Círculo y circunferencia

1. Geometría del
círculo
Prof. Rosa E. Padilla
U7.5: Geometría

2. Circunferencia y círculo
• Circunferencia: Línea curva cerrada y plana con todos sus
puntos a igual distancia del centro.
• Círculo: figura plana limitada por una circunferencia y su
interior.

3. Elementos del círculo

4. Elementos del círculo
• Puntos
• Centro: corresponde al centro de la circunferencia, que se encuentra
a la misma distancia de todos los puntos contenidos en la
circunferencia.

5. Elementos del círculo
• Rectas y segmentos
• Radio: segmento que une al centro
y un punto cualquiera de la
circunferencia.

6. Elementos del círculo
• Rectas y segmentos
• Diámetro: es el mayor segmento
inscrito; pasa por el centro y divide
al círculo en dos.

7. Elementos del círculo
• Rectas y segmentos
• Cuerda: segmento que une los
extremos de un arco.

8. Elementos del círculo
• Rectas y segmentos
• Arco: parte de la circunferencia de la figura.

9. Elementos del círculo
• Rectas y segmentos
• Recta tangente: recta que toca al
círculo en un solo punto; es
perpendicular al radio cuyo
extremo es el punto de tangencia.

10. Figuras más importantes
• Semicírculo: Cada una de las partes que resultan de dividir un
círculo con un diámetro.
• Sector circular: Parte del círculo limitado por dos radios y su
arco
• Segmento circular: parte del círculo limitada por una cuerda y
su arco.

11. Figuras más importantes

12. Longitud de una circunferencia
• Propiedad fundamental del círculo
• La relación entre la medida de la circunferencia (C) y el diámetro (d) es
un valor constante de 3.141592...; el cual se designa con la letra griega 𝜋
(Pi).
𝐶
𝑑
= 𝜋

13. Circunferencia
• Para hallar la circunfrencia es determinar la longitud de la línea
que forma el círculo.
• Es conocida como el “perímetro del círculo”.
• Se utiliza la fórmula:
• Donde C es la circunferencia, d la medida del diámetro y 𝜋 es
una constante con valor aproximado de 3.14.
• Si en lugar de tener la medida del diámetro, tenemos la medida
del radio, entonces:
𝐶 = 𝜋 × 𝑑
𝐶 = 2𝜋 × 𝑟

14. Circunferencia

15. Ejemplo
• Halla la longitud de la circunferencia de un círculo cuyo
diámetro es 6 cm.
𝐶 = 𝜋 × 𝑑
𝐶 = 𝜋 × 6 𝑐𝑚
𝐶 = 3.14 × 6 𝑐𝑚
𝐶 = 18.84 𝑐𝑚

16. Ejemplo
• Halla la longitud de la circunferencia del siguiente círculo:
𝐶 = 𝜋 × 𝑑
𝐶 = 𝜋 × 14 𝑐𝑚
𝐶 = 3.14 × 14 𝑐𝑚
𝐶 = 43.96 𝑐𝑚

17. Ejemplo
• Halla la longitud de la circunferencia del siguiente círculo:
𝐶 = 2𝜋 × 𝑟
𝐶 = 2𝜋 × 9 𝑐𝑚
𝐶 = 2(3.14) × 9 𝑐𝑚
𝐶 = 56.52 𝑐𝑚

18. Práctica
• Halla la circunferencia para cada círculo mostrado.
𝐶 = 2𝜋 × 𝑟
𝐶 = 𝜋 × 𝑑

19. Área de un círculo
• Para hallar el área de un círculo, se necesita conocer la medida
del radio del mismo y evaluar la fórmula:
𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟²

20. Área del círculo
• Para hallar el área del círculo cuando la medida que tenemos es
el diámetro, debemos recordad que éste es el doble del radio.
• Dividimos el diámetro entre 2.
𝐴 = 𝜋 ∙
𝑑
2
2 𝐴 = 𝜋 ∙
𝑑2
22
𝐴 =
1
4
𝜋 ∙ 𝑑²

21. Ejemplo
• Determina el área de un círculo con radio de 5 metros.
𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟² 𝑟 = 5 𝑚
𝐴 = 3.14 ∙ 5²
𝐴 = 3.14 ∙ 25 𝐴 = 78.5 𝑚²

22. Ejemplo
• Determina el área de un círculo con diámetro de 6 cm.
𝐴 =
1
4
𝜋 ∙ 𝑑² 𝑑 = 6 𝑐𝑚
𝐴 =
1
4
3.14 ∙ 6²
𝐴 =
1
4
3.14 ∙ 36
𝐴 = 28.26 𝑚²

23. Práctica
• Halla el área de los siguientes círculos.

24. Longitud y área de figuras
circulares
• Longitud de arco de circunferencia:
• La longitud L de un arco de circunferencia de
diámetro d, que abarca un área central de
amplitud 𝛼 es la fracción de la circunferencia
total igual a:
𝐿 =
𝛼
360
∙ 𝐶 𝐿 =
𝛼
360
∙ 𝜋 ∙ 𝑑

25. Ejemplo
• Calcula la longitud de arco de circunferencia determinado por
un ángulo central de 60° en una circunferencia de 16 cm de
radio.
Datos del problema:
• 𝛼 = 60°
• 𝑟 = 16 𝑐𝑚
¿Qué pide el problema?
• Longitud de arco
𝐿 =
𝛼
360
∙ 𝜋 ∙ 𝑑
𝐿 =
𝛼
360
∙ 𝜋 ∙ 2𝑟 𝐿 =
60
360
∙ 𝜋 ∙ 2(16)
𝐿 =
1
6
∙ 𝜋 ∙ 2(16) 𝐿 =
16
3
∙ 𝜋 𝑐𝑚

