texto

1. 1
1.2
TEMA
CONJUNTOS

2. CONJUNTOS
Un Conjunto es una reunión, agrupación, colección… de
entes llamados elementos del conjunto
2
Determinación por extensión
Concepto:
Se dice que un conjunto esta correctamente determinado al
conocerse los elementos que lo conforman
Ejemplo
A = {a;e;i;o;u}
A = {x / x es una vocal} Determinación por comprensión
Función Proposicional
Obs: Solo los elementos que hacen verdadera la función
proposicional son elementos de A

3. RELACIONES DE PERTENENCIA E INCLUSIÓN. EL VACÍO Y
EL UNIVERSO
Se dice que x pertenece a A (x ∈ A) si x es elemento de A
3
Sean:
Definición :
Observación: x ∉ A ⟺ ~(x ∈ A)
Ejemplo A = {3; 7; 9} B = {4; 6; 8}
Señalemos el valor de verdad de:
3 ∈ A
7 ∉ A 3 ∉ B
9 ∈ B
3 ∉ A ∨ 6 ∈ B → 2 ∈ A
(𝑽)
(𝑭)
(𝑭)
(𝑽)
(𝑭)
RELACIÓN DE PERTENENCIA

4. RELACIONES DE PERTENENCIA E INCLUSIÓN. EL VACÍO Y EL UNIVERSO
Es aquel Conjunto que
“no tiene” elementos
4
Conjunto vacío
𝐱 ∈ ∅ es siempre Falsa
Formalmente
Es aquel conjunto que tiene por
elementos a todos aquellos
presentes en un estudio, fenómeno,
análisis,…etc. Se denota por 𝐔
Conjunto Universo
Se denota: ∅ o { }
𝐱 ∈ 𝐔 es siempre Verdadera
Formalmente
Es aquel Conjunto que tiene un único elemento
Conjunto Unitario
𝐱 ∈ 𝐀 es Verdadera solo para un único x
Formalmente El conjunto A es unitario si

5. Se dice que el conjunto A esta incluido en el conjunto B
(A ⊂ B) si todo elemento de A es también elemento de B
5
Sean:
Concepto:
Observación: A ⊄ B ⟺ ~(A ⊂ B)
Ejemplo A = {3; 5; 9} B = {2; 5; 8}
Señalemos el valor de verdad de:
{3; 5} ⊂ A
{2; 5} ⊄ A {2; 8} ⊄ B
{3; 5} ⊂ B
(𝑽)
(𝑽) (𝑭)
(𝑭)
RELACIONES DE PERTENENCIA E INCLUSIÓN. EL VACÍO Y EL UNIVERSO
RELACIÓN DE INCLUSIÓN
A ⊂ B ⟺ (x ∈ A → x ∈ B) es siempre Verdadero
Definición:

6. 6
PARA TODO CONJUNTO A: ∅ ⊂ A
ℕ
RELACIONES DE PERTENENCIA E INCLUSIÓN. EL VACÍO Y EL UNIVERSO
INCLUSIÓN EN CONJUNTOS NUMÉRICOS
ℚ
ℤ
ℝ
ℚℝ
ℂ
IMPORTANT
E
PARA TODO CONJUNTO A: 𝐴 ⊂ U

7. Se dice que el conjunto A es igual a B (A = B) si ambos
conjuntos tienen los mismos elementos
Sean:
Concepto:
Ejemplo
A = { x ∈ ℕ /𝑥 ≤ 5}
B = {1; 2; 3;4; 5}
Se tiene que A=B
RELACIONES DE PERTENENCIA E INCLUSIÓN. EL VACÍO Y EL UNIVERSO
IGUALDAD DE CONJUNTOS
A = B ⟺ (x ∈ A ↔ x ∈ B) es siempre Verdadero
Definición:
A = B ⟺ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
Teorema:
7

8. Se dice que el conjunto A es subconjunto de B si A ⊂ B
8
Definición:
RELACIONES DE PERTENENCIA E INCLUSIÓN. EL VACÍO Y EL UNIVERSO
SUBCONJUNTOS
Si A es subconjunto de B podría darse el caso de
que A sea igual a B
Observación:
Se dice que el conjunto A es subconjunto propio de B si:
Definición:
SUBCONJUNTO PROPIO
A ⊂ B ∧ A ≠ B
Para A = {p; q; r} son subconjuntos:
Ejemplo
{p} {q} {r}
{p;q} {p;r} {q;r}
∅
Subconjuntos propios:

