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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
    FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS, FÍSICAS Y QUÍMICAS
              ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
              TRABAJO DE MÉTODOS NUMÉRICOS
MARÍA BELÉN CEVALLOS GILER                         CUARTO “C”
   La optimización o programación
    matemática intenta dar respuesta a un tipo
    general de problemas donde se desea elegir
    el mejor entre un conjunto de elementos.
   La localización de raíces y la optimización
    están relacionadas, en el sentido de que
    ambas involucran valores iniciales y búsqueda
    de un punto sobre una función.
OBJETIVO GENERAL:            OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

   Comprender el concepto    Diferenciar entre
    de Optimización y          localización de raíces y
    orientarlo a resolver      optimización.
                              Comprender la importancia
    problemas prácticos de
                               que esta tiene en el campo
    ingeniería.                de la ingeniería.
                              Utilizar herramientas
                               informáticas
                               (Excel, Matlab, Mathcad)
                               para resolver problemas de
                               optimización.
   La localización de raíces involucra la
    búsqueda de raíces de una función o
    funciones. En contraste, la optimización
    involucra la búsqueda del mínimo o del
    máximo. Lo óptimo es el punto donde la
    curva es plana. En términos
    matemáticos, esto corresponde al valor de x
    donde la derivada f´(x) es igual a cero.
    Además, la segunda derivada, f´´ (x), indica si
    el óptimo es un mínimo o un máximo.
   Un problema de optimización trata de tomar
    una decisión óptima para maximizar
    (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o
    minimizar un criterio determinado (costos,
    tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones
    significan que no cualquier decisión es
    posible. Los métodos de cálculo diferencial
    aún están en uso para determinar soluciones
    óptimas.
   Diseño de aviones para un mínimo peso y
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   Trayectorias óptimas de vehículos espaciales.
   Diseño de estructuras en la ingeniería civil a un
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   Diseño de proyectos de abastecimiento de
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   Predecir el comportamiento estructural al
    minimizar la energía potencial.
   Estrategia de corte de materiales para un
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   Diseño de bombas y equipos de transferencia
   Redes de tubería óptimas.
   Maximizar la potencia de salida de redes
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    el calor generado.
   Ruta más corta de un vendedor que visita
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 Planeación óptima y calendarizada.
 Análisis estadístico y moderado con un mínimo
  error.
 Control de inventario
 Planeación del mantenimiento para minimizar
  costos.
 Minimizar tiempos de espera y ociosos.
 Diseñar sistemas de tratamiento de aguas para
  cumplir con estándares de calidad del agua a
  bajo costo.
  Derivar la función
  Igualar a cero la derivada
  Despejar los valores de x
  Reemplazar estos valores en la ecuación original
   para obtener f(x)
Ejemplo:
 f(x)= x^2*-2
f’(x)=2x
0=2x
x=0
f(x)=-2
f”(x)= 2
Un problema de programación matemática u
   optimización, se puede establecer de forma
   general como.
Determine x, el cual maximiza o minimiza f(x)
   sujeto a
di(x) <= ai               i = 1, 2,…, m
ei(x) = bi                i= 1,2,…, p
f(x) es la función objetivo; di(x) son restricciones de
   desigualdad; ei(x) son restricciones de
   igualdad, y ai y bi son constantes.
 Si f(x) y las restricciones son
  lineales, tenemos programación lineal.
 Si f(x) es cuadrática y las restricciones
  son lineales, tenemos programación
  cuadrática.
 Si f(x) es no lineal o cuadrática y/o las
  restricciones son no lineales, tenemos
  programación no lineal
 Cuando estas dos ecuaciones se
  incluyen, tenemos un problema de
  optimización restringida; de otra
  forma, es un problema de optimización
  no restringido:
di(x) <= ai             i = 1, 2,…, m
ei(x) = bi             i= 1,2,…, p
   Se clasifican en unidimensionales y
    multidimensionales. Los primeros involucran
    funciones que dependen de una sola
    variable, la búsqueda consiste entonces en
    ascender o descender los picos y valles
    unidimensionales. Los problemas
    multidimensionales involucran funciones que
    dependen de dos o más variables
    dependientes.
En el mismo sentido, la optimización
bidimensional se puede de nuevo visualizar como
una búsqueda de picos y valles.
