Análisis de funciones polinomiales

1. Análisis de Funciones
Polinomiales.

3. - Las funciones no polinómicas se pueden
indeterminar debido a que el exponente es negativo.
- All fijarse en la gráfica se puede observar que no
pasan por cierto punto o si no se indeterminarían.
- Tienen distinto dominio ya que no pueden pasar por
cierto número ( indeterminación), por lo tanto su recorrido también es distinto según
cada función.
- las funciones polinómicas tienen su dominio en todos los reales, las no polinomicas,
no siempre
Si, las hay, son las
funciones las cuales sus
raìces son complejas, o son
de grado 0 (exceptuando a
j(x)=0 )
ejemplo:
y(x)=𝑥 2
+ 1

4. b(x)=5
Actividad I
i)

5. Análisis
Forma: convexa y cóncava
Crece: ]-∞, 3.08[ U ]-3.08, +∞[
Decrece: ]3.08, -3.08[
Raíces: 𝑥1= -1 𝑥2 = 1 𝑥3= 3
Grado: 3
Dominio: ℜ ]-∞,+∞ [
Recorrido: ℜ ]-∞,+∞ [
f(x)= 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 1
Forma: Convexa y cóncava
Grado: 3
Dominio: ℜ ]-∞,+∞ [
Recorrido: ℜ ]-∞,+∞ [
Raíces: 𝑥1= 1 𝑥2= -1 𝑥 3= 1

6. Creciente: ]-∞,1.19[ U ]1, +∞[
Decreciente: ]1.19, 1[

7. f(x)=𝑥3 + 4𝑥2 + 1
Forma: Exponente positivo impar
Grado: 3
Dominio: ℜ ]-∞,+∞ [
Recorrido: ℜ ]-∞,+∞ [
Raíces: 𝑥1= -3.81 𝑥2y 𝑥3= Complejas
Creciente:]-∞, 10.48[ U ]1, +∞ [
Decreciente:]10.48, 1[
Todas las gráficas son de grado 3, por lo que su máximo de intersecciones con el eje x será
de 3 , puede ser menos, pero nunca más. Que tenga 3 intersecciones con el eje x, significa
que para que esto ocurre, la función debe de ir de arriba hacia abajo, por eso su forma es
cóncava hacia arriba y luego hacia abajo. Asì puès, tiene solo un punto de inflexión.

8. s(x)= 𝑥3 g(x)= 𝑥3 − 4𝑥
Función con exponente impar positivo Función con exponente impar positivo
Dominio: ℜ Dominio: ℜ
Recorrido: ℜ Recorrido:ℜ
Raíces: 𝑥1= 0 𝑥2= 0 𝑥3= 0 Raíces : 𝑥1 = 0 𝑥2 = −2 𝑥3= 2
Creciente: ]-∞ ,0[ U ]0,+∞ [ Creciente ]-∞ , 3.08[ U ]-3.08, +∞ [
Decreciente:--- Decreciente: ]3.08 , -3.08[
Comparaciones:
- Las dos funciones tienen exponente impar positivo.
- Las dos funciones tienen como centro el origen.
- Las dos funciones tienen el mismo dominio y recorrido.
- Las dos funciones son de grado 3 , por lo tanto tienen tres 3 raíces cada una
respectivamente.
- Las dos funciones tienen raíces reales.
- La función s(x) tiene sus 3 raíces iguales, mientras que la función g(x) tiene 3 raíces
distintas.
- La función s(x) solo crece, mientras que g(x) crece y decrece.
- la función s(x) se entiende en el cuadrante 1 𝑦 2 ,mientras que g(x) los cuadrantes 1 ,
2 , 3 y 4.
- La función s(x) es tanto inyectiva como sobreyectiva, en cambio la función g(x) es
solo sobreyectiva
Actividad 2

9. Grado: 4
Dominio: ℜ ]-∞,+∞ [
Recorrido: ℜ ]-∞,+∞ [
Raíces: 𝑥1= 0 𝑥2= 1 𝑥3= -1 𝑥4=3
Decreciente:]-∞, -1.38[ U ]0.94, -6.91[
Creciente: ]-1.38, 0.94[ U ]-6.91, +∞[
Grado: 4
Dominio: ℜ ]-∞,+∞ [
Recorrido: ℜ ]-∞,+∞ [
Raíces: 𝑥1= 0.39 𝑥2 = 1,29 𝑥3y
𝑥4= Complejas
Decreciente: ]+∞, 0.86[ U ]1.45 , -1.04[
Creciente:]0.86 , 1.45[ U ]-1.04 , +∞[

10. Grado: 4
Dominio: ℜ ]-∞,+∞ [
Recorrido: ℜ ≻ 0,3 ] 0,3 , +∞ [
Raíces: Complejas
Decreciente: ]+∞ , 0.38[ U ]1.2, 1[
Creciente: ]0.38, 1.2[ U ]1, +∞ [
Gra
do: 4
Dominio: ℜ ]-∞,+∞ [
Recorrido: ℜ+ [0,+∞ [
Raíces: 𝑥1= 4 𝑥2= 4 𝑥3= 4 𝑥4= 4
Creciente: ]4,∞ +[
Decreciente;]-∞ , 4 [

11. Factorizado: (x-4)(x-4)(x-2)(x+2)
Grado: 4
Dominio: ℜ ]-∞,+∞ [
Recorrido: ℜ ]-∞,+∞ [
Raíces : 𝑥1= 4 𝑥2= 2 𝑥3= -2 𝑥 4=4
Decreciente: ]+∞ ,-77.57[ U ]5.57,0[
Creciente: ]-77.57, 5.57[ U ]0,+∞ [
El grado del polinomio es de 4, osea que se sus intersecciones con el eje x serán como
máximo 4, cumpliendose así el teorema fundamental del algebra.
Tienen curvas, para así tener las 4 intersecciones con el eje x, dependiendo de donde se
mire, será, cóncava, convexa otra vez cóncava (o viceversa), para que ocurran estos
cambios, la función siempre tendrá 2 puntos de inflexión.

12. f(x)=𝑥2 g(x)= 𝑥4
Forma: Parábola Cóncava hacia arriba Forma: Parábola Cóncava hacia arriba
Grado: 2 Grado: 4
Dominio: ℜ ]-∞,+∞ [ Dominio: ℜ ]-∞,+∞ [
Recorrido: ℜ ≥ 0 [0,+∞[ Recorrido: ℜ ≥ 0 [0,+∞[
Raíces: 𝑥1= 0 𝑥2= 0 Raíces: 𝑥1= 0 𝑥2=0 𝑥3=0 𝑥4= 0
Creciente: ]0,+∞ [ Creciente: ]0,+∞ [
/Decreciente: ]+∞ ,0[ Decreciente:]+∞ ,0[
h(x)= 𝑥10
Forma: Parábola Cóncava hacia arriba
Grado: 10
Dominio: ℜ ]-∞,+∞ [
Recorrido: ℜ ≥ 0 [0,+∞[
Raíces: 𝑥1= 0 𝑥2=0 𝑥3=0 𝑥4= 0 𝑥5=0 𝑥6=0 𝑥7=0 𝑥8=0 𝑥9= 0 𝑥10= 0
Creciente ]0,+∞ [
Decreciente: ]+∞ ,0[

13. Comparaciones:
- Las 3 funciones son parábolas cóncavas hacia arriba.
- Las 3 funciones tiene como centro el origen.
- Las 3 funciones tienen el mismo vértice.
- Las 3 funciones tienen exponente par positivo.
- Las 3 funciones tienen el mismo dominio y recorrido.
- Las 3 funciones ocupan el cuadrante 1 y 2.
- Las 3 funciones crecen y decrecen de igual forma
- Las funciones tienen distintos grados , y dependiendo de ese grado se va a dar la
cantidad de raíces que tenga cada una, en este caso tienen la misma raíz (0) .
- Las raíces de las funciones son reales.
- A medida que aumenta el grado , si se observa la gráfica estas parábolas se van
abriendo más.
- Las funciones son sobreyectivas.
- Las 3 funciones tienen un punto mínimo.

14. Conclusiones:
Las funciones polinomiales siempre tienen en su dominio a todos los reales
Cuando una función tiene su punto de inflexión como una de sus raíces, la raíz es
doble (osea que la función tiene dos raíces iguales, que sería ese punto de inflexión)

15. Un polinomio intersecta con el eje X cuando sus raìces son reales.
Se busca un nùmero que al reemplazar en la ecuación me de 0. por lo que sería un
punto (X,0).

16. Niccolo Fontana Tartaglia(1499- 1557):
Niccolo Fontana Tartaglia ( 1499-1557) fue un matemático italiano, apodado
tartaglia (tartamudo), ya que en su niñez sufrió heridas de guerra quedando con
secuelas en sus cuerdas vocales entre otras cicatrices. Quedó huérfano de padre a
temprana edad ( 7 años) , por lo que su vida fue muy precaria y difícil, su familia
quedó sumida en la más absoluta pobreza. A la edad de 14 años aprendió a
escribir, quedando solo hasta la letra K , por falta de dinero, finalmente tuvo que
aprender solo.
De forma independiente aprendió griego , latín y matemática, especializándose en
geometría.
Durante su vida logró rodearse de famosos matemáticos y filósofos de la época ,
con la cual compartía sus conocimientos para desarrollar nuevas estrategias. En
Venecia acepta el duelo matemático que le propone del Fiore ( discípulo de del
Ferro , quien había recibido la fórmula de este) , el cual gana al desarrollar la
fórmula general para resolver las ecuaciones de tercer grado.
A partir de ese momento, el nombre de tartaglia se fue haciendo conocido , fue así
cuando Gerolamo Cardano le pide la nueva fórmula, a lo cual Tartaglia accedió, no
sin antes pedirle que no revelara su método al mundo. Lamentablemente Cardano
no respetó la petición , publicando de todas maneras su fórmula sin su
consentimiento en su libro Ars Magna.

17. A parte de el descubrimiento de un método para resolver las ecuaciones cúbicas
conocido como el método Cardano-Tartaglia , este importante personaje aportó el
triángulo de Tartaglia , popularizado por Pascal , descubrió el cálculo para las
trayectorias de los proyectiles,el cálculo del volumen de un tetraedro cualquiera en
función de las longitudes de sus lados, analizó e introdujo las leyes del plano
inclinado, ideó instrumentos para calcular alturas y distancias inaccesibles,desarrollo
una forma para el compás, además de libros escritos en donde trata sobre sus
diversos descubrimientos.
Muere en Venecia , junto a la pobreza con la que nació.
Se puede destacar del trabajo de Niccolo Tartaglia que gracias a su método para
resolver la ecuación cúbica logramos como sociedad avanzar en los ámbitos de la
geometría (para calcular volumen, por ejemplo), medicina (con relacionar el
crecimiento de un feto con su distancia de pies a cabeza se puede saber las
semanas de gestación de un feto o también relacionar la energía eólica con
respecto a la intensidad de estos y su tiempo de duración. La función cúbica se
utiliza más en el campo de la economía y de la física (Niccolo hizo alguna de las
“bases” para el cálculo de trayectoria. Por esto, sin su colaboración no seriamos lo
que somos hoy.