1. Realizado por: Andrea Pereira
C.I: 18.447.819.

2. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Sea
una función definida para
se llama Transformada de Laplace de
.
Entonces la integral
, siempre y cuando la integral
converja. Cuando la integral definitoria converge, el resultado es una función
de
. Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la
hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más
significativas radica en que la integración y derivación se convierten en
multiplicación y división.

3. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en
ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver. Otra
aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal
de salida.
Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta
impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este
cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una
multiplicación, habitualmente más sencilla. La transformada de
Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace.
La transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la
transformada de es al discreto
Cuando se habla de la transformada
de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral.

4. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como
sigue:
La transformada de Laplace F(s)
típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una
constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
La Transformada de Laplace cumple una serie de propiedades:
1.- Linealidad
2.- Potencia n-ésima

5. 3.- Seno:
4.- Coseno:
5.- Seno hiperbólico:
6.- Coseno hiperbólico:
7.- Logaritmo neperiano:

6. 7.- Raiz n-ésima:
8.- Derivación:
9.- Integración:

7. A continuación se
presenta una tabla
con las
transformadasantitransformadas
mas comunes

8. La transformada de Laplace se relaciona con la transformada de Fourier, pero mientras que la
transformada de Fourier expresa una función o señal como una serie de modos de
vibración, la transformada de Laplace tiene una función en sus momentos. Al igual que la
transformada de Fourier, la transformada de Laplace se utiliza para la solución de ecuaciones
diferenciales e integral. En la física y la ingeniería que se utiliza para el análisis de los
sistemas invariantes en el tiempo lineales tales como circuitos eléctricos, osciladores
armónicos, dispositivos ópticos, y sistemas mecánicos. En este tipo de análisis, la
transformada de Laplace a menudo se interpreta como una transformación desde el dominio
del tiempo, en el que las entradas y salidas son funciones del tiempo, en el dominio de la
frecuencia, donde las mismas entradas y salidas son funciones de la frecuencia angular
complejo, en radianes por unidad de tiempo. Dada una simple descripción matemática o
funcional de una entrada o salida de un sistema, la transformada de Laplace proporciona una
descripción funcional alternativa que a menudo simplifica el proceso de analizar el
comportamiento del sistema, o en la síntesis de un nuevo sistema basado en un conjunto de
especificaciones.

9. Laplace creó una curiosa fórmula para expresar la
Pierre-Simon Laplace
probabilidad de que el Sol saliera por el horizonte. Él
decía que la probabilidad era de (d + 1) / (d +
2), donde d es el número de días que el sol ha salido
en el pasado. Laplace decía que esta fórmula, que
era conocida como la Regla de Sucesión de
Laplace, podía aplicarse en todos los casos donde
no sabemos nada, o donde lo que conocíamos fue
cambiado por lo que no. Aún es usada como un
estimador de la probabilidad de un evento, si
sabemos el lugar del evento, pero sólo tenemos muy
pocas muestras de él.

10. IMPORTANCIA DE LA TRANSFORMADA DE
LAPLACE
El estudio de la transformada de Laplace es muy importante, pues su uso convierte
funciones habituales trascendentes, como funciones, sinúsoidales amortiguadas y
exponenciales, en funciones algebraicas.
El método de la transformada de Laplace es una vía para la solución de ecuaciones
diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que constituyen
los modelos matemáticos más frecuentes en la representación matemática de
problemas de circuitos

11. Muchas veces la ingeniería se ha apropiado de herramientas matemáticas para resolver
de manera eficaz los problemas que se le presentan. Cuando se tienen circuitos con
elementos como inductores y condensadores, se opta por el camino de resolver las
respectivas ecuaciones integro-diferenciales, que a medida que aumenta la complejidad
de la topología del circuito, éstas se van haciendo casi imposibles de resolver de forma
rápida y se corre el riesgo de cometer errores por la complejidad de los procedimientos.
Es por tal motivo que se debe hacer uso de una herramienta que convierta las
ecuaciones integro-diferenciales en ecuaciones algebraicas y así permitir dar respuesta
a éstos problemas de manera directa y rápida. Esta herramienta se llama la
transformada de Laplace.

12. En muchas áreas de ingeniería se utilizan procesos estocásticos o
aleatorios
para
construir
modelos
de
sistemas
tales
como
conmutadores telefónicos, concentradores de redes de comunicación
de datos, sistemas de tráfico, líneas de atención a clientes en un
banco o un supermercado, etc.
La construcción de los modelos permite analizar los sistemas para
evaluar su desempeño y proponer mejoras a los mismos, o bien,
evaluar el impacto de algunos cambios en su operación antes de
implantarlos. También permiten determinar el conjunto de parámetros
más adecuados para un cierto caso en particular, a fin de que el
sistema satisfaga ciertas especificaciones de diseño.

13. Se puede usar una transformada de Laplace prácticamente en cualquier
campo en el que se requieran ecuaciones diferenciales.
Por ejemplo al diseñar un sistema de control de procesos. Usan modelos
dinámicos, es decir, modelos con comportamientos variables a lo largo del
tiempo y por tanto recurren al uso de ecuaciones diferenciales.
También se usa en el diseño de circuitos electrónicos ya que permite
transformar problemas que usan ecuaciones diferenciales en problemas
algebráicos, más simples de solucionar.