7.e. poliedros.

7.e. POLIEDROS EN DIÉDRICO: SECCIONES, DESARROLLOS Y TRANSFORMADAS.

1. TRABAJO CON SÓLIDOS.
1.1. CONTORNO APARENTE: PARTES VISTAS Y OCULTAS DE UN SÓLIDO.

2. POLIEDROS REGULARES.
2.1. TETRAEDRO.
2.2. HEXAEDRO O CUBO.
2.3. OCTAEDRO.
2.4. DODECAEDRO.
2.5. ICOSAEDRO.

3. SUPERFÍCIES RADIADAS.
3.1. CÓNICAS.
3.1.1. CONO.
3.1.2. PIRÁMIDE.
3.2. CILÍNDRICAS.
3.2.1. CILINDRO.
3.2.2. PRISMA.
3.3. CIRCUNFERENCIA.
3.4. TORO.

4. TRABAJO CON SÓLIDOS
4.1. INTERSECCIONES.
4.1.1. SECCIÓNES
4.1.2. INTERSECCIÓN DE UN SÓLIDO CON UNA RECTA.
4.2. DESARROLLO Y TRANSFORMADA DE UN SÓLIDO.

. POLIEDROS EN DIÉDRICO .

1. TRABAJO CON SÓLIDOS.

Nos vamos a referir a cualquier figura en volumen como cuerpo o sólido.

Algunos sólidos son muy habituales y se clasifican según nombres específicos.
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=dHjUQV57jqE

1.1. CONTORNO APARENTE DE UN CUERPO: PARTES VISTAS Y OCULTAS DE UN SÓLIDO.
Cuando se dibuja un sólido en diédrico se trabaja con líneas y caras vistas u ocultas. El contorno del
sólido siempre es visto. Las aristas vistas son las situadas en la parte superior o anterior del sólido. El
resto de las aristas se consideran ocultas y se dibujan en línea discontinúa aunque estén situadas en el
primer cuadrante.
Para determinar las aristas laterales vistas y ocultas se consideran los llamados planos rasantes. Son
aquellos que son proyectantes a los planos de proyección y contienen a una generatriz sin cortar la
superficie del cuerpo.

2. POLIEDROS.
Se denominan poliedros a los cuerpos geométricos limitados por superficies poligonales planas.
http://www.youtube.com/watch?v=RSHX3oO7b9k&feature=BFa&list=PL22187EA37AFFD9C3&lf=plcp

En todo poliedro se cumple la relación de Euler: La suma de sus caras y vértices es igual al número de aristas
más dos: caras + vértices = aristas + 2.

2.1. POLIEDROS REGULARES.

Son los poliedros con caras, aristas y ángulos iguales. Eso quiere decir que sus caras son polígonos regulares.
La suma de los ángulos entre estas caras no puede ser mayor de 360º (pues formarían un plano, no un
volumen), por lo que si intentamos dividir esa magnitud en ángulos iguales, veremos que sólo se pueden
realizar cinco polígono regulares. http://www.youtube.com/watch?v=tduuyJ0W_f0

Poliedro euclidiano Polígono de la cara caras vértices aristas
Tetraedro Triángulo equilátero 4 4 6
Cubo o hexaedro Cuadrados 6 8 12
Octaedro Triángulo equilátero 8 6 12
Dodecaedro Pentágono 12 20 30
Icosaedro Triángulos equiláteros 20 12 30

El único dato que se necesita para construir un poliedro regular es la arista.

2.2. SECCIÓN PRINCIPAL DE UN POLIEDRO REGULAR. Es la sección que muestra las magnitudes
fundamentales del poliedro, como lados o ángulos.

2.3. TIPOS DE POLIEDROS:

2.3.1.TETRAEDRO.
http://www.youtube.com/watch?v=Aiv8SCpj7oo&feature=fvsr
Es un poliedro regular formado por cuatro caras en forma de triángulos equiláteros. Esto implica
que tiene seis aristas y cuatro vértices.
http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=N5fhk3aMMDA&feature=endscreen

2.3.1.1. SECCIÓN PRINCIPAL DE UN TETRAEDRO: Es un triángulo isósceles
http://tetraedros.blogspot.com.es/2010/09/la-seccion-principal-del-tetraedro.html

2.3.1.2. CONSTRUCCIÓN DE UN TETRAEDRO.
Como un cualquier otro poliedro regular, el único dato que necesitamos para representarlo
es la longitud de la arista. http://www.youtube.com/watch?v=s4wo243lUe0 A partir de ella
se puede sacar la altura, como veremos en el siguiente apartado. La altura es un cateto de un
triángulo rectángulo en el que el otro cateto es 2/3 de la altura de una cara y la hipotenusa
es la arista.

2.3.1.2.1. TETRAEDRO APOYADO EN UNA CARA. Importante
http://www.youtube.com/watch?v=1id8-
NBUdiA&feature=plcp&context=C431f5a8VDvjVQa1PpcFPqrtIiulqhnsVJcqbdWaY9nZVI
RidFSqQ%3D (Se ve deformado en algunos ordenadores, de tal modo que parece una
pirámide, pero sus caras son triángulos equiláteros). Lo mismo:
http://www.youtube.com/watch?v=g4PPx5j-PX8

2.3.1.2.2. TETRAEDRO APOYADO EN UN VÉRTICE. Si consideramos que la cara opuesta al
vértice es horizontal, es lo mismo que en el apartado anterior, pero con el tetraedro
dado la vuelta. http://www.youtube.com/watch?v=UPsSE5YLkCg

2.3.1.2.3. TETRAEDRO APOYADO EN UN PLANO CUALQUIERA.
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=497#p1620

2.3.1.3. EJERCICIOS CON TETRAEDROS:
 http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=2529&start=0
 http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=447&p=1538#p1464

2.3.2. HEXAEDRO O CUBO.
http://www.youtube.com/watch?v=k1AB9X2iCdA&feature=relmfu
http://www.youtube.com/watch?v=s-
766MioFQ4&list=UUKHqub9C3zzeKr3BZWhgCng&index=11&feature=plcp Es un poliedro regular
formado por seis caras cuadradas, por lo que tiene doce aristas y ocho vértices. Al unir los vértices
opuestos doa a dos se obtienen cuatro diagonales que son iguales y oblicuas entre sí y que se
bisecan. Las caras opuestas son paralelas dos a dos.
http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&v=wafkbNCOSnU&NR=1

2.3.2.1. SECCIÓN PRINCIPAL DE UN HEXAEDRO: Es un rectángulo definido por dos aristas
opuestas y dos diagonales de dos caras también opuestas.
http://tetraedros.blogspot.com.es/2010/09/la-seccion-principal-del-hexaedro-o.html

2.3.2.2. CONSTRUCCIÓN DE UN HEXAEDRO..
Como un cualquier otro poliedro regular, el único dato que necesitamos para representarlo es la
longitud de la arista.

2.3.2.2.1. HEXAEDRO APOYADO EN EL PLANO HORIZONTAL. Importante
http://www.youtube.com/watch?v=6CWi5aMZS4A&feature=plcp&context=C4c7ca58V
DvjVQa1PpcFPqrtIiulqhnoWfkTpeOKhcvYD-p5h7JIg%3D

2.3.2.2.2. CUBO APOYADO EN PROYECTANTE.
http://www.youtube.com/watch?v=DWUPkZQXyp8&feature=BFa&list=UUjiF2eFSAGDn
XPEHQr4RXmg&lf=plcp

2.3.3. OCTAEDRO.
http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&NR=1&v=L9d4GJpSy34 Es un poliedro
regular, constituido por ocho caras que son triángulos equiláteros, doce aristas y seis vértices. Las
tres diagonales son iguales, perpendiculares y se bisecan. Las caras opuestas son paralelas dos a
dos. http://www.youtube.com/watch?v=-aWRV9ZTJT8

2.3.3.1. SECCIÓN PRINCIPAL DE UN OCTAEDRO: Es un rombo que contiene una diagonal y es
perpendicular a dos aristas opuestas en sus puntos medios. Los lados de dicho rombo son las
alturas de cuatro caras del tetraedro. http://tetraedros.blogspot.com.es/2010/10/la-seccion-
principal-del-octaedro.html

2.3.3.2. OCTAEDRO APOYADO EN UN VÉRTICE. Importante.
http://www.youtube.com/watch?v=1ifIXafjhNM&feature=plcp&context=C495d8eeVDvjVQa
1PpcFPqrtIiulqhnqbX93E7Em9sQmz9vlP2SFM%3D

2.3.4. DODECAEDRO. Por su complejidad, no sale en los exámenes.
http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&v=XsrvIO922uE&NR=1 Es un poliedro
regular formado por doce caras con forma de pentágonos regulares Surgen así, treinta aristas y
veinte vértices. En el dodecaedro, por cada una de las caras existe, al otro lado de la figura, otra
cara paralela y girada un ángulo de 180º. http://www.youtube.com/watch?v=VQj4gt6o-
EM&feature=relmfu

2.3.4.1. SECCIÓN PRINCIPAL. Es un hexágono con dos lados opuestos iguales al valor de la arista
y los otros cuatro son las alturas de las caras, es decir, la distancia desde un vértice al lado
opuesto. http://tetraedros.blogspot.com.es/search?updated-min=2011-01-01T00:00:00-
08:00&updated-max=2012-01-01T00:00:00-08:00&max-results=2

2.3.5. ICOSAEDRO. Por su complejidad, no sale en los exámenes.
http://www.youtube.com/watch?v=mzq_C7jDBn4&feature=relmfu Es un poliedro regular
formado por veinte caras triángulos equiláteros, treinta aristas y doce vértices. Como en el
dodecaedro, por cada cara existe otra paralela y girada 180º.
http://www.youtube.com/watch?v=duuJsPe9Dps&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=duuJsPe9Dps&feature=relmfu

3. SUPERFÍCIES RADIADAS.
Una línea, recta o curva, que se mueve en el espacio genera una superficie. Dicha línea se llama generatriz.
Dicha generatriz se desplaza siguiendo un punto u otra línea conocida como directriz. Así se engendran
superficies que quedan dibujadas en diédrico por sus aristas. A la figura dibujada por la generatriz la
llamamos base y a las posiciones de la generatriz en los vértices del polígono, aristas laterales.

3.1. CILÍNDRICAS. La generatriz se traslada paralelamente, apoyándose en la directriz. Si la directriz es una
curva obtenemos un cilindro y si es un polígono, un prisma.

3.1.1. PRISMA.
Una superficie prismática es una superficie radiada generada por una recta directriz que se
traslada paralelamente a sí misma apoyándose sobre un polígono. Es una superficie infinita.
Un prisma es un sólido limitado por una superficie prismática seccionada por dos planos que
cortan a todas las aristas laterales formando las bases o tapas.
Un prisma recto tiene sus aristas laterales perpendiculares a la base. Si dichas aristas no son
perpendiculares al plano que contiene la base (plano de sustentación), el prisma es oblicuo. La
línea que une el centro de las bases se denomina eje del prisma.
Un prisma es regular cuando es recto y su base es un polígono regular.
Un tronco de prisma es aquel que sus bases no son paralelas. Si se secciona un prisma por un
plano que corte todas sus aristas laterales (es decir, que no seccione la base o la tapa), se obtienen
dos troncos de prisma.
http://www.youtube.com/watch?v=P1m8J4aufCs&feature=related (en dibujo no necesitamos
conocer el área o el volumen). http://www.youtube.com/watch?v=uxKNuh-
KHMM&feature=related pieza realizada a partir de un prisma:
http://www.youtube.com/watch?v=PA-vYAmgg5Y&feature=relmfu

3.1.1.1. TRONCO DE PRISMA O PRISMA TRUNCADO (Vídeo anterior a partir del minuto 4:20)
http://www.youtube.com/watch?v=uxKNuh-KHMM&feature=related

3.1.1.2. PRISMA OBLÍCUO EN DIÉDRICO. http://www.youtube.com/watch?v=qZR81CyN-
B0&feature=plcp&context=C4ac1e87VDvjVQa1PpcFPqrtIiulqhnhu4IEfnzMpTxqAjbuwkYFk%3D

3.1.2.CILINDRO.
Una superficie cilíndrica es una superficie radiada, engendrada por una recta que se traslada
paralelamente a sí misma mientras se apoya sobre una curva. Conociendo la directriz y la dirección
de las generatrices la superficie queda definida.
Un cilindro es el sólido comprendido entre una superficie cilíndrica y dos planos que seccionan
todas sus generatrices.
La recta que une los centros de las bases se llama eje del cilindro.
En un cilindro de revolución su directriz es una circunferencia perpendicular al eje o a las
directrices.
En un cilindro recto las generatrices son perpendiculares al plano que contiene la directriz. En un
cilindro oblicuo no son perpendiculares.
http://www.youtube.com/watch?v=uSLiZIAVhTI&feature=plcp&context=C4b8e8ecVDvjVQa1PpcF
PqrtIiulqhnlUHvFRd2GPo7XmdwpNA3FE%3D

3.1.2.1. CILINDRO TRUNCADO O TRONCO DE CILINDRO. Cuando todas las generatrices de un
cilindro son seccionadas por un plano que no es paralelo a su base, es decir, cuando la base y
la tapa no son paralelas, tenemos un tronco de cono. Si seccionas un cilindro por un plano de
ese tipo obtienes dos troncos de cono. http://www.slideshare.net/eduvalle/el-cilindro

3.1.2.2. CILINDRO OBLÍCUO EN DIÉDRICO. http://www.youtube.com/watch?v=uSLiZIAVhTI

3.1.2.3. EJERCICIOS.
 http://trazoide.com/cilindros_998.htm
 http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=5215#p5215
 1ª Parte del ejercicio. http://trazoide.com/cilindros_999.htm

3.2. CÓNICAS. La generatriz gira alrededor de un punto (vértice del cono o de la pirámide) siguiendo la
dirección marcada por la línea directriz. Cuando la directriz es una curva cualquiera (incluso alabeada)
tendremos un cono y si la directriz es un polígono, una pirámide.

3.2.1. CONO.
La superficie cónica es una superficie radiada, pues está engendrada por una recta que pasando
por un punto fijo o vértice de la radiación, se apoya en una curva. El caso más sencillo y común es
la superficie cónica de revolución, cuya directriz es una circunferencia.
Un cono es el volumen comprendido entre una superficie cónica y un plano que contiene la base.
En el cono recto la circunferencia base es perpendicular a la altura o eje del cono, mientras en el
cono oblicuo no lo es.
3.2.1.1. TRONCO DE CONO o CONO TRUNCADO. Un cono truncado es el cuerpo encerrado entre
una superficie cónica y dos planos. Un cono truncado no tiene vértice. Aunque el vídeo
siguiente está en portugués, se entiende perfectamente:
http://www.youtube.com/watch?v=niN2n7_5ZPc
3.2.1.2. Ejercicios. http://trazoide.com/distancia_975.htm
http://trazoide.com/distancia_974.htm http://trazoide.com/distancia_973.htm
 http://trazoide.com/cono_990.htm
 http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=434#p1392
 http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=443&p=1425#p1425/

3.2.2.PIRÁMIDE.
La superficie piramidal es una superficie radiada generada por una recta que pasa por un punto
fijo, vértice de la pirámide, y que se traslada por una directriz polígonal o base.
La pirámide es la superficie limitada por una superficie piramidal y el plano que contiene a la base.
Los triángulos formados por un lado de la base y los dos que confluyen en el vértice se llaman
caras laterales. Las aristas laterales son los segmentos que unen los vértices de la base con el
vértice de la figura. La distancia entre el vértice de la pirámide y el plano que contiene la base se
llama altura.
Una pirámide recta es cuando la línea que une el vértice de la pirámide con el centro de la base es
perpendicular a la base. Si la perpendicular a la base por el vértice no pasa por el centro de la base
es una pirámide oblicua. Una pirámide es regular cuando es recta y la base consiste en un
polígono regular. El resto de las pirámides serán irregulares.
Un tronco de pirámide se obtiene al seccionar la pirámide con un plano, de manera que la
pirámide se queda sin vértice. Vídeo con figura creada a partir de una pirámide.
http://www.youtube.com/watch?v=m7YLOTUklTQ&feature=relmfu
3.2.2.1. Ejercicios. http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=407&p=1313#p1283

