cuántas carreras se disputaron?
b) Determina los puntos que le correspondían al primero, al segundo y al tercer
clasificado.
Como el total de puntos son 39 han sido 3 carreras y en cada una se han repartido 13
puntos.
La victoria tiene que valer menos de 9 y más de 7, luego p=8.
Por tanto Iñigo tendrá 2 terceros puestos => t=1
Y s=4
1a
.
Prueba
2a
.
Prueba
3a
.
Prueba
Total
Eduardo 4 8 8 20
Mikel 1 4 4 9
Iñigo 8 1 1 10

2º E.S.O.
FASE FINAL: PROBLEMAS Y SOLUCIONES
1.- PROBLEMAS REDONDOS:
a) Un grupo de alumnos ha salido de excursión y se han sentado en corro para
comer el bocadillo. Dos profesoras, Arantxa y Marta, empiezan a contar el
número de alumnos. Lo hacen en el mismo sentido, pero como no han
comenzado en el mismo alumno resulta que el 7º alumno de Arantxa es el 13º de
Marta y el 3º de Marta es el 32º de Arantxa. ¿Cuántos alumnos hay?
SOLUCIÓN: 35 alumnos.
b) En otro grupo, que también está sentado en corro,
vemos que 7 chicas tienen otra chica a su derecha,
(inmediatamente a su derecha) y que 12 chicas tienen un chico a su derecha.
Además los ¾ de los chicos tienen una chica a su derecha. ¿Cuántos chicos y
chicas hay en total?
SOLUCIÓN: Hay 35 personas (19 chicas y 16 chicos)
2.- EL PRECIO DEL MÓVIL
Un distribuidor de teléfonos móviles había comprado 36 teléfonos iguales para
su venta. Sabía que cada uno le había costado menos de 100 €, pero al revisar la factura
observó que sólo se veían las dos cifras centrales del total: *49* €.
Ayúdale a obtener el precio de cada móvil.
SOLUCIÓN:
a) Si nos limitamos a soluciones enteras: 97 €
b) Incluyendo soluciones con decimales:
Para que 36 por el precio sea un número entero, los posibles decimales deben ser
múltiplo de 25.
i) Solución de la forma n,25 con n entero: 69,25€
ii) Solución de la forma n,50 con n entero: 41,50€
iii) Solución de la forma n,75 con n entero: 13,75 €

3.- CORTANDO EL CUBO
Uniendo los puntos medios de las aristas de un cubo, como se ve en la figura, se
obtienen pirámides triangulares. Si cortamos esas pirámides triangulares, ¿cuántos
caras, aristas y vértices tiene el sólido que queda? Razónalo.
SOLUCIÓN: (El cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas)
14 caras: A las caras propias el cubo (6) se le añade una más por cada vértice: 6+8
24 aristas: Basta observar que la figura nueva tiene 3 aristas por cada vértice del cubo
inicial: 3x8 (o también 4 aristas por cada cara del cubo: 4.6 = 24)
12 vértices: Queda un vértice en cada arista del cubo inicial
4.- ¿CUÁNTOS PALILLOS?
a) Se construye un primer cubo con palillos y luego se va formando una hilera de cubos
como ves en la figura:
n = 1 n = 2 n = 3
a1) ¿Cuántos palillos se han usado para construir cada una de las figuras?
a2) ¿Cuántos palillos habrá que usar para construir la hilera de 10 cubos?
a3) Si tenemos 500 palillos, ¿de cuántos cubos será la hilera más larga que se puede
formar? ¿Cuántos palillos sobrarán?
b) Construimos ahora una hilera de cubos como la anterior pero con dos cubos de
anchura.
n = 1 n = 2 n = 3

¿ Cuántos palillos se necesitarán ahora para construir una hilera de longitud n?
SOLUCIÓN:
a1) Construimos una tabla:
n 1 2 3 ... n
Nº Palillos 12 20 28 8n+4
a2) n = 10 => 84 palillos
a3) Como 500 = 8. 62 + 4, la hilera tendrá 62 cubos y no sobrará ningún palillo
b) Construyendo una tabla:
n 1 2 3 ... n
Nº Palillos 20 33 46 13n+7