26. Sector circular
• Se denomina sector circular a la región
del plano limitada por un arco de
circunferencia y dos radios de la misma.
• Se puede calcular el área A de un sector
circular con ángulo central 𝛼, resolviendo
la siguiente ecuación:
𝐴 =
α
360
∙ 𝜋 ∙ 𝑟²

27. Práctica
• Calcula el área de un sector circular de 16 cm de radio y 40° de
amplitud.
Datos del problema:
• 𝛼 = 40°
• 𝑟 = 16 𝑐𝑚
¿Qué pide el problema?
• Área sector circular
𝐴 =
𝛼
360
∙ 𝜋 ∙ 𝑟²
𝐴 =
40
360
∙ 𝜋 ∙ 16² 𝐴 =
1
9
∙ 𝜋 ∙ 256
𝐴 =
256
9
∙ 𝜋 𝑐𝑚²

28. Corona circular
• Se denomina corona circular a la
región del plano limitada por
dos circunferencias concéntricas.

29. Práctica
• Completa.
a. La parte del círculo comprendida entre dos radios se llama ______.
b. La figura comprendida entre dos circunferencias con el mismo centro
recibe el nombre de ______.
c. La parte del círculo comprendida entre una cuerda y su arco se llama
______.

30. Práctica
• Parea
1. Segmento que une el centro con un
punto de la circunferencia.
2. Segmento que une dos puntos de la
circunferencia.
3. Cuerda que pasa por el centro de la
circunferencia.
4. Cada una de las partes en que un
diámetro divide al centro.
a. Diámetro
b. Cuerda
c. Radio
d. Semicírculo

31. Práctica
• Observa la siguiente figura y completa las frases.
a) El segmento 𝑂𝐴 y el 𝑂𝐵 son _______ de la circunferencia.
b) La _______ y su interior forman un _______.
El segmento 𝐴𝐶 divide este _______ en dos
_______.

32. Práctica
a) ¿Cuántos segmentos circulares se forman si en una
circunferencia trazamos una cuerda? Haz un dibujo que lo
explique.
b) Al trazar tres radios en un círculo, ¿cuántos sectores circulares
se forman?
c) ¿Qué punto tienen en común de dos circunferencias que
delimitan una corona circular?

33. Práctica
• Completa la siguiente tabla.
Radio Diámetro Circunferencia Área
2 cm
8 cm
30π cm
64π cm²
12 pulg
4 pies
40π pulg
256π pulg²

34. Práctica
• Observa el dibujo y selecciona la opción que corresponda.
Pregunta: A B C
El punto O es: Radio Diámetro Centro
El segmento OC es: Radio Diámetro Cuerda
El segmento AB es: Radio Diámetro Cuerda
El segmento FG es: Radio Diámetro Cuerda
La línea que pasa por B y C
es:
Tangente Secante Exterior
La línea q es: Tangente Secante Exterior
La parte de la circunferencia
entre F y G es:
Arco Semicircunferencia cuerda
La parte de la circunferencia
entre AFGB es:
Arco Semicircunferencia cuerda

35. Práctica
• Coloca en los blancos el número que corresponde a cada
elemento.
Arco Corona circular Cuerda diámetro Sector circular semicircunferencia
1 2 3 4 5 6

36. Práctica
• El segmento 𝐴𝐵 es _________.
• El segmento 𝑂𝐸 es _________.
• El punto O es _________.
• El segmento 𝐶𝐷 divide a la
circunferencia en dos _________.

37. Práctica
• Identifica lo mejor posible cada componente ilustrado.

38. Práctica
• Escribe el nombre adecuado en cada recuadro.

39. Práctica
• Parea.
____ 1. Parte de la circunferencia entre dos puntos. a. Sector circular
b. Arco
c. Segmento circular
d. semicircunferencia
____ 2. Parte del círculo limitada por una cuerda y su arco.
____ 3. Mitad de la circunferencia.
____ 4. Parte del círculo limitada por dos radios y su arco.

40. Práctica
• Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas
(F). Corrige las que sean falsas.
_______ 1. El círculo es la parte del plano encerrada por una
circunferencia, incluyendo la propia línea de la circunferencia/
_______ 2. Un semicírculo es la parte del plano que hay entre un arco
cualquiera y su cuerda.
_______ 3. Siempre que se dibuja una circunferencia se dibuja un círculo.
_______ 4. La circunferencia y el círculo tienen el mismo radio.
_______ 5. Todas las cuerdas miden lo mismo.
_______ 6. El radio mide la mitad del diámetro.
_______ 7. Una cuerda puede ser un radio.
_______ 8. El diámetro es la mayor de todas las cuerdas posibles.

41. Práctica
• Observa el dibujo y contesta. Si el diámetro de la circunferencia
roja es de 6 cm:
1. ¿Cuánto mide el diámetro de la
circunferencia azul?
2. ¿Cuánto mide el diámetro de la
circunferencia verde?
3. Calcula y ordena de forma decreciente
las medidas de las circunferencias.

42. Práctica
• Halla la circunferencia y diámetro para cada caso.
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.

43. Práctica
• Calcula, mentalmente o por aproximación, el área de las
siguientes figuras. Cada cuadrado pequeño es una unidad.

44. Problema especial
• Se recortan círculos de una lámina metálica como la siguiente:
a) Escribe una expresión que
permita determinar el área A
que se desperdicia al recortar
n círculos de radio r de la lámina
con largo l y ancho a.
b) Aplica la fórmula hallada
para calcular el área coloreada
de la lámina dada.
c) Investiga y explica la posibilidad
de disminuir la superficie de la lámina desperdiciada.