4. CUERPOS DE REVOLUCIÓN
En el siguiente vídeo, aunque se trate de un tutorial de un programa, se ve bien cómo se generan los
cuerpos de revolución-.http://www.youtube.com/watch?v=7KehZLnhHZY
http://pensamientoespacialhwj.wordpress.com/cuerpos-geometricos/cuerpos-de-revolucion/

4.1. ESFERA. Muy improbable en el examen PC.
La esfera es una superficie de revolución engendrada por una circunferencia que gira alrededor de uno
de sus diámetros. En diédrico una esfera se ve como dos proyecciones en forma de circunferencia.
El eje de una circunferencia es un diámetro representativo, normalmente el vertical.
El ecuador de una esfera es la circunferencia máxima perpendicular al eje. Una de sus proyecciones
coincidirá con el perfil de la esfera y la otra proyección se verá como un segmento. A las infinitas
circunferencias que producen los infinitos planos horizontales que no pasan por el centro se las
denomina paralelos.
El meridiano de la esfera es la circunferencia máxima producida por la sección de un plano que
contiene el eje.
El meridiano paralelo al plano vertical se denomina meridiano principal. Sus proyección horizontal será
un segmento paralelo a L.T. de la longitud del diámetro y la proyección vertical se verá en verdadera
magnitud, es decir, como una circunferencia que coincidirá la proyección vertical de la esfera.

Aquí puedes ver diferentes cuerpos a partir de esferas:
http://www.youtube.com/watch?v=GRLzZ64BuFg&feature=endscreen&NR=1
http://www.youtube.com/watch?v=LuhdDTsNxgQ&feature=relmfu
http://www.youtube.com/watch?v=GRLzZ64BuFg&feature=relmfu

4.1.1. EJERCICIOS.
 http://trazoide.com/interseccion_recta_999.htm
 http://trazoide.com/esfera_993.htm

. TRABAJO CON POLIEDROS: INTERSECCIONES, SECCIONES .

5. INTERSECCIONES Y SECCIONES.
Si un sólido es atravesado por una recta, hablamos de intersección de la recta con dicho cuerpo, y si lo que
atraviesa la figura es un plano, hablamos de sección plana de ese cuerpo. Como las caras de los cuerpos son
planas, te conviene repasar las intersecciones entre recta y plano y entre dos planos.

5.1. SECCIÓNES PLANAS A UN SÓLIDO.
Una sección plana es la intersección de un cuerpo por un plano. Como un cuerpo está formado por
varias caras planas, en el fondo se reduce a intersecciones de planos entre sí. El resultado será varias
rectas que al cortarse entre sí forman una superficie poligonal llamada sección.
La sección principal de un poliedro es la sección que muestra las magnitudes fundamentales del
poliedro, como lados o ángulos.
La sección recta es la sección producida por un plano perpendicular a las aristas laterales de un prisma
o a las generatrices de un cono.

Se pueden emplear tres métodos para dibujar cualquier sección:
a. Por intersección de aristas o de generatrices del cuerpo con el plano. Repasa las intersecciones
entre rectas y planos y trabaja con las generatrices como si fueran rectas cualquiera, utilizando
tres planos proyectantes.
b. Utilizando un cambio de plano para recolocar el plano como un proyectante para aprovechar
sus ventajas. Repasar intersecciones de rectas con planos proyectantes y cambios de planos de
proyección.
c. Por homología o afinidad, puesto que dos secciones planas son afines siendo el eje la traza del
plano.

Las secciones, además las podemos ver en verdadera magnitud si abatimos los planos que las
contienen.