2º curso E.S.O.
1.- EL TREN
El tren que va de Vitoria a San Sebastián tiene el doble de plazas de segunda
clase que de primera. Hoy el 25% de las plazas de segunda están vacías y también el
40% de las de primera. Además en primera uno de cada seis pasajeros es mujer,
mientras que en segunda lo es una de cada tres.
a) Cuál es el porcentaje de plazas vacías en total?
b) Del total de mujeres, ¿qué porcentaje va en primera y qué porcentaje en
segunda?
c) Del total de hombres, ¿qué porcentaje va en primera y qué porcentaje en
segunda?
Añadir al enunciado el nº total de plazas facilitaría mucho las cosas:
SOLUCIÓN:
Plazas Ocupadas
Hombres Mujeres
Ocupadas Vacías Total
Primera 0’5x 0’1x 0’6x 40% de x x
Segunda x 0’5x 1’5x 25% de 2x 2x
Total 1’5x 0’6x 2,1x 0’4x+0’5x 3x
a) 0’9x/3x = 30%
b) Mujeres en Primera: 0’1x/0’6x = 16’66% ,, En segunda: 0’5x/0’6x = 83’33%
c) Hombres en Primera: 0’5x/1’5x = 33’33% ,, En Segunda: x/1’5x = 66’66%
2.- EL ROBOT
Un edificio en forma de prisma, como se muestra en la figura, es un laboratorio
biológico que dispone de un robot que se
mueve por su fachada y cuya misión es
taponar determinados puntos, por donde
sale el aire de los laboratorios, cuando se
detectan fugas peligrosas. En un
momento determinado suena la alarma .
Calcula la distancia mínima que debe
recorrer el robot en cada uno de los
siguientes casos:
a) El robot están en el vértice P y la

fuga se produce en el punto A (a 15 metros del suelo y en mitad de la fachada).
b) El robot está en el vértice P y la fuga se produce en el vértice opuesto Q
c) La fuga se produce en el punto A y el robot está en B ( a 5 metros del suelo y en
mitad de la fachada opuesta)
SOLUCIÓN:
a) √(552
+ 102
) = ) √3125 = 55,90 m
b) √(402
+ 502
) = ) √4100 = 64,03 m
c)
El camino más corto es √(652
+ 252
) = ) √4850 = 69,64 m
3.- SALIDA DEL TRABAJO
Juan va en coche a buscar a su novia Ana a la salida del trabajo. Todos los días
llega puntual a las 7 de la tarde. Hoy Ana ha terminado el trabajo un poco antes y va
andando por el camino que suele recorrer su novio. Al cabo de 20 minutos se
encuentran, Juan la recoge y llegan a su destino 6 minutos antes de lo habitual. ¿A qué
hora salió Ana del trabajo? (La velocidad del coche y de Ana se supone constante)
SOLUCIÓN:
Juan se ahorra 6 minutos en el viaje, luego en la ida se ahorra 3. Por tanto Juan
llega al lugar de encuentro con Ana 3 minutos antes de las 7. A Ana le ha costado llegar
allí 20 minutos, luego ha salido del trabajo 20 minutos antes de las 6h 57m. Ana ha
salido a las 6 h 37m.
4. TORRE DE CUBOS
Un artista ha construido con 14 cubos iguales
de 1 dm. de lado esta torre de tres pisos. Quiere pintar
toda la superficie exterior, ¿cuántos dm2
debe pintar?
¿Y si la torre tuviese 5 pisos?

¿Y si tuviese n pisos?. Obtén una fórmula en función del nº de pisos.
SOLUCIÓN:
Nivel 1 2 3 4 5 6 .... n
Sup.Exterior
en dm2
5 16 33 56 85 ... 3n2
+ 2n
N=2 ,, 5 + 4*2 + 4*3/4 = 16
N=3 ,, 16 + 4*3 + 4*3/4 + 4*1/2 = 33
N=4 ,, 33 + 4*4 + 4*3/4 + 4*2*1/2 = 56
N=5 ,, 56 + 4*5 + 4*3/4 + 4*3*1/2 = 85
.....
N = n ,, 1 + 4*(1+2+3+...+n) + 4*3/4 * (n-1) + 4*1/2 *(1+2+3+...+n-2) =
= 1 + 4 (1+n)n/2 + 3(n-1) + 2(1+n-2)(n-2)/2 =
= 1+ 2n2
+ 2n +3n –3 + n2
–3n +2 = 3n2
+2n

2º curso E.S.O.
1.- EMBALDOSADO BICOLOR
L = 5 L = 7 L = 9
i) ¿Cuántas baldosas blancas se necesitarán para pasar del cuadrado de lado 9 al de
lado 11?
ii) ¿ Cuántas se necesitarán para pasar del cuadrado de lado 21 al de 23? ¿De qué
color tendrán que ser?
iii) En general, para pasar del cuadrado de lado L al de L+2, ¿cuántas baldosas se
necesitarán? ¿De qué color serán?
SOLUCIÓN:
i) 40
ii) 88. Blanco
iii) 4L+4 ,,o equivalentemente (L+2)2
– L2



