RESOLUCION DE ECUACIONES LOGARITMICAS DE BASE 10

1. .
1. Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones:
 3 4
log4 log 2 3x  
Vamos a ir poco a poco aplicando las propiedades que tenemos al principio del documento.
El primer término de la ecuación está bien así. Vamos a trabajar con el segundo término.
3log 2 log34  Aplicamos la propiedad 3ª  3 4
log2 log3
3 4
log2 log3  Aplicamos la propiedad 1ª   3 4
log 2 3
Una vez aplicadas todas las propiedades posibles, nos queda:
 3 4
log4 log 2 3x    Tachamos logaritmos  3 4
log4 log 2 3x    3 4
4 2 3x  
Resolvemos la ecuación
3 4
4 2 3x   
3 4
2 3
4
x

 162
Ahora lo que tenemos que hacer es comprobar nuestro resultado. Para ello sustituimos en valor de x
por 162 en la ecuación inicial
log 4·162 3log 2 4log3   2,81 0,91 1,9   2,81 2,81 Resultado correcto, 162x 

2.  log 2 4 2x  
Este ejercicio es muy fácil de hacer. Si nos fijamos bien, lo único que tenemos que hacer es convertir el 2
en logaritmo de base diez
2 log100  en base diez, siempre será un 1 seguido de tantos ceros como el número que vaya a
pasar, en este caso era 2
Con lo cual nuestra ecuación nos quedará de la siguiente forma
 log 2 4 log100x   ; Ahora podemos eliminar los logaritmos y resolveremos la ecuación resultante
como hicimos en el ejercicio anterior
 log 2 4 log100x     2 4 100x   
104
2 100 4; 52
2
x x   
Comprobamos el resultado
 log 2·52 4 2    log 104 4 2   log100 2 ; 2 2 Resultado correcto, 52x 

3.  4log 3 2 1x  
   
4
4log 3 2 log 3 2
1 log0,1
x x   

 
  
4
log 3 2 log0,1x    
4
log 3 2 log0,1x 
 
4
3 2 0,1x   Dos opciones: desarrollar el polinomio o aplicar raíz cuarta en cada término
 
4
4 4
3 2 0,1x    
4
4 4
3 2 0,1x   4
3 2 0,1x   3 2 0,56x  
 2 0,56 3x    2 2,44x   
2,44
1,22
2
x

 

Comprobaremos la solución
 4log 3 2·1,22 1     4 log 3 2,44 1     4 log0,56 1   
  4 0,25 1 1 1        Resultado correcto, 1,22x 

4.    log 1 log log 9x x x   
    
 
log 1 log log 1
log 9
x x x x
x
     


     log 1 log 9x x x  
Eliminamos los logaritmos
    log 1 log 9x x x       1 9x x x  
   1 9x x x    2 2
9 9 3x x x x x       
Empezaremos comprobando x = 3
   log 3 1 log3 log 3 9     log 4 log3 log12   0,60 0,48 1,08 1,08 1,08    
 Resultado correcto, 3x 
Ahora comprobaremos x = -3
   log 3 1 log 3 log 3 9             log 2 log 63 log    . No existen los logaritmos de
los números negativos, con lo cual no se cumple la ecuación y por lo tanto x =-3 no es solución

5.    log 3 log2 log 2x x   
 
   
2
log 2 log 2 log
2
log 3 log 3
x
x
x x

  

   
  
2
log log 3
2
x
x
 

2
3
2
x
x
 

 Multiplicamos en cruz (manera fácil de resolver)   2 3 2x x   
 2
2 2 3 6x x x     2
5 4 0x x   ; resolvemos la ecuación de segundo grado
2
5 5 4 1 4 5 25 16 5 9 5 3
2 1 2 2 2
x
           
   


1
2
5 3
4
2
5 3
1
2
x
x
 
  

    

Último paso, comprobar las soluciones.
Empezaremos con x = -4
   log 4 3 log2 log 4 2          log 1 log2 log 2    No existen los logaritmos de los
números negativos, con lo cual no se cumple la ecuación y por lo tanto x =-4 no es solución
Comprobaremos ahora x = -1
   log 1 3 log2 log 1 2       log 2 log 2 log1   0,30 0,30 0   0,30 0,30 
 Resultado correcto, 1x  

6. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas
log (x2
+ 15) = log (x + 3) + log x
2log (x + 5) = log (x + 7)
4log)1log(1log  xxx
2
)4log(
)7log( 2



x
x
2log (3x - 4) = log 100 + log (2x + 1)2
log2
x - 3log x = 2