Transformada de Laplace, Matematica 4

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Ingeniería de Sistemas
5to Semestre, Sección SAIA
Barcelona, marzo 2019
Autor:
Plaza, Jesús C.I: 28.101.398
Profesor:
Beltrán Pedro
Transformada de
Laplace

2. Introducción
La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad
amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en
los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se
aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.
Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón Marques de
Laplace (1749 - 1827) que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable
compleja s.
El Método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver
ecuaciones diferenciales lineales. Con el uso de la transformada de Laplace muchas funciones
sinusoidales y exponenciales, se pueden convertir en funciones algebraicas de una variable compleja s, y
reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en el plano
complejo.

3. Concepto Laplace
La transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la
resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una función
definida para todos los números positivos es la función
Siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) es una distribución con una
singularidad en 0, la definición es:
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral.
También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue
La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a,
donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t)}.
L es llamado el operador de la transformada de Laplace.

4. Propiedades de la transformada

7. Transformada inversa de Laplace
Para otros usos de este término, véase Transformada (desambiguación).
En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f(t) que cumple con la propiedad
donde L es la transformación de Laplace
La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tienen un número de propiedades que las
hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.
Forma integral:
Una fórmula integral para la transformada inversa de Laplace, llamada integral de Bromwich, integral de Fourier-
Mellin o fórmula inversa de Mellin, es dada por la integral lineal:
Donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical Re(s) = γ en el plano complejo tal que γ es mayor que la
parte real de todas las singularidades de F(s).

8. Propiedades de la Transformada Inversa
Para otros usos de este término, véase Transformada (desambiguación).
En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f(t) que cumple con la propiedad
donde L es la transformación de Laplace
La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tienen un número de propiedades que las
hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.
Forma integral:
Una fórmula integral para la transformada inversa de Laplace, llamada integral de Bromwich, integral de Fourier-
Mellin o fórmula inversa de Mellin, es dada por la integral lineal:
Donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical Re(s) = γ en el plano complejo tal que γ es mayor que la
parte real de todas las singularidades de F(s).

9. Ecuaciones diferenciales ordinarias
Para otros usos de este término, véase Transformada (desambiguación).
En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f(t) que cumple con la propiedad
donde L es la transformación de Laplace
La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tienen un número de propiedades que las
hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.
Forma integral:
Una fórmula integral para la transformada inversa de Laplace, llamada integral de Bromwich, integral de Fourier-
Mellin o fórmula inversa de Mellin, es dada por la integral lineal:
Donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical Re(s) = γ en el plano complejo tal que γ es mayor que la
parte real de todas las singularidades de F(s).

10. Condiciones de existencia
Si f (t) es continua por tramos en el intervalo [0, ∞) y de orden exponencial c para t>T, entonces L {f(t)} existe para s>c

11. Conclusión
La transformada de Laplace es denominada así en honor a Pierre-Simon Laplace. La transformada de
Laplace es una Integral Impropia. La función Escalón Unitario también es conocida como función
Heaviside.
Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conocecomo transformada inversa de Laplace.
Para calcular la transformada inversa de Laplace se utiliza laintegral de Bromwich o integral de Fourier-
Mellin. La linealidad es una propiedad muy útil para resolver ecuacionesdiferenciales lineales con
coeficientes constantes, a la vez permitirá el cálculo de la transformada de algunas funciones.