+=
+=
⇒+=
blancoColormLimparn
negroColormLparn
nLSi
)34(
)14(
12

2.- FIGURA GEOMÉTRICA
Si el lado del hexágono es de 10 cm. ¿cuánto mide la superficie
no sombreada interior a la circunferencia mayor ?.
SOLUCIÓN:
250 p - 150 ◊3
3.- NÚMEROS TRILLIZOS
Si elegimos un número natural al azar, es difícil que sea a la vez divisible por 13 y por
37. Sin embargo comprueba que si a partir del número 35 construimos el número de 6
cifras que se obtiene repitiéndolo tres veces, en este caso el 353535, resulta que sí es
divisible por 37 y por 13.
¿Ocurrirá siempre lo mismo partiendo de cualquier otro número de dos cifras?
Explica la respuesta.
SOLUCIÓN:
ababab = ab * 10101 y 10101 = 3*7*13*37
4.- EL CONCURSO
i) En un concurso televisivo se va a repartir un premio entre 10 personas siguiendo el
siguiente procedimiento: Los participantes se colocan en fila y
a) se eliminarán todos los que estén en lugares impares: 1,3,5,...
b) entre los que queden, se volverán a eliminar los que ocupen lugares impares y
así sucesivamente, hasta que quede sólo uno, que será el ganador.
Si te ofrecen la posibilidad de elegir el lugar en el que colocarte, ¿cuál elegirías?
Justifica tu respuesta.
ii) Y si fuesen 35 participantes, ¿en qué lugar te colocarías? ¿Y si fuesen 100?
¿Puedes dar un resultado general para cualquier número de participantes? ¿Al cabo de
cuántas rondas se decidirá el ganador?

SOLUCIÓN:
i) 1ª Vuelta: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2ª Vuelta: 2 4 6 8 10
3ª Vuelta: 4 8
Gana el que inicialmente ocupaba el lugar 8º.
ii) En la 1ª vuelta quedan los que ocupan lugares pares.
En la 2ª vuelta quedan los que ocupan lugares múltiplos de 4
En la 3ª vuelta quedan los que ocupan lugares múltiplos de 8
....
En la n-sima vuelta quedan los que ocupan lugares múltiplos de 2n
Si el número N de concursantes es tal que 2n
§ N < 2n+1
harán falta n rondas y ganará el concursante colocado en el lugar 2n
.
• Si hay 35 participantes: ganará el colocado en el lugar 32 en la 5ª ronda
• Si hay 100 participantes: (26
§ 100 < 27
) ganará el colocado en el lugar 64 en
la 6ª ronda.

2º curso E.S.O.
1.- RELLENANDO EL HUECO
Un cuadrado se cubre mediante cuatro rectángulos y
un cuadrado cuyos lados son enteros mayores que 1, como lo
muestra la figura. Las áreas de dos de los rectángulos están
escritas sobre ellos.
¿Cuál es el área del cuadrado pequeño?
SOLUCIÓN
Las únicas formas de escribir 143 y 133 como producto de enteros mayores que
1 son 143 = 11 x 13 y 133 = 7 x 19, de modo que conocemos los lados de
estos dos rectángulos.
Si llamamos x al lado del cuadrado pequeño, de la figura deducimos:
13+x+7 = 19+11-x x = 5 y por tanto la superficie 25.
2.- EN CLASE DE MATEMÁTICAS
El profesor de matemáticas realizó tres pruebas para calificar a sus alumnos.
Todos los alumnos debían realizar por lo menos dos de ellas y hubo 12 alumnos que
realizaron las tres. El 70% realizó la primera prueba, el 80% la segunda y el 90% la
tercera.

a) ¿Cuántos alumnos había en la clase?. Explica el razonamiento
b) Si elegimos un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya realizado
solamente las dos primeras pruebas?
SOLUCIÓN
a) 2n + 12 = 0’7n + 0’8n + 0’9n ==> n = 30
b) (nº alumnos que hacen la 1ª): A=21
(nº alumnos que hacen la 2ª): B = 24
Como AUB = 30 ,, Las dos primeras pruebas las habrán hecho: 21+24-30 = 15 y
como hay 12 alumnos que han hecho las tres : 15 – 12 = 3 alumnos
Probabilidad buscada: 1/10
3.- EN LA GRANJA
Un granjero tiene ante sí seis cestas con huevos. Cada una tiene huevos de una clase, de
gallina o de pata. Cada cesta tiene el número de huevos que se indica: 6, 15, 29, 12, 14
y 23
El granjero dice señalando una cesta : “si vendo esta cesta, me quedará el doble de
huevos de gallina que de pata” ¿ A qué cesta se refiere?
SOLUCIÓN:
Se refiere a la cesta de 12 huevos
En total hay 99 huevos. Al quitar una cesta quedarán x huevos de pata y 2x de gallina:
En total 3x.
Por tanto 99-y =3x ==> la cesta vendida tiene que tener y = múltiplo de 3 huevos.
Posibilidades:
Y = 6 ; quedarían 93, pero no se pueden obtener 31 y 62 sumando las distintas cestas
Y= 12: quedarían 87; SI se pueden obtener 29 y 58 (de más de una forma)
Y= 15 No hay solución
4.- ¿TIENES BUENA VISTA?
a)
¿Cuánto vale la suma infinita K++++=
16
1
8
1
4
1
2
1
S ?
Explícalo y justifícalo mediante las figuras

