Teoria de colas

TeorTeoríía de Colasa de Colas
o Filas de Esperao Filas de Espera
M. En C. Eduardo Bustos FarM. En C. Eduardo Bustos Farííasas

Investigación de
Operaciones
M. En C. Eduardo Bustos Farías 2
Introducción
Una línea de espera es la resultante de un
sistema cuando la demanda por un bien o
servicio supera la capacidad que puede
proporcionar dicho sistema.
Un sistema está formado por un conjunto de
entidades que en paralelo proporcionan el bien
o servicio donde las transacciones ingresan
aleatoriamente al sistema

Investigación de
Operaciones
TEORIA DE COLASTEORIA DE COLAS
COLAS MAS COMUNESCOLAS MAS COMUNES
SITIOSITIO ARRIBOS EN COLAARRIBOS EN COLA SERVICIOSERVICIO
SupermercadoSupermercado CompradoresCompradores Pago en cajasPago en cajas
PeajePeaje VehVehíículosculos Pago de peajePago de peaje
ConsultorioConsultorio PacientesPacientes ConsultaConsulta
Sistema de CSistema de Cóómputomputo Programas a serProgramas a ser
corridoscorridos
Proceso de datosProceso de datos
CompaCompañíñía de tela de telééfonosfonos LlamadasLlamadas Efectuar comunicaciEfectuar comunicacióónn
BancoBanco ClientesClientes DepDepóósitos y Cobrossitos y Cobros
MantenimientoMantenimiento MMááquinas daquinas daññadasadas ReparaciReparacióónn
MuelleMuelle BarcosBarcos Carga y descargaCarga y descarga

Investigación de
Operaciones
Introducción
Elementos de estudio de dichas líneas de espera serán
entonces:
a) los tiempos asociados a cada uno de los procesos
que se desarrollan y
b) las llegadas de las transacciones al sistema.
Debido a que las variables están fuera del control del
tomador de decisiones, será necesario realizar el
modelado utilizando procesos estocásticos.

Investigación de
Operaciones
Esquema Líneas de Espera
Población o
Fuente de
Entrada de
Clientes
Al Sistema
Instalaciones
de Servicio
SISTEMA
Clientes Servidos
salen del Sistema
de Servicio y
vuelven a la
Población
Algunos Clientes
pueden no entrar
al sistema de
Servicio
Clientes que entran
al Sistema de Servicio
y Esperan ser Atendidos

Investigación de
Operaciones
Definición Básica
Una línea de espera puede modelarse como un
proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se
define como el número de transacciones en el
sistema en un momento dado.
El conjunto de valores que puede tomar dicha variable
es { 0, 1, 2, 3, 4,.......,N } y cada uno de ellos tiene
asociada una Probabilidad de ocurrencia {P0, P1,
P2........, PN }

Investigación de
Operaciones
Objetivo del Estudio
Determinar el nivel de desempeño del sistema:
• Cantidad de entidades presente
• Velocidad del Servicio en el sistema
Interesa minimizar el costo total del sistema
Los costos de transacciones dan cuenta de la pérdida por
tiempo de espera o la pérdida de clientes por abandono del
sistema.
Los costos de proporcionar el servicio, dan cuenta de los
salarios, energía, mantención, etc.

Investigación de
Operaciones
Sistemas de colas: modelo bSistemas de colas: modelo báásicosico
Las llegadas van a la instalaciLas llegadas van a la instalacióón deln del
servicio de acuerdo con la disciplinaservicio de acuerdo con la disciplina
de la colade la cola
GeneralmenteGeneralmente éésta essta es primero enprimero en
llegar, primero en ser servidollegar, primero en ser servido
Pero pueden haber otras reglas oPero pueden haber otras reglas o
colas con prioridadescolas con prioridades

Investigación de
Operaciones
Sistemas de colas: modelo bSistemas de colas: modelo báásicosico
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Instalación
del
servicio
Disciplina
de la cola
Salidas

Investigación de
Operaciones
Estructuras tEstructuras tíípicas de sistemas depicas de sistemas de
colas: una lcolas: una líínea, un servidornea, un servidor
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor
Salidas

Investigación de
Operaciones
Estructuras tEstructuras tíípicas de sistemas depicas de sistemas de
colas: una lcolas: una líínea, mnea, múúltiples servidoresltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas

Investigación de
Operaciones
Estructuras tEstructuras tíípicas de colas: variaspicas de colas: varias
llííneas, mneas, múúltiples servidoresltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor
Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Cola
Cola

Investigación de
Operaciones
Estructuras tEstructuras tíípicas de colas: unapicas de colas: una
llíínea, servidores secuencialesnea, servidores secuenciales
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Cola
Servidor

Investigación de
Operaciones
Costos de un sistema de colasCostos de un sistema de colas
1.1. Costo de espera: Es el costo paraCosto de espera: Es el costo para
el cliente al esperarel cliente al esperar
Representa el costo deRepresenta el costo de
oportunidad del tiempo perdidooportunidad del tiempo perdido
Un sistema con un bajo costo deUn sistema con un bajo costo de
espera es una fuente importanteespera es una fuente importante
de competitividadde competitividad

Investigación de
Operaciones
Costos de un sistema de colasCostos de un sistema de colas
2.2. Costo de servicio: Es el costo deCosto de servicio: Es el costo de
operacioperacióón del servicio brindadon del servicio brindado
Es mEs máás fs fáácil de estimarcil de estimar
–– El objetivo de un sistema deEl objetivo de un sistema de
colas es encontrar el sistema delcolas es encontrar el sistema del
costo total mcosto total míínimonimo

Investigación de
Operaciones
Objetivo del estudio
Matemáticamente :
Min {Ct} = Ce S + C q Lq
donde
S = 1,2,3,4.........
Lq= f {S,E(t),.......}
Donde:
S: Número de entidades que proporcionan servicio
(servidores).
E(t): tiempo promedio de Servicio.
Lq: : Número de transacciones en espera.
Ce : Costo de servicio por entidad - tiempo.
Cq : Costo de servicio por transacción - tiempo.
Ct : Costo total por unidad de tiempo

Investigación de
Operaciones
Optimización de Costos
No. de Servidores
Costo de servicio
Ce.S
Costo de servicio
Ct
Costo de espera
Cq.Lq
$/tiempo
Ct mínimo
S*

Investigación de
Operaciones
Sistemas de colas: LasSistemas de colas: Las
llegadasllegadas
El tiempo que transcurre entre dosEl tiempo que transcurre entre dos
llegadas sucesivas en el sistema dellegadas sucesivas en el sistema de
colas se llama tiempo entre llegadascolas se llama tiempo entre llegadas
El tiempo entre llegadas tiende a serEl tiempo entre llegadas tiende a ser
muy variablemuy variable
El nEl núúmero esperado de llegadas pormero esperado de llegadas por
unidad de tiempo se llama tasa mediaunidad de tiempo se llama tasa media
de llegadas (de llegadas (λλ))

Investigación de
Operaciones
llegadasllegadas
El tiempo esperado entre llegadas esEl tiempo esperado entre llegadas es
1/1/λλ
Por ejemplo, si la tasa media dePor ejemplo, si la tasa media de
llegadas esllegadas es λλ = 20 clientes por hora= 20 clientes por hora
Entonces el tiempo esperado entreEntonces el tiempo esperado entre
llegadas es 1/llegadas es 1/λλ = 1/20 = 0.05 horas o 3= 1/20 = 0.05 horas o 3
minutosminutos

Investigación de
Operaciones
llegadasllegadas
AdemAdemáás es necesario estimar las es necesario estimar la
distribucidistribucióón de probabilidad de losn de probabilidad de los
tiempos entre llegadastiempos entre llegadas
Generalmente se supone unaGeneralmente se supone una
distribucidistribucióón exponencialn exponencial
Esto depende del comportamientoEsto depende del comportamiento
de las llegadasde las llegadas

Investigación de
Operaciones
Sistemas de colas: Las llegadasSistemas de colas: Las llegadas ––
DistribuciDistribucióón exponencialn exponencial
Media Tiempo0
P(t)

Investigación de
Operaciones
Sistemas de colas: Las llegadasSistemas de colas: Las llegadas ––
DistribuciDistribucióón exponencialn exponencial
La distribuciLa distribucióón exponencial suponen exponencial supone
una mayor probabilidad para tiemposuna mayor probabilidad para tiempos
entre llegadas pequeentre llegadas pequeññosos
En general, se considera que lasEn general, se considera que las
llegadas son aleatoriasllegadas son aleatorias
LaLa úúltima llegada no influye en laltima llegada no influye en la
probabilidad de llegada de laprobabilidad de llegada de la
siguientesiguiente

Proceso de llegada a la cola.Proceso de llegada a la cola.
-- Existen 2 tipos de procesos de llegada:Existen 2 tipos de procesos de llegada:
* Proceso de llegada* Proceso de llegada deterministicodeterministico..
* Proceso de llegada aleatoria.* Proceso de llegada aleatoria.
-- El proceso aleatorio es mEl proceso aleatorio es máás coms comúún en la empresa.n en la empresa.
-- Bajo tres condiciones, una distribuciBajo tres condiciones, una distribucióónn PoissonPoisson puedepuede
describir el proceso aleatorio.describir el proceso aleatorio.

Las tres condiciones necesarias para la existencia delLas tres condiciones necesarias para la existencia del
proceso de llegadaproceso de llegada PoissonPoisson ::
* Continuidad: Al menos un cliente debe llegar a la cola durante* Continuidad: Al menos un cliente debe llegar a la cola durante
un intervalo de tiempo.un intervalo de tiempo.
* Estacionario: Para un intervalo de tiempo dado, la* Estacionario: Para un intervalo de tiempo dado, la
probabilidad de que llegue un cliente es la misma que paraprobabilidad de que llegue un cliente es la misma que para
todos los intervalos de tiempo de la misma longitud.todos los intervalos de tiempo de la misma longitud.
* Independencia: La llegada de un cliente no tiene influencia* Independencia: La llegada de un cliente no tiene influencia
sobre la llegada de otro.sobre la llegada de otro.
-- Estas condiciones no restringen el problema y son satisfechasEstas condiciones no restringen el problema y son satisfechas
en muchas situaciones.en muchas situaciones.

DistribuciDistribucióón de llegadan de llegada PoissonPoisson
P X k
e
k !
= =
λ
λ
t) k t
( )
( −
Donde:
λ = esperanza de llegada de un cliente por
unidad de tiempo
t = intervalo de tiempo.
e = 2.7182818 (base del logaritmo natural).
k! = k (k -1) (k -2) (k -3) … (3) (2) (1).

Investigación de
Operaciones
Sistemas de colas: Las llegadasSistemas de colas: Las llegadas --
DistribuciDistribucióón den de PoissonPoisson
Es una distribuciEs una distribucióón discreta empleadan discreta empleada
con mucha frecuencia para describircon mucha frecuencia para describir
el patrel patróón de las llegadas a un sisteman de las llegadas a un sistema
de colasde colas
Para tasas medias de llegadasPara tasas medias de llegadas
pequepequeññas es asimas es asiméétrica y se hacetrica y se hace
mmáás sims siméétrica y se aproxima a latrica y se aproxima a la
binomialbinomial para tasas de llegadas altaspara tasas de llegadas altas

Investigación de
Operaciones
Su forma algebraica es:Su forma algebraica es:
Donde:Donde:
–– P(kP(k)) : probabilidad de k llegadas: probabilidad de k llegadas
por unidad de tiempopor unidad de tiempo
––λλ : tasa media de llegadas: tasa media de llegadas
–– ee == 2,71828182,7182818……
!
)(
k
e
kP
k λ
λ −
=

Investigación de
Operaciones
Llegadas por unidad de tiempo0
P

Investigación de
Operaciones
Sistemas de colas: La colaSistemas de colas: La cola
El nEl núúmero de clientes en la cola es elmero de clientes en la cola es el
nnúúmero de clientes que esperan elmero de clientes que esperan el
servicioservicio
El nEl núúmero de clientes en el sistema esmero de clientes en el sistema es
el nel núúmero de clientes que esperan en lamero de clientes que esperan en la
cola mcola máás el ns el núúmero de clientes quemero de clientes que
actualmente reciben el servicioactualmente reciben el servicio

Investigación de
Operaciones
La capacidad de la cola es elLa capacidad de la cola es el
nnúúmero mmero mááximo de clientes queximo de clientes que
pueden estar en la colapueden estar en la cola
Generalmente se supone que laGeneralmente se supone que la
cola es infinitacola es infinita
Aunque tambiAunque tambiéén la cola puede sern la cola puede ser
finitafinita

Investigación de
Operaciones
La disciplina de la cola se refiere alLa disciplina de la cola se refiere al
orden en que se seleccionan losorden en que se seleccionan los
miembros de la cola para comenzar elmiembros de la cola para comenzar el
servicioservicio
La mLa máás coms comúún es PEPS: primero enn es PEPS: primero en
llegar, primero en serviciollegar, primero en servicio
Puede darse: selecciPuede darse: seleccióón aleatoria,n aleatoria,
prioridades, UEPS, entre otras.prioridades, UEPS, entre otras.

Investigación de
Operaciones
Sistemas de colas: El servicioSistemas de colas: El servicio
El servicio puede ser brindado por unEl servicio puede ser brindado por un
servidor o por servidores mservidor o por servidores múúltiplesltiples
El tiempo de servicio varEl tiempo de servicio varíía de cliente aa de cliente a
clientecliente
El tiempo esperado de servicio dependeEl tiempo esperado de servicio depende
de la tasa media de servicio (de la tasa media de servicio (μμ))

Investigación de
Operaciones
El tiempo esperado de servicioEl tiempo esperado de servicio
equivale a 1/equivale a 1/μμ
Por ejemplo, si la tasa media dePor ejemplo, si la tasa media de
servicio es de 25 clientes por horaservicio es de 25 clientes por hora
Entonces el tiempo esperado deEntonces el tiempo esperado de
servicio es 1/servicio es 1/μμ = 1/25 = 0.04= 1/25 = 0.04
horas, o 2.4 minutoshoras, o 2.4 minutos

Investigación de
Operaciones
Es necesario seleccionar unaEs necesario seleccionar una
distribucidistribucióón de probabilidad para losn de probabilidad para los
tiempos de serviciotiempos de servicio
Hay dos distribuciones queHay dos distribuciones que
representarrepresentaríían puntos extremos:an puntos extremos:
––La distribuciLa distribucióón exponencialn exponencial
((σσ=media)=media)
––Tiempos de servicio constantesTiempos de servicio constantes
((σσ=0)=0)

Investigación de
Operaciones
Una distribuciUna distribucióón intermedia es lan intermedia es la
distribucidistribucióónn ErlangErlang
Esta distribuciEsta distribucióón posee unn posee un
parparáámetro de formametro de forma kk queque
determina su desviacidetermina su desviacióón estn estáándar:ndar:
media
k
1
=σ

Investigación de
Operaciones
SiSi kk = 1, entonces la distribuci= 1, entonces la distribucióónn
ErlangErlang es igual a la exponenciales igual a la exponencial
SiSi kk == ∞∞, entonces la distribuci, entonces la distribucióónn
Erlang es igual a la distribuciErlang es igual a la distribucióónn
degenerada con tiemposdegenerada con tiempos
constantesconstantes
La forma de la distribuciLa forma de la distribucióónn ErlangErlang
varvaríía de acuerdo cona de acuerdo con kk

Investigación de
Operaciones
Media Tiempo0
P(t)
k = ∞
k = 1
k = 2
k = 8

Investigación de
Operaciones
Sistemas de colas:Sistemas de colas:
DistribuciDistribucióónn ErlangErlang
DistribuciDistribucióónn DesviaciDesviacióón estn estáándarndar
ConstanteConstante 00
ErlangErlang,, kk = 1= 1 mediamedia
ErlangErlang,, kk = 2= 2
ErlangErlang,, kk = 4= 4 1/21/2 mediamedia
ErlangErlang,, kk = 8= 8
ErlangErlang,, kk = 16= 16 1/41/4 mediamedia
ErlangErlang, cualquier, cualquier kk
media2/1
media8/1
mediak/1

HARDWARE HANKHARDWARE HANK’’SS
Un problema que ilustra la distribuciUn problema que ilustra la distribucióónn PoissonPoisson..
-- Los clientes llegan aLos clientes llegan a HankHank’’ss de acuerdo a una distribucide acuerdo a una distribucióónn
Poisson.Poisson.
-- Entre las 8:00 y las 9:00 a.m. llegan en promedio 6 clientes alEntre las 8:00 y las 9:00 a.m. llegan en promedio 6 clientes al
local comercial.local comercial.
-- ¿¿CuCuáál es la probabilidad que k = 0,1,2... clientes lleguen entrel es la probabilidad que k = 0,1,2... clientes lleguen entre
las 8:00 y las 8:30 de la malas 8:00 y las 8:30 de la maññana?ana?

SOLUCIONSOLUCION
P X k
e
k
( )
(
!
= =
−
λ λ
t) k t
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 =
0
0!
0.049787
0
1
1!
1
0.1493612
2
2!
0.2240423
3
3!
0.224042
Valores de entrada para la Dist.Valores de entrada para la Dist. PoissonPoisson
λλ= 6 clientes por hora.= 6 clientes por hora.
t = 0.5 horas.t = 0.5 horas.
λλ t = (6)(0.5) = 3.t = (6)(0.5) = 3.
1 2 3 4 5 6 7 8

La fila de espera.La fila de espera.
-- Factores que influyen en el modelo de colas:Factores que influyen en el modelo de colas:
* Configuraci* Configuracióón de la filan de la fila
* Tramposos* Tramposos
* Contrariedades* Contrariedades
* Prioridades* Prioridades
* Colas* Colas TTáándemndem (simult(simultááneas)neas)
* Homogeneidad.* Homogeneidad.

-- ConfiguraciConfiguracióón de la filan de la fila
* Una sola cola de servicio* Una sola cola de servicio
* M* Múúltiples colas de servicio con una sola fila de esperaltiples colas de servicio con una sola fila de espera
* M* Múúltiples colas de servicio con mltiples colas de servicio con múúltiples filas de espera.ltiples filas de espera.
* Colas* Colas TTáándemndem (sistema de servicios m(sistema de servicios múúltiples)ltiples)
-- TrampososTramposos
* Corresponden a clientes que se mueven a trav* Corresponden a clientes que se mueven a travéés de la cola sins de la cola sin
seguir los criterios de avance.seguir los criterios de avance.
-- ContrariedadesContrariedades
* Ocurre cuando los clientes evitan llegar a la fila porque* Ocurre cuando los clientes evitan llegar a la fila porque
perciben que esta es demasiada larga.perciben que esta es demasiada larga.

-- Reglas de prioridadReglas de prioridad
* Las reglas de prioridad definen la disciplina en la fila.* Las reglas de prioridad definen la disciplina en la fila.
* Estas reglas seleccionan el pr* Estas reglas seleccionan el próóximo cliente en ser atendidoximo cliente en ser atendido
* Criterios de selecci* Criterios de seleccióón comn comúúnmente usados:nmente usados:
-- Primero en entrar primero en salir (FIFO).Primero en entrar primero en salir (FIFO).
-- Ultimo en entrar primero en salir (LIFO).Ultimo en entrar primero en salir (LIFO).
-- Tiempo estimado de atenciTiempo estimado de atencióónn
-- AtenciAtencióón de clientes aleatoria.n de clientes aleatoria.
-- HomogeneidadHomogeneidad
* Una poblaci* Una poblacióón homogn homogéénea de clientes es aquella en la cualnea de clientes es aquella en la cual
los clientes requieren esencialmente el mismo servicio.los clientes requieren esencialmente el mismo servicio.
* Una poblaci* Una poblacióón no homogn no homogéénea es aquella en la cual losnea es aquella en la cual los
clientes pueden ser ordenados de acuerdo :clientes pueden ser ordenados de acuerdo :
+ A los patrones de llegada+ A los patrones de llegada
+ Al tipo de servicio requerido.+ Al tipo de servicio requerido.

El proceso de servicioEl proceso de servicio
-- Alguno sistemas de servicio requieren de un tiempo deAlguno sistemas de servicio requieren de un tiempo de
atenciatencióón fijo.n fijo.
-- Sin embargo, en muchos casos, el tiempo de atenciSin embargo, en muchos casos, el tiempo de atencióón varn varíía dea de
acuerdo a la cantidad de clientes.acuerdo a la cantidad de clientes.
-- Cuando el tiempo de atenciCuando el tiempo de atencióón varn varíía, este se trata como unaa, este se trata como una
variable aleatoria.variable aleatoria.
-- La distribuciLa distribucióón exponencial es usada, en algunos casos, paran exponencial es usada, en algunos casos, para
modelar el tiempo de atencimodelar el tiempo de atencióón del cliente.n del cliente.

DistribuciDistribucióón exponencial del tiempo de atencin exponencial del tiempo de atencióónn
f(X) = μe-μX
donde μ = es el número de clientes promedio
que pueden ser atendidos por período de tiempo.
Probabilidad que el tiempo de atención X sea menor que “t.”
P(X t) = 1 - e-μt≤

Ilustración esquemática de la distribución exponencial
Probabilidad de que la atención sea completada
dentro de “ t “ unidades de tiempo
X = t
f(X)
Probabilidad de que la atención sea completada
dentro de “ t “ unidades de tiempo

Medida del desempeMedida del desempeñño de loso de los
sistemas de colassistemas de colas
El desempeEl desempeñño puede ser medidoo puede ser medido concentrandoseconcentrandose en:en:
-- Los clientes en la colaLos clientes en la cola
-- Los clientes en el sistemaLos clientes en el sistema
Los perLos perííodos transitorios y estodos transitorios y estááticos complican elticos complican el
ananáálisis del tiempo de atencilisis del tiempo de atencióón.n.

Un perUn perííodo transitorio ocurre al inicio de la operaciodo transitorio ocurre al inicio de la operacióón.n.
-- Un comportamiento transitorio inicial no es indicado para un laUn comportamiento transitorio inicial no es indicado para un largorgo
perperííodo de ejecuciodo de ejecucióón.n.
Un perUn perííodo estacionario sigue al perodo estacionario sigue al perííodo transitorio.odo transitorio.
-- En un perEn un perííodo estacionario , la probabilidad de tener n clientes en elodo estacionario , la probabilidad de tener n clientes en el
sistema no cambia a medida que transcurre el tiempo.sistema no cambia a medida que transcurre el tiempo.
-- De acuerdo a lo anterior, la tasa de llegada puede ser menor quDe acuerdo a lo anterior, la tasa de llegada puede ser menor quee
suma de las tasas de atencisuma de las tasas de atencióón efectiva.n efectiva.
λ< μ λ< μλ< μ λ< μ11 +μ+μ22++……+μ+μκκ λ<λ< kkμμ
Para un servidorPara un servidor Para k servidoresPara k servidores Para k servidoresPara k servidores
con tasa se serv.con tasa se serv. μμ
cada unocada uno

Medida del desempeMedida del desempeñño en pero en perííodos estacionarios.odos estacionarios.
PP00 = Probabilidad de que no existan clientes en el= Probabilidad de que no existan clientes en el sist.sist.
PPnn = Probabilidad de que existan n clientes en el sistema.= Probabilidad de que existan n clientes en el sistema.
L = nL = núúmero de clientes promedio en el sistema.mero de clientes promedio en el sistema.
LLqq = n= núúmero de clientes promedio en la cola.mero de clientes promedio en la cola.
W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente enW = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en
el sistema.el sistema.
WWqq = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en= Tiempo promedio de permanencia de un cliente en
la cola.la cola.
PPww = Probabilidad de que un cliente que llega deba= Probabilidad de que un cliente que llega deba
esperar para ser atendido.esperar para ser atendido.
ρρ = Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo= Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo
que cada servidor es ocupado).que cada servidor es ocupado).

FFóórmulasrmulas
-- Las fLas fóórmulas representan las relaciones entre L,rmulas representan las relaciones entre L, LLqq, W, y, W, y WWqq..
-- Estas fEstas fóórmulas se aplican a sistemas que cumplen con lasrmulas se aplican a sistemas que cumplen con las
siguientes condiciones:siguientes condiciones:
* Sistemas de colas simples* Sistemas de colas simples
* Los clientes llegan seg* Los clientes llegan segúún una tasa finita de llegadan una tasa finita de llegada
* El sistema opera bajo las condiciones de per* El sistema opera bajo las condiciones de perííodosodos
estacionarios.estacionarios.
L =L = λλ WW LLqq == λλ WWqq L =L = LLqq ++ λλ // μμ
Para el caso de una poblaciPara el caso de una poblacióón infinita.n infinita.

ClasificaciClasificacióón de las colas.n de las colas.
-- Los sistemas de colas pueden ser clasificados por:Los sistemas de colas pueden ser clasificados por:
+ Proceso de llegada de clientes+ Proceso de llegada de clientes
+ Proceso de atenci+ Proceso de atencióónn
+ N+ Núúmero de servidoresmero de servidores
+ Tama+ Tamañño (o (lineaslineas de espera finitas/infinitas)de espera finitas/infinitas)
+ Tama+ Tamañño de la poblacio de la poblacióónn
-- NotaciNotacióónn
+ M (+ M (MarkovianMarkovian)= Proceso de llegada)= Proceso de llegada PoissonPoisson o tiempo deo tiempo de
atenciatencióón exponencial.n exponencial.
+D (+D (DeterminDeterminíísticostico) = Tasa constante de llegada o de atenci) = Tasa constante de llegada o de atencióónn
+G (General) = Probabilidad general de llegada o de+G (General) = Probabilidad general de llegada o de
atenciatencióónn
Ejempo:
M / M / 6 / 10
Ejempo:
M / M / 6 / 10

Sistema de colas M/M/1Sistema de colas M/M/1
CaracterCaracteríísticassticas
-- Proceso de llegadaProceso de llegada PoissonPoisson..
-- El tiempo de atenciEl tiempo de atencióón se distribuye exponencialmenten se distribuye exponencialmente
-- Existe un solo servidorExiste un solo servidor
-- Cola de capacidad infinitaCola de capacidad infinita
-- PoblaciPoblacióón infinita.n infinita.

Medidas de desempeMedidas de desempeñño para la colao para la cola
M / M /1M / M /1
PP00 = 1= 1-- ((λλ // μμ))
PPnn = [1= [1 -- ((λλ // μμ)] ()] (λλ// μμ))nn
L =L = λλ // ((μμ -- λλ))
LLqq == λλ 22 // [[μμ((μμ -- λλ)])]
W = 1W = 1 // ((μμ -- λλ))
WWqq == λλ // [[μμ((μμ -- λλ)])]
PPww == λλ // μμ
ρρ == λλ // μμ
La probabilidad de que
un cliente espere en
el sistema más de
“t” es P(X>t)= e-(μ - λ)t

ZapaterZapaterííaa MaryMary’’ss
Los clientes que llegan a la zapaterLos clientes que llegan a la zapaterííaa MaryMary’’ss son enson en
promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribucipromedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribucióónn
Poisson.Poisson.
El tiempo de atenciEl tiempo de atencióón se distribuye exponencialmenten se distribuye exponencialmente
con un promedio de 8 minutos por cliente.con un promedio de 8 minutos por cliente.
La gerencia esta interesada en determinar lasLa gerencia esta interesada en determinar las
medidas demedidas de performanceperformance para este servicio.para este servicio.

SOLUCIONSOLUCION
–– Datos de entradaDatos de entrada
λλ = 1= 1// 12 clientes por minuto = 6012 clientes por minuto = 60// 12 = 5 por12 = 5 por
hora.hora.
μμ = 1= 1// 8 clientes por minuto = 608 clientes por minuto = 60// 8 = 7.58 = 7.5
por hora.por hora.
–– Calculo delCalculo del performanceperformanceP0 = 1- (λ / μ) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333
Pn = [1 - (λ / μ)] (λ/ μ) = (0.3333)(0.6667)n
L = λ / (μ - λ) = 2
Lq = λ2/ [μ(μ - λ)] = 1.3333
W = 1 / (μ - λ) = 0.4 horas = 24 minutos
Wq = λ / [μ(μ - λ)] = 0.26667 horas = 16 minutos
P0 = 1- (λ / μ) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333
Pn = [1 - (λ / μ)] (λ/ μ) = (0.3333)(0.6667)n
L = λ / (μ - λ) = 2
Lq = λ2/ [μ(μ - λ)] = 1.3333
W = 1 / (μ - λ) = 0.4 horas = 24 minutos
Wq = λ / [μ(μ - λ)] = 0.26667 horas = 16 minutos
Pw = λ / μ = 0.6667
ρ = λ / μ = 0.6667

Investigación de
Operaciones
USANDO WINQSBUSANDO WINQSB

Investigación de
Operaciones

Datos de entrada para WINQSBDatos de entrada para WINQSB
μ
λ

Medidas de desempeñoMedidas de desempeño

Sistema de cola M/M/kSistema de cola M/M/k
-- Clientes llegan de acuerdo a una distribuciClientes llegan de acuerdo a una distribucióónn PoissonPoisson con unacon una
esperanzaesperanza λ.λ.
-- El tiempo de atenciEl tiempo de atencióón se distribuye exponencialmente.n se distribuye exponencialmente.
-- Existen k servidores, cada uno atiende a una tasa deExisten k servidores, cada uno atiende a una tasa de μμ
clientes.clientes.
-- Existe una poblaciExiste una poblacióón infinita y la posibilidad den infinita y la posibilidad de
infinitas filas.infinitas filas.

Medidas deMedidas de performanceperformance
P
n k
k
k
n k
n
k
0
0
1
1
1 1
=
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ + ⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟∑
=
−
! !
λ
μ
λ
μ
μ
μ λ
P
n
P
k k
P
n
n
n
n k
=
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
≤
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
λ
μ
λ
μ
!
!
0
0
for n k.
P for n > k.n
Para n<= k
Para n > k

( ) ( )
W
k k
P
k
=
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
− −
+
λ
μ
μ
μ λ μ1
1
2 0
!
Las medidas del performance L, Lq, Wq,, pueden ser obtenidas
por las formulas.
P
k
k
k
Pw
k
= ⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
0
!
λ
μ
μ
μ λ
ρ
λ
μ
=
k

OFICINA POSTAL TOWNOFICINA POSTAL TOWN
La oficina postalLa oficina postal TownTown atiende patiende púúblico los Sblico los Sáábadosbados
entre las 9:00 a.m. y la 1:00 p.m.entre las 9:00 a.m. y la 1:00 p.m.
DatosDatos
-- En promedio, 100 clientes por hora visitan la oficina postalEn promedio, 100 clientes por hora visitan la oficina postal
durante este perdurante este perííodo. La oficina tiene tres dependientes.odo. La oficina tiene tres dependientes.
-- Cada atenciCada atencióón dura 1.5 minutos en promedio.n dura 1.5 minutos en promedio.
-- La distribuciLa distribucióónn PoissonPoisson y exponencial describen la llegada dey exponencial describen la llegada de
los clientes y el proceso de atencilos clientes y el proceso de atencióón de estos respectivamente.n de estos respectivamente.
La gerencia desea conocer las medidas relevantes al servicio en
orden a:
– La evaluación del nivel de servicio prestado.
– El efecto de reducir el personal en un dependiente.
La gerencia desea conocer las medidas relevantes al servicio en
orden a:
– La evaluación del nivel de servicio prestado.
– El efecto de reducir el personal en un dependiente.

SOLUCIONSOLUCION
Se trata de un sistema de colas M / M / 3 .Se trata de un sistema de colas M / M / 3 .
Datos de entradaDatos de entrada
λ =λ = 100 clientes por hora.100 clientes por hora.
μ =μ = 40 clientes por hora (6040 clientes por hora (60 // 1.5).1.5).
¿¿Existe un perExiste un perííodo estacionario (odo estacionario (λλ << kkμμ )?)?
λ =λ = 100 <100 < kkμμ = 3= 3(40) = 120.(40) = 120.

Investigación de
Operaciones
USANDO EL WINQSBUSANDO EL WINQSB

Investigación de
Operaciones

Sistemas de colas M/G/1Sistemas de colas M/G/1
SupuestosSupuestos
-- Los clientes llegan de acuerdo a un procesoLos clientes llegan de acuerdo a un proceso PoissonPoisson concon
esperanzaesperanza λ.λ.
−− El tiempo de atenciEl tiempo de atencióón tiene una distribucin tiene una distribucióón general conn general con
esperanzaesperanza μ.μ.
−− Existe un solo servidor.Existe un solo servidor.
-- Se cuenta con una poblaciSe cuenta con una poblacióón infinita y la posibilidad den infinita y la posibilidad de
infinitas filas.infinitas filas.

Formula para L deFormula para L de PollaczekPollaczek -- KhintchineKhintchine..
-- Nota : No es necesario conocer la distribuciNota : No es necesario conocer la distribucióón particular deln particular del
tiempo de atencitiempo de atencióón. Solo la esperanza y la desviacin. Solo la esperanza y la desviacióón estn estáándarndar
son necesarias.son necesarias.
( )
L =
+ ⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
−⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
+
2
2
2 1
λσ λ
μ
λ
μ
λ
μ

TALLER DE REPARACIONES TEDTALLER DE REPARACIONES TED
TedTed repara televisores y videograbadoras.repara televisores y videograbadoras.
DatosDatos
-- El tiempo promedio para reparar uno de estos artefactos es deEl tiempo promedio para reparar uno de estos artefactos es de
2.25 horas.2.25 horas.
-- La desviaciLa desviacióón estn estáándar del tiempo de reparacindar del tiempo de reparacióón es de 45n es de 45
minutos.minutos.
-- Los clientes llegan a la tienda en promedio cada 2.5 horas, deLos clientes llegan a la tienda en promedio cada 2.5 horas, de
acuerdo a una distribuciacuerdo a una distribucióónn PoissonPoisson..
-- TedTed trabaja 9 horas diarias y no tiene ayudantes.trabaja 9 horas diarias y no tiene ayudantes.
-- El compra todos los repuestos necesarios.El compra todos los repuestos necesarios.
+ En promedio, el tiempo de reparaci+ En promedio, el tiempo de reparacióón esperado debern esperado deberííaa
ser de 2 horas.ser de 2 horas.
+ La desviaci+ La desviacióón estn estáándar esperada deberndar esperada deberíía ser de 40a ser de 40
minutos.minutos.

Ted desea conocer los efectos de usar nuevos
equipos para:
1. Mejorar el tiempo promedio de reparación
de los artefactos;
2. Mejorar el tiempo promedio que debe esperar
un cliente hasta que su artefacto sea reparado.
Ted desea conocer los efectos de usar nuevos
equipos para:
1. Mejorar el tiempo promedio de reparación
de los artefactos;
2. Mejorar el tiempo promedio que debe esperar
un cliente hasta que su artefacto sea reparado.

SOLUCIONSOLUCION
Se trata de un sistema M/G/1 (el tiempo de atenciSe trata de un sistema M/G/1 (el tiempo de atencióónn
no es exponencial puesno es exponencial pues σσ == 11//μμ).).
DatosDatos
–– Con el sistema antiguo (sin los nuevos equipos)Con el sistema antiguo (sin los nuevos equipos)
λλ = 1= 1// 2.5 = 0.4 clientes por hora.2.5 = 0.4 clientes por hora.
μμ = 1= 1// 2.25 = 0.4444 clientes por hora.2.25 = 0.4444 clientes por hora.
σσ = 45= 45// 60 = 0.75 horas.60 = 0.75 horas.
–– Con el nuevo sistema (con los nuevos equipos)Con el nuevo sistema (con los nuevos equipos)
μμ = 1= 1//2 = 0.5 clientes por hora.2 = 0.5 clientes por hora.
σσ = 40= 40// 60 = 0.6667 horas.60 = 0.6667 horas.

Sistemas de colas M/M/k/FSistemas de colas M/M/k/F
Se deben asignar muchas colas, cada una de unSe deben asignar muchas colas, cada una de un
cierto tamacierto tamañño lo líímite.mite.
Cuando una cola es demasiado larga, un modelo deCuando una cola es demasiado larga, un modelo de
cola infinito entrega un resultado exacto, aunque decola infinito entrega un resultado exacto, aunque de
todas formas la cola debe ser limitada.todas formas la cola debe ser limitada.
Cuando una cola es demasiado pequeCuando una cola es demasiado pequeñña, se debea, se debe
estimar un lestimar un líímite para la fila en el modelo.mite para la fila en el modelo.

CaracterCaracteríísticas del sistema M/M/k/Fsticas del sistema M/M/k/F
-- La llegada de los clientes obedece a una distribuciLa llegada de los clientes obedece a una distribucióónn PoissonPoisson
con una esperanzacon una esperanza λ.λ.
-- Existen k servidores, para cada uno el tiempo de atenciExisten k servidores, para cada uno el tiempo de atencióón sen se
distribuye exponencialmente, con esperanzadistribuye exponencialmente, con esperanza μ.μ.
−− El nEl núúmero mmero mááximo de clientes que puede estar presente en elximo de clientes que puede estar presente en el
sistema en un tiempo dado essistema en un tiempo dado es ““FF””..
-- Los clientes son rechazados si el sistema se encuentraLos clientes son rechazados si el sistema se encuentra
completo.completo.

Tasa de llegada efectiva.Tasa de llegada efectiva.
-- Un cliente es rechazado si el sistema se encuentra completo.Un cliente es rechazado si el sistema se encuentra completo.
-- La probabilidad de que el sistema se complete esLa probabilidad de que el sistema se complete es PPFF..
-- La tasa efectiva de llegada = la tasa de abandono de clientesLa tasa efectiva de llegada = la tasa de abandono de clientes
en el sistemaen el sistema ((λλee).).
λe = λ(1 - PF)

COMPACOMPAÑÍÑÍA DE TECHADOS RYANA DE TECHADOS RYAN
RyanRyan atiende a sus clientes, los cuales llaman yatiende a sus clientes, los cuales llaman y
ordenan su servicio.ordenan su servicio.
DatosDatos
-- Una secretaria recibe las llamadas desde 3 lUna secretaria recibe las llamadas desde 3 lííneas telefneas telefóónicas.nicas.
-- Cada llamada telefCada llamada telefóónica toma tres minutos en promedionica toma tres minutos en promedio
-- En promedio, diez clientes llaman a la compaEn promedio, diez clientes llaman a la compañíñía cada hora.a cada hora.

Cuando una lCuando una líínea telefnea telefóónica esta disponible, pero lanica esta disponible, pero la
secretaria esta ocupada atendiendo otra llamada, elsecretaria esta ocupada atendiendo otra llamada, el
cliente debe esperar en lcliente debe esperar en líínea hasta que la secretarianea hasta que la secretaria
este disponible.este disponible.
Cuando todas las lCuando todas las lííneas estneas estáán ocupadas los clientesn ocupadas los clientes
optan por llamar a la competencia.optan por llamar a la competencia.
El proceso de llegada de clientes tiene unaEl proceso de llegada de clientes tiene una
distribucidistribucióónn PoissonPoisson, y el proceso de atenci, y el proceso de atencióón sen se
distribuye exponencialmente.distribuye exponencialmente.

La gerencia desea diseLa gerencia desea diseññar el siguiente sistema con:ar el siguiente sistema con:
-- La menor cantidad de lLa menor cantidad de lííneas necesarias.neas necesarias.
-- A lo mA lo máás el 2% de las llamadas encuentren las ls el 2% de las llamadas encuentren las lííneas ocupadas.neas ocupadas.
La gerencia esta interesada en la siguiente informaciLa gerencia esta interesada en la siguiente informacióón:n:
El porcentaje de tiempo en que la secretaria esta ocupada.El porcentaje de tiempo en que la secretaria esta ocupada.
EL nEL núúmero promedio de clientes que estmero promedio de clientes que estáán es espera.n es espera.
El tiempo promedio que los clientes permanecen en lEl tiempo promedio que los clientes permanecen en líínea esperando sernea esperando ser
atendidos.atendidos.
El porcentaje actual de llamadas que encuentran las lEl porcentaje actual de llamadas que encuentran las lííneas ocupadas.neas ocupadas.

SOLUCIONSOLUCION
Se trata de un sistema M / M / 1 / 3Se trata de un sistema M / M / 1 / 3
λλ = 10 por hora.= 10 por hora.
μμ = 20 por hora (1= 20 por hora (1// 3 por minuto).3 por minuto).
–– WINQSB entrega:WINQSB entrega:
PP00 = 0.533, P= 0.533, P11 = 0.133, P= 0.133, P33 = 0.06= 0.06
6.7% de los clientes encuentran las l6.7% de los clientes encuentran las lííneasneas
ocupadas.ocupadas.
Esto es alrededor de la meta del 2%.Esto es alrededor de la meta del 2%.
sistema M / M / 1 / 4
P0 = 0.516, P1 = 0.258, P2 = 0.129, P3 = 0.065, P4 = 0.032
3.2% de los clntes. encuentran las líneas ocupadas
Aún se puede alcanzar la meta del 2%
sistema M / M / 1 / 5
P0 = 0.508, P1 = 0.254, P2 = 0.127, P3 = 0.063, P4 = 0.032
P5 = 0.016
1.6% de los cltes. encuentran las linea ocupadas
La meta del 2% puede ser alcanzada.

Datos de entrada para WINQSBDatos de entrada para WINQSB
Otros resultados de WINQSBOtros resultados de WINQSB
Con 5 líneas telefónicas
4 clientes pueden esperar
en línea

Sistemas de colas M/M/1//mSistemas de colas M/M/1//m
En este sistema el nEn este sistema el núúmero de clientes potenciales esmero de clientes potenciales es
finito y relativamente pequefinito y relativamente pequeñño.o.
Como resultado, el nComo resultado, el núúmero de clientes que semero de clientes que se
encuentran en el sistema corresponde a la tasa deencuentran en el sistema corresponde a la tasa de
llegada de clientes.llegada de clientes.
-- Un solo servidorUn solo servidor
-- Tiempo de atenciTiempo de atencióón exponencial y proceso de llegadan exponencial y proceso de llegada PoissonPoisson..
-- El tamaEl tamañño de la poblacio de la poblacióón es de m clientes (m finito).n es de m clientes (m finito).

CASAS PACESETTERCASAS PACESETTER
CasasCasas PacesetterPacesetter se encuentra desarrollando cuatrose encuentra desarrollando cuatro
proyectos.proyectos.
DatosDatos
-- Una obstrucciUna obstruccióón en las obras ocurre en promedio cada 20n en las obras ocurre en promedio cada 20
ddíías de trabajo en cada sitio.as de trabajo en cada sitio.
-- Esto toma 2 dEsto toma 2 díías en promedio para resolver el problema.as en promedio para resolver el problema.
-- Cada problema es resuelto por elCada problema es resuelto por el V.PV.P. para construcci. para construccióónn
¿¿Cuanto tiempo en promedio un sitio no se encuentraCuanto tiempo en promedio un sitio no se encuentra
operativo?operativo?
--Con 2 dCon 2 díías para resolver el problema (situacias para resolver el problema (situacióón actual)n actual)
--Con 1.875 dCon 1.875 díías para resolver el problema (situacias para resolver el problema (situacióón nueva).n nueva).

SOLUCIONSOLUCION
Se trata de un sistema M/M/1//4Se trata de un sistema M/M/1//4
Los cuatro sitios son los cuatro clientesLos cuatro sitios son los cuatro clientes
ElEl V.PV.P. para construcci. para construccióón puede ser consideradon puede ser considerado
como el servidor.como el servidor.
λλ = 0.05 (1= 0.05 (1// 20)20)
μμ = 0.5 (1= 0.5 (1// 2 usando el actual2 usando el actual V.PV.P).).
μμ = 0.533 (1= 0.533 (1//1.875 usando el nuevo1.875 usando el nuevo V.PV.P).).

Medidas del V.P V.P
Performance Actual Nuevo
Tasa efectiva del factor de utilización del sistema ρ 0,353 0,334
Número promedio de clientes en el sistema L 0,467 0,435
Número promedio de clientes en la cola Lq 0,113 0,100
Número promedio de dias que un cliente esta en el sistema W 2,641 2,437
Número promedio de días que un cliente esta en la cola Wq 0,641 0,562
Probabilidad que todos los servidores se encuentren ociosos Po 0,647 0,666
Probabilidad que un cliente que llega deba esperar en el sist. Pw 0,353 0,334
Medidas del V.P V.P
Performance Actual Nuevo
Tasa efectiva del factor de utilización del sistema ρ 0,353 0,334
Número promedio de clientes en el sistema L 0,467 0,435
Número promedio de clientes en la cola Lq 0,113 0,100
Número promedio de dias que un cliente esta en el sistema W 2,641 2,437
Número promedio de días que un cliente esta en la cola Wq 0,641 0,562
Probabilidad que todos los servidores se encuentren ociosos Po 0,647 0,666
Probabilidad que un cliente que llega deba esperar en el sist. Pw 0,353 0,334
Resultados obtenidos por WINQSBResultados obtenidos por WINQSB

AnAnáálisis econlisis econóómico de los sistemasmico de los sistemas
de colasde colas
Las medidas de desempeLas medidas de desempeñño anteriores son usadaso anteriores son usadas
para determinar los costos mpara determinar los costos míínimos del sistema denimos del sistema de
colas.colas.
El procedimiento requiere estimar los costos talesEl procedimiento requiere estimar los costos tales
como:como:
-- Costo de horas de trabajo por servidorCosto de horas de trabajo por servidor
-- Costo del grado de satisfacciCosto del grado de satisfaccióón del cliente que espera en lan del cliente que espera en la
cola.cola.
--Costo del grado de satisfacciCosto del grado de satisfaccióón de un cliente que es atendido.n de un cliente que es atendido.

SERVICIO TELEFONICO DE WILSON FOODSSERVICIO TELEFONICO DE WILSON FOODS
WilsonWilson FoodsFoods tiene un ltiene un líínea 800 para responder lasnea 800 para responder las
consultas de sus clientesconsultas de sus clientes
DatosDatos
-- En promedio se reciben 225 llamadas por hora.En promedio se reciben 225 llamadas por hora.
-- Una llamada toma aproximadamente 1.5 minutos.Una llamada toma aproximadamente 1.5 minutos.
-- Un cliente debe esperar en lUn cliente debe esperar en líínea a lo mnea a lo máás 3 minutos.s 3 minutos.
--A un representante que atiende a un cliente se le paga $16A un representante que atiende a un cliente se le paga $16
por hora.por hora.
--Wilson paga a la compaWilson paga a la compañíñía telefa telefóónica $0.18 por minuto cuandonica $0.18 por minuto cuando
el cliente espera en lel cliente espera en líínea o esta siendo atendido.nea o esta siendo atendido.
-- El costo del grado de satisfacciEl costo del grado de satisfaccióón de un cliente que espera enn de un cliente que espera en
llíínea es de $20 por minuto.nea es de $20 por minuto.
--El costo del grado de satisfacciEl costo del grado de satisfaccióón de un cliente que es atendidon de un cliente que es atendido
es de $0.05.es de $0.05.
¿Qué cantidad de representantes
para la atención de los clientes
deben ser usados para minimizar
el costo de las horas de operación?
¿Qué cantidad de representantes
para la atención de los clientes
deben ser usados para minimizar
el costo de las horas de operación?

SOLUCIONSOLUCION
Costo total del modeloCosto total del modelo
Costo total por horas de
trabajo de “k”
representantes para la
atención de clientes
CT(K) = Cwk + CtL + gwLq + gs(L - Lq)
Total horas para sueldo
Costo total de las
llamadas telefónicas
Costo total del grado de satisfacción
de los clientes que permanecen en línea
Costo total del grado de satisfacción
de los clientes que son atendidos
CT(K) = Cwk + (Ct + gs)L + (gw - gs)Lq

CCww= $16= $16
CCtt = $10.80 por hora [0.18(60)]= $10.80 por hora [0.18(60)]
ggww= $12 por hora [0.20(60)]= $12 por hora [0.20(60)]
ggss = $0.05 por hora= $0.05 por hora [0.05(60)][0.05(60)]
Costo total del promedio de horasCosto total del promedio de horas
TC(KTC(K) = 16K + (10.8+3)L + (12) = 16K + (10.8+3)L + (12 -- 3)3)LLqq
= 16K + 13.8L + 9L= 16K + 13.8L + 9Lqq

Asumiendo una distribuciAsumiendo una distribucióón de llegada de los clientesn de llegada de los clientes
PoissonPoisson y una distribuciy una distribucióón exponencial del tiempo den exponencial del tiempo de
atenciatencióón, se tiene un sistema M/M/Kn, se tiene un sistema M/M/K
λλ = 225 llamadas por hora.= 225 llamadas por hora.
μμ = 40 por hora (60= 40 por hora (60// 1.5).1.5).
El valor mEl valor míínimo posible para k es 6 de forma denimo posible para k es 6 de forma de
asegurar que exista un perasegurar que exista un perííodo estacionario (odo estacionario (λλ<K<Kμμ).).
WINQSB puede ser usado para generar los resultadosWINQSB puede ser usado para generar los resultados
de L,de L, LLqq, y, y WWqq..

En resumen los resultados para K= 6,7,8,9,10.En resumen los resultados para K= 6,7,8,9,10.
K L Lq Wq CT(K)
6 18,1249 12,5 0,05556 458,62
7 7,6437 2,0187 0,00897 235,62
8 6,2777 0,6527 0,0029 220,50
9 5,8661 0,2411 0,00107 227,12
10 5,7166 0,916 0,00041 239,70
K L Lq Wq CT(K)
6 18,1249 12,5 0,05556 458,62
7 7,6437 2,0187 0,00897 235,62
8 6,2777 0,6527 0,0029 220,50
9 5,8661 0,2411 0,00107 227,12
10 5,7166 0,916 0,00041 239,70
Conclusión: se deben emplear 8 representantes
para la atención de clientes
Conclusión: se deben emplear 8 representantes
para la atención de clientes

Sistemas de colasSistemas de colas TTáándemndem
En un sistema de colasEn un sistema de colas TTáándemndem un cliente debeun cliente debe
visitar diversos servidores antes de completar elvisitar diversos servidores antes de completar el
servicio requeridoservicio requerido
Se utiliza para casos en los cuales el cliente llega deSe utiliza para casos en los cuales el cliente llega de
acuerdo al procesoacuerdo al proceso PoissonPoisson y el tiempo de atenciy el tiempo de atencióónn
se distribuye exponencialmente en cada estacise distribuye exponencialmente en cada estacióón.n.
Tiempo promedio total en el sistema =
suma de todos los tiempo promedios en las estaciones
individuales
Tiempo promedio total en el sistema =
suma de todos los tiempo promedios en las estaciones
individuales

COMPACOMPAÑÍÑÍA DE SONIDO BIG BOYSA DE SONIDO BIG BOYS
BigBig BoysBoys vende productos de audio.vende productos de audio.
El proceso de venta es el siguiente:El proceso de venta es el siguiente:
-- Un cliente realiza su orden con el vendedor.Un cliente realiza su orden con el vendedor.
-- El cliente se dirige a la caja para pagar su pedido.El cliente se dirige a la caja para pagar su pedido.
-- DespuDespuéés de pagar, el cliente debe dirigirse al empaque paras de pagar, el cliente debe dirigirse al empaque para
obtener su producto.obtener su producto.

Datos de la venta de un SDatos de la venta de un Sáábado normalbado normal
-- PersonalPersonal
+ 8 vendedores contando el jefe+ 8 vendedores contando el jefe
+ 3 cajeras+ 3 cajeras
+ 2 trabajadores de empaque.+ 2 trabajadores de empaque.
-- Tiempo promedio de atenciTiempo promedio de atencióónn
+ El tiempo promedio que un vendedor esta con un+ El tiempo promedio que un vendedor esta con un
cliente es de 10 minutos.cliente es de 10 minutos.
+ El tiempo promedio requerido para el proceso de pago es de+ El tiempo promedio requerido para el proceso de pago es de
3 minutos.3 minutos.
+ El tiempo promedio en el+ El tiempo promedio en el áárea de empaque es de 2rea de empaque es de 2
minutos.minutos.
--DistribuciDistribucióónn
+ El tiempo de atenci+ El tiempo de atencióón en cada estacin en cada estacióón se distribuyen se distribuye
exponencialmente.exponencialmente.
+ La tasa de llegada tiene una distribuci+ La tasa de llegada tiene una distribucióónn PoissonPoisson de 40de 40
clientes por hora.clientes por hora.
Solamente 75% de
los clientes que llegan
hacen una compra
¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo ,
que un cliente que viene a comprar
demora en el local?
¿¿CuCuáál es la cantidad promedio de tiempo ,l es la cantidad promedio de tiempo ,
que un cliente que viene a comprarque un cliente que viene a comprar
demora en el local?demora en el local?

SOLUCIONSOLUCION
Estas son las tres estaciones del sistema deEstas son las tres estaciones del sistema de
colascolas TTáándemndem
M / M / 8
M / M / 3
λ=40
λ=30
λ
=30
W1 = 14 minutos
W2 = 3.47 minutos
W3=2.67 minutos
M / M / 2
Total = 20.14 minutos.

Balance de lBalance de lííneas de ensambleneas de ensamble
Una lUna líínea de ensamble puede ser vista como una colanea de ensamble puede ser vista como una cola
TTáándemndem, porque los productos deben visitar diversas, porque los productos deben visitar diversas
estaciones de trabajo de una secuencia dada.estaciones de trabajo de una secuencia dada.
En una lEn una líínea de ensamble balanceada el tiemponea de ensamble balanceada el tiempo
ocupado en cada una de las diferentes estaciones deocupado en cada una de las diferentes estaciones de
trabajo es el mismo.trabajo es el mismo.
El objetivo es maximizar la producciEl objetivo es maximizar la produccióónn

Investigación de
Operaciones
RESUMEN DE LOS MODELOSRESUMEN DE LOS MODELOS
DE COLAS DESCRITOSDE COLAS DESCRITOS
MODELOMODELO NOMBRENOMBRE NN°° DEDE
CANACANA
LESLES
NN°° DEDE
FASESFASES
PATRPATRÓÓNN
DEDE
ARRIBOARRIBO
PATRPATRÓÓNN
DEDE
SERVICISERVICI
OO
TAMATAMAÑÑO DEO DE
LALA
POBLACIPOBLACIÓÓNN
DISCIPLIDISCIPLI
NA DENA DE
COLACOLA
AA SIMPLESIMPLE
M/M/1M/M/1
UNOUNO UNAUNA POISSONPOISSON EXPONENEXPONEN
CIALCIAL
INFINITAINFINITA PEPSPEPS
BB MULTIMULTI--
CANALCANAL
M/M/SM/M/S
MULTIMULTI
CANALCANAL
UNAUNA POISSONPOISSON EXPONENEXPONEN
CIALCIAL
CC SERVICIOSERVICIO
CONSTANTECONSTANTE
(M/D/1)(M/D/1)
UNOUNO UNAUNA POISSONPOISSON CONSTANCONSTAN
TETE
DD POBLACIONPOBLACION
LIMITADALIMITADA
UNOUNO UNAUNA POISSONPOISSON EXPONENEXPONEN
CIALCIAL
FINITAFINITA PEPSPEPS

Investigación de
Operaciones
ProblemasProblemas

Investigación de
Operaciones

Investigación de
Operaciones
10. Medidas del desempe10. Medidas del desempeñño delo del
sistema de colassistema de colas
Suponga una estaciSuponga una estacióón de gasolina a la cual llegan enn de gasolina a la cual llegan en
promedio 45 clientes por horapromedio 45 clientes por hora
Se tiene capacidad para atender en promedio a 60Se tiene capacidad para atender en promedio a 60
clientes por horaclientes por hora
Se sabe que los clientes esperan en promedio 3Se sabe que los clientes esperan en promedio 3
minutos en la colaminutos en la cola
La tasa media de llegadasLa tasa media de llegadas λλ es 45 clientes por hora oes 45 clientes por hora o
45/60 = 0.75 clientes por minuto45/60 = 0.75 clientes por minuto
La tasa media de servicioLa tasa media de servicio μμ es 60 clientes por hora oes 60 clientes por hora o
60/60 = 1 cliente por minuto60/60 = 1 cliente por minuto
Calcule las medidas de desempeCalcule las medidas de desempeñño del sistemao del sistema

Investigación de
Operaciones
11. Medidas del desempe11. Medidas del desempeñño delo del
sistema de colas: ejerciciosistema de colas: ejercicio
Suponga un restaurante de comidasSuponga un restaurante de comidas
rráápidas al cual llegan en promediopidas al cual llegan en promedio
100 clientes por hora100 clientes por hora
Se tiene capacidad para atender enSe tiene capacidad para atender en
promedio a 150 clientes por horapromedio a 150 clientes por hora
Se sabe que los clientes esperan enSe sabe que los clientes esperan en
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