Este documento presenta una guía sobre funciones matemáticas. Explica conceptos básicos como dominio, rango, tipos de funciones como lineales, par e impar, y cómo graficar funciones. Incluye ejemplos para ilustrar estas nociones y concluye destacando la importancia de las funciones y su representación gráfica para resolver problemas.
2. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
Calidad, Pertinencia y Calidez
VICERRECTORADO ACADÉMICO
DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
EDUCACIÓN COMERCIAL
MATEMÁTICAS
3aSy/Ma7h
MATEMÁTICA – FACIL
GUÍA DE APRENDIZAJE SOBRE FUNCIONES MATEMÁTICAS
AUTORES:
NELSON ARÉVALO
GÉNESIS FERNÁNDEZ
NEIDY GAONA
JAZMÍN JIMÉNEZ
SELENA SAÉNZ
BYRON ZUMBA
PARALELO: V02
PRF: Ing. MANUEL DELGADO
Segundo semestre 2015
Machala – El Oro –Ecuador
3. PRESENTACIÓN.-
.
La presente guía matemática fue elaborada
con el afán de compartir los conocimientos
adquiridos en la asignatura de Matemáticas,
teniendo como objetivo ser una herramienta
practica y sencilla que la puedan utilizar sin
ninguna complicación cualquier persona que
la necesite.
4. La matemática es la ciencia del orden y la
medida, de bellas cadenas de
razonamientos, todos sencillos y fáciles.
René Descartes
Las matemáticas las descubrió el
hombre y por lo tanto están al alcance
de todos. No son para seres especiales o
genios.
Richard Feynman
5. DESARROLLO
FUNCIONES DE VARIABLE REAL
Introducción.-
El análisis real o teoría de las funciones de variable real es la rama del análisis matemático
que tiene que ver con el conjunto de los números reales. En particular, estudia las
propiedades analíticas de las funciones y sucesiones de números reales; su límite,
continuidad y el cálculo de los números reales.
Definición.-
Dominio y Rango de una Función.-
Calculo del Dominio
Se llama función real de variable real a toda función
definida de un subconjunto D de los números reales, en el
conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x
de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R.
X: R R
X x²
Es el conjunto de todos los valores independientes posibles que una relación puede tener. Es
la colección de todas las entradas posibles.
DOMINIO
Sea f(x) una función de variable real, cuyo cociente este dado por una función, el dominio no
existe cuando el denominador se haga cero por lo que se debe excluir del dominio ese valor.
REGLA 1
6. Ejemplo
F(x)= 2x²-4/x-5
y= 2x²-4/x-5
Condición: x-5≠0
x≠5 dom f= (-∞,5) U (5, ∞)
Ejemplo
F(x)= √(-x+5)
y= √(-x+5)
Condición: -x+5 ≥ 0
x-5 ≤ 0
x ≤ 5
Comprobación:
(4)
√(-x+5) ≥ 0 √(-4+5) ≥ 0 √(1) ≥ 0 1 ≥ 0 = verdadero
(6)
√(-x+5) ≥ 0 √(-6+5) ≥ 0 √(-2) ≥ 0 no existe = falso
dom f= (-∞,5]
E es el conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relación puede producir. Es
la colección de todas las salidas posibles.
Rango
Si f(x) una función de variable real y contiene una raíz de índice par, el dominio existirá solo
si cuando el radicando sea positivo o cero.
REGLA 2
7. Calculo del Rango
Gráfica de una función de variable real.-
Ejemplo
F(x) = 4x-1/ x-1
y = 4x-1/ x-1
(x-1) y = 4x-1
xy-y = 4x-1
xy-4x = y-1
x(y-4) = y-1
x= y-1/ y-4
Condición/ regla 1: y-4≠0
y≠4 rg f= (-∞,4) U (4, ∞)
Gráfica de una función.-
La gráfica de una función está
formada por todos los puntos (x,f(x),
donde x pertenece al dominio de f.
Sea f(x) una función de variable real, cuyo cociente este dado por una función, el rango no
existe cuando el denominador se haga cero por lo que se debe excluir del rango ese valor.
REGLA 1
Si f(x) una función de variable real y contiene una raíz de índice par, el rango existirá solo si
cuando el radicando sea positivo o cero.
REGLA 2
8. Técnicas para graficar funciones.-
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Asíntotas de la gráfica de una función.-
En el caso de una recta vertical, esta puede cortar la gráfica de la función de x a lo mucho
una vez; si corta dos veces en la recta no es una función.
CRITERIO de la recta vertical
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo
menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto
y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la
función.
9. Verticales
Horizontales
Oblicuas
TIPOS DE FUNCIONES
Función Inyectiva.-
Son rectas verticales a las cuales la
función se va acercando
indefinidamente sin llegar nunca a
cortarlas.
Son rectas horizontales a las cuales la
función se va acercando
indefinidamente.
Son rectas de ecuación, sólo
hallaremos las asíntotas oblicuas
cuando no haya asíntotas
horizontales.
Significa que cada elemento de "B" tiene como
mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto
no nos dice que todos los elementos de "B" tengan
alguno en "A").
En otras palabras, de todos los pares (x,y)
pertenecientes a la función, las y no se repiten.
10. Gráfica
Función Sobreyectiva.-
Gráfica
El conjunto inicial de g es R.
El conjunto final de g es: R.
La imagen de g es también R, es decir: Im(g)
= R
La imagen de g y el conjunto final de g
coinciden es R:
Véase la parte rayada del eje OY. Coincide con
todo R.
Función Biyectiva.-
Una función es sobreyectiva cuando cada uno de los
elementos del rango es imagen de uno o varios
elementos del dominio.
Una función f: X Y, es biyectiva si es al mismo
tiempo inyectiva y sobreyectiva (suprayectiva), es
decir si todos los elementos del conjunto de salida
tienen una imagen distinta en el conjunto de
llegada y a cada elemento del conjunto de llegada
le corresponde un elemento del conjunto de salida.
11. Gráfica
Función Creciente y Decreciente.-
Creciente
Gráfica
Decreciente
Gráfica
Una función es creciente cuando al ir
aumentando los valores de x van
aumentando los valores de y. O al ir
disminuyendo los valores de x van
disminuyendo los valores de y; La
pendiente de la recta m es positiva.
Una función es decreciente cuando al ir
aumentando los valores de x van
disminuyendo los valores de y, o viceversa; La
pendiente de la recta m es negativa.
12. Función Constante.-
Gráfica
Función Par o Impar.-
Función Par
Gráfica
Función Impar
Gráfica
Es aquella en la que para cualquier valor de
la variable independiente (x), la variable
dependiente (f (x)) no cambia, es decir,
permanece constante.
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-3 -2 -1 0 1 2 3
Una función es par si se cumple con el
siguiente criterio: f(-x) = f(x)
Y gráficamente presenta simetría con el eje y.
Una función es impar si se cumple con el
siguiente criterio: f(-x) = -f(x)
Y gráficamente presenta simetría con el origen.
13. Función Periódica.-
Gráfica
Función Acotada.-
Gráfica
Una funcion es periodica,
De la propia definición se deduce que si T es un periodo de la función f, también lo es
2T, 3T,..., es decir sus periodos son múltiplos enteros del menor periodo positivo T, que
recibe el nombre de periodo principal o propio.
Una función está acotada cuando existe un valor
K tal que la gráfica de la función no está por
encima de él, y un valor k, tal que la gráfica de
la función no está por debajo de él, es decir,
k≤f(x)≤K, para todo x perteneciente al dominio
de la función.
14. Función Acotada Superiormente
Gráfica
Función Acotada Inferiormente
Gráfica
Funciones Lineales.-
Función lineal
Gráfica
Una función f está acotada
superiormente si existe un número real
k tal que para toda x es f(x) ≤ k.
El número k se llama cota superior.
Una función f está acotada
inferiormente si existe un número real
k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′.
El número k′ se llama cota inferior.
Una función lineal es una función cuyo
dominio son todos los números reales, cuyo
codominio son también todos los números
reales, y cuya expresión analítica es un
polinomio de primer grado.
15. Dominio
Rango
Aplicación de la función lineal
Ejercicio.-
Un turista recorre 30km en carro cada hora, para visitar la provincia de Cotopaxi y
demora media hora para calentar el coche. ¿Cuántos Km recorrerá en 2 horas?
Función del enunciado: y= 30x – 15
Tabla de valores
X
(tiempo en horas)
Y
(km recorridos)
½ 0
1 15
1 ½ 30
2 45
Grafica.-
El dominio está formado por todos los números reales o aquellos valores de X.
Números para los que se pueden calcular la imagen f(x).
Es el conjunto formado por las imágenes, son los valores que toma la función Y, la variable
dependiente porque depende de los valores de X.
16. CONCLUSIONES
1. Las matemáticas no son difíciles, las estrategias que se utilizan pueden ser las
incorrectas.
2. Las funciones son expresiones matemáticas que representan variables que poseen
valores reales.
3. Existen varios tipos de funciones.
4. El dominio y rango de una función son todos los números reales.
5. Las funciones nos puede ayudar a resolver problemas mediante su aplicación con
datos verdaderos.
6. Las respuestas de una función se evidencian mejor representándolas gráficamente
en el plano cartesiano.