b)
¿Cuánto vale la suma infinita K+





+





+





+=
432
4
1
4
1
4
1
4
1
S ?
Explícalo y justifícalo mediante las figuras.
SOLUCIÓN
Lo importante es el razonamiento
a) 1
b) 1/3

2º curso E.S.O.
1.- JUGANDO A LA CARTAS
Ana y Juan están jugando a las cartas. El que pierde el
primer juego paga 1 € al ganador, 2 € en el 2º juego, 4 € en el
3º, y así sucesivamente, en cada juego se duplica el pago.
Ana empezó con 21 € y perdió todo su dinero en 5 juegos.
¿Qué resultado obtuvo Ana en cada juego?
SOLUCIÓN:
En el 5º juego perdió 16 € que era todo lo que tenía.
En el 4º debería tener 8 o 24. 8 no puede ser porque nunca se podría alcanzar el
valor inicial de 21 con los posibles resultados de los juegos anteriores (7 € en
total)
Por la misma razón en el 3º juego debería tener 20. En el 2º juego 22 y en el
primer juego 21.
Es decir: ganó el 1º juego, perdió el 2º, ganó el 3º, perdió el 4º y perdió el 5º
(21+1-2+4-8-16 = 0)
2. EL CUADRO DEL ARTISTA:
Un artista dispone de un lienzo blanco de 30 x 30 cms, cuadriculado en 900 cuadraditos
de 1 cm2
. Decide pintarlo de acuerdo a los siguientes criterios:
- En primer lugar pintará de azul todos los cuadraditos que ocupen lugares
múltiplos de 3
- A continuación pintará de rojo los que ocupen lugares múltiplos de 4 (incluidos
los que ya estén pintados)
- Por último pintará de verde los que ocupen lugares múltiplos de 10 (aunque
estén pintados de otro color)
En la figura puedes ver el
comienzo del cuadro

a) Al final, ¿cuántos cuadraditos quedarán pintados de cada color?
b) ¿Cuántos cuadraditos se habrán pintado exactamente dos veces? ¿Y
cuántos tres veces?
SOLUCIÓN:
a) Pintados de verde: 900/10 = 90 cuadraditos
Pintados de rojo: 900/4 – 900/20 = 180
Pintados de azul: 900/3 – 900/12 – 900/30 + 900/60 = 210
b) De azul y rojo: 900/12 = 75 (incluidos azul, rojo y verde)
De azul y verde: 900/30 = 30 (incluidos azul, rojo y verde)
De verde y rojo: 900/20 = 45 (incluidos, azul, rojo y verde)
De azul, verde y rojo: 900/60 = 15
Se habrán pintado exactamente dos veces: 75 + 30 +45 – 3 x 15 = 105
3.- VIAJANDO EN TREN
Un tren, que viaja siempre a velocidad constante, tuvo
que detenerse por un fallo mecánico una hora después de haber
salido. Los técnicos lo repararon en media hora, pero, a partir de
ahí, el tren viajó a la mitad de la velocidad normal y llegó a su
destino con 2 horas de retraso. Si la avería hubiese ocurrido 100
kms. más adelante el retraso habría sido sólo de 1 hora.
Determina la distancia recorrida por el tren y su velocidad normal.
SOLUCIÓN:
Distancia: 250 Kms. ,, Velocidad: 100 Kms/h.
La velocidad se puede calcular comparando los tiempos empleados en el viaje con la
avería real y el caso hipotético: La diferencia está que en el 2º caso ha recorrido 100
kilómetros más a velocidad normal, (mientras que en el primer caso lo hacía a la mitad
de velocidad) y ha tardado 1 hora menos:
Por tanto: 100/v = 100/(v/2) –1 v = 100 km/h.