9. 9
RELACIONES DE PERTENENCIA E INCLUSIÓN. EL VACÍO Y EL UNIVERSO
Dado el conjunto: 𝐴 = 1; 2; 1 ; ∅; ∅
Indique cuantas de las siguientes proposiciones son verdaderas
𝑰. ∅ ∈ 𝑨 𝑰𝑰. ∅ ⊂ 𝑨 𝑰𝑰𝑰. 𝟏; 𝟏 ⊂ 𝑨 𝑰𝑽. {{∅}; {𝟏}} ⊄ 𝑨 ∨ {𝟐} ∈ 𝑨
Resolución
I. ∅ ∈ A (VERDADERA)
II. ∅ ∉ A → ∅ ⊄ A (FALSA)
III. 1 ∈ A ∧ 1 ∈ A → 1; 1 ⊂ A (VERDADERA)
IV. ∅ ∈ 𝐴 ∧ 1 ∈ 𝐴 → ∅ ; 𝟏 ⊂ 𝑨 también 2 ∉ 𝐴, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑒𝑠 (𝐹𝐴𝐿𝑆𝐴)
Aplicación
Respuesta: 2 proposiciones son verdaderas

10. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS
Diagramas de Venn
10
Para un
Conjunto
Para dos Conjuntos
Para tres Conjuntos Para cuatro Conjuntos
𝐔
𝐀
𝐔
𝐔
𝐔
𝐀
𝐀
𝐀 𝐁
𝐁
𝐁 𝐂 𝐂
𝐃
Importante: Estos gráficos resumen todas las
posibilidades de compartir o no compartir
elementos entre conjuntos luego con ellos
pueden hacerse una demostración gráfica de
Propiedades

11. 11
UNIÓN
OPERACIONES CON CONJUNTOS
A ∪ B = {x ∈ U/ x ∈ A ∨ x ∈ B}
INTERSECCIÓN
A ∩ B = {x ∈ U/ x ∈ A ∧ x ∈ B}
x ∈ A ∪ B ⟺ x ∈ A ∨ x ∈ B x ∈ A ∩ B ⟺ x ∈ A ∧ x ∈ B
𝐔
𝐀 𝐁
𝐔
𝐀 𝐁
La Unión esta formada por los
elementos que pertenezcan a
uno o al otro conjunto
La Intersección esta formada
por los elementos que
pertenezcan a ambos
conjuntos a la vez

12. 12
COMPLEMENTO
AC
= {x ∈ U/ x ∉ A}
DIFERENCIA
AB = {x ∈ U/ x ∈ A ∧ x ∉ B}
x ∈ AC
⟺ x ∉ A x ∈ AB ⟺ x ∈ A ∧ x ∉ B
𝐔
𝐀
𝐔
𝐀 𝐁
El Complemento de un
Conjunto esta formado por los
elementos del Universo que
no están en dicho Conjunto
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Propiedad:
Del gráfico puede concluirse que
𝐀𝐁 = 𝐀 ∩ 𝐁𝑪

13. 13
DIFERENCIA SIMÉTRICA
A △ B = {x ∈ U/ x ∈ A ∆ x ∈ B}
x ∈ A △ B ⟺ x ∈ A ∆ x ∈ B
𝐔
𝐀 𝐁
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Propiedad:
Del gráfico puede concluirse que
𝐀 △ 𝐁 = (𝐀𝑩) ∪ (𝐁𝑨)

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DEFINICIÓN
CONJUNTOS DISJUNTOS Y PROPIEDADES
DE LA INCLUSIÓN
𝐔
𝐀 𝐁
A y B son Conjuntos Disjuntos si no tienen elementos
comunes,
CONJUNTOS DISJUNTOS
esto es , A y B son disjuntos si:
𝑨 ∩ 𝐁 = ∅
Representación
gráfica
Son equivalentes las
condiciones
𝑨 ∩ 𝐁 = ∅
𝑨 𝐁 = 𝑨
𝑩 𝑨 = 𝑩
𝑨 ⊂ 𝑩𝑪
𝑩 ⊂ 𝑨𝑪
𝑨 △ 𝐁 = 𝑨 ∪ 𝐁

15. 15
Corolario
𝐔
𝐀
𝐁
Si 𝑨 ⊂ 𝑩
TEOREM
A
Para cualquier Conjunto A se cumple:
𝑨 ∩ 𝑼 = 𝑨
𝑨 𝑼 = ∅
𝑩𝑪 ⊂ 𝑨𝑪
CONJUNTOS DISJUNTOS Y PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN
Se cumple que
𝑨 ∪ 𝑼 = 𝑼
∅ ∩ 𝑨 = ∅
∅ 𝑨 = ∅
∅ ∪ 𝑨 = 𝑨
∅ ∩ 𝑼 = ∅
∅ 𝑼 = ∅
∅ ∪ 𝑼 = 𝑼
𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑨
𝑨 𝑩 = ∅
𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑩

16. 16
CONJUNTOS DISJUNTOS Y PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN
Aplicación
Sea 𝑼 = ℕ y los conjuntos
𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑼/𝑥 < 5 → 𝑥 < 3
𝐵 = 14 − 𝑥 ∈ Τ
ℕ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧
𝑥
3
∈ ℤ
Calcule la suma de elementos del conjunto B
Resolución
𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑼/𝑥 ≥ 5 ∨ 𝑥 < 3 𝐴 = 1; 2; 5; 6; 7; 8; …
𝐵 = 14 − 𝑥 ∈ Τ
ℕ 𝑥 = 6; 9; 12; 15; …
𝐵 = 8; 5; 2
Luego, la suma es: 8+5+2=15