1. GEOMETRÍAGEOMETRÍA
PreparadoPreparado porpor: ALBEIRO VERGARA: ALBEIRO VERGARA
URANGOURANGO
LIC. MATEMÁTICASLIC. MATEMÁTICAS
OctubreOctubre 20102010

3. CONCEPTOSCONCEPTOS BÁSICOSBÁSICOS
DEDE GEOMETRÍAGEOMETRÍA

4. En este video podras ver jóvenesEn este video podras ver jóvenes
practicando el deporte con la patinetapracticando el deporte con la patineta
y a la vez identifican algunosy a la vez identifican algunos
conceptos básicos de geometría.conceptos básicos de geometría.

5. I N D I C EI N D I C E
Historia de gemetríaHistoria de gemetría
Definición de geometríaDefinición de geometría
El puntoEl punto
La rectaLa recta
El planoEl plano
SegmentoSegmento
RayoRayo
EspacioEspacio
Puntos colinealesPuntos colineales
Puntos coplanariosPuntos coplanarios
ClasificaciónClasificación de Ángulosde Ángulos
ÁÁngulongulo
VérticeVértice
BisectrizBisectriz
ÁÁngulo Agudongulo Agudo
ÁÁngulo Obtusongulo Obtuso
ÁÁngulo Rectongulo Recto
Ángulo LlanoÁngulo Llano
Ángulos ComplementariosÁngulos Complementarios
Ángulos SuplementariosÁngulos Suplementarios
Ángulos Adyacentes o ConsecutivosÁngulos Adyacentes o Consecutivos

6. HISTORIA DE GEOMETRÍAHISTORIA DE GEOMETRÍA
La geometría como palabra tiene dos raíces griegas:La geometría como palabra tiene dos raíces griegas:
geogeo = tierra y= tierra y metrónmetrón = medida; o sea, significa "medida= medida; o sea, significa "medida
de la tierra". Todo parece indicar que la originó lade la tierra". Todo parece indicar que la originó la
necesidad de controlar las inundaciones quenecesidad de controlar las inundaciones que
ocasionaban las crecidas anuales en el valle del ríoocasionaban las crecidas anuales en el valle del río
Nilo,Nilo, unos tres mil años antes de Cristounos tres mil años antes de Cristo en elen el AntiguoAntiguo
Egipto en el Medio OrienteEgipto en el Medio Oriente,, que traían comoque traían como
consecuencia la destrucción de muchos de los límitesconsecuencia la destrucción de muchos de los límites
de tierras privadas.de tierras privadas.
Originalmente la tarea de restaurar los límites de lasOriginalmente la tarea de restaurar los límites de las
parcelas la llevaban a cabo los sacerdotes de esaparcelas la llevaban a cabo los sacerdotes de esa
época y para ello aplicaban conocimientos o principiosépoca y para ello aplicaban conocimientos o principios
geométricos, muchos de los cueles, sin duda, fuerongeométricos, muchos de los cueles, sin duda, fueron
descubiertos por ellos.descubiertos por ellos.

7. También podemos suponer que las construcciones de sus
enormes templos, no se podían haber llevado a cabo sin
su conocimiento considerable de geometría y mecánica.
Los egipcios llamaban a cada cateto
De un triángulo rectángulo “Piremus”,
De cuyo nombre se deriva la palabra
Pirámide, figura central de toda la
Cultura egipcia.
Los griegos utilizaron un trabajo más abstracto que el de
los egipcios, ya que fueron atraídos por la belleza visual
de la geometría de los puntos, las líneas, las áreas y los
volúmenes. Creyeron que una forma particular tiene
ciertas propiedades contantes que le son propias,
que son independiente de su tamaño.

