Abordamos aquí todo lo relacionado con la Teoría de Conjuntos desde la perspectiva algebraica.

2. LA TEORÍA DE CONJUNTOS ES UNA RAMA DE LAS MATEMÁTICAS
QUE ESTUDIA LAS PROPIEDADES Y RELACIONES DE LOS
CONJUNTOS.
EL CONCEPTO DE CONJUNTO ES UNO DE LOS MÁS
FUNDAMENTALES EN MATEMÁTICAS, PUES SE PUEDE ENCONTRAR,
IMPLÍCITA O EXPLÍCITAMENTE, EN TODAS LAS RAMAS DE LAS
MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS.
LOS CONJUNTOS Y SUS OPERACIONES MÁS ELEMENTALES SON
UNA HERRAMIENTA BÁSICA EN LA FORMULACIÓN DE CUALQUIER
TEORÍA MATEMÁTICA.

3. EL CONCEPTO DE CONJUNTO ES FUNDAMENTAL EN TODAS LAS
RAMAS DE LA MATEMÁTICA. INTUITIVAMENTE, UN CONJUNTO
ES UNA LISTA, COLECCIÓN, CLASE O AGRUPACIÓN DE
CUALQUIER TIPO DE ENTIDADES U OBJETOS BIEN DEFINIDOS
QUE TIENEN PROPIEDADES COMUNES. ESTOS OBJETOS PUEDEN
SER: NÚMEROS, PERSONAS, LETRAS, ETC. Y RECIBEN EL
NOMBRE DE ELEMENTOS O MIEMBROS DEL CONJUNTO.

4. USUALMENTE LOS CONJUNTOS SE DENOTAN POR LETRAS MAYÚSCULAS:
A, B, C, ……………….., X, Y, Z
Y LOS ELEMENTOS QUE LO DETERMINAN SE DESIGNAN POR LETRAS
MINÚSCULAS:
𝐚, 𝐛, 𝗰, ………………………………, 𝘅, 𝘆, 𝘇
SI UN CONJUNTO ESTÁ FORMADO POR LOS ELEMENTOS 1, 2, 𝐚, 𝐛 SE ESCRIBE: A =
1, 2, 𝐚, 𝐛 ; Y SE LEE: “ A ES EL CONJUNTO DE LOS ELEMENTOS 1, 2, 𝐚, 𝐛 ”
* SE OBSERVA QUE LOS ELEMENTOS VAN SEPARADOS POR COMAS Y ENCERRADOS ENTRE
LLAVES { }.

5. LA RELACIÓN DE PERTENENCIA ES EL SÍMBOLO QUE RELACIONA A LOS
ELEMENTOS DE UN CONJUNTO CON EL MISMO CONJUNTO. SE INDICA POR LA
LETRA GRIEGA EPSILON " ∈ “, DE MODO QUE:
𝐚 ∈ 𝐁 INDICA:
𝐚 ∉ 𝐁 INDICA:
𝐚 PERTENECE AL CONJUNTO 𝐁
𝐚 ES ELEMENTO DEL CONJUNTO 𝐁
𝐚 NO PERTENECE AL CONJUNTO 𝐁
𝐚 NO ES ELEMENTO DEL CONJUNTO 𝐁

6. UN CONJUNTO ESTÁ BIEN DETERMINADO, CUANDO SE CONOCE CON EXACTITUD QUE
ELEMENTOS PERTENECEN O NO AL CONJUNTO. CUANDO SE CONOCE QUÉ ELEMENTOS
PERTENECEN O NO AL CONJUNTO SE DICE QUE EL CONJUNTO ESTÁ BIEN DEFINIDO, UN
CONJUNTO SE PUEDE DEFINIR POR EXTENSIÓN Y POR COMPRENSIÓN.
a) POR EXTENSIÓN: UN CONJUNTO ES DETERMINADO POR EXTENSIÓN, CUANDO ES
POSIBLE INDICAR EXPLÍCITAMENTE LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO, ESCRIBIÉNDOLOS UNO A
CONTINUACIÓN DE OTRO, SEPARADOS POR UNA COMA Y ENCERRADOS ENTRE LLAVES { 𝒂 𝟏,
𝒂 𝟐, 𝒂 𝟑, 𝒂 𝟒, ... }. ES DECIR, UNA LISTA DE LOS ELEMENTOS QUE FORMAN EL CONJUNTO.
EJEM:
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

7. 𝐛) POR COMPRENSIÓN: UN CONJUNTO ES DETERMINADO POR COMPRENSIÓN,
CUANDO LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO PUEDEN EXPRESARSE MEDIANTE UNA
PROPIEDAD O MÁS PROPIEDADES, QUE ES CARACTERÍSTICA ÚNICA Y COMÚN A ELLOS. SE
ESCRIBE:
𝑨 = 𝑿 𝑷(𝑿) = 𝑿 𝟏, 𝑿 𝟐, 𝑿 𝟑, … , 𝑿 𝒏
QUE SIGNIFICA: 𝑨 ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS ELEMENTOS 𝑿, TAL
QUE LA CONDICIÓN 𝑷(𝑿) ES VERDADERA, COMO 𝑿 𝟏, 𝑿 𝟐, 𝑿 𝟑, ETC.
EJEMPLO:
A = { X ∈ ℤ / 0 < X < 7 } ; SE LEE: “A ES EL CONJUNTO DE LAS “X”
PERTENECIENTES A LOS NÚMEROS ENTEROS, TALES QUE, LAS “X” SEAN MAYORES
QUE 0 Y MENORES QUE 7” .

8. DIAGRAMAS DE VENN-EULER
SON REGIONES CERRADAS QUE SIRVEN PARA
VISUALIZAR EL CONTENIDO DE UN CONJUNTO O
LAS RELACIONES ENTRE CONJUNTOS.
• EJEMPLO.
DADA LA DESCRIPCIÓN VERBAL “EL CONJUNTO DE LAS LETRAS
VOCALES”, EXPRESARLO POR EXTENSIÓN, COMPRENSIÓN Y
POR DIAGRAMA DE VENN-EULER.
SOLUCIÓN.
POR EXTENSIÓN: V = {𝐚, 𝐞, 𝐢, 𝐨, 𝐮}
POR COMPRENSIÓN: V = {X/X ES UNA VOCAL}
Por diagrama de Venn:
𝐚.
𝐞.
𝐢.
𝐨.
𝐮.

9. CLASIFICACIÓN DE CONJUNTO
POR EL NÚMERO DE ELEMENTOS QUE POSEEN LOS CONJUNTOS, PUEDEN CLASIFICARSE EN:
CONJUNTO VACIÓ.- ES AQUEL QUE CARECE DE ELEMENTOS, TAMBIÉN LLAMADO NULO Y SE DENOTA POR
EL SÍMBOLO (∅). EJ.
B= { 𝑥 / 𝑥3= 27 DONDE X ES PAR}
C= {X / X ∈ ℕ ; 12< X <13}
CONJUNTO UNITARIO.- ES AQUEL CONJUNTO QUE ESTÁ FORMADO POR UN SOLO Y ÚNICO ELEMENTO. EJ.
P= {X/X ESTÁ FORMADO POR SATÉLITES DE LA TIERRA}
Q= {X ∈ ℕ /X + 2 =7}
R= {2, 2, 2, 2} “OJO TIENE UN SOLO ELEMENTO”.

10. CONJUNTO UNIVERSAL.- SE DENOTA POR LA LETRA 𝕌; CONTIENE, COMPRENDE O
DENTRO DEL CUAL ESTÁN TODOS LOS DEMÁS CONJUNTOS. EJ.:
• SI CONSIDERAMOS 𝕌 COMO EL CONJUNTO DE TODOS LOS ELEMENTOS QUÍMICOS,
ENTONCES DENTRO DE 𝕌 EXISTIRÁN SUBCONJUNTOS DE ELEMENTOS SÓLIDOS, LÍQUIDOS,
GASEOSOS, RADIACTIVOS, METALES, ETC.
CONJUNTO FINITO.- ES AQUEL CUYO ELEMENTO SE PUEDE CONTAR EN FORMA USUAL
DESDE PRIMERO HASTA EL ÚLTIMO. EJ.
• A= {EL NÚMERO COMPUTADORAS DEL SALÓN DE CLASE}
• B= { X/ X ES UN DÍA DE LA SEMANA}
• C= {NÚMEROS IMPARES DE 5 AL 121}

11. CONJUNTO INFINITO
ES AQUEL CUYOS ELEMENTOS AL CONTARLOS NO SE LLEGA A UN
ÚLTIMO ELEMENTO DEL CONJUNTO, ES LLAMADO TAMBIÉN
INDETERMINADO. EJEMPLO:
• A= {X ∈ ℤ/ X >2}
• B= {X/X ES UN NÚMERO REAL}
• C= {X ∈ ℤ/ X ES IMPAR}

12. 1. CONJUNTOS IGUALES: DOS CONJUNTOS A Y B, SE DICE QUE SON IGUALES O
IDÉNTICOS SI Y SÓLO SI TIENEN EXACTAMENTE LOS MISMOS ELEMENTOS. ESTO ES, PARA UN X:
∴ ;
SI X ∈ A ⟹ X ∈ B
A ⊂ B
𝑦 SI X ∈ B ⟹ X ∈ A
B ⊂ A
A = B ⟺ A ⊂ B ⋀ B ⊂ A Si A y B No son Iguales, se cumple:
𝑨 ≠ 𝑩 ⟺ ∃𝑿 ∈ 𝑨 𝑿 ∉ 𝑩 ∨ ∃𝑿 ∈ 𝑩 𝑿 ∉ 𝑨
X ∈ A ⟺ X ∈ BA = B ⟺

13. PROPIEDADES DE LA IGUALDAD DE CONJUNTOS
a) 𝐀 = 𝐀 (PROPIEDAD REFLEXIVA)
b) 𝐀 = 𝐁 ⟹ 𝐁 = 𝐀 (PROPIEDAD
SIMÉTRICA)
c) 𝐀 = 𝐁 ∧ 𝐁 = 𝐂 ⟹ 𝐀 = 𝐂 (PROPIEDAD TRANSITIVA)

14. 2. INCLUSIÓN DE CONJUNTOS (SUB-CONJUNTOS) (⊂). SE DICE QUE EL CONJUNTO A
ES UN SUBCONJUNTO DE B, O QUE A ESTÁ CONTENIDO EN B, O QUE A ES PARTE DE B, SI TODO ELEMENTO DE
A PERTENECE AL CONJUNTO B, MATEMÁTICAMENTE SE DEFINE:
EJEMPLO:
• A= {RADIO, TELEVISOR, REFRIGERADORA}
B= {ARTEFACTOS ELÉCTRICOS} ∴ A ⊂ B (A ESTÁ INCLUIDO EN B)
• SEAN LOS CONJUNTOS:
P= {6, 7, 8, 9,10} R ⊂ P O P ⊃ R
Q= {6, 8,10} Q ⊂ P O P ⊃ Q
R= {6,10} R ⊂ Q O Q ⊃R
A ⊂ B ⇔ (∀x) / x ∈ A ⟹ x ∈ B

15. 3. SUBCONJUNTO PROPIO.- B ES UN SUBCONJUNTO PROPIO DE A, SI EN PRIMER LUGAR B
ES UN SUBCONJUNTO DE A, Ó B ESTÁ INCLUIDO EN A, Y EN SEGUNDO LUGAR B NO ES IGUAL 𝐚
A, ES DECIR EXISTE POR LO MENOS UN ELEMENTO DE A QUE NO ESTÁ EN B, ES DECIR:
EJEMPLO.
A= {1, 2, 3, 4,5}
B= {2,4} ∴ B ⊂ A
• NOTA: TODO CONJUNTO ES SUBCONJUNTO DE SÍ MISMO, PERO NO ES SUBCONJUNTO PROPIO
DE SÍ MISMO. EJ.
SI: A= {R, S, T}, ENTONCES:
SUBCONJUNTOS DE A
P(A) = { ∅, {R} ;{S} ;{T} ;{R, S} ;{S, T} ;{R, S, T} }
SUBCONJUNTOS PROPIOS DE A A

16. 4. CONJUNTO POTENCIA.- SE LLAMA ASÍ AL CONJUNTO QUE ESTÁ FORMADO POR TODOS
LOS SUBCONJUNTOS QUE SE FORMAN DE UN CONJUNTO DADO. SE SIMBOLIZA POR P SU
NOTACIÓN P(A), SE LEE POTENCIA DEL CONJUNTO A. EJ.
• HALLAR LA POTENCIA DEL SIGUIENTE CONJUNTO: A= {1, 2,3}
DONDE A TIENE 3 ELEMENTOS
P(A)= {{1} ;{2} ;{3} ;{1,2} ;{1,3} ;{2,3} ;{1, 2, 3}; ∅}
DONDE: 𝒏 𝑷(𝑨) = 𝟐 𝒏(𝑨)
∴ 𝟐 𝟑
= 𝟖

17. EJ. HALLAR EL NÚMERO DE SUBCONJUNTOS Y EL NÚMERO DE SUBCONJUNTOS PROPIOS EN:
• B= {F, G, H, I}
P(B)={∅;{F};{G};{H};{I}:{F,G};{F,H};{F,I};{G,H};{G,I};{H,I};{F,G,H};{F,H,I};{G, H, I};{F, G, I};{F,
G, H, I,}}
• EL NÚMERO DE ELEMENTOS DE B: 𝒏(B) = 4
• EL NÚMERO DE CONJUNTOS POTENCIA DE B SERÁ:
𝒏 𝑷(𝑩) = 𝟐 𝒏 𝑩
= 𝟏𝟔
• EL NÚMERO DE SUBCONJUNTOS DE B: 16
• EL NÚMERO DE SUBCONJUNTOS PROPIOS DE B: 𝟐 𝒏 𝑩
− 𝟏 = 𝟏𝟓

18. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. UNIÓN DE CONJUNTO.- LA UNIÓN DE CONJUNTO A Y B ES EL CONJUNTO FORMADO
POR LOS ELEMENTOS QUE PERTENECEN A A, A B O A AMBOS, SE SIMBOLIZA POR:
AUB, Y SE LEE “A” UNIÓN “B”
NOTACIÓN: A U B = { X/ X ∈ A ⋁ X ∈ B }
A B GRÁFICAMENTE ES:
A B
A
B

19. • PROPIEDADES DE LA UNIÓN:
1) A U B = B U A (CONMUTATIVA)
2) A U A = A (IDEMPOTENCIA)
3) A U Ø = A
4) A U 𝕌 = 𝕌; 𝕌 : UNIVERSO

20. 2.- INTERSECCIÓN (∩): DADOS LOS CONJUNTOS A Y B, SE LLAMA
INTERSECCIÓN AL CONJUNTO FORMADO POR LOS ELEMENTOS QUE PERTENECEN A A
Y B A LA VEZ; ES DECIR ES EL CONJUNTO FORMADO POR LOS ELEMENTOS COMUNES
A A Y B.
NOTACIÓN:
• A ∩ B = { X/X ∈ A ⋀ X ∈ B}
• PROPIEDADES:
I) A ∩ B = B ∩ A
II) A ∩ A = A
III) A ∩ Ø = Ø
IV) A ∩ 𝕌 = A; 𝕌 : UNIVERSO

21. • 3.-DIFERENCIA (-): DADOS 2 CONJUNTOS A Y B, SE LLAMA DIFERENCIA DE A Y
B, AL CONJUNTO FORMADO POR TODOS LOS ELEMENTOS DE A Y QUE NO
PERTENECEN A B; ES DECIR, ES EL CONJUNTO FORMADO POR LOS ELEMENTOS QUE
PERTENECEN EXCLUSIVAMENTE A A.
• NOTACIÓN: A - B = { X/X ∈ A ⋀ X ∉ B}
• PROPIEDADES:
I) A - B = A ∩ BC
I) A - A = Ø
II) A - Ø = A
III) Ø - A = Ø
IV) A - B = B – A ⇔A = B

22. 4. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO (C(A), AC ): DADO UN CONJUNTO
A QUE ESTÁ INCLUIDO EN EL UNIVERSO U, SE DENOMINA COMPLEMENTO DEL CONJUNTO
A, A TODOS LOS ELEMENTOS QUE ESTÉN FUERA DE A, PERO DENTRO DEL UNIVERSO.
NOTACIÓN:
AC = {x/x U x A}
A
A
U
A’
Propiedades:
i) (AC)C = A
ii) ØC = U
iii) UC = Ø
iv) A U AC = U
v) A ∩ AC = Ø

23. 5.- DIFERENCIA SIMÉTRICA (D).- SE LLAMA DIFERENCIA SIMÉTRICA DE LOS CONJUNTOS
A Y B, AL CONJUNTO DE ELEMENTOS DE A Y B, EXCEPTO LOS QUE PERTENECEN A LA INTERSECCIÓN. ESTO
ES, QUE PERTENECEN A A O A B
A DB = {x/x A y x B} v {x/x B y x A}
NOTA:
Puede decirse también que “A D B” es el
conjunto de todos los elementos de a ı
b que no pertenecen al conjunto A ∩ B.
en otras palabras “A D B” es el conjunto
formado por los elementos “exclusivos”
de a A de B.
Propiedades:
A DB = (A U B) – (A ∩ B)
 A DB = AC DBC
 A DB = (A-B) U (B-A)
Nota: “Leyes de Morgan”
(A U B)C=AC ∩ BC.
(A ∩ B)C = AC U BC
Gráficamente:
A D B A D BA D B

24. PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS:
1. PROPIEDADES DE IDENTIDAD:
A∪ F = A
A∪U =U
A∩U = A
A∩F = F
2. PROPIEDADES DE IDEMPOTENCIA:
A∪ A = A
A∩ A = A
3. PROPIEDADES DE COMPLEMENTO:
A∪ A' =U
A∩ A' = F
4. PROPIEDADES ASOCIATIVAS:
(A∪ B)∪C = A∪ (B ∪C)
(A∩ B)∩C = A∩ (B ∩C)
5. PROPIEDADES CONMUTATIVAS
A∪ B = B ∪ A
A∩ B = B ∩ A
6. PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS
A∪ (B ∩C) = (A∪ B)∩(A∪C)
A∩(B ∪C)= (A∩ B)∪(A∩C)

25. DEMOSTRACIONES DE LAS PROPIEDADES:
1. PROPIEDADES DE IDENTIDAD:
 A∪ f=A
Para demostrarlo, aplicamos la definición de unión:
A∪∅ = {x/x ∈ A ∨ x∈∅}
Como no existe ningún elemento que pertenezca a ∅ (por su propia definición),
entonces nos queda:
A∪∅ = {x/x ∈ A}
A∪∅ = A
2. PROPIEDADES DE IDEMPOTENCIA:
 A∪U =U
 A∩U =A
 A∩f=f
 A∪ A =A
Demostración:
A∪A = {x/x ∈ A ∨ x ∈ A} = {x/x ∈ A} = A
A∪A = A
 A∩ A =A

26. 3. PROPIEDADES DE COMPLEMENTO:
 A∪ A' =U
 A∩ A' =f
Demostración: aplicamos la definición de intercesión:
A∩ A' = {x/x ∈ A ∧ x ∈ A'}
Como no existe ningún elemento que pertenezca a A' y a la vez a A (por su propia definición),
entonces nos queda:
A∩ A' =f
4. PROPIEDADES ASOCIATIVAS:  (A∪ B)∪C =A∪ (B ∪C)
Demostración:
Aplicando sucesivamente la definición de unión de
conjuntos:
(A∪B)∪C = {x/x ∈ (A∪B) ∨ x ∈ C}
A∪B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}
Entonces:
(A∪B)∪C = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B ∨ x ∈ C} [1]
Por otro lado, y aplicando la misma definición:
A ∪ (B∪C) = {x/x ∈ A ∨ x ∈ (B∪C)}
B∪C = {x/x ∈ B ∨ x ∈ C}

27. 5. PROPIEDADES CONMUTATIVAS:
 A∪ B =B ∪ A
Lo demostraremos aplicando la definición. En ambos casos llegamos al mismo conjunto:
A∪B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B }
B∪A = {x/x ∈ B ∨ x ∈ A}
A∪B = B∪A
 A∩ B =B ∩ A
6. PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS
 A∪ (B ∩C)=(A∪ B)∩(A∪C)
 A∩(B ∪C)=(A∩ B)∪(A∩C)
Se demuestra, de acuerdo con la definición de igualdad de conjuntos, que todo elemento del
primer miembro pertenece al segundo y viceversa.
Comenzaremos de izquierda a derecha:
∀x, x∈ A ∩ (B∪C) ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ (B∪C) ⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)
La última afirmación implica necesariamente una de estas dos alternativas (o ambas a la vez):
x ∈ A ∧ x ∈ B o x ∈ A ∧ x ∈ C

28. Es decir, entonces, que se cumple ∀x, x ∈ A ∩ (B∪C):
x ∈ (A∩B) ∨ x ∈ (A∩C)
O sea:
∀x, x∈ A ∩ (B∪C) ⇒ x ∈ [(A∩B) ∪ (A∩C)]
Es decir:
A ∩ (B∪C) ⊆ [(A∩B) ∪ (A∩C)]………………………..[1]
Veamos ahora el sentido recíproco:
∀z, z ∈ [(A∩B) ∪ (A∩C)] ⇒ z ∈ (A∩B) ∨ z ∈ (A∩C)
⇒ (z∈A ∧ z∈B) ∨ (z∈A ∧ z∈C)
⇒ z∈A ∧ (z∈B ∨ z∈C)
Entonces se cumple que:
∀z, z ∈ [(A∩B) ∪ (A∩C)] ⇒ z ∈ A ∩ (B∪C)
Que es lo mismo que decir:
[(A∩B) ∪ (A∩C)] ⊆ A ∩ (B∪C)……………………… [2]
La verificación simultánea de las inclusiones [1] y [2] nos permite afirmar, que ambos conjuntos son
iguales, es decir:
A ∩ (B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)

29. TEOREMAS Y SUS DEMOSTRACIONES
Teorema 1
Un conjunto A está contenido en otro conjunto B, si y sólo si la unión de A y B es B.
A⊆B ⇔ A∪B = B
 Directo:
Hipótesis: A⊆B
Tesis: A∪B = B
Demostración:
Partimos del primer miembro de la tesis, aplicándole la definición de unión:
A∪B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}
Aplicando la definición de inclusión, como por hipótesis A⊆B, entonces se cumple:
∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B
Entonces, sustituyendo, nos queda:
A∪B = {x/x ∈ B ∨ x ∈ B}
A∪B = {x/x ∈ B}
A∪B = B

30.  Recíproco
Hipótesis: A∪B = B
Tesis: A⊆B
Demostración:
A partir de la hipótesis, y aplicando la definición de unión, podemos afirmar:
{x/x ∈ A ∨ x ∈ B} = B
{x/x ∈ A ∨ x ∈ B} = {x/x ∈ B}
Es decir, que todo x que pertenezca a A, pertenece a B:
∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B
Y eso es la definición de inclusión, por lo que se demuestra la tesis:
A⊆B
Teorema 2
Si dos conjuntos, A y B, están incluidos en un mismo conjunto C, entonces la unión de ambos también
está incluida en C.
Hipótesis: A⊆C
B⊆C
Tesis: (A∪B) ⊆ C

31. Demostración:
Aplicando la definición de inclusión a ambos puntos de la hipótesis:
A⊆C implica que: ∀x: x ∈ A ⇒ x ∈ C
B⊆C implica que: ∀x: x ∈ B ⇒ x ∈ C
Entonces, podemos afirmar:
∀x: x ∈ A ∨ x ∈ B ⇒ x ∈ C
Y aplicando la definición de unión:
∀x: x ∈ (A∪B) ⇒ x ∈C
Aplicando otra vez la definición de inclusión llegamos a la tesis: (A∪B)⊆C
Teorema 3
Si un conjunto está contenido en otros dos, está contenido en la intersección de ambos.
Hipótesis: C ⊆ A y C ⊆ B
Tesis: C ⊆ (A∩B)
Demostración:
Por hipótesis, y aplicando la definición de inclusión, se cumple a la vez:
∀x, x ∈ C ⇒ x ∈ A (porque C⊆A)
∀x, x ∈ C ⇒ x ∈ B (porque C⊆B)

32. Entonces, todos los elementos de C pertenecen a A y a B:
∀x, x ∈ C ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B
O sea:
∀x, x ∈ C ⇒ x ∈ (A∩B)
Y, por la definición de inclusión:
C ⊆ (A∩B)
Teorema 4
Es condición necesaria y suficiente para que un conjunto A esté incluido en otro conjunto B, que la intersección
de A y B sea A.
A∩B = A ⇔ A ⊆ B
 Directo
Hipótesis: A∩B = A
Tesis: A ⊆ B
Demostración:
De acuerdo con la hipótesis,
∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B
Entonces:
∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B
Lo que, por la definición de inclusión, nos lleva directamente a la tesis:
A ⊆ B

33.  Recíproco
Hipótesis: A ⊆ B
Tesis: A∩B = A
Demostración:
Por hipótesis,
∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B
Entonces:
∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ (A∩B)
Además es evidente que
∀x, x ∈ (A∩B) ⇒ x ∈ A
Entonces, se verifican las dos condiciones de la igualdad de conjuntos, así que se cumple la tesis: A∩B =
A
Teorema 5
Si un conjunto A está contenido en B, el complