Este documento presenta una introducción a la lógica proposicional. Explica que las proposiciones son enunciados declarativos que pueden ser verdaderos o falsos, pero no ambos a la vez. Describe cómo las proposiciones atómicas se pueden representar con letras y cómo los conectivos lógicos permiten combinar proposiciones para formar proposiciones moleculares. El documento provee ejemplos de diferentes tipos de proposiciones y conectivos lógicos.

1. Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda”
Área Educación
Programa: Educación L.L.L. e Ingles
Unidad Curricular: Matemática
Lapso Académico 2021
Prof. JOHN JAIMES
Unidad I
Lógica
Lógica es una ciencia formal que estudia la estructura o formas del pensamiento
humano (como proposiciones, conceptos y razonamientos) para establecer leyes
y principios válidos para obtener criterios de verdad. Como adjetivo, 'lógico' o
'lógica' significa que algo sigue las reglas de la lógica y de la razón.
La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento.
En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si
es o no valido un argumento dado.
CONCEPTO DE LÓGICA MATEMÁTICA
La Lógica estudia la forma del razonamiento. La Lógica Matemática es la
disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la Lógica
proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento
dado. El razonamiento lógico se emplea en Matemáticas para demostrar
teoremas, sin embargo, se usa en forma constante para realizar cualquier
actividad en la vida. El razonamiento lógico se emplea en Matemáticas para
demostrar teoremas, sin embargo, se usa en forma constante para realizar
cualquier actividad en la vida.
Las oraciones lógicas son aquellas sobre las cuales se puede decir si son
verdaderas o falsas. Este tipo de enunciados son los que se utilizan para
expresar y transmitir conocimientos.

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La lógica formal hace referencia sobre a la lógica que estudia la estructura del
pensamiento, sin interés en la veracidad de los contenidos. Tenemos variedad
de ejemplos por mencionar algunos: El gato es negro, el de mi vecina es blanco,
por lo tanto, los gatos son blancos y negros.
La lógica proposicional o lógica de orden cero es la rama de la lógica
matemática que estudia proposiciones, afirmaciones u oraciones, los métodos
de vincularlas mediante conectores lógicos y las relaciones y propiedades que
se derivan de esos procedimientos. Es una herramienta útil para razonar, pero
no puede resolver problemas que requieren analizar la estructura interna de las
proposiciones o de las relaciones entre ellas. Este tipo de lógica considera las
proposiciones como elementos atómicos y no tiene cuantificadores o variables
de entidad.
En esta unidad, estudiaremos sus componentes, las formas en las que se
combinan y diferentes métodos para realizar demostraciones básicas. En
particular nos enfocaremos en un tipo específico de lógica proposicional donde
los valores de verdad de las expresiones se pueden determinar exclusivamente
a partir de los valores de verdad de sus componentes y donde cada proposición
puede tener únicamente dos valores posibles: verdadero o falso, pero no otros
valores y solamente uno de ellos (las proposiciones no pueden ser falsas y
verdaderas al mismo tiempo).
Para comunicarnos, ya sea de forma escrita o verbal, usamos enunciados. Los
enunciados son las unidades mínimas del lenguaje que pueden transmitir un
mensaje y pueden ser aseverativos, imperativos, interrogativos o exclamativos.
Los enunciados imperativos transmiten una orden, los interrogativos solicitan
información, los exclamativos expresan emociones y los aseverativos que
transmiten información que se puede evaluar como falsa o verdadera. Los
siguientes son ejemplos de los diferentes tipos de enunciados:

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Tipos
oraciones
Características Ejemplo
Enunciativas
O Declarativas
Transmiten una información. Pueden ser
afirmativas o negativas
Ha llegado (afirmativa)
No ha llegado aún
(negativa)
Interrogativas Plantean una pregunta de forma directa o
indirecta
¿Estás sola? (directa)
No sé si estás sola
(indirecta)
Exclamativas Expresamos con ellas emociones, sentimiento,
como sorpresa, alegría, euforia...
¡He aprobado!
Exhortativas Expresan un ruego, un consejo... o una orden. Ven inmediatamente.
Desiderativas Con ellas formulamos un deseo. El verbo suele
estar en subjuntivo.
¡Ojalá tengas suerte!
Dubitativas Expresan duda, incertidumbre. Quizás el año que viene
nos mudemos de casa
En la lógica proposicional nos interesan los enunciados Declarativos y se les
llama proposiciones. La lógica se interesa por este tipo de enunciados porque
se les puede asignar un valor de verdad, ya sea falso (la información es
incorrecta) o verdadero (la información es correcta). En esta unidad nos
interesan únicamente las expresiones declarativas o proposiciones que cumplen
con estas características:
• Solo pueden tener uno de los siguientes valores de verdad:
o Verdadero: Usualmente representado con la letra .
o Falso: Usualmente representado con la letra .
• No pueden ser falsas y verdaderas al mismo tiempo.
• Su valor de verdad de pende únicamente de las proposiciones mismas
y no de factores externos.

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Los siguientes son algunos ejemplos de proposiciones con sus correspondientes
valores de verdad:
Proposición Valor de verdad
El año empieza con el mes de enero.
Cuando está soleado se siente calor.
En invierno no es agradable sentir el frío.
1 + 1 = 2
Marte está lleno de marcianitos.
5 * 9 = 59
Las primeras cuatro proposiciones son verdaderas y se dice que su valor es V,
mientras que las últimas dos son falsas y su valor es F. Dentro de las
proposiciones verdaderas, la última (1+1=2) no representa ninguna palabra o
frase, sin embargo, es una expresión matemática verdadera. Y lo mismo pasa
con la proposición (5*9=59), cuyo valor lógico es falso. No es necesario que una

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proposición sea una expresión verbal, simplemente necesitamos poder
determinar el valor de verdadero o falso.
Concepto formal de Proposiciones
Una proposición es una oración declarativa de la cual se dispone de un criterio
que nos permite asegurar que es verdadera o que es falsa, pero no ambas
situaciones a la vez.
Ejemplos:
a) El hierro es un metal.
b) La nieve es blanca.
c) 4 + 8 = 12.
d) Alejandro Magno nació en Cuba.
e) Las hojas de los árboles son de cristal.
f) 3/7 < 2.
g) Hacer con bueno tan.
h) x − √ 5 = pero triángulo como.
i) La tierra es plana.
j) −17 + 38 = 21.
k) x > y − 9
l) El Táchira será campeón en la presente temporada de Futbol.
m) Hola ¿como estas?
n) Lava el coche por favor.
Los a), b), c), d), e) f), i), j), k) y l) ejemplos son proposiciones, pues para cada
una de ellas se dispone de un criterio (químico, óptico, aritmético, histórico,
botánico) que nos permite afirmar que las tres primeras son verdaderas y que

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las tres siguientes son falsas. En cambio, los ejemplo g), h), m) y n) no son
proposiciones, ya que no existe ningún tipo criterio que nos permita dilucidar
sobre la veracidad o falsedad de su contenido.
Clasificación de las proposiciones
Proposiciones simples o atómicas: son aquellas que constan de un solo
enunciado.
Ejemplos:
a) El diamante es un mineral.
b) El Danubio es un río de Austria.
Proposiciones compuestas o moleculares: son las que constan de una, dos
o más proposiciones simples entrelazadas por ciertas particularidades lógicas
llamadas conectivos lógicos.
Ejemplos:
a) El diamante es un mineral y el Danubio es un río de Austria.
Representación
Como la lógica proposicional no se ocupa de las relaciones entre las
proposiciones ni de características que estas puedan tener además de su valor
de verdad, podemos representarlas utilizando letras sencillas. Por ejemplo,
podemos usar la letra p para representar alguna de las siguientes afirmaciones
dependiendo del trabajo que estamos realizando:
• Mi perro es negro.
• La tierra es una esfera.
Sin embargo, en un momento dado p solo puede representar una de las
proposiciones. Si necesitamos representarlas ambas en el mismo trabajo

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debemos usar letras adicionales como q, r o t y si se nos acaban las letras
podemos usar subíndices:
p Mi perro es negro.
q La tierra es una esfera.
Usar letras mayúsculas del alfabeto latino es simplemente una convención y no
hay nada que nos impida utilizar otro tipo de elementos para representar las
proposiciones y de hecho otros textos o cursos sobre lógica proposicional usan
otras convenciones. Por ejemplo, podríamos usar letras minúsculas, pequeñas
figuras geométricas, los símbolos de las cartas (♠, ♣, ♥ y ♦) o letras del alfabeto
cirílico (Ж, Й, Б, etc.)
Otra convención útil que adoptaremos es usar letras minúsculas del alfabeto
griego para representar proposiciones genéricas. Una letra mayúscula
como p representa una proposición específica como «existe vida en otros
planetas» aunque su valor de verdad puede ser desconocido para nosotros. Por
su parte, una letra minúscula griega como β o como Ω representan una
proposición (o una combinación válida de proposiciones) genérica y se usan
comúnmente para describir el lenguaje y métodos de la lógica proposicional.
Proposiciones compuestas
Las proposiciones individuales se llaman proposiciones atómicas ya que no es
posible descomponerlas en elementos más sencillos. Sin embargo, si es posible
combinarlas para crear estructuras más complejas. Por ejemplo, podemos
afirmar cosas como: «mi carro es rojo» y «el elefante es grande» y combinar
ambas proposiciones de diversas maneras:
• Mi carro es rojo y el elefante es grande.
• Mi carro es rojo o el elefante es grande.
• Si el elefante es grande entonces mi carro es rojo.
• No es cierto que mi carro es rojo o que el elefante es grande.

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Si le asignamos la letra p a la afirmación «mi carro es rojo» y la letra q a la
afirmación «el elefante es grande», los ejemplos anteriores se representarían
así:
• p y q.
• p o q.
• Si p entonces q.
• No es cierto que p o que q
Las palabras que aparecen entre las letras representando las proposiciones se
llaman conectivos lógicos y tienen significados precisos que conoceremos en
las próximas clases. Los conectivos son las que permiten que combinemos las
proposiciones y que descubramos información nueva a partir de la existente
mediante procesos de razonamiento estructurado.
Resumen
• Las proposiciones son enunciados Declarativos que transmiten
información.
• Las proposiciones pueden ser Atómicas o Moleculares
• Las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas, pero no pueden
tener ambos valores al mismo tiempo.
• Las proposiciones no pueden tener ningún valor de verdad que no sea
verdadero (V) o falso (F).
• Las proposiciones se representan con letras individuales minúsculas
ya que solo su valor de verdad es de interés en este contexto.
• Los conectivos lógicos nos permiten combinar proposiciones
atómicas para obtener proposiciones moleculares