5.1.1.1. SECCIÓN DE UNA PIRÁMIDE POR UN PLANO.
5.1.1.1.1. CUANDO EL PLANO ES PROYECTANTE.
http://www.youtube.com/watch?v=XdzPNjQ4enM&feature=related
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=5016#p5016
Pirámide oblicua: http://www.youtube.com/watch?v=Ogr83YlV0AA&feature=related
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=406&p=1315#p1282

5.1.1.1.2. PLANO NO ES PROYECTANTE. Lo más cómodo resulta transformar este ejercicio
en el anterior mediante un cambio de plano. En el vídeo la notación es diferente a la
nuestra http://www.youtube.com/watch?v=jSDybBGKPNI
http://www.youtube.com/watch?v=jSDybBGKPNI&feature=results_main&playnext=1&
list=PL964B60673DEC77FE
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=2757&start=0
Plano dado por tres puntos: http://www.youtube.com/watch?v=RY1OgALlQoU

5.1.1.2. SECCIÓN DE UN PRISMA POR UN PLANO. En este vídeo se utiliza el método a, dibujando
cuatro planos proyectantes horizontales que contengan cada una de las cuatro aristas
verticales para hallar sus puntos de intersección.
http://www.youtube.com/watch?v=7dqbTCinnk8
Ejercicio: http://trazoide.com/seccionplano_002.htm
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=423&start=0&st=0&sk=t&sd=a
(Ejercicio 3) http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=443&p=1425#p1425
Ejercicio más complejo: http://www.youtube.com/watch?v=NnZGDWfvu-U

5.1.1.3. SECCIÓN DE UN CONO: Recuerda lo visto en curvas cónicas sobre las secciones de un
cono: http://www.youtube.com/watch?v=tp13LMY9aTY no se puede realizar este ejercicio
de manera exacta por tratarse de una superficie curva, pero nos podemos aproximar mucho
pensando que un cono puede inscribirse en una pirámide que comparta vértice. Cuantas más
caras laterales tenga dicha pirámide más exacto será el resultado. Las aristas de la pirámide
son generatrices del cono y por eso se puede trabajar con ellas. Se dibuja igual que los
ejercicios anteriores, solo que ahora las secciones son curvas cónicas, generalmente elipses,
de las cuales daremos las proyecciones de sus ejes. (Repasar curvas cónicas)
5.1.1.3.1. CUANDO EL PLANO ES PROYECTANTE:
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=444#p1426 (Ejercicio 2)
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=761&p=2801#p2792 (ejercicios 1y2)
5.1.1.3.2. CUANDO NO ES PROYECTANTE: ( Última parte del ejercicio 3 del enlace anterior)
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=444#p1426

5.1.1.4. SECCIÓN DE UN CILINDRO: Igual que en el ejercicio anterior, al no haber aristas se
utilizan las generatrices que nos interesen.
5.1.1.4.1. PLANOS NO PROYECTANTES
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=438#p1420 (los dos ejercicios).
http://trazoide.com/seccionplano_001.htm

5.1.1.5. SECCIÓN DE UN HEXAEDRO O CUBO.
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=447&p=1538#p1464 (Ejercicio 1)
5.1.1.5.1. POR PLANO DE PERFIL.
5.1.1.5.2. POR UN PLANO PARALELO A LA LÍNEA DE TIERRA.
5.1.1.5.3. POR CUALQUIER PLANO.

5.1.1.6. SECCIÓN DE UN OCTAEDRO. http://trazoide.com/seccionplano_006.htm

5.1.1.7. SECCIÓN DE FIGURAS COMPLEJAS. http://trazoide.com/seccionplano_003.htm

5.1.1.8. SECCIÓN DE UNA ESFERA. Será una elipse: http://www.youtube.com/watch?v=kX4j-
5JjBtM&feature=relmfu
5.1.1.8.1. EL PLANO ES PROYECTANTE; http://www.youtube.com/watch?v=m1bE7RuNk1o
5.1.1.8.2. EL PLANO NO ES PROYECTANTE http://trazoide.com/seccionplano_008.htm

5.1.1.9. DADO EL PLANO POR TRES PUNTOS. Ya hemos visto el caso de la pirámide.
http://www.youtube.com/watch?v=RY1OgALlQoU

5.2. INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UN SÓLIDO. Muy improbable en examen PC
Cualquier recta que atraviese un sólido formará dos puntos entrada y salida del cuerpo, o, lo que es lo
mismo, los puntos de intersección de la recta con dos planos (las caras del cuerpo).
Por eso el procedimiento general será el mismo que el visto en intersecciones (intersección de recta y
plano), es decir, utilizar un plano proyectante que contenga a la recta.
http://www.youtube.com/watch?v=ClI5h0rFt4Y
http://www.youtube.com/watch?v=NdQszKQHnV0&list=UU2hCx4i8V5UKDz7q4hLzz-
Q&index=1&feature=plcp (el Plano cortante es nuestro proyectante) Los puntos de entrada y salida
estarán contenidos en la intersección de la recta con el contorno de la sección del proyectante con el
cuerpo.

5.2.1.INTERSECCIÓN DE RECTA CON CILINDRO RECTO. http://trazoide.com/interseccion_recta_996.htm
5.2.2. INTERSECCIÓN RECTA CON CILINDRO OBLÍCUO PARALELO AL VERTICAL.
http://trazoide.com/interseccion_recta_997.htm
5.2.3.INTERSECCIÓN DE RECTA CON CILINDRO OBLÍCUO.
5.2.4.INTERSECCIÓN DE RECTA CON CONO. (Ejercicio 4)
5.2.5.INTERSECCIÓN DE RECTA CON PIRÁMIDE. Se realiza de manera análoga a la intersección de una
recta con el cono.
5.2.6.INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UNA ESFERA.
5.2.7.INTERSECCIÓN CON TETRAEDRO. Ver último apartado.
http://dibujoindustrial.es/index.php?option=com_content&view=article&id=171:poliedros-ii-
tetraedro&catid=36:sistema-diedrico&Itemid=57
5.2.8.INTERSECCIÓN DE RECTA CON CUBO. (1º Ejercicio)
5.2.9.INTERSECCIÓN DE RECTA CON CUBO. (2º Parte) http://trazoide.com/interseccion_recta_995.htm
http://dibujoindustrial.es/index.php?option=com_content&view=article&id=172:poliedros-iii-
exaedro-&catid=36:sistema-diedrico&Itemid=57 (últimos apartados)
5.2.10. INTERSECCIÓN RECTA CON PRISMA. (Apartado b del ejercicio)

. TRABAJO CON POLIEDROS: DESARROLLOS Y TRANSFORMADAS .
Muy muy muy improbable para examen PC

6. DESARROLLO DE UN SÓLIDO. http://www.youtube.com/watch?v=WJTOJviFpZc
Desarrollar un sólido es situar en un plano todas sus caras, relacionadas entre sí de manera que pudiese
construirse. Cada cara se dibujará, pues, en verdadera magnitud.
http://www.youtube.com/watch?v=gPwkZgTI4fs&feature=fvsr
http://www.youtube.com/watch?v=yafaXRxnWb0
http://www.ditutor.com/geometria_espacio/desarrollo_poliedros.html
http://blasinfantelebrija.com/geomjgm/menupoliedros.swf
Las transformadas se dibujan sobre los desarrollos y están formadas por los diferentes segmentos
intersecciones entre las caras de los cuerpos y los planos que los seccionan.

6.1. DESARROLLOS DE LOS POLIEDROS REGULARES. Como todas las caras de los poliedros regulares son
iguales, sus desarrollos estarán compuesto por tantos polígonos regulares como caras tenga el cuerpo.

6.1.1. DESARROLLO DEL TETRAEDRO: Se determina por medio de la construcción de cuatro triángulos
equiláteros unidos formando otro triángulo equilátero de lado doble.
http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=N5fhk3aMMDA&feature=endscreen

6.1.2. DESARROLLO DEL HEXAEDRO: Se halla por medio de la construcción de seis cuadrados dispuestos
en forma de cruz. http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&v=wafkbNCOSnU&NR=1
http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=447&p=1538#p1464 (Ejercicio 1: El desarrollo
con la transformada es la ilustración roja)

6.1.3. DESARROLLO DEL OCTAEDRO: Se determina construyendo ocho triángulos equiláteros.
http://www.youtube.com/watch?v=-aWRV9ZTJT8

6.1.4. DESARROLLO DEL DODECAEDRO: Se determina dibujando doce pentágonos regulares de esta
manera: http://www.youtube.com/watch?v=VQj4gt6o-EM&feature=relmfu

6.1.5. DESARROLLO DEL ICOSAEDRO: Se obtiene dibujando veintre triángulos equiláteros alineados de
esta manera: http://www.youtube.com/watch?v=duuJsPe9Dps&feature=relmfu
http://www.youtube.com/watch?v=00GmgZB-2Z0&feature=related

6.2. OTROS DESARROLOS IMPORTANTES: El problema radica en hallar las verdaderas magnitudes de cada
una de las aristas y ángulos de las caras, para poder dibujarlas en verdadera magnitud.
En general, si la figura tiene aristas perpendiculares a la base resulta más sencillo.

6.2.1. DESARROLLO DE UN PRISMA.
Si el prisma es recto resulta más sencillo, por ser las aristas perpendiculares a la base. Si el prisma
no es recto se empieza haciendo una sección recta, puesto que tiene la propiedad de que su
transformada es una línea recta a la que permanecen perpendiculares el resto de las aristas en el
desarrollo. Después se puede empezar a trabajar sobre dicha sección recta hacia arriba y hacia
abajo (como si el prisma fuese recto).
6.2.1.1. PRISMA RECTO. (SIGUIENTE VÍDEO A PARTIR DEL MINUTO 3:06)
http://www.youtube.com/watch?v=uxKNuh-KHMM&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=0OaUHoCd7pI&feature=related
6.2.1.2. http://trazoide.com/desarrollo_995.htm
6.2.1.3. http://www.youtube.com/watch?v=pS9Mp4NfWpk

6.2.2. DESARROLLO DE UNA PIRÁMIDE. Constará de una serie de triángulos que compartirán el vértice
superior de la pirámide y un polígono unido a uno de esos triángulos. Con la pirámide, lo más
sencillo es girar cada una de sus aristas laterales alrededor de un eje vertical que pase por el
vértice de la pirámide, hasta ponerlas paralelas al plano vertical y verlas así en verdadera
magnitud. http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=2507#p2507
Desarrollo con trasformada (o geodésica). http://trazoide.com/desarrollo_999.htm
6.2.2.1. EJERCICIO CON PIRÁMIDE TRUNCADA: Primero hay que hallar las verdaderas
magnitudes de cada arista para poder dibujar su desarrollo:
http://www.youtube.com/watch?v=ojEKjIJjP1k
http://trazoide.com/desarrollo_998.htm

6.2.3. DESARROLLO DE UN CILINDRO.
6.2.3.1. http://www.youtube.com/watch?v=n632ghAiXI8
6.2.3.2. Como en un cilindro no podemos trabajar con las aristas, se tomarán referencias a ojo,
para trabajar con ellas igual que si de aristas se tratase. Es decir, para desarrollarlo nos
imaginaremos un prisma inscrito o circunscrito. Las aristas laterales de dicho prisma serán
generatrices en el cilindro. Este método es inexacto, pero cuantos más lados pongamos al
prisma, más aproximado será. Si el cilindro es oblicuo, se utiliza una sección recta de la
misma manera que se usa con los prismas oblicuos.
http://www.youtube.com/watch?v=Qzp9xmIY7fQ
http://www.youtube.com/watch?v=WJTOJviFpZc
6.2.3.3. http://www.youtube.com/watch?v=U7F2UZp4iWw&feature=fvwp&NR=1

6.2.4. DESARROLLO DE UN CONO. El desarrollo lateral de un cono de revolución es un sector circular de
radio igual a la generatriz del cono y cuyo ángulo central se puede obtener por una regla de tres:
g = generatriz 2g – 360º
r = radio de directriz 2r -- x
Aunque esté en portugués, se entiende bien el desarrollo del cono:
http://www.youtube.com/watch?feature=fvwp&v=oV9JHYoj-WM&NR=1
CONO TRUNCADO. http://www.youtube.com/watch?v=3C9tATlLadk
http://www.slideshare.net/Arrobadtgd/110-desarrollo-de-un-cono-circular-recto-truncado-
8696800

6.2.5.OTRAS COMBINACIONES. http://trazoide.com/desarrollo_996.htm

Página muy interesante con todo lo visto en este documento (y anteriores) ordenado por poliedros:
http://dibujoindustrial.es/index.php?option=com_content&view=category&id=36&Itemid=57

7.e. poliedros.

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