ESTADÍGRAFOS DE TENDENCIA CENTRAL

Msc. Claudia Montano Quiroga
1-1
Capitulo Tres Descripción de los Datos:
Medidas de Posición y Dispersión
OBJETIVOS
Al terminar este tema usted será capaz de:
UNO
Calcular la media aritmética, mediana, moda, media ponderada, y media
geométrica.
DOS
Explicar las características, usos, ventajas, y desventajas de cada medida de
posición.
TRES
Identificar la posición de la media aritmética, mediana, y moda para
distribuciones simétricas y distribuciones asimétricas.
CUATRO
Calcular e interpretar el rango, la desviación media, la varianza, y la
desviación estándar.

1-1
OBJETIVOS
Al finalizar este tema el alumno será capaz de:
CINCO
Explicar las características, usos, ventajas, y desventajas de cada
medida de dispersión.
SEIS
Entender teorema de Chebyshev’s y la distribución Normal, y Relaciones
Empíricas, relacionadas con la posición de las observaciones.
SIETE
Calcular e interpretar los Cuartiles, el rango intercuartílico, y el coeficiente
de variación.
Capitulo Tres Descripción de Datos:
Medidas de Posición y Dispersión

Media Poblacional
• Para datos no agrupados, la media poblacional es
la suma de los valores de la población divididos
por el numero de valores poblacionales:
• Donde µ es la media de la población.
• N es el numero de observaciones en la población.
• X es un valor particular.
•  indica la operación de la suma.
 = X N
/
3-3

EJEMPLO 1
• Parámetro: una medida que refleja características de la
población.
• Una familia posee cuatro vehículos. A continuación se
muestra el kilometraje de cada uno de ellos: 56,000;
23,000; 42,000; y 73,000.
Encuentre el kilometraje medio.
• La media es
(56,000 + 23,000 + 42,000 + 73,000)/4 = 48,500
3-4

Media Muestral
• Para datos no agrupados, la media muestral es
la suma de los valores de muestra dividido por
el número de valores de muestra:
• Donde X es la media de muestra
• n es el número de observaciones en la muestra
n
Xi
X /

=
3-5

EJEMPLO 2
• Estimador: Una característica medible de una
muestra.
• Una muestra de cinco ejecutivos recibió la
siguiente cantidad de bonos el pasado año:
$14,000, $15,000, $17,000, $16,000, y
$15,000. Encuentre la bonificación media de
estos cinco ejecutivos.
• Dado que estos valores representan un tamaño
de muestra de 5, la media muestral es (14,000
+ 15,000 +17,000 + 16,000 +15,000)/5 =
$15,400.
3-6

Propiedades de la Media Aritmética
• Todos los datos que tienen un nivel de intervalo y
un nivel ratio tiene una única media.
• Todos los valores son incluidos en el cálculo de la
media.
• La media es usualmente afectada por valores
pequeños o grandes.
• La media aritmética es la única medida de
tendencia central donde la suma de las desviaciones
de cada valor de la media es siempre cero.
3-7

EJEMPLO 3
• Considere los siguientes valores: 3, 8,y 4.
La media es 5. Ilustrando la quinta
propiedad, (3-5) + (8-5) + (4-5) = -2 +3 -1 =
0. En otras palabras,
0
)
( =
−
 X
Xi
3-8

Media Ponderada
• La media ponderada de unos números dados
X1, X2, ..., Xn, con los pesos correspondientes
w1, w2, ...,wn, es calculada con la siguiente
fórmula:
X w X w X w X w w w
X w X w
w n n n
w
= + + + + +
=
( ... / ( ...
( * ) /
) )
1 1 2 2 1 2
 
3-9

EJEMPLO 4
• Durante el lapso de una hora el día sábado por
la tarde se sirvieron cincuenta tragos. Calcule
la media ponderada de los precios de las
bebidas. (Precio ($), Número de tragos
vendidos): (.50,5), (.75,15), (.90,15), (1.10,15).
• La media ponderada es: $(.50x5 + .75x15 +
.90x15 + 1.10x15)/(5 + 15 + 15 + 15) =
$43.75/50 = $0.875
3-10

La Mediana
• Mediana: El punto medio de los valores
después de que ellos han sido ordenados de
menor a mayor o de mayor a menor. Hay
tantos valores debajo de la mediana como
valores hay por encima.
• Nota: Para varios valores dados que ocupan la
posición central, la mediana será la media
aritmética de los dos valores medios.
3-11

EJEMPLO 5
• Calcule la mediana para los siguientes datos.
• La edad de cinco estudiantes universitarios es:
21, 25, 19, 20, y 22.
• Ordenando los datos en sentido ascendente: 19,
20, 21, 22, 25. El valor de la mediana es 21.
• Las notas de un estudiante son: 76, 73, 80, y 75.
• Ordenando los datos en sentido ascendente: 73,
75, 76, 80. La mediana es 75.5
3-12

Propiedades de la Mediana
• Hay una sóla mediana para cada grupo de datos.
• No es afectada por valores extremos (grandes o pequeños)
y por tanto es una medida de tendencia central de gran
utilidad en estos casos.
• Estos datos pueden ser computados para los niveles de
medición: ratio, intervalo, y ordinal.
• Puede ser calculado en distribuciones de frecuencia, con
intervalos abiertos, siempre y cuando la mediana no caiga
en un intervalo de clase abierto.
3-13

La Moda
• La moda es el valor de la variable que
aparece mas frecuentemente.
• EJEMPLO 6: Las notas de examen de diez
estudiantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87, 81,
75, 81, 87. Dado que el valor de 81 se repite
con mayor frecuencia, el valor de la moda es
81.
3-14

Media Geométrica
• La media geométrica (MG) de n valores
dados es definida como la raíz n- ésima del
producto de los n valores de la variable. Su
fórmula es:
•
· La media geométrica es usada como el
promedio de valores porcentuales, índices
y valores relativos.
GM X X X Xn
n
= ( )( )( )...( )
1 2 3
3-15

EJEMPLO 7
• Las tasas de interés de tres inversiones son 5%,
7%, y 4%.
• La media geométrica es
=5.192.
• La media aritmética es (5 +7 + 4)/3 =5.333.
• La MG dá un valor más conservador acerca de
la tasa de interés de beneficio, debido a que no
está altamente influenciada por el peso de la
tasa del 7 %.
3 )
4
)(
5
)(
7
(
=
MG
3-16

Media Geométrica Continuación
3-17
• Otro uso de la media geométrica es
determinar el porcentaje de incremento medio
en ventas, producción u otras series de un
periodo de tiempo dado a otro en el campo de
los negocios o la economia. La fórmula para
este tipo de problemas es:
1
periodo)
del
inicio
al
valor
periodo)/(
del
final
al
valor
( −
= n
MG

EJEMPLO 8
• El número total de mujeres inscritas en
universidades Norteamericanas se incrementó
de 755,000 en 2010 a 835,000 en 2019.
• Aqui n = 9, encontrado por 2019 - 2010.
• Esto es, que la tasa geométrica media del
incremento es 1,13%.
.
0113
.
1
000
,
755
/
000
,
835
9 =
−
=
GM
3-18

La media de un grupo de datos
• La media de una muestra de datos organizados
en una tabla de distribución de frecuencias es
computada por la siguiente fórmula:
n
Yini
ni
Yini
Y

=


=
3-19

EJEMPLO 9
• En base a una muestra de diez cines en un área
metropolitana grande se contaron el número
total de películas que pasaron la semana
pasada. Compute el número medio de películas
que mostraron.
3-20
n
Yini
ni
Yini
Y

=


=

EJEMPLO 9 continuación
Número
de
Películas
frecuencia
ni
Marca de
clase
Yi
(Yi)(ni)
1-2 1 1.5 1.5
3-4 2 3.5 7.0
5-6 3 5.5 16.5
7-8 1 7.5 7.5
9-10 3 9.5 28.5
Total 10 61
61/10 = 6.1 películas
3-21

La Mediana de un Grupo de Datos
•
3-22

FÓRMULA DE LA MEDIANA DATOS
AGRUPADOS

Encontrando la Clase Mediana
Para determinar la clase mediana para un grupo de datos:
• Construir una distribucion de frecuencias acumuladas.
• Dividir el numero total de datos por 2.
• Determinar cual de los intervalos de clase contendra ese
valor. Por ejemplo, si n=50, 50/2 = 25, entonces
determinar que intervalo de clase contendra el valor
25th – y esa será la clase mediana, vale decir el
intervalo que contiene la mediana.
3-23

EJEMPLO 10
• La clase mediana es 5-6, dado que contiene el
quinto (5to) valor (n/2 =5)
Número de
películas
Frecuencia Frecuencias
Acumuladas
1-2 1 1
3-4 2 3
5-6 3 6
7-8 1 7
9-10 3 10
3-24

EJEMPLO 10 continuación
•
3-25

La Moda para Datos Agrupados
• La moda de un grupo de datos es determinada
en forma aproximada por el punto medio del
intervalo de clase, de aquel que tenga la
frecuencia absoluta (ni) más alta.
• Las modas en el EJEMPLO 10 son 5.5 y 9.5.
Cuando dos valores se repiten un gran número
de veces, la distribución es llamada bimodal,
como en el Ejemplo 10.
3-26

La Moda para Datos Agrupados
3-26

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