Para la              Optimización                  Optimización
                     multidimensional no
optimización         restringida                   restringida
unidimensional       • Métodos directos:
no restringida         Búsquedas                   • Representación
                       aleatorias, búsquedas         gráfica
• Búsqueda sección     invariables y búsqueda de
  dorada               patrones                    • Método
• Interpolación      • Métodos gradiente: Paso
                       ascendente/descendente, g     simplex
  cuadrática           radiente
• Método de Newton     conjugado, Newton, Marqu
                       ardt y métodos cuasi-
                       Newton
   Se desea construir de una plancha rectangular de 70 x 70
    cm una bandeja de volumen máximo cortándole
    cuadrados en las esquinas. Hallar las dimensiones de la
    bandeja.
V= B.B.x = B2.x
                B + x + x = 70
                 B = 70 – 2x
                x = (70-B)/2
               V = (70 – 2x)2.x




                 B = 70 – 2x
               B= 70 – 2(70/6)
                 B = 46,667
 Podemos concluir que las dimensiones de la
  bandeja son 46,67 cm x 46,67 cm x 11,67 cm.
   Usted es un ingeniero que trabaja para una compañía aérea que
    lleva abastecimientos a los refugiados de una zona de guerra.
    Los abastecimientos se dejarán caer a baja altitud (500 m), de
    tal forma que la caída no sea detectada y que los
    abastecimientos caigan tan cerca como sea posible del campo
    de refugiados. Los paracaídas se abren en forma inmediata casi
    al salir del aeroplano. Para reducir el daño, la velocidad vertical
    de impacto debe ser menor que un valor crítico de vc= 20 m/s.
   El área transversal del paracaídas es la de una semiesfera
   A = 2πr2
   La longitud de cada una de las 16 cuerdas que sostienen el
    paracaídas con la masa está relacionada con el radio del
    paracaídas por
   l=
   La fuerza de arrastre en el paracaídas, es una función
    lineal de su área de sección transversal descrita por la
    siguiente fórmula
   c = kcA
   donde c =coeficiente de arrastre (kg/s) y kc =
    constante de proporcionalidad parametizando el
    efecto del área sobre el arrastre = 3 kg/(s.m2).
   También es posible dividir la carga total en tantos
    paquetes como quiera. Es decir, la masa de cada
    paquete individual se puede calcular como:
   Donde Mt= carga total que habrá que arrojarse (2000
    kg), m= masa de cada paquete individual (kg) y n=
    número total de paquetes.
 Por último, el costo de cada paracaídas está
  relacionado con el tamaño en una forma no lineal,
 Costo por paracaídas = c0 + c1 l + c2A2
 Donde c0, c1 y c2 = coeficientes de costo. El término
  constante, c0 es el valor base para el paracaídas
  ($200), c1 el coeficiente de costo por longitud
  ($56/m) y c2 el coeficiente de costo por área
  ($0.1/m2). La relación no lineal se debe a que la
  manufactura de los paracaídas de gran tamaño es
  más complicada que la de los paracaídas pequeños.
 Determine el tamaño (r) y el número de
  paracaídas (n) que pueden obtenerse a un mínimo
  costo, y que cumplan al mismo tiempo el
  requerimiento de tener una velocidad de impacto
  suficientemente pequeña.
 Objetivo: determinar la cantidad y el tamaño de
  paracaídas que minimicen el costo del
  planeador. El problema está restringido, ya que
  los paquetes deben tener una velocidad de
  impacto menor al valor crítico.
 El costo se puede calcular al multiplicar el valor
  de un paracaídas individual por el número de
  paracaídas (n).
 Función objetivo:
 Minimizar C = n(c0 + c1l + c2A2)
   Restricciones.
   1: la velocidad que debe ser menor o igual a la
    velocidad crítica
   v <= vc
   2: el número de paracaídas debe ser un entero mayor
    o igual a 1
   n >= 1       donde n es un entero.
   En este punto, el problema se ha formulado. Aunque
    el problema se ha formulado de forma amplia, algo
    más que debe tomarse en cuenta: ¿Cómo se
    determina la velocidad de impacto v? Recordemos
    que la velocidad de un objeto en caída se puede
    calcular con

   Donde v = velocidad (m/s), g = aceleración de la
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   Aunque esta ecuación provee la relación
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    tiempo cae la masa. Por tanto, es necesaria
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    puede calcular de la velocidad por
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   Donde z0 = altura inicial (m).
   Sin embargo, no se necesita z como una
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    esto, se debe calcular el tiempo requerido por
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    z0. Así, se reconoce que se ha formulado la
    ecuación como un problema de
    determinación de raíces. Esto es, se debe
    resolver para el tiempo en el cual z se acerca a
    cero.
   f(t) = 0 = z0
   Una vez que se calcula el tiempo de
    impacto, se puede sustituir en la ecuación de
    la velocidad con el fin de resolver la misma.