Para calcular la distancia basta tener en cuenta que, tras recorrer los 100 primeros kms a
velocidad normal, el espacio que resta lo recorre a 50 kms/h y emplea 1 hora y media
más de lo normal:
1’5 + s/100 = s/50 s = 150 Kms.
Luego distancia total recorrida: 100 + 150 = 250 Kms.
4.- DUPLICANDO LA BANDERA
a) En esta trama de puntos tienes
dibujados dos cuadrados. El área del más
pequeño es 1 cm2
. ¿Cuánto vale el área
del otro?
¿Cuál es la relación entre sus lados?
b) Aquí tienes el diseño de una bandera. Construye
otra, con la misma forma y con los vértices en la
trama, de manera que su área sea el doble de la
dada.
AYUDA: El mástil de la bandera no tiene por qué
estar vertical.
SOLUCIÓN:
a) 2 cm2
. La razón entre los lados es 1/◊2
b) Área de la bandera pequeña: 3 cm2
. Área de la grande 6 cm2
.

1 2
3 4
2º curso E.S.O.
1.- EL TABLERO CAMBIANTE
Tenemos un tablero con cuatro casillas numeradas.
Inicialmente las casillas 1 y 2 están pintadas de negro y la 3 y la
4 de blanco. Cada cierto tiempo una de las casillas cambia de color: de
blanco a negro o viceversa. El cambio de color se produce en el orden 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3,
4,... La figura muestra los primeros pasos:
Inicio Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5
a) ¿Qué aspecto tendrá el tablero en el paso 15?
b) ¿Y en el paso 2011?
c) En esos 2011 pasos, ¿cuántas veces habrá tenido el tablero el aspecto del Paso
2?
SOLUCIÓN:
a) En el paso 15 :
b) La pauta se repite cada 8 pasos: 2011= 251x8 + 3
Luego en el paso 2011 el tablero está como en el Paso 3
c) 252 veces

2.- EL DESCUENTO
a) Un comerciante rebaja unos pantalones que valían 150€ hasta los 90€. ¿Qué
porcentaje de descuento les ha aplicado?
b) A unos zapatos, que también valían 150€, les aplica un primer descuento. Como
no consigue venderlos, al precio rebajado le aplica un segundo descuento,
quedando el precio final en 90€.
Si los porcentajes de descuento aplicados son números enteros, ¿qué porcentaje
aplicó en cada paso?
SOLUCIÓN:
a) 40%
b) 150 (1-a/100)(1-b/100) = 90 ==> (100-a) (100-b) = 6000 = 24
.53
.3
La única posibilidad de que a y b sean números enteros entre 1 y 100 es 25 y 20,
siendo el orden irrelevante.
3.- ABRIENDO PISTA
Dos grupos de tres esquiadores cada uno van a iniciar un descenso y tienen que
decidir qué grupo saldrá primero. Para ello deciden jugar al PISA.
El juego consiste en que dos esquiadores, uno de cada equipo, avanzan
alternativamente, uno al encuentro del otro, a lo largo de una línea pintada en el suelo,
colocando en cada jugada el talón de un pie pegado a la punta del otro. El primer
jugador coloca un pie, luego el segundo jugador coloca el suyo, y así sucesivamente
hasta que un jugador pise el pie del otro. El jugador que pisa al adversario gana el juego.
En el equipo de Mikel los tres esquiadores tiene la misma longitud de bota, 33
cms, mientras que en el equipo de Julen tienen una largura 25, 30 y 35 cms
respectivamente. La longitud de la línea de juego es de 578 cms.
Para determinar quién pone el primer pie se lanza una moneda a cara o cruz.
Para que el equipo de Julen gane el juego, independientemente de quién empiece
a jugar, ¿a qué esquiador deberá escoger para jugar?
SOLUCIÓN
Si el jugador elegido por Julen es el de 25 cms de pie, los jugadores darán 9
pasos sin pisar al rival, porque: 578 = 9 x (33+25) + 56. El jugador que ha comenzado
dará un décimo paso todavía sin pisar al rival y el jugador que no ha comenzado el
juego lo ganará.

Si el jugador elegido por Julen es el de 30 cms de pie, los jugadores también
darán 9 pasos sin pisar al rival, porque: 578 = 9 x (33+30) + 11. Ahora el jugador que
ha comenzado el juego lo ganará.
Si el jugador elegido por Julen es el de 35 cms de pie, los jugadores darán 8
pasos sin pisar al rival, porque: 578 = 8 x (33+35) + 34. En este caso empiece quien
empiece siempre ganará el jugador del equipo de Julen.
Julen debe elegir al compañero que calza botas de 35 cms. de longitud.
4.- EL TOLDO
En una sala cúbica de 8 m. de lado se quiere instalar
un toldo ABCD como se indica en la figura.
Los puntos A y C son puntos medios de los lados, y
los puntos B y D son puntos centrales de las caras
opuestas.
a) ¿Qué figura geométrica adoptará el toldo?
b) Calcula el área del toldo
c) Calcula su perímetro
SOLUCIÓN:
a) La figura es un rombo
b) D1 = 8 ,, d2 = 8 √2 Area = 32√2
c) Lado = 4 √3 Perímetro = 16√3

2º curso E.S.O.
1.- ¿CUÁNTOS SIETES?
¿Qué proporción de números de tres cifras
contienen al menos una vez el dígito 7?
SOLUCIÓN:
En total hay 900 números de tres cifras.
Los números que tiene algún 7 se pueden contar
separándolos en tres grupos, como se ve en la tabla adjunta:
CENTENAS
(Nº de dígitos)
DECENAS
(Nº de dígitos)
UNIDADES
(Nº de dígitos)
TOTAL
(números)
a) Empiezan por 7 1 10 10 100
b)Tienen el 7 en
las decenas y no
están en a)
8 1 10 80
c) Tienen el 7 en
las unidades y no
están ni en a) ni en
b)
8 9 1 72
TOTAL DE
NÚMEROS 252
Proporción 252/900 = 7/25
O bien de los 900 números de tres cifras bastaría quitar los que no tienen ningún 7.
Estos son:
En las centenas hay 8 posibilidades diferentes, en las decenas 9 y en las unidades 9.
Luego, en total: 8 x 9 x 9 = 648
900 – 648 = 252

2.- CONSTRUYENDO HEXÁGONOS
Siguiendo el patrón de las tres primeras figuras,
a) ¿Cuántos triángulos pequeños aparecerán en la cuarta figura? ¿Y en la novena?
Explica el método que utilizas para contar
b) ¿Puedes generalizar y decir cuántos triángulos pequeños habrá en la figura que ocupe
el lugar n? Justifícalo
SOLUCIÓN:
a)
Lado del
hexágono
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nº de
triángulos
6 24 54 96 150 216 486
b) 6 n2
. Observa que una forma de contar puede ser:
N=2 n= 3
3.- EL TERRENO
Los terrenos de dos agricultores están
limitados por la línea ABCD, según la figura
adjunta. (AB=30m., BC=24m. y CD=10m.)
Acuerdan diseñar un nuevo límite según un
segmento AE, con la condición de que se
conserven las áreas iniciales. ¿A qué distancia del
punto D deberá colocarse el punto E?

10
A
E
C
D
B
F
SOLUCIÓN:
El área del triángulo AFE debe ser igual a la del
rectángulo BCDF:
Area BCDF = 240
Area AFE: 40 x FE /2 = 240 FE = 12
Luego DE = 12m.
4.- LA DIANA
Una cuadrilla de 10 amigos lanzan, al azar, 24 dardos cada uno sobre una diana
de tipo hexagonal regular que tiene 40 centímetros de lado.
Si ningún dardo se ha clavado fuera de la diana hexagonal grande ¿cuántos dardos
crees tú que caerán dentro de la zona interior, correspondiente al pequeño hexágono
regular?
Nota: Se sabe que el segmento AB es igual a 20 centímetros.
SOLUCIÓN:
Como AB = 20 el lado del hexágono interior también será 20. Los hexágonos
son semejantes con razón de semejanza ½, por tanto la razón de las áreas será 1/4
La probabilidad de que un dardo caiga en la zona interior es ¼.
Como se lanzaron 240 dados, el resultado más probable sería 60.

2º curso E.S.O.
1. EL GRAN NÚMERO
¿Cuántos ceros tendrá el número
54460
5.3.2=N ?
¿Cuál será la primera cifra distinta de cero?
Razona tu respuesta
SOL :
Tiene 54 ceros y la primera cifra distinta de cero es la cifra de
las unidades de 26
. 34
, que es 4.
2. LOS TRES SEGMENTOS
Un triángulo grande ha sido dividido en cuatro
triángulos y tres cuadriláteros, mediante tres
segmentos. La suma de los perímetros de los
cuadriláteros es 25 cm.
La suma de los perímetros de los cuatro
triángulos es 20 cm.
El perímetro del triángulo grande es 19 cm.
¿Cuál es la suma de las longitudes de los tres
segmentos?
SOL:
Basta observar que al sumar los perímetros de los cuadriláteros con los de los triángulos
pequeños se han sumado dos veces las longitudes de los tres segmentos y una vez el
perímetro del triángulo grande.
Por tanto: llamando L a la suma de la longitud de los tres segmentos:
25+20 = 2L+19 L = 13 cms.

