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Unidad IV
Transformada de Laplace
Unidad IV, Transformada
De Laplace
• Definición
• Transformada de Laplace de funciones elementales
• Aplicaciones.
• Teoremas Fundamentales
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Transformada de Laplace
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𝐿 𝑓 𝑡 =
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𝑏→∞
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𝑒−𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
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Transformada de Laplace
Definición
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𝑏→∞
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Transformada de Laplace de 𝑓 𝑡 = 1
Transformada de Laplace
Funciones elementales
Aplicando la Definición
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𝑏
𝑒−𝑠𝑡
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−
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𝑠
𝑒−𝑠𝑡 𝑏
0
= −
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𝑠
𝑒−𝑠𝑏 +
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𝑠
𝑒 𝑠 0
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Int. Definida:
0
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= lim
𝑏→∞
−
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𝑠
𝑒−𝑠𝑏
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Transformada de Laplace de 𝑓 𝑡 = 1
Transformada de Laplace
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Aplicando el límite cuanto b
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Ttransformada de Laplace

  • 1. Created with Haiku Deck Unidad IV Transformada de Laplace
  • 2. Unidad IV, Transformada De Laplace • Definición • Transformada de Laplace de funciones elementales • Aplicaciones. • Teoremas Fundamentales • Transformada inversa de Laplace
  • 3. Transformada de Laplace La Transformada de Laplace, L, es un operador lineal que cambia una función de dominio a otro: 𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠)𝑇𝐿 Función en el Dominio de t Función en el Dominio de s
  • 4. Transformada de Laplace ¿Por qué estudiar a TL? El cambiar una ecuación diferencial al dominio de “s” simplifica el proceso de solución porque la ED en le dominio de “s” es una ecuación algebraica. Ecuación diferencial (dominio de t) Ecuación Diferencial (dominio de s) Solución de la Ecuación Diferencial (dominio de t) 𝐿 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝐿−1 {𝐹(𝑠)}
  • 5. Transformada de Laplace Definición Sea 𝑓(𝑡) una función definida en el intervalo [0, ∞) La transformada de Laplace de 𝑓(𝑡) es la función 𝐹(𝑠) definida por la integral: 𝐿 𝑓 𝑡 = 0 ∞ 𝑒−𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = lim 𝑏→∞ 0 𝑏 𝑒−𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 Donde “s” es una variable compleja 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔 Se dice que la transformada de Laplace de 𝑓(𝑡) existe si la integral converge.
  • 6. Condiciones suficientes para la existencia de la Transformada de Laplace: Si una función 𝑓(𝑡) es continua por partes en [0, ∞) y de orden exponencial "𝑎“, entonces su transformada de Laplace 𝐿{𝑓(𝑡)} existe para s> 𝑎 Transformada de Laplace Definición Notación: 𝐿 𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠) 𝐿 𝑓 𝑦 = 𝑌(𝑠) 𝐿 𝑥 𝑡 = 𝑋(𝑠)
  • 7. 𝐿 1 = lim 𝑏→∞ 0 𝑏 (1)𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 Transformada de Laplace de 𝑓 𝑡 = 1 Transformada de Laplace Funciones elementales Aplicando la Definición 0 𝑏 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 = − 1 𝑠 0 𝑏 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 Aplicando la sustitución para integrar 𝑢 = −𝑠𝑡 y 𝑑𝑢 = −𝑠𝑑𝑡 − 1 𝑠 𝑒−𝑠𝑡 𝑏 0 = − 1 𝑠 𝑒−𝑠𝑏 + 1 𝑠 𝑒 𝑠 0 Teorema Fundamental de la Int. Definida: 0 𝑏 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(0)
  • 8. = lim 𝑏→∞ − 1 𝑠 𝑒−𝑠𝑏 + lim 𝑏→∞ 1 𝑠 Transformada de Laplace de 𝑓 𝑡 = 1 Transformada de Laplace Funciones elementales Aplicando el límite cuanto b tiende al infinito lim 𝑏→∞ 𝑒−𝑠𝑏 = 0 𝐿 1 = 1 𝑠
  • 9. Transformada de Laplace de 𝑓 𝑡 = 1 Transformada de Laplace Funciones elementales 𝐹 𝑠 = 1 𝑠 𝑓 𝑡 = 1