Este documento describe la transformada de Laplace. Brevemente explica que la transformada de Laplace cambia una función del dominio del tiempo al dominio complejo "s", simplificando la solución de ecuaciones diferenciales. Luego define formalmente la transformada de Laplace como la integral de 0 a infinito de la función multiplicada por e^-st. Finalmente, calcula la transformada de Laplace de la función constante 1 como 1/s.

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Unidad IV
Transformada de Laplace

2. Unidad IV, Transformada
De Laplace
• Definición
• Transformada de Laplace de funciones elementales
• Aplicaciones.
• Teoremas Fundamentales
• Transformada inversa de Laplace

3. Transformada de Laplace
La Transformada de Laplace, L, es un operador
lineal que cambia una función de dominio a otro:
𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠)𝑇𝐿
Función en el
Dominio de t
Función en el
Dominio de s

4. Transformada de Laplace
¿Por qué estudiar a TL? El cambiar una ecuación diferencial al
dominio de “s” simplifica el proceso de solución porque la ED en
le dominio de “s” es una ecuación algebraica.
Ecuación diferencial
(dominio de t)
Ecuación Diferencial
(dominio de s)
Solución de la Ecuación Diferencial
(dominio de t)
𝐿
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝐿−1
{𝐹(𝑠)}

5. Transformada de Laplace
Definición
Sea 𝑓(𝑡) una función definida en el intervalo [0, ∞)
La transformada de Laplace de 𝑓(𝑡) es la función 𝐹(𝑠)
definida por la integral:
𝐿 𝑓 𝑡 =
0
∞
𝑒−𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = lim
𝑏→∞
0
𝑏
𝑒−𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
Donde “s” es una variable compleja 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔
Se dice que la transformada de Laplace de 𝑓(𝑡) existe si
la integral converge.

6. Condiciones suficientes para la existencia de la Transformada de
Laplace:
Si una función 𝑓(𝑡) es continua por partes en [0, ∞) y de orden
exponencial "𝑎“, entonces su transformada de Laplace 𝐿{𝑓(𝑡)}
existe para s> 𝑎
Transformada de Laplace
Definición
Notación: 𝐿 𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠)
𝐿 𝑓 𝑦 = 𝑌(𝑠)
𝐿 𝑥 𝑡 = 𝑋(𝑠)

7. 𝐿 1 = lim
𝑏→∞
0
𝑏
(1)𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
Transformada de Laplace de 𝑓 𝑡 = 1
Transformada de Laplace
Funciones elementales
Aplicando la Definición
0
𝑏
𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡 = −
1
𝑠
0
𝑏
𝑒 𝑢
𝑑𝑢
Aplicando la sustitución
para integrar
𝑢 = −𝑠𝑡 y 𝑑𝑢 = −𝑠𝑑𝑡
−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡 𝑏
0
= −
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑏 +
1
𝑠
𝑒 𝑠 0
Teorema Fundamental de la
Int. Definida:
0
𝑏
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(0)

8. = lim
𝑏→∞
−
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑏
+ lim
𝑏→∞
1
𝑠
Transformada de Laplace de 𝑓 𝑡 = 1
Transformada de Laplace
Funciones elementales
Aplicando el límite cuanto b
tiende al infinito
lim
𝑏→∞
𝑒−𝑠𝑏 = 0
𝐿 1 =
1
𝑠

9. Transformada de Laplace de 𝑓 𝑡 = 1
Transformada de Laplace
Funciones elementales
𝐹 𝑠 =
1
𝑠
𝑓 𝑡 = 1