3.- DECORANDO EL TABLERO
Un tablero cuadrado de 99 cuadrículas de lado se decoró con los cuatros símbolos:
☼ ♣ ♥ ♦ de la forma indicada en la figura:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 …..
1 ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ …..
2 ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ …..
3 ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ …..
4 ♦ ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ ♦
5 ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ ♦ ☼
6 ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ ♣
7 ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ ♥
8 ♦ ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ ♦
9 ☼ ♣ ♥ ♦ ☼ ♣ ♥ ♦
…. ….
a) ¿Qué símbolo fue el más usado? Justifícalo.
b) Dibuja cómo quedó decorado el cuadradito 3x3 correspondiente a la esquina
inferior derecha:
97 98 99
97
98
99
SOL:
a) El símbolo más usado es el ♥
- En la cuadrícula formada por las primeras 96 filas y columnas hay, en cada
fila, 24 símbolos correspondientes de cada tipo: 24x96 = 2304
- En el rectángulo formado por las filas 97,98 y 99 y las primeras 96 columnas
hay 3x24=72 símbolos de cada tipo. Análogamente en el rectángulo formado
por las primeras 96 filas y las columnas 97,98 y 99.
- Queda sólo el cuadrado formado por las tres últimas filas y tres últimas
columnas:
97 98 99
97 ☼ ♣ ♥
98 ♣ ♥ ♦
99 ♥ ♦ ☼
En total habrá: ☼ : 2304 +144 +2 = 2450
♣ : 2304 +144 +2 = 2450
♥ : 2304 +144 +3 = 2451
♦ : 2304 +144 +2 = 2450

4.- TRAVESÍA EN BARCO
Un barco sale todos los días a mediodía del puerto de El
Havre a Nueva York y, a la misma hora, sale otro de la
misma compañía desde Nueva York hacia El Havre. La
travesía se hace siempre en siete días, tanto en un sentido
como en otro.
¿Con cuántos barcos de esa compañía, siguiendo la ruta
opuesta, se encontrará el que sale de El Havre hoy a mediodía?
Sol: 15
El barco cuyo gráfico es AB habiendo partido de El Havre el día 9, llega a NY el día 16,
encontrándose en el mar con 13 barcos, más el que está entrando en El Havre el día de
su salida y el que sale de NY el día de su llegada.
En total se encuentra con 15 barcos.

2º curso E.S.O.
1.- CONSTRUYENDO UNA PARED
Un grupo de obreros trabaja construyendo
una pared. Deben realizar el trabajo en tres días,
trabajando 6 horas por la mañana y 2 horas por la
tarde. Cada día levantan 40 m 2
de pared, sin
embargo, para poder completar la obra se dan cuenta
que la tarde del tercer día se debe incorporar a un
número de obreros igual a la mitad de los que
empezaron y que, además, deben trabajar dos horas
extras.
¿Cuál es la superficie que tiene la pared una vez construida?
SOLUCIÓN: Cada día, el grupo, trabaja el triple por la mañana que por la tarde
(30/10 m 2
). El tercer día por la mañana, han hecho 30 m 2
lo que significa que a la
tarde, deberían hacer 10 m 2
(en dos horas) pero como entran a trabajar un grupo igual a
la mitad de lo que ya había, ampliarán el trabajo en 5 m 2
pero, como además duplican
las horas, será 30 m 2
. Por tanto:
Superficie de la pared = (40 + 40 + 30 + 30) m 2
= 140 m 2
OTRA SOLUCIÓN:
Primer día: 8 horas ------ 40 m2
Segundo día: 8 horas ------- 40 m2
Tercer día: (mañana): 6 horas ------- 30 m2
(tarde) : trabajan x + x/2 obreros durante 4 horas:
x obreros en 4 horas ----- 20 m2

x/2 obreros en 4 h. ------- 10 m2
TOTAL: 40 + 40 + 30 + 20 + 10 = 140 m2
2.- EMPAPELANDO CON CHINCHETAS
Elena quiere empapelar una pared con pared con cuadraditos de papel de
colores de 10 cms. de lado. Los papeles se fijarán a la
pared con chinchetas en todas las esquinas. Una misma
chincheta puede servir para pinchar hasta cuatro
esquinas diferentes.
(Ver figura: 6 cuadrados con 12 chinchetas)
Si ha usado exactamente 2014 chinchetas,
a) ¿cuál es el rectángulo de mayor área que ha
podido formar?
b) ¿cuántas chinchetas pinchan 4 papeles?
SOLUCIÓN:
Para un rectángulo n x m hacen falta (n+1)x(m+1) chinchetas.
2014 = 2 x 19 x 53 ,,
(n+1) (m+1) = 2 x 1007 = 19 x 106 = 38 x 53
a) El rectángulo de mayor área será: 37 x 52 = 1924 dm2
b) El nº de chinchetas pedido: 36 x 51 = 1836 chinchetas
3.- TRIÁNGULOS Y HEXÁGONO
Dos triángulos equiláteros de perímetro 18 cms.se
sobreponen de modo que sus lados queden paralelos,
como se ve en la figura. ¿Cuál es el perímetro del
hexágono sombreado?
SOLUCIÓN: 12 cms.
El triángulo grande ABC y el triángulo
superior pequeño MGC son semejantes
porque AB y MG son paralelos.
Por tanto MGC es equilátero.
Y lo mismo ocurre con el resto de triangulos.
El perímetro del hexágono es:
MG+GH+HI+IK+KL+LM.
Como MG=GC y HI=HB es fácil ver que
MG+GH+HI = BC que vale 6 cms.
Y análogamente:
IK+KL+LM = 6
Por tanto el perímetro del hexágono es 12
cms.