8. Así por ejemplo, un triángulo rectángulo que tenga dos ladosAsí por ejemplo, un triángulo rectángulo que tenga dos lados
iguales puede extenderse hasta la Luna o puede caber en laiguales puede extenderse hasta la Luna o puede caber en la
cabeza de un alfiler, peo en cualquiera de los dos casoscabeza de un alfiler, peo en cualquiera de los dos casos
continúa siendo triángulo rectángulo.continúa siendo triángulo rectángulo.
El primero de los griegos en aceptar estas ideas fue TALESEl primero de los griegos en aceptar estas ideas fue TALES
DE MILETO, un magnate de la industria del aceite de olivaDE MILETO, un magnate de la industria del aceite de oliva
que operaba a lo largo de las costas del Asia Menor entreque operaba a lo largo de las costas del Asia Menor entre
los años 600 al 550 a.C. En sus viajes tomó contacto con ellos años 600 al 550 a.C. En sus viajes tomó contacto con el
conocimiento de las viejas matemáticas y la astronomía, yconocimiento de las viejas matemáticas y la astronomía, y
cuando por fin se retiró, se dedicó a ellas como diversión.cuando por fin se retiró, se dedicó a ellas como diversión.
Hace cientos de años los matemáticosHace cientos de años los matemáticos
chinos, diseñaron un rompecabezas alchinos, diseñaron un rompecabezas al
que llamaron “ch`i ch`iao t`u”(plano deque llamaron “ch`i ch`iao t`u”(plano de
las siete piezas ingeniosas).las siete piezas ingeniosas).
Nosotros lo conocemos como “tangram”Nosotros lo conocemos como “tangram”

9. DEFINICIÓN DE GEOMETRÍADEFINICIÓN DE GEOMETRÍA
La geometría es una rama de laLa geometría es una rama de la
matemática que se ocupa del estudio dematemática que se ocupa del estudio de
la medición y dela medición y de las propiedades dellas propiedades del
espacio como son puntos, rectas, planos,espacio como son puntos, rectas, planos,
ángulos, sólidos,ángulos, sólidos, polígonos, poliedros,polígonos, poliedros,
curvas, superficies, etc.,curvas, superficies, etc., asi como de lasasi como de las
relaciones que guardan entre sí.relaciones que guardan entre sí.

10. EL PUNTOEL PUNTO
Los puntos no tienen medida. SonLos puntos no tienen medida. Son
represetados por letras mayúsculas y norepresetados por letras mayúsculas y no
tienen dimension (largo, alto, ancho).tienen dimension (largo, alto, ancho).
A BA B
CC
Con un Círculo
Cortando Líneas
Con un Triángulo
Con un Cuadrado
Formas de
Representar
un Punto

11. LA RECTALA RECTA
Una recta se extiende al infinito enUna recta se extiende al infinito en
ambas direcciones y carece de ancho.ambas direcciones y carece de ancho.
Las rectas se nombran con letrasLas rectas se nombran con letras
minúscula.minúscula.
bb
CC
AA

12. ¿CÓMO IDENTIFICAR LAS RECTAS?
La recta que aparece abajo es la recta b. Si se
conocen los nombres de dos puntos de una recta,
entonces esta recta puede identificarse por estos dos
puntos. En este ejemplo, los puntos A y C están sobre la
recta b, por tanto se pueden hacer referencia a la recta b
de varios modos:
palabra recta AC recta CA
símbolo AC CA
C b
A

13. EL PLANOEL PLANO
Un plano se extiende al infinito en todaUn plano se extiende al infinito en toda
direccion y no tiene grosor alguno. Losdireccion y no tiene grosor alguno. Los
planos se representan regularmente conplanos se representan regularmente con
una figura de cuatro lados y se nombranuna figura de cuatro lados y se nombran
con letras mayusculas o tres puntoscon letras mayusculas o tres puntos
colineales.colineales.

14. ¿CÓMO IDENTIFICAR EL PLANO?
B
A C
R
La figura de arriba puede denominarse plano R
o plano ABC.

15. En geometría los términos punto, recta
y plano se consideran términos primitivos
o no definidos porque solo tienen
explicación a través del uso de ejemplos y
descripciones. Sin embargo, ellos sirven
para definir otros términos y propiedades
geometricas.

16. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
a. RECTA
Los puntos T y U pertenecen a la
recta RS. Escoge dos letras de
las cuatro dadas en la figura,
para nombrar esta recta.
1) FU 2) TU 3) R 4) TE
U
T
S
R

17. Correcto!!!
El punto TU está en la recta.El punto TU está en la recta.

18. Incorrecto!!
Los puntos de la recta son R, S, T, U. El
punto FU no pertenece a la recta.

19. Incorrecto!!Incorrecto!!
Recuerda…Siempre se nombra laRecuerda…Siempre se nombra la
recta con dos puntos.recta con dos puntos.

20. Incorrecto!!Incorrecto!!
El punto TE no pertenece a la recta.El punto TE no pertenece a la recta.

21. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
b. PLANO M
Sean los puntos A, B y C del
plano M. Utiliza estas letras en
orden diferente para nombrar el
plano.
A C
B
M 1) YJ 2) CFE 3) N 4) BCA

22. Correcto!!
Los puntos BCA pertenece al plano M.

23. Incorrecto!!
Los puntos YJ no pertenece al plano.

24. Incorrecto!!
La letra N no pertenece al plano M.

25. Incorrecto!!
Los puntos CFE no pertenece a la
recta ABC.

26. SEGMENTO
El segmento es la parte de una recta que consiste
de dos puntos, llamados extremos y de todos los
puntos que estan dentro de ella.
EJEMPLO:
A
B
En el dibujo hay un ángulo que contine dos
puntos. El segmento se identificaria como:
AB o BA

27. SEMIRRECTA O RAYO
Una semirrecta o rayo RT, se extiende en una
dirección a partir de un punto inicial R llamado
vértice.
EJEMPLO: R T RT (rayo RT)
Cada punto en una recta determina dos rayos que comparten
un mismo extremo. Por ejemplo, el punto A determina los
rayos AB y AC, a los que se les llaman rayos opuestos.
C
B A

28. Explicacion sobre el termino rayo.Explicacion sobre el termino rayo.

29. EL ESPACIOEL ESPACIO
El espacio es infinito, es tridimencional, esEl espacio es infinito, es tridimencional, es
el conjunto de todos los puntos.el conjunto de todos los puntos.

30. PUNTOS COLINEALES O ALINEADOSPUNTOS COLINEALES O ALINEADOS
Son aquellos contenidos en una línea oSon aquellos contenidos en una línea o
recta. Los puntos que no se encuentranrecta. Los puntos que no se encuentran
contenidos en una recta se dice que soncontenidos en una recta se dice que son
no colineales.no colineales.
EJEMPLO: Obsérvese que los puntos A, B y C están contenidos en
la recta i. Estos puntos se dice que son colineales. El puntos D no
es un punto colineal ya que no pertenece a la recta i.
C i
B
A D

31. PUNTOS (O RECTAS) COPLANARIOSPUNTOS (O RECTAS) COPLANARIOS
Son aquellos puntos (o rectas) que seSon aquellos puntos (o rectas) que se
encuentran contenidos en un plano.encuentran contenidos en un plano.
EJEMPLO: Los puntos Q, R, S y T son coplanarios ya que cada uno
está en el plano E. Las rectas m y k son coplanarias al estar las dos
en el plano E. U
m k T
Q R S
E
Puntos o rectas que no estan contenidos en el mismo plano son no
coplanarios. Los puntos Q, R, S, y U son no coplanarios.

32. COMPRUEBA LO APRENDIDO
Encuentra el segmento correcto:
M R
L S
N
Q
1) NS 2) RQ 3) LS 4) ML

33. Muy bien!
El segmento ML pertenece a una
misma recta.

34. Incorrecto!
El semgmento NS no pertenece a una
misma recta.

35. Incorrecto!
El segmento RQ no pertenece a una
misma recta.

36. Incorrecto!
El segmento LS no pertenece a una
misma recta.

37. COMPRUEBA LO APRENDIDO
Seran QP y QR rayos opuestos?
P
Q
R
a) Si, porque el punto P está entre medio.
b) No, sólamente si el punto Q está entre P y R.
c) No, porque no son puntos colineales.
d) No, porque son más de dos rayos.