Minimizar C = n(c0 + c1l+ c2A2)
Sujeta a
v <= vc
n >= 1
donde
A = 2πr2
l=
c = kcA
t = raíz
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  • 1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS, FÍSICAS Y QUÍMICAS ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA TRABAJO DE MÉTODOS NUMÉRICOS MARÍA BELÉN CEVALLOS GILER CUARTO “C”
  • 2. La optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos.  La localización de raíces y la optimización están relacionadas, en el sentido de que ambas involucran valores iniciales y búsqueda de un punto sobre una función.
  • 3. OBJETIVO GENERAL: OBJETIVOS ESPECÍFICOS:  Comprender el concepto  Diferenciar entre de Optimización y localización de raíces y orientarlo a resolver optimización.  Comprender la importancia problemas prácticos de que esta tiene en el campo ingeniería. de la ingeniería.  Utilizar herramientas informáticas (Excel, Matlab, Mathcad) para resolver problemas de optimización.
  • 4. La localización de raíces involucra la búsqueda de raíces de una función o funciones. En contraste, la optimización involucra la búsqueda del mínimo o del máximo. Lo óptimo es el punto donde la curva es plana. En términos matemáticos, esto corresponde al valor de x donde la derivada f´(x) es igual a cero. Además, la segunda derivada, f´´ (x), indica si el óptimo es un mínimo o un máximo.
  • 5.
  • 6. Un problema de optimización trata de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un criterio determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significan que no cualquier decisión es posible. Los métodos de cálculo diferencial aún están en uso para determinar soluciones óptimas.
  • 7. Diseño de aviones para un mínimo peso y máxima resistencia.  Trayectorias óptimas de vehículos espaciales.  Diseño de estructuras en la ingeniería civil a un mínimo costo  Diseño de proyectos de abastecimiento de agua, como en presas, para mitigar el daño por inundación mientras se obtiene la máxima potencia de generación.  Predecir el comportamiento estructural al minimizar la energía potencial.
  • 8. Estrategia de corte de materiales para un costo mínimo.  Diseño de bombas y equipos de transferencia  Redes de tubería óptimas.  Maximizar la potencia de salida de redes eléctricas y maquinaria mientras se minimiza el calor generado.  Ruta más corta de un vendedor que visita varias ciudades durante un viaje de ventas.
  • 9.  Planeación óptima y calendarizada.  Análisis estadístico y moderado con un mínimo error.  Control de inventario  Planeación del mantenimiento para minimizar costos.  Minimizar tiempos de espera y ociosos.  Diseñar sistemas de tratamiento de aguas para cumplir con estándares de calidad del agua a bajo costo.
  • 10.  Derivar la función  Igualar a cero la derivada  Despejar los valores de x  Reemplazar estos valores en la ecuación original para obtener f(x) Ejemplo: f(x)= x^2*-2 f’(x)=2x 0=2x x=0 f(x)=-2 f”(x)= 2
  • 11. Un problema de programación matemática u optimización, se puede establecer de forma general como. Determine x, el cual maximiza o minimiza f(x) sujeto a di(x) <= ai i = 1, 2,…, m ei(x) = bi i= 1,2,…, p f(x) es la función objetivo; di(x) son restricciones de desigualdad; ei(x) son restricciones de igualdad, y ai y bi son constantes.
  • 12.  Si f(x) y las restricciones son lineales, tenemos programación lineal.  Si f(x) es cuadrática y las restricciones son lineales, tenemos programación cuadrática.  Si f(x) es no lineal o cuadrática y/o las restricciones son no lineales, tenemos programación no lineal
  • 13.  Cuando estas dos ecuaciones se incluyen, tenemos un problema de optimización restringida; de otra forma, es un problema de optimización no restringido: di(x) <= ai i = 1, 2,…, m ei(x) = bi i= 1,2,…, p
  • 14. Se clasifican en unidimensionales y multidimensionales. Los primeros involucran funciones que dependen de una sola variable, la búsqueda consiste entonces en ascender o descender los picos y valles unidimensionales. Los problemas multidimensionales involucran funciones que dependen de dos o más variables dependientes.
  • 15. En el mismo sentido, la optimización bidimensional se puede de nuevo visualizar como una búsqueda de picos y valles.
  • 16. Para la Optimización Optimización multidimensional no optimización restringida restringida unidimensional • Métodos directos: no restringida Búsquedas • Representación aleatorias, búsquedas gráfica • Búsqueda sección invariables y búsqueda de dorada patrones • Método • Interpolación • Métodos gradiente: Paso ascendente/descendente, g simplex cuadrática radiente • Método de Newton conjugado, Newton, Marqu ardt y métodos cuasi- Newton
  • 17. Se desea construir de una plancha rectangular de 70 x 70 cm una bandeja de volumen máximo cortándole cuadrados en las esquinas. Hallar las dimensiones de la bandeja.