4.- TORNEO DE AJEDREZ
Los seis mejores ajedrecistas del mundo han
jugado un torneo en el que se han enfrentado todos
contra todos exactamente una vez. Al final del torneo
se publicaron los resultados en la tabla siguiente:
Nombre Ganadas Perdidas Tablas
Magnus Carlsen x y z
Levon Aronian 3 1 1
Vladimir Kramnik 2 1 2
Veselin Topalov 0 0 5
Viswanathan Anand 1 3 1
Alexander Grischuk 0 4 1
¿Cuáles fueron los resultados de M.Carlsen?. Justifica la respuesta.
SOLUCION: X=3, Y=0, Z=2.
Condiciones:
- Total partidas jugadas por Carlsen: 5 x+y+z = 5
- Nº total de partidas ganadas = nº perdidas x+6 = y+9 x=y+3
- Nº Tablas debe ser par y además mayor que >0 porque Topalov ha empatado
con todos z > 0,, z par
Luego x= 3, y =0, z = 2

2º curso E.S.O.
1.- EN EL 2015
.Si sumamos todas las cifras del número
N=102015
– 2015
¿Esa suma será mayor o menor que 2015?
¿Cuál es su diferencia?
SOLUCIÓN: mayor que 2015. La diferencia es 16113
Al restar 2015 de una potencia de 10, por ej: 106
– 2015 = 997985,
Queda un número formado por 2 nueves seguido de 7985.
De la misma forma: 102015
– 2015 dará un nº formado por 2011 nueves
seguidos de 7985.
La suma de todas sus cifras será: 2011 x 9+7+9+8+5 = 18128
18128 – 2015 = 16113
2.- LA LANZA
Con un hexágono y un pentágono regulares puestos convenientemente realizamos el
diseño de una punta de lanza, tal como indica el dibujo ¿Cuál es el ángulo de la punta de
la lanza?

SOLUCIÓN: 12º
Teniendo en cuenta que el ángulo interior del hexágono regular vale 120º y el del
pentágono regular 108º, el ángulo CDG será 132º.
Y como el triángulo CDG es isósceles, el ángulo DCG valdrá 24º.
Entonces, el ángulo JCF será 24º+60º = 84º. Y como el triángulo CFJ es isósceles,
elángulo en J, CJF valdrá180º- 168º = 12º.
3.- EL CUESTIONARIO
Cien personas respondieron a un cuestionario
formado por 3 preguntas. Cada pregunta debía
contestarse, sí o no, y sólo una de estas respuestas
era correcta. Si sabemos que:
8 personas contestaron bien las tres preguntas
9 personas contestaron bien sólo la primera y
la segunda
11 personas contestaron bien sólo la primera y
la tercera
6 personas contestaron bien sólo la segunda y la tercera
55 personas contestaron bien al menos la primera pregunta
32 personas contestaron bien al menos la segunda pregunta
49 personas contestaron bien al menos la tercera pregunta
¿Cuántas personas respondieron mal a todas las preguntas?
SOLUCIÓN: 6

Respondieron todas mal: 100-(27+9+8+11+24+6+9) = 6
4.- LA HABITACIÓN
Una habitación está embaldosada con un diseño 5x5 de
baldosas blancas y negras según la figura. Josu empieza
a andar desde la esquina superior izquierda pisando las
baldosas negras de los bordes. Así pisará 8 baldosas
negras.
a) Si al recorrer de esta manera una habitación
cuadrada más grande pisa 148 baldosas negras,
¿cuáles son las dimensiones de la habitación?
b) Y si la habitación fuese rectangular mxn, ¿cuántas baldosas negras pisaría?
SOLUCIÓN:
a) 75 x 75 baldosas
Si la habitación es nxn el nº total de baldosas negras pisadas es 2n-2. (válido
tanto para n par como para n impar)
2n-2 = 148 n = 75
b) m+n-2 baldosas, independientemente de la paridad de m y n.

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