38. Excelente!
Recuerda… que los puntos deben ser
colineales (que pertenecen a una misma
recta) en este caso lo son, y el punto entre
medio tiene que ser P. Seria, QP y QR.

39. Incorrecto!
El punto P no está entre medio, es el
punto Q.

40. Incorrecto!!
Los puntos si son colineales porque
pertenecen a una misma recta.

41. Incorrecto!!
Solamente se está identificando dos
rayos y buscar si son opuestos.

42. VAMOS A PRACTICAR….
Identifique los puntos colineales y
coplanarios:
J w F p
H G T
e

43. Indica los puntos colineales:Indica los puntos colineales:
a)a) D,UD,U J wJ w F pF p
b)b) A,BA,B H G TH G T
c)c) G,FG,F ee
d)d) J,TJ,T

44. Correcto!Correcto!
Los puntos G,F están contenidos en unaLos puntos G,F están contenidos en una
misma recta o línea.misma recta o línea.

45. Incorrecto!Incorrecto!
Los puntos D,U no aparecen en el dibujo.Los puntos D,U no aparecen en el dibujo.

46. Incorrecto!Incorrecto!
Los puntos A,B no aparece en el dibujo.Los puntos A,B no aparece en el dibujo.

47. Incorrecto!Incorrecto!
Los puntos J,T están contenidos enLos puntos J,T están contenidos en
el dibujo, pero el punto J pertenece ael dibujo, pero el punto J pertenece a
una recta y el punto T no está en launa recta y el punto T no está en la
misma recta, ni está contenida dentromisma recta, ni está contenida dentro
del plano.del plano.

48. Indica los puntos coplanarios:Indica los puntos coplanarios:
a)a) Q,T,R,SQ,T,R,S J w pJ w p
b)b) H,N,V,MH,N,V,M H GH G
c)c) I,O,F,LI,O,F,L F T eF T e
d)d) H,G,J,FH,G,J,F

49. Correcto!Correcto!
Los puntos H,J,G,F estan contenidos enLos puntos H,J,G,F estan contenidos en
el plano.el plano.

50. Incorrecto!Incorrecto!
Los puntos Q,T,R,S no están contenidosLos puntos Q,T,R,S no están contenidos
dentro del plano, ya que el punto T no estádentro del plano, ya que el punto T no está
dentro del plano.dentro del plano.

51. Incorrecto!Incorrecto!
Los puntos H,N,V,M no se encuentran en elLos puntos H,N,V,M no se encuentran en el
dibujo.dibujo.

52. Incorrecto!Incorrecto!
Los puntos I,O,F,L no se encuentran en elLos puntos I,O,F,L no se encuentran en el
dibujo.dibujo.

53. CLASIFICACIÓN DECLASIFICACIÓN DE
LOS ÁNGULOSLOS ÁNGULOS

54. ANGULO
Un ángulo es la porción de plano limitada por dos
semirrectas o rayos no colineales que tienen el
mismo origen.
EJEMPLOS:
B
1
P A
Los rayos reciben el nombre de lados del ángulo
y su punto extremo común es el vértice.

55. En el dibujo anterior, los lados del
ángulo son PA y PB; el vértice es P. El
ángulo se puede denotar como APB,
BPA, P o 1. Obsérvese que si se
utilizan tres letras, la letra del vértice es la
letra del medio.

56. PRACTIQUEMOS…
Nombre 1 de otras dos formas
G H
D 1 2
E 1) HEF , FEH
2) GED , DEG
3) GEH , HEG
4) DEH , DEG

57. Muy Bien!
Los ángulos DEG y GED es la
contestación correcta.

58. Incorrecto!
Los puntos no pertenecen al 1.

59. Incorrecto!
Los puntos no pertenecen al 1.

60. Incorrecto!
Los puntos no pertenecen al 1.

61. VÉRTICE
El vértice del ángulo es el punto en común que es el origen
de los lados.
Los ángulos pueden nombrarse de tres formas distintas:
 Por las letras mayúsculas correspondientes a las
semirrectas, colocando en medio la letra vértice: ABC ó
CBA.
 Por una letra o número colocado en la abertura a.
 Por la letra del vértice B.

