Trigonometría y cuerpos sólidos como base para la solución de situaciones significativas del quehacer en la actividad técnica u en pos de la Ingeniería

1. Trigonometría y Cuerpos Sólidos Por Segundo Silva Maguiña
1
Trigonometría
Y
Cuerpos Sólidos
2 S
Sigma

2. Trigonometría y Cuerpos Sólidos Por Segundo Silva Maguiña
2
APELLIDOS Y NOMBRES:
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
AÑO:
………………………………………………………………………..
SECCIÓN:
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Desarrollas 10 Problemas como Mínimo de trigonometría y 10
Problemas de Cuerpos Sólidos
Nota: ……………….

3. Trigonometría y Cuerpos Sólidos Por Segundo Silva Maguiña
3
Trigonometría
1. Concepto:
La trigonometría es la parte de la matemática que se encarga de
estudiar y medir los triángulos, las relaciones entre sus ángulos y
lados, haciendo uso de funciones trigonométricas, como: seno,
coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
2. Funciones trigonométricas:
Las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Es
aquél que tiene un ángulo recto donde a los lados menores, se
les conocen como catetos, y al lado mayor como hipotenusa.
Siendo las funciones respecto a uno de sus ángulos agudos
como se detalla:
Las funciones trigonométricas son el seno, senØ; el coseno,
cosØ, y la tangente, tanØ; cotangente, CtgØ; secante, SecØ y
cosecante, CoscØ. Se definen como:
3. Identidades Trigonométricas:
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran
funciones trigonométricas y se verifican para cualquier valor
permitido de la variable o variables que se consideren, es decir, para
cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los cuales se
aplican las funciones. Si la gráfica de dos funciones coincide,
entonces es una identidad. En cambio, si solamente se cortan en

4. Trigonometría y Cuerpos Sólidos Por Segundo Silva Maguiña
4
uno o algunos puntos, entonces se trata de una ecuación
trigonométrica cuyas soluciones son las abscisas de los puntos de
corte.
A) Identidades Trigonométricas Pitagóricas:
Las identidades trigonométricas pitagóricas se obtienen al aplicar el
Teorema de Pitágoras a las definiciones de las funciones
trigonométricas. Son tres identidades y se cumplen para cualquier
valor del ángulo Ø. A continuación, te mencionamos cuáles son y
cómo se obtienen.

5. Trigonometría y Cuerpos Sólidos Por Segundo Silva Maguiña
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Situaciones
1. Hallar la identidad de:
2. Simplificar:
3. Calcule el valor de E:

6. Trigonometría y Cuerpos Sólidos Por Segundo Silva Maguiña
6
4. De la Expresión:
5. De la expresión:
6. De la expresión:
7. De la expresión:
8. De la Expresión:
9. De la expresión:
10. De la expresión:
11. De la expresión:
12. De la expresión:
13. De la expresión:

7. Trigonometría y Cuerpos Sólidos Por Segundo Silva Maguiña
7
14. De la expresión:
15. De la Expresión:
16. De la expresión:
17. De la expresión:
18. De la expresión:
19. De la expresión:
20. De la expresión:
21. De la expresión:

8. Trigonometría y Cuerpos Sólidos Por Segundo Silva Maguiña
8
22. De la expresión:
23. De la expresión:
24. Demostrar:
25. Demostrar:
26. Demostrar:
27. Demostrar:
4. Razones Trigonométricas Recíprocas:
“Al comparar las seis razones trigonométricas de un mismo ángulo agudo,
notamos que tres pares de ellas al multiplicarse nos producen la unidad”. La
parejas de las R.T. recíprocas son entonces:
Seno y Cosecante: Senα • Cscα = 1
Coseno y Secante: Cosα•Secα = 1
Tangente y Cotangente: Tanα • Cotα = 1
Ejemplo
Resolver “x”. Ángulo agudo que verifique: Tan (3x + 10º + α) • Cot (x + 70º + α) = 1
Resolución
Nótese que en la ecuación intervienen, razones trigonométricas recíprocas; luego
los ángulos son iguales.
Tan (3x + 10º + α) • Cot (x + 70º + α) = 1
ANGULOS IGUALES
3x + 10º + α = x + 70º + α
2x = 60º x = 30º

9. Trigonometría y Cuerpos Sólidos Por Segundo Silva Maguiña
9
5. Razones trigonométricas de ángulos complementarios:
“Al comparar las seis razones trigonométricas de ángulos agudos, notamos que
tres pares de ellas producen el mismo número, siempre que su ángulos sean
complementarios”.
RAZÓN CO-RAZÓN
Seno Coseno
Tangente Cotangente
Secante Cosecante
Dado: α + β = 90º, entonces se verifica:
Senα = Cosβ
Tanα = Cotβ
Secα = Cscβ
Así, por ejemplo:
A) Sen20º = Cos70º
B) Tan50º = Cot40º
C) Sec80º = Csc10º
Ejemplo
Resolver el menor valor positivo de “x” que verifique:
Resolución
Dada la ecuación sen 5x = Cos x; luego los ángulos deben sumar 90º entonces:
5x + x = 90º
6x = 90º
x= 15º
Ejemplo:
Se sabe que “x” e “y” son ángulos complementarios, además:
Sen x = 2t + 3 Cos y = 3t + 4,1
Resolución:
Dado: x + y = 90º ∴ Sen x = Cos y Reemplazando:
2t + 3 = 3t + 4,1 Luego: –1,1 = t
Conocido “t”, calcularemos: Sen x = 2(–1, 1) + 3 Luego: Sen x = 0,8
Comentado [NB1]:

10. Trigonometría y Cuerpos Sólidos Por Segundo Silva Maguiña
10
Sen x = 4 ... (I)
5
6. Razones trigonométricas en ángulos notables
I. Triángulos rectángulos notables exactos:

11. Trigonometría y Cuerpos Sólidos Por Segundo Silva Maguiña
11

12. Trigonometría y Cuerpos Sólidos Por Segundo Silva Maguiña
12

13. Trigonometría y Cuerpos Sólidos Por Segundo Silva Maguiña
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CUERPOS SÓLIDOS
1. CONCEPTO:
Es un cuerpo geométrico, es todo lo que ocupa lugar en el espacio. En
Geometría se estudian sus formas y medidas.
Los cuerpos geométricos pueden ser de dos clases: Los formados por
caras planas (poliedros), o teniendo alguna o todas sus caras curvas
cuerpos redondos).
Un poliedro se concibe como un cuerpo geométrico tridimensional cuyas
caras son planas y encierran un volumen finito.
2. POLIEDROS REGULARES:
Un poliedro es regular cuando sus caras son polígonos regulares de igual
número de lados.
• Clasificación:
Entre los más conocidos tenemos:
a) Tetraedro
b) Hexaedro o cubo
c) Ortoedro
d) Octaedro
e) Dodecaedro
f) Icosaedro
a) TETRAEDRO:
Formado por tres triángulos equiláteros. Es el que tiene menor volumen de
los cinco en comparación con su superficie. Está formado por 4 caras, 6
aristas y 4 vértices.
Entre ellos destaca, las Pirámides. Poliedro que tiene una cara que es un
polígono cualquiera al que se le llama base y las caras laterales son
triángulos isósceles, que tienen un punto en común llamado vértice.
Apotema: es la altura de cualquiera de las caras de una pirámide regular.

14. Trigonometría y Cuerpos Sólidos Por Segundo Silva Maguiña
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b) HEXAEDRO O CUBO:
Formado por seis cuadrados. Permanece estable sobre su base. Está
formado por 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.

15. Trigonometría y Cuerpos Sólidos Por Segundo Silva Maguiña
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c) ORTOEDRO:
Poliedro formado por 6 caras cada cara es un rectángulo. También recibe el
nombre de Paralelepípedo.
d) OCTAEDRO:
Formado por ocho triángulos equiláteros. Gira libremente cuando se sujeta por
vértices opuestos. Está formado por 8 caras, 12 aristas y 6 vértices.
e) DODECAEDRO:
Formado por doce pentágonos regulares. Tiene 12 caras, 30 aristas y 20
vértices.

16. Trigonometría y Cuerpos Sólidos Por Segundo Silva Maguiña
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f) ICOSAEDRO:
Formado por veinte triángulos equiláteros. Es él tiene mayor volumen en
relación con su superficie Tiene 20 caras, 30 aristas y 12 vértices.
3. PRISMAS:
Un prisma es un poliedro limitado por dos caras iguales y paralelas (bases)
y tantos paralelogramos (caras laterales) como lados tienen las bases.
En los Prismas donde las caras laterales son paralelogramos y sus dos bases
polígonos. Tenemos prisma: triangular, cuadrangular, pentagonal así
sucesivamente. Donde:
4. CUERPOS REDONDOS:
Son sólidos geométricos limitados por una superficie que gira alrededor de
un eje formando de esta forma la circunferencia. Poseen caras curvas.
Ejemplo: cilindro, cono y esfera.

17. Trigonometría y Cuerpos Sólidos Por Segundo Silva Maguiña
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a) Cono:
Cuerpo geométrico limitado por una superficie cónica y engendrado por un
triángulo rectángulo que gira sobre uno de sus catetos. Catetos: Son los
dos lados contiguos al ángulo recto de un triángulo rectángulo.
b) Esfera:
Es un cuerpo de revolución generado por un semicírculo que gira sobre su
diámetro. Todos los puntos de su superficie están a la misma distancia de
su centro. Radio: Es la distancia constante entre la superficie y un punto fijo
llamado centro.
c) Cilindro:
Es la figura limitada por una superficie cilíndrica cerrada y dos planos que
forman sus bases. Generatriz: Las rectas contenidas en la superficie lateral,
perpendiculares a las bases

18. Trigonometría y Cuerpos Sólidos Por Segundo Silva Maguiña
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SITUACCIONES
1. Una Pirámide base cuadrada de 8 metros de lado tuene una apotema de 5
metros. Cuánto vale su parea lateral, total y volumen
2. Un Cono tiene como generatriz 10 metros, su radio 8 metros. Cuánto vale
su área lateral, total como su volumen.
3. Un Hexaedro regular tiene 4cm. De arista. Cuánto mide su área y volumen
4. En una esfera, cuánto mide la superficie y volumen de radio 4 metros.
5. Cuanto mide el área y volumen de un cono de generatriz 5 metros y radio 2
metros
6. Cuánto mide el área lateral, total y volumen de una pirámide de apotema de
5 metros, altura 4 metros y apotema de base de 3 metros de forma
triangular.
7. Cuál es el área y volumen de un ortoedro de lados 3, 2 y 6 metros.
El estudio te hará libre