  • 18. V= B.B.x = B2.x B + x + x = 70 B = 70 – 2x x = (70-B)/2  V = (70 – 2x)2.x  B = 70 – 2x  B= 70 – 2(70/6)  B = 46,667  Podemos concluir que las dimensiones de la bandeja son 46,67 cm x 46,67 cm x 11,67 cm.
  • 19. Usted es un ingeniero que trabaja para una compañía aérea que lleva abastecimientos a los refugiados de una zona de guerra. Los abastecimientos se dejarán caer a baja altitud (500 m), de tal forma que la caída no sea detectada y que los abastecimientos caigan tan cerca como sea posible del campo de refugiados. Los paracaídas se abren en forma inmediata casi al salir del aeroplano. Para reducir el daño, la velocidad vertical de impacto debe ser menor que un valor crítico de vc= 20 m/s.  El área transversal del paracaídas es la de una semiesfera  A = 2πr2  La longitud de cada una de las 16 cuerdas que sostienen el paracaídas con la masa está relacionada con el radio del paracaídas por  l=
  • 20. La fuerza de arrastre en el paracaídas, es una función lineal de su área de sección transversal descrita por la siguiente fórmula  c = kcA  donde c =coeficiente de arrastre (kg/s) y kc = constante de proporcionalidad parametizando el efecto del área sobre el arrastre = 3 kg/(s.m2).  También es posible dividir la carga total en tantos paquetes como quiera. Es decir, la masa de cada paquete individual se puede calcular como:  Donde Mt= carga total que habrá que arrojarse (2000 kg), m= masa de cada paquete individual (kg) y n= número total de paquetes.
  • 21.  Por último, el costo de cada paracaídas está relacionado con el tamaño en una forma no lineal,  Costo por paracaídas = c0 + c1 l + c2A2  Donde c0, c1 y c2 = coeficientes de costo. El término constante, c0 es el valor base para el paracaídas ($200), c1 el coeficiente de costo por longitud ($56/m) y c2 el coeficiente de costo por área ($0.1/m2). La relación no lineal se debe a que la manufactura de los paracaídas de gran tamaño es más complicada que la de los paracaídas pequeños.  Determine el tamaño (r) y el número de paracaídas (n) que pueden obtenerse a un mínimo costo, y que cumplan al mismo tiempo el requerimiento de tener una velocidad de impacto suficientemente pequeña.
  • 22.  Objetivo: determinar la cantidad y el tamaño de paracaídas que minimicen el costo del planeador. El problema está restringido, ya que los paquetes deben tener una velocidad de impacto menor al valor crítico.  El costo se puede calcular al multiplicar el valor de un paracaídas individual por el número de paracaídas (n).  Función objetivo:  Minimizar C = n(c0 + c1l + c2A2)
  • 23. Restricciones.  1: la velocidad que debe ser menor o igual a la velocidad crítica  v <= vc  2: el número de paracaídas debe ser un entero mayor o igual a 1  n >= 1 donde n es un entero.  En este punto, el problema se ha formulado. Aunque el problema se ha formulado de forma amplia, algo más que debe tomarse en cuenta: ¿Cómo se determina la velocidad de impacto v? Recordemos que la velocidad de un objeto en caída se puede calcular con  Donde v = velocidad (m/s), g = aceleración de la gravedad (m/s2), m = masa (kg) y t =tiempo (s).
  • 24. Aunque esta ecuación provee la relación entre v y t, se necesita conocer en cuanto tiempo cae la masa. Por tanto, es necesaria una relación entre la distancia de caída z y el tiempo de caída t. La distancia de caída se puede calcular de la velocidad por integración:  Esta integral se puede evaluar para obtener  Donde z0 = altura inicial (m).
  • 25. Sin embargo, no se necesita z como una función de t para resolverla. En lugar de esto, se debe calcular el tiempo requerido por el paquete para recorrer en caída la distancia z0. Así, se reconoce que se ha formulado la ecuación como un problema de determinación de raíces. Esto es, se debe resolver para el tiempo en el cual z se acerca a cero.  f(t) = 0 = z0  Una vez que se calcula el tiempo de impacto, se puede sustituir en la ecuación de la velocidad con el fin de resolver la misma.
  • 26. Minimizar C = n(c0 + c1l+ c2A2) Sujeta a v <= vc n >= 1 donde A = 2πr2 l= c = kcA t = raíz