62. En éste video explican el términoEn éste video explican el término
vértice, sus lados y nombres delvértice, sus lados y nombres del
ángulo.ángulo.

63. BISECTRIZ
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta
que divide al ángulo en dos partes
iguales. Un ángulo tiene exactamente una
bisectriz.
EJEMPLO:
La semirrecta OA es bisectriz del ángulo O si se cumple que: 1= 2

64. COMPRUEBA LO QUE APRENDISTES
Identifica la mejor definición para el
término vértice:
a) Es el conjunto de todos los puntos.
b) Semirrecta que divide el ángulo en dos
partes iguales.
c) Es el punto en común que es el origen de
los lados.
d) Unión de dos segmentos.

65. Correcto!
Muy bien! Es la contestación correcta.
Recuerda que cuando identifiques un ángulo
la letra del medio siempre será el vértice.

66. Incorrecto!
Intentalo nuevamente. Conjunto de
todos los puntos se refiere a algo infinito.

67. Incorrecto
Analiza bien. ¿El vértice divide al
ángulo en dos partes iguales? Si divide
al ángulo se está refiriendo a la bisectriz.

68. Incorrecto!
El vértice no es la unión de dos
segmentos. El vértice es solamente un
punto en común.

69. COMPRUEBA LO QUE APRENDISTES
Nombra un rayo que parezca ser bisectriz
de un ángulo y un ángulo que parezca ser
bisecado. R
F D
B C
1) JS 2) OP 3) FD 4) AG

70. Correcto!
Muy bien. El rayo FD biseca al ángulo RFC.

71. Incorrecto!
El rayo JS no pertenece al dibujo.

72. Incorrecto!
El rayo OP no pertenece al dibujo.

73. Incorrecto!
El rayo AG no pertenece al dibujo.

74. ÁNGULO AGUDO
Es todo ángulo cuya amplitud sea menor
que la del recto, es decir, menor de 90º
EJEMPLOS:

75. ÁNGULO OBTUSO
Es aquel cuya amplitud es mayor que
la del ángulo recto y menor que la del
llano, es decir, está comprendida entre
90º y 180º.
EJEMPLOS:

76. ÁNGULO RECTO
Es uno cualquiera de los ángulos en
que la bisectriz divide al llano. Su
amplitud o abertura es de 90º.

77. ÁNGULO LLANO
Es el ángulo formado por dos
semirrectas opuestas. Tiene sus lados en
la misma recta. Su amplitud es la mitad
de un ángulo completo, es decir, de 180º.

78. VAMOS A PRACTICAR…
Nombra dos ángulos recto:
A E
B P D
T
1) APB , APD
2) BPE
3) DPE , TPE
4) APE

79. Correcto!
Es la contestacion correcta. Los
angulos agudos son de 90 grados.

80. Incorrecto!
Hay dos ángulos agudos. Observa
bien el dibujo.

81. Incorrecto!
Los ángulos que escogistes no son
de 90 grados.

82. Incorrecto!
El ángulo que escogistes es un
ángulo agudo. ¡Analiza bien otra vez!

83. Identifica la respuesta correcta
¿Cuál es la medida de un ángulo obtuso?
a) 180 grados
b) 0 grados y menor de 90 grados
c) igual a 90 grados
d) superior a 90 grados e inferior a 180
grados

84. Perfecto!!
Recuerda… 90 grados a 180 grados.

85. Incorrecto!
Escogistes el ángulo agudo.

86. Incorrecto!
Escogistes el ángulo llano.

87. Incorrecto!
Escogistes el ángulo recto.

88. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

89. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

90. ÁNGULOS ADYACENTES
O CONSECUTIVOS