documento con ejemplos de como operar con monomios y polinomios

1. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
1
OPERACIONES CON MONOMIOS Y
POLINOMIOS
UNIDAD IV
IV.1 OPERACIONES CON MONOMIOS
Una variable es un elemento de una fórmula, proposición o algoritmo que puede adquirir o ser sustituido
por un valor cualquiera.
Un coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a una variable.
Una constante es un valor fijo, aunque a veces no determinado.
Expresiones algebraicas son todas aquellas que combinan constantes y variables mediante operaciones.
Ejemplos.
1)
432
9 zyx , el coeficiente es 9 y las variables son
432
zyx
2) 4
85
7
2
3
4
d
c
ba +− , los coeficientes son
3
4
− y
7
2
; las variables son
85
ba y 4
d
c
Un término algebraico es cada sumando de una expresión algebraica.
Los términos poseen grados de dos tipos:
• Grado absoluto. Es la suma de los exponentes de las literales que forman al término.
• Grado relativo. Es aquel exponente que tiene una literal específica.
Ejemplos.
1) En el término
432
5 zyx , el grado absoluto es 9 y el grado relativo de la literal x es 2 .
2) En el término
65
7 bca , el grado absoluto es 12 y el grado relativo de la literal b es 1.
Se define como monomios a las expresiones algebraicas que constan de un solo término.
Ejemplos.
1) cba 24
5
2) ( )433
11
2
yx−
3)
7
5 a
El valor numérico de un monomio es el número que se obtiene al sustituir las literales por valores
específicos, después de efectuar las operaciones indicadas.

2. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
2
Ejemplos.
1) Si en el monomio ba2
4 , las literales toman los valores 2=a y 3−=b , su valor numérico es:
( )( ) 48324 2
−=−
2) Si en el monomio
23
3
4
yzx− , las literales toman los valores 1−=x , 9=y y
2
1
=z , su valor
numérico es: ( ) 3
2
1
91
3
4
2
3
=





−−
Términos semejantes. Son aquellos que tienen la parte literal igual. Dos o más términos son semejantes
cuando tienen la misma parte literal, es decir, las mismas literales elevadas a los mismos exponentes.
Ejemplos.
1)
2
3x y
2
7x son términos semejantes
2)
342
2
5
npmk y
432
12 mpnk− son términos semejantes
3) ba2
2 y
2
6ab no son términos semejantes
Suma de monomios
Para sumar monomios tienen que ser semejantes. El resultado es un monomio semejante a ellos que
tiene por coeficiente la suma de los coeficientes de cada monomio.
Ejemplos.
Sumar los siguientes monomios:
1)
44444
194825 xxxxx =+++
2) cbabcacbacba 52525252
1027 =++
3)
3333
12
7
4
5
2
1
3
4
yzyzyzyz =





−++
Resta de monomios
Para restar monomios también es necesario que sean semejantes. El resultado es un monomio
semejante a ellos que tiene por coeficiente la resta de los coeficientes de cada monomio.
Ejemplos.
1)
22222
42411 xxxxx =−−−
2)
34433434
7121015 mkkmmkmk −=−−
3) cabacbcabcab 2222
10
11
2
2
1
5
2
−=−





−−

3. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
3
Multiplicación de monomios
Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Una vez que se aplican las leyes de los
exponentes que se requieran, se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de cada literal.
Ejemplos.
1) ( )( ) 853
1052 xxx =
2) ( )( )( ) 6384552232
84734 hgfehfhgegfe −=−
3) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2520161236624433223
00021612525 zy,zyzyzyzyzyyz −=−=−−
División de monomios
Para dividir dos monomios, tampoco es necesario que sean semejantes. Una vez que se aplican las
leyes de los exponentes que se requieran, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de cada
literal.
Ejemplos.
1)
3
2
5
2
6
12
a
a
a
=
2) zx
zyx
zyx 2
52
254
4
16
64
=
3) 4
33
343
72
435
6
6
8
48
m
nk
nmk
nmk
nmk
−=−=
−
−
IV.2 OPERACIONES CON POLINOMIOS
Un polinomio en x de grado n es una expresión del tipo:
( ) n
no xaxaxaxaxaaxP ++++++= L4
4
3
3
2
21
donde ∈n N y no a,,a,a,a L21 son coeficientes reales y se lee como “ P de x ”.
El grado de un polinomio con respecto a una literal es el mayor exponente de sus términos.
Ejemplos.
1) 32
8625 xxx +−+ el grado es 3
2)
243
101282 xxxx +−+− el grado es 4
3)
235243
57812714 xmmxmxmmx +−+++ el grado con respecto a x es 5
Para ordenar un polinomio con respecto a una literal, se puede efectuar de manera descendente
(posicionándola de mayor a menor grado) o de forma ascendente (ubicándola de menor a mayor grado).
Ejemplos.

4. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
4
1) El polinomio xxxx 105692 342
+−+− ordenado de forma descendente es:
910256 234
−++− xxxx
2) El polinomio
3322
57128 xyyxyx +−+ ordenado de forma ascendente con respecto a x es:
yxyxxy 3223
78512 −++
Completar un polinomio es añadir los términos intermedios que falten poniendo de coeficiente 0 .
Ejemplo.
El polinomio
463
513928 xxxx −−−− ordenado de forma descendente y completándolo es:
29085013 23456
−−++−+− xxxxxx
Suma de polinomios
Para sumar polinomios se suprimen los signos de agrupación precedidos del signo ( )+ , dejando el mismo
signo de cada uno de los términos que se hallan dentro de él y se simplifican los términos que sean
semejantes.
Ejemplos.
1) ( ) ( ) 4911247351124735 22222
−−=−+++−=−+++− xxxxxxxxxx
2) ( ) ( ) kkkkkkkkkkkkkk 421258736421258736 5324253242
−+++−−+=−+++−−+
8281272 2345
−+++−= kkkkk
3) ( ) ( ) ( )27119358416 3333222233
+−+−+−++−+ abbabaabbababaab
12413627119358416 32233333222233
+−+=+−+−+−++−+= abbabaabbabaabbababaab
4) 





+−+





+++





+− xxxxxx
5
6
1
4
3
2
11
5
8
4
2
5
3
4
6
7 222
3
17
15
58
20
97
5
6
1
4
3
2
11
5
8
4
2
5
3
4
6
7 2222
++=+−+++++−= xxxxxxxx
Resta de polinomios
Para restar polinomios se suprimen los signos de agrupación precedidos del signo (-), cambiando el signo
de cada uno de los términos del sustraendo y se simplifican los términos que sean semejantes.
Ejemplos.
1) ( ) ( ) 5627254956272549 23232323
−++−−++=+−−−−++ xxxxxxxxxxxx
71162 23
−++= xxx
2) ( ) ( )aaaaaaaaa 394573144925 4632354
+−−+−−+−−+
aaaaaaaaa 394573144925 4632354
−++−+−+−−+=
212391194 23456
++−−+−= aaaaaa
3) ( ) ( ) ( )pkpkkppkpkkppkpk 22342234232
3615524484105 −+−−+−−+−+

5. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
5
pkpkkppkpkkppkpk 22342234232
3615524484105 +−−+−+−+−+=
7131214 4223
−++−= kppkpk
4) 





+−−−





+−−





+− 7
3
1
4
11
2
9
5
12
3
4
7
8
6
5
3
2 222
xxxxxx
15
59
7
1
12
31
7
3
1
4
11
2
9
5
12
3
4
7
8
6
5
3
2 2222
−+−=−++−+−+− xxxxxxxx
Producto de un monomio por un polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplican todos los términos del polinomio por el
monomio, es decir, es una suma de producto de monomios.
Ejemplos.
1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8222723252827352 222232422342
xxxxxxxxxxxxxx −++−=−++−
23456
16414610 xxxxx −++−=
2) ( )( )2253423
73621095 bababaabba −++−+−
432423357664
351530105045 babababababa +−−+−−=
3) ( )32342534342
102261284
2
3
ehghehfgehefgfe −++−−





334324423454362845383
1533918126 hgfehgfegfehgfegfehgfe −++−−=
4)
543543322
5
2
15
15
6
15
15
2
3
1
53 aaaaaaaaaa +−=+−=





+−
Multiplicación de dos polinomios
Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva del producto sobre la suma, esto es, se
multiplican todos los términos del segundo polinomio por cada uno de los términos del primero y se
reducen los términos semejantes. La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición.
Ejemplos.
1) ( )( ) 12422410352062112274653 22323422
+−+−+−+−=+−+− xxxxxxxxxxxx
1252654112 234
+−+−= xxxx
2) ( )( ) 422332242222
361444819216644169124 bbaabbabaabababa −++−−=−+−
432234
364812819264 babbabaa −++−=
3) ( )( ) 4472224346223432
2515215106653152 zyzyzyyzzyzyyzzyyzyzyz −−−−+=−−+−−
yzzyzyyz ++−++ 23325
65530
División de un polinomio por un monomio
Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada término del dividendo por el divisor, es decir, es
una suma de cociente de monomios.

6. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
6
Ejemplos.
1) xxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
7425
12
84
12
48
12
24
12
60
12
84482460 234
2
3
2
4
2
5
2
6
2
3456
+−−=+−−=
+−−
2) 313188
5
155659040 42233
3
353253643
−+++−=
−
+−−−
yywywy
yw
ywywywywyw
3) 342
344546653376445
6
9024366054
rqp
rqprqprqprqprqp −−−−
2243343
1546109 prppqrqprp −−−−=
Cociente de dos polinomios
Para dividir dos polinomios se efectúa el siguiente procedimiento:
• Se ordenan los polinomios de forma descendente con respecto al grado de una misma variable.
• Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor y se obtiene el primer
término del cociente.
• Se resta del dividendo el producto del primer término del cociente por el divisor y se obtiene el primer
residuo (esto implica cambiar todos los signos del producto efectuado y reducir términos semejantes
con el dividendo).
• Se bajan los términos restantes del dividendo sumándolos al residuo anterior.
• Se divide el primer término del residuo por el primer término del divisor, obteniendo así el segundo
término del cociente.
• Se procede de forma análoga hasta obtener un residuo nulo o de grado inferior al del divisor.
• Comprobar el resultado mediante el algoritmo: ( )( ) dividendoresiduodivisorcociente =+
Ejemplos.
1) Dividir 95256 234
+−−− xxxx por 3+x
Solución.
1129
42
3311
911
62
952
279
95259
3
952563
23
2
2
23
23
34
234
−+−
+
+−
−−
+−
+
+−−−
−−
+−−−+
xxx
x
x
xx
xx
xx
xxx
xx
xxxxx
Comprobación: ( )( ) 4233627311294211293 2323423
+−+−+−+−=+−+−+ xxxxxxxxxxx
95256 234
+−−−= xxxx

7. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
7
2) Dividir 14232 234
++−+ xxxx por 12
+− xx
Solución.
152
0
1
1
555
1445
222
142321
2
2
2
23
23
234
2342
++
−+−
+−
−+−
++−
−+−
++−++−
xx
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
Comprobación: ( )( ) 0152525201521 22323422
++++−−−++=++++− xxxxxxxxxxxx
14232 234
++−+= xxxx
3) Dividir 83
+x por 2+x
Solución.
Completando el polinomio y efectuando la división:
42
0
84
84
42
802
2
8002
2
2
2
23
23
+−
−−
+
+
++−
−−
++−+
xx
x
x
xx
xx
xx
xxxx
Comprobación: ( )( ) 80842420422 32232
+=++−++−=++−+ xxxxxxxxx
83
+= x
4) Dividir 9142230 23
+−− kkk por 35 +k
Solución.

8. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
8
286
3
610
910
2440
91440
1830
914223035
2
2
2
23
23
+−
−−
+
+
+−−
−−
+−−+
kk
k
k
kk
kk
kk
kkkk
Comprobación: ( )( ) 362418104030328635 2232
++−++−=++−+ kkkkkkkk
9142230 23
+−−= kkx
5) Dividir
3223
422430 babbaa +−+ por ba 46 −
Solución.
La división se ejecutará respecto a la variable a :
22
32
32
22
322
23
3223
45
0
46
46
1624
42224
2030
42243046
baba
bab
bab
abba
babba
baa
babbaaba
−+
−
+−
+−
+−
+−
+−+−
Comprobación: ( )( ) 32222322
416206243004546 babbaabbaabababa +−−−+=+−+−
3223
422430 babbaa +−+=
IV.3 VALOR Y GRÁFICA DE POLINOMIOS EN UNA SOLA VARIABLE
Dado un polinomio de la forma:
( ) n
n
n
no xaxaxaxaxaaxP ++⋅⋅⋅++++= −
−
1
1
3
3
2
21
Se conoce como valor de un polinomio ( ) n
n
n
no xaxaxaxaxaaxP ++⋅⋅⋅++++= −
−
1
1
3
3
2
21 para
cx = , al valor numérico que toma el polinomio cuando se sustituye la variable, x , por el número c y se
realizan las operaciones. Se denota como ( )cP y se lee “ P de c ”.

9. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
9
Ejemplos.
1) Evaluar el polinomio ( ) 1485 2
++−= xxxP para 3=x .
Solución.
( ) ( ) ( ) 71424451438353 2
−=++−=++−=P
2) Evaluar el polinomio ( ) 5674 234
++++= xxxxxP para 2−=x .
Solución.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5512283216526272422 234
=+−+−=+−+−+−+−=−P
3) Evaluar el polinomio ( ) 27108 23
+−+= xxxxP para
4
1
=x .
Solución.
=+−+=+−+=+





−





+





=





2
4
7
8
5
8
1
2
4
7
16
10
64
8
2
4
1
7
4
1
10
4
1
8
4
1
23
P
1
8
8
8
161451
==
+−+
=
Como se definió en el subtema I.6, el plano cartesiano es un sistema formado por dos ejes numéricos
reales perpendiculares donde su origen es el punto en que se cruzan. El eje horizontal ( )x recibe el
nombre de eje de las abscisas y el eje vertical ( )y recibe el nombre de eje de las ordenadas.
La gráfica de un polinomio está formada por el conjunto de parejas coordenadas ( )y,x que cumplen o
satisfacen la regla de correspondencia ( )xP .
Los polinomios ( )xP pueden evaluarse para todo ∈x R y por ello se unen los puntos obtenidos para
obtener sus gráficas.
Para fines prácticos, para valores diferentes de x se pueden obtener los valores de ( )xP , generando
puntos de coordenadas ( )[ ]xP,x que se localizan en el plano coordenado y que al unirse conforman su
gráfica.
La variable x recibe el nombre de variable independiente y a ( )xP se le conoce como variable
dependiente, es decir, que está en función de la variable x .
Ejemplo.
Tabular y graficar los siguientes polinomios en los intervalos pedidos:
1) ( ) 62
−−= xxxP en el intervalo [ ]65,−
Solución.
Tabulando con los valores enteros del intervalo:

10. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
10
x ( )xP
5− ( ) ( ) 246525655 2
=−+=−−−−
4− ( ) ( ) 146416644 2
=−+=−−−−
3− ( ) ( ) 6639633 2
=−+=−−−−
2− ( ) ( ) 0624622 2
=−+=−−−−
1− ( ) ( ) 4611611 2
−=−+=−−−−
0 ( ) 6600600 2
−=−−=−−
1 66116112
−=−−=−−
2 46246222
−=−−=−−
3 06396332
=−−=−−
4 664166442
=−−=−−
5 1465256552
=−−=−−
6 2466366662
=−−=−−
x
15
-4 6
10
-5
-10
4
20
25
-6 2-2 531-3-5 -1
5
y
2) ( ) 896 23
+−+−= xxxxP en el intervalo [ ]51,−
Solución.
Tabulando con los valores enteros del intervalo:
x ( )xP
1− ( ) ( ) ( ) 248961819161 23
=+++=+−−−+−−
0 ( ) ( ) 88000809060 23
=+−+=+−+
1 ( ) ( ) ( ) 48961819161 23
=+−+−=+−+−
2 ( ) ( ) ( ) 6818248829262 23
=+−+−=+−+−
3 ( ) ( ) ( ) 88275427839363 23
=+−+−=+−+−
4 ( ) ( ) ( ) 48369664849464 23
=+−+−=+−+−
5 ( ) ( ) ( ) 12845150125859565 23
−=+−+−=+−+−

11. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
11
x
16
-8
y
2 5
-16
8
4
12
-4
-12
1 4
20
24
-1 3
3) ( ) 59 24
+−= xxxP en el intervalo [ ]33,−
Solución.
Tabulando con los valores enteros del intervalo:
x ( )xP
3− ( ) ( ) 5581815393 24
=+−=+−−−
2− ( ) ( ) 15536165292 24
−=+−=+−−−
1− ( ) ( ) 35915191 24
−=+−=+−−−
0 ( ) ( ) 55005090 24
=+−=+−
1 ( ) ( ) 35915191 24
−=+−=+−
2 ( ) ( ) 15536165292 24
−=+−=+−
3 ( ) ( ) 5581815393 24
=+−=+−
x
10
-5
y
-3 -2 -1 1 2 3
-10
5
-15

12. Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Operaciones con monomios y polinomios Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
12
4) ( ) 92
+−= xxP en el intervalo [ ]44,−
Solución.
Tabulando en con los valores enteros del intervalo:
x ( )xP
4− ( ) 791694 2
−=+−=+−−
3− ( ) 09993 2
=+−=+−−
2− ( ) 59492 2
=+−=+−−
1− ( ) 89191 2
=+−=+−−
0 ( ) 99090 2
=+=+−
1 ( ) 89191 2
=+−=+−
2 ( ) 59492 2
=+−=+−
3 ( ) 09993 2
=+−=+−
4 ( ) 791694 2
−=+−=+−
x
6
-6
y
-2 3
-10
2
-2
4
-4
-8
-1 2
8
10
-3 1-4 4