Transformada de Laplace Tabla de transformada de Laplace Definición de transformada inversa de Laplace Aplicación de la transformada inversa de Laplace Tabla de transformada inversa de Laplace

1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación superior
I.U.T.A.J.S
Construcción civil ¨73¨
Mención: Matemática IV
Transformada de Laplace
Profesora: Bachiller:
Ranielina Rondón Mejías Víctor Navarro
V-27.652.664
Puerto la cruz 06 de julio del 2016

2. Definición de Transformada de Laplace
Latransformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usadapara
la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Sea una función definida para . Entonces la integral se llama Transformada de
Laplace de f, siempre y cuando la integral converja. Cuando la integral definitoria converge,
el resultado es una función de s. Esta transformada integral tiene una serie de propiedades
que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas
radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto
transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polifónicas, mucho más
fáciles de resolver. Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la
señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva
del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace
convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla. La
transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simón Laplace. La
transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la transformada de mathcal {Z} es al
discreto Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la
versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como
sigue: La transformada de Laplace F(s) típicamente
existe para todos los números reales s>a, donde a es una constante que depende del
comportamiento de crecimiento de f (t). Es una técnica Matemática que forma parte de
ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de
Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por
medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra
función en otra variable Integrales
Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como
La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se considera
constante, La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la
variable s

3. Aplicación de Transformada de Laplace
Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de
sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y
derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones
diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.
Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta
sepuede calcularmediante laconvolución de larespuesta impulsivadel sistemacon la señal
de entrada. Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la
versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral
Una de las principales aplicaciones de la transformada de Laplace es la de resolver ED
lineales con condiciones iniciales. El método es esencialmente simple y puede ser descrito
en los siguientes pasos. Aplicar la transformada en ambos miembros de la ED
Utilizar las propiedades de la transformada para que solo quede en términos de L {y(t)} y
despejarla. Lo que se obtiene recibe el nombre de ecuación algebraica o subsidiaria.
Aplicar la transformada inversa para despejar y (t)
Veamos algunos ejemplos de la aplicación de esta metodología.
Índice de Ejemplos
Un problema tradicional
Un problema donde las condiciones no son en t=0
Un problema con coeficientes variables
Una ecuación integral
Resuelva el problema:
que satisface:
Solución
Aplicando la transformada en ambos miembros tenemos:
por la propiedad de linealidad aplicada en el primer miembro
Ec 1

4. por el teorema de la transformada de la derivada sabemos que:
y que:
sustituyendo lo anterior en la ecuación 1 tenemos:
Agrupando y solo dejando en el primer miembro los términos que contienen L{y(t)}:
Así la ecuación subsidiaria o algebraica queda:
Ec 2
Si aplicamos el método rápido de fracciones parciales en el segundo miembro:
para A; su denominador se hace cero para s=0 así:
para B; su denominador se hace cero para s=3 así:
para C; su denominador se hace cero para s=-1 así:
Así la Ec 2 queda:
aplicando la transformada inversa:

5. Por tanto:
Tabla de las transformadas de Laplace más comunes
La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de
una sola variable. Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la
transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada
término, Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En ella denota a la llamada
función de Heavies
de o función escalón, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0 cuando su argumento

6. es negativo. Cuando su argumento vale 0 se le suele asignar el valor 1/2, aunque esto no
tiene relevancia práctica.

7. Ejemplo 1
Evalúe . Usando los teoremas de las
transformadas
Ejemplo 2
Evalúe . . Usando los
teoremas de las transformadas
Ejemplo 3
Determinar Dado el 1er teorema de traslación obtenemos que
restamos el corrimiento.
Ejemplo 4
Determine la transformada de Laplace Forzamos el seno para que
tenga la forma
Aplicamos la transformada
Ejemplo 5
Aplicar la transformada de Laplace de Aplicamos la
Transformada de Laplace y obtenemos

8. Ejemplo 6
TRANSFORMADAS DE LAPLACE POR DEFINICIÓN:
1)
L
2)
L
Definición de transformada inversa de Laplace
La transformada inversa de Laplace se define por medio de una integral de
inversión compleja que puede aplicarse a una función F(s) para generar una función f(t):
La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar
una variedad amplia de problemas de la inicial-valor. La estrategia es transformar las
ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples del álgebra donde las soluciones
pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de
Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.
En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f (t)
que cumple con la propiedad
Donde es la transformada de Laplace.

9. La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tiene un número
de propiedades que las hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.
Transformada Inversa de Laplace:
Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:
Es un método operacional que puede usarsepara resolver ecuaciones diferenciales lineales.
Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en
funciones algebraicas lineales en la variable S.
Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones
algebraicas enelplano complejo de lavariable S. Estemétodo permite usar técnicas gráficas
para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de
ecuaciones diferenciales correspondiente.
Propiedades de La Transformada Inversa de Laplace
En las siguientes propiedades se asume que las funciones f (t) y g(t) con funciones que
poseen transformada de Laplace. Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de
Zill: A first course in Diferencial Equations with modelling aplicaciones
Linealidad
.
Versión para la inversa:
Primer Teorema de Traslación
donde
Idea
La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la
variable s.
Versión para la inversa:

10. Teorema de la transformada de la derivada
Idea
La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.
Teorema de la transformada de la integral
Teorema de la integral de la transformada
Siempre y cuando exista
Teorema de la derivada de la transformada
Transformada de la función escalón
Si representa la función escalón unitario entonces
Segundo teorema de Traslación
Transformada de una función periódica
Si f (t) es una función periódica con período T:
La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tiene un número
de propiedades que las hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

11. Ejemplos
Calcule
Solución
Puesto que
Tenemos que
Observación existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede
no ser única. En efecto, es posible que , siendo . Para
nuestro propósito esto no es tan malo como parece, pues, si y son continuas y de orden
exponencial en y , entonces ; pero, si y son
continuas y de orden exponencial en y , entonces se puede
demostrar que las funciones y son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir
sólo en puntos de discontinuidad.
Ejemplo
Calcule , donde está dada por

12. ¿Qué se puede concluir?
Solución
Usando la definición de transformada
Pero, anteriormente hemos comprobado que
Con lo cual las funciones y tienen la misma transformada, de este modo, la
transformada inversa de
No es única.

13. Aplicación de la transformada inversa de Laplace
En muchos procesos de la vida diaria está involucrada la Transformada de Laplace, ya que,
es una forma precisa y directa utilizadaen el control de dichos procesos, como por ejemplo:
en el ámbito doméstico para controlar la temperatura y humedad de las casas y edificios;
en la transportación para controlar que un automóvil o avión se muevan de un lugar a otro
en forma segura y exacta y en la industria para controlar múltiples variables en los procesos
de manufactura. Sea una función de excitación dada por:
Lacual, junto con laexpresión para la transformada inversa, estableceuna correspondencia
uno a uno entre v (t) & V(s). Es decir, para toda v (t) para la cual V(s) existe, esta V(s) es
única.
De esta manera se establece una poderosa herramienta para la solución de circuitos.
Propiedades de la Transformada
Linealidad
Idea
La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que
multiplican.
Versión para la inversa:
Primer Teorema de Traslación (Ejemplos, Demostración, Ir a índice )
donde
Idea
La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la
variable s.
Versión para la inversa:

14. Teorema de la transformada de la derivada (Ejemplos, Demostración, Ir a índice )
Idea
La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.
Teorema de la transformada de la integral (Ejemplos, Ir)
Teorema de la integral de la transformada (Ejemplos, Ir)
Siempre y cuando exista
Teorema de la derivada de la transformada (Ejemplos, Ir)
Transformada de la función escalón (Ejemplos, Ir)
Si representa la función escalón unitario entonces
Segundo teorema de Traslación (Ejemplos, Ir)
Transformada de una función periódica (Ejemplos, Ir)
Si f (t) es una función periódica con período T:
Teorema de la Convolución (Ejemplos, I)
Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces

15. Tabla de transformada inversa de Laplace
Las transformadas de Laplace de las funciones que hemos estudiado en esta página se
resumen en la tabla siguiente:
f(t)
[Math Processing
Error]F(s)=∫0∞e−stf(t)dt
c1f1(t)+c2f2(t) c1F1(s)+c2F2(s)
exp(a·t) [Math Processing Error]1s−a
cos(ωt) [Math Processing Error]ss2+ω2
sin(ωt) [Math Processing Error]ωs2+ω2
tn [Math Processing Error]n!sn+1
exp(at)·f(t)
exp(at)·cos(ωt)
F(s-a)
[Math Processing
Error]s−a(s−a)2+ω2
u(t-a) exp(-as)/s
u(t-a)·f(t-a) exp(-as)·F(s)
δ(t-a) exp(-as)
f'(t) (derivada primera) s·F(s)-f(0)
f''(t) (derivada segunda) s2·F(s)-s·f(0)-s·f'(0)
[Math Processing
Error]g(t)=∫0tf(τ)dτ(integral)
F(s)/s
f(t)=f(t+p), (función periódica)
[Math Processing
Error]11−e−sp∫0pe−stf(t)dt
f(at) [Math Processing Error]1aF(sa)
tnf(t)
[Math Processing
Error](−1)ndndsnF(s)

16. La función residuo nos permite descomponer una fracción polinómica en suma de
fracciones más simples. Modificaremos cada fracción para buscar en la tabla la función f
(t), es decir su correspondiente transformada inversa de Laplace, comprobaremos el
resultado hecho a mano con la llamada a la función Laplace.
Tabla de transformadas más usadas

17. Ejemplos
Calcular la Anti transformada de Laplace
Puesto que
por lo tanto tenemos que:
Ejemplo 2
Determinar
Utilizando las transformaciones de la Tabla1 obtenemos:
Ejemplo 3
Determinar

18. Ejemplo 4
Determinar
Por fracciones parciales.....
Ejemplo 5
Determinar
Ejemplo 6
Determinar
Dado que
Obtenemos que