guia solucionario

1. Edumate
Asesor´ıa de ´Algebra Prof. Carlos Torres
Logaritmos en R
Consideraciones
Para resolver los problemas relacionados con logarit-
mos, utilizaremos algunas teoremas y definiciones que
se enuncian a continuaci´on:
1. Identidad fundamental logar´ıtmica
blogb N
= N
2. Regla de intercambio
alogb c
= clogb a
3. logb b = 1
4. logb 1 = 0
5. logb x + logb y = logb (xy)
6. logb x − logb y = logb
x
y
7. logb xm
= m logb x
8. logbn xm
=
m
n
logb x
9. logbm xm
=
m
m
logb x = logb x
10. logb x =
1
logx b
11. Regla de la cadena:
loga b logb c logc d = loga d
12. Regla de cambio de base:
logb x =
logm x
logm b
13. Cologaritmo
cologbx = − logb x
14. Antilogaritmo
antilogbx = bx
Soluciones
1. Si log 3√
x 16 = 4, calcule logx 2x.
a) 2/5 b) 2/3 c) 5/3
d) 4/5 e) 4/3
Resoluci´on:
Del dato, aplicando propiedades del logaritmo
tenemos:
log 3√
x 16 = 4 ⇒ logx 163
= 4
⇒ 212
= x4
⇒ x = 23
Reemplanzado este resultado en logx 2x:
log23 2 23
= log23 24
=
4
3
∴ logx 2x =
4
3
Clave e
2. Si
1
x − y
+
1
y − z
=
1
x − z
tal que x > y > z > 0
el valor de
log(x − y) + log(y − z)
log(x − z)
es
a) 1 b) 2 c) 1/2
d) 3 e) 3/2
Resoluci´on:
De la condici´on:
1
x − y
+
1
y − z
=
1
x − z
se obtiene:
(x − z)2
= (x − y) (y − z)
Luego, para
log(x − y) + log(y − z)
log(x − z)
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2. Edumate
Asesor´ıa de ´Algebra Prof. Carlos Torres
aplicando propiedades del logaritmo:
log (x − y) + log (y − z)
log (y − z)
=
log (x − y) (y − z)
log (y − z)
=
log (x − z)2
log (x − z)
= 2
log (x − z)
log (x − z)
= 2
Clave b
3. Indique el valor aproximado de
2 log 3a − log 2a − log 4a , a > 0
Sabiendo que log 2 = 0, 30103 y log 3 = 0, 47712.
a) 0.05 b) 0.66 c) 0.20
d) 0.03 e) 0.10
Resoluci´on:
Aplicando propiedades de logaritmos, tenemos la
expresi´on reducida:
2 log 3a − log 2a − log 4a = log 9a2
− log 2a − log 4a
= log
9a2
2a
= log
9a
2
− log 4a
= log 9 − log 8
= 2 log 3 − 3 log 2
Ahora, como log 2 = 0, 30103 ≈ 0, 30 y
log 3 = 0, 47712 ≈ 0, 48, tenemos que:
2 log 3 − 3 log 2 = 2 (0, 48) − 3 (0, 30)
= 0, 05
Clave d
4. El valor de antilogb2 (logb3 4) es
a) 2 b) 4 c) 2
√
2
d) 2
3
√
2 e)
√
2
Resoluci´on:
Aplicando definici´on de antilogaritmo:
antilogb2 (logb3 4) ⇒ b2 logb3 4
Luego por las propiedades de logaritmo:
b2 logb3 4
= b
2
3
logb 4
= blogb
3√
42
=
3
√
42 = 2
3
√
2
Clave d
5. Dado y = log√
2 antilog 4√
2colog 6√
28, calcule log y
a) 2 log 3 b) −2 log 3 c) 3 log 2
d) -2 e) No existe en R
Resoluci´on:
Aplicando definici´onde cologaritmo y antilogari-
mo, en ese orden:
y = log√
2 antilog 4√
2colog 6√
28
= log√
2 antilog 4√
2 − log 6√
2 8
= log√
2
4
√
2
− log 6√
2
8
Ahora, aplicando propiedades de logaritmo:
log√
2 2
− 1
4
log 6√
2
8
= log√
2 2
− 1
4
log 6√
2
6 86
= log√
2
4
√
2
− log2 218
= − log2 218
. log2
√
2
= −18
1
2
= −9
Luego, como y = −9, el logaritmo
log y = log (−9)
no existe en R.
Clave e
6. Halle x, si
log3 log5 2x3
= 6 + log3 log5 2
a) 6 b) 3 c) 5
d) 9 e) 8
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3. Edumate
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Resoluci´on:
Para la ecuaci´on logar´ıtmica, si consideramos
6 = log3 36
, entonces se obtiene:
log3 log5 2x3
= 6 + log3 log5 2
⇒ log3 log5 2x3
= log3 36
log5 2
Luego de la igualdad de logaritmos:
log5 2x3
= 36
log5 2
⇒ 2x3
= 236
⇒ 2x3
= 2323
Finalmente se observa que x = 32 = 9
Clave d
7. Al resolver el sistema
x2 − y2 = 99
log x + log y = 1
halle el valor de x2 + y2
a) 11 b) 111 c) 101
d) 1001 e) 199
Resoluci´on:
Del sistema de ecuaci´ones, para la ecuaci´on
log x + log y = 1 tenemos:
log x + log y = 10 ⇒ log (xy) = 1
⇒ xy = 10
De la ´ultima igualdad se desprende intuitiva-
mente que x = 10 y y = 1. Ahora, analizamos
en la primera ecuaci´on del sistema para compro-
bar estos valores:
x2
− y2
= 99 ⇒ 102
− 12
= 99
De lo anterior, decimos entonces que x = 10 y
y = 1
Luego,
x2
+ y2
= 102
+ 12
= 101
Clave c
8. Halle la mayor soluci´on de la ecuaci´on:
x2
+ 1 = log2(x + 2) − 2x
a) -1 b) 0 c) 1/2
d)
√
2 e) 2
Resoluci´on:
Este problema se debe resolver por medio de
gr´afica de funciones. Sin embargo, utilizaremos
simple inspecci´on para encontrar la soluci´on de
la ecuaci´on.
Al respecto, acomodamos la ecuaci´on convenien-
temente:
x2
+ 1 = log2(x + 2) − 2x
⇒ (x + 1)2
= log2 (x + 2)
⇒ 2(x+1)2
= x + 2
De la ´ultima igualdad es f´acil comprobar que los
valores de x son:
x1 = −1 ∧ x2 = 0
ya que verifican la igualdad. Entonces la mayor
soluci´on de la ecuaci´on es 0.
Clave b
9. Si
10x
+ 10y
= p ; x − y = log
p + q
p − q
Hallar: 10x − 10y
a) p − q b) 2q c) q
d)
p + q
p − q
e) log p − log q
Resoluci´on:
De la segunda igualdad, se obtiene:
x − y = log
p + q
p − q
⇒ 10x−y
=
p + q
p − q
Ahora consideremos 10x = a y 10y = b, de lo que
se obtiene que:
10x
+ 10y
= p ⇒ a + b = p
Luego, como
10x−y
=
p + q
p − q
⇒
10x
10y
=
p + q
p − q
⇒
a
b
=
p + q
p − q
De este ´ultimo resultado, aplicamos una
propiedades de razones y proporciones, espec´ıfi-
camente:
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4. Edumate
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a
b
= k ↔
a + b
a − b
=
k + 1
k − 1
Entonces,
a
b
=
p + q
p − q
⇒
a + b
a − b
=
p
q
De ah´ı que:
q = a − b
Sustituyendo la variable original:
q = a − b ⇒ 10x
− 10y
= q
Clave c
10. Reducir
loga
n√
n+ 1
n loga (1+loga n)
loga nn + n
a) n b) n
√
n c) an
d) n
√
a e) a
√
n
Resoluci´on:
En este problema vamos a trabajar separada-
mente.
En primer lugar, simplificamos el ´ındice de la
ra´ız aplicando propiedades de logaritmos, as´ı:
loga
n
√
n +
1
n
loga (1 + loga n)
=
1
n
loga n +
1
n
loga (loga a + loga n)
=
1
n
loga n +
1
n
loga (loga (an))
=
1
n
loga (n loga (an))
=
1
n
loga (loga (an
nn
))
Luego, en el radicando:
loga nn
+ n = loga an
+ n loga a
= loga (an
.nn
)
Ahora, la expresi´on reducida equivale a:
1
n loga(loga(an.nn
))
loga (an.nn)
Multiplicamos por n tanto al ´ındice como al ex-
ponente del radicando de esta ´ultima igualdad:
n( 1
n )loga(loga(an.nn
))
(loga (annn))n
Entonces, se obtiene:
loga(loga(an.nn
))
(loga (an.nn))n
Hacemos un cambio de variable, sea
loga (an
.nn
) = x
Luego, sustituyendo se obtiene:
loga x
(x)n
= x
n
loga x
Ahora, aplicamos la propiedad (10) y la identi-
dad fundamental logar´ıtmica, de lo que resulta:
xn logx a
= xlogx an
= an
Finalmente:
loga
n√
n+ 1
n loga (1+loga n)
loga nn + n = an
Clave c
11. Resolver la ecuaci´on:
x + log (1 + 2x
) = x log 5 + log 6
Hallar: x+1
√
x − 1
a) 0 b) 1 c) 3
d) 8 e) 2
Resoluci´on:
Del problema, consideramos
x = x log 10 ⇒ log 10x
Sustiyendo este resultado en el enunciado de
problema:
log 10x
+ log (1 + 2x
) = x log 5 + log 6
Ahora, aplicando propiedades de logaritmos:
log 10x
+ log (1 + 2x
) = x log 5 + log 6
log [10x
(1 + 2x
)] = log (5x
.6)
5x
2x
(1 + 2x
) = 5x
6
2x
+ 22x
= 6
De este ´ultimo resultado, formamos la ecuaci´on:
22x
+ 2x
− 6 = 0 → (2x
+ 3) (2x
− 2) = 0
de donde:
2x
= −3 ∨ 2x
= 2
donde s´olo se considera 2x = 2, ya que 2x = −3
es un absurdo. Finalmente:
2x
= 2 ⇒ x = 1
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5. Edumate
Asesor´ıa de ´Algebra Prof. Carlos Torres
Clave a
12. Indicar una soluci´on de
log2 x + logx 2
log2 x + 3
=
1
2
a) 1 b) 4 c) 8
d) 16 e) 1/2
Resoluci´on:
Para que la soluci´on de este problema no sea tan
engorroso, hacemos un cambio de variable:
log2 x = a
donde ademas aplicando la propiedad (10) sabe-
mos que:
1
a
= logx 2
Luego, reemplazando estos resultados en el enun-
ciado original:
a + 1
a
a + 3
=
1
2
Este ´ultimo resultado equivale a:
a2
− 3a + 2 = 0 → (a − 2) (a − 1) = 0
⇒ a = 2 ∨ a = 1
Ahora, sustituyendo la variable original:
log2 x = 2 (1)
log2 x = 1 (2)
De (1) se obtiene que x = 4 y de (2) que x = 2.
Clave b
13. Si una soluci´on del sistema
log y = x3 + 4
log1000 y = x2
es de la forma (10m
; 10n
), halle mn
a) 4 log 2 b) 15 c) 11
d) 4 log 8 e) 2 log 2
Resoluci´on:
Por propiedades de logaritmos, se obtiene el sis-
tema equivalente:
log y = x3 + 4
log y = 3x2
Ahora, igualando miembro a miembro:
x3
+ 4 = 3x2
→ x3
− 3x2
+ 4 = 0
Resolvemos esta ecuaci´on:1
x3
− 3x2
+ 4 = (x + 1) x2
− 4x + 4 = 0
(x + 1) (x − 2)2
= 0 ⇒ x1 = −1 ∨ x2 = 2
Evaluamos estos resultados en el sistema:
x1 = −1 → log y = 3
x2 = 2 → log y = 12
De lo anterior, aplicando definici´on de logaritmo:
x1 = −1 → y1 = 103
x2 = 2 → y2 = 1012
Entonces, una soluci´on de sistema ser´a
(10m
; 10n
) = 2; 1012
Ahora, igualando las componentes de este par or-
denado:
10m
= 2 ⇒ m = log 2
10n
= 1012
⇒ n = 12
Luego,
mn = 12 log 2 → mn = 4 log 8
Clave d
1
La factorizaci´on de polinomio x3
− 3x2
+ 4 se realiza aplicando el criterio de los divisores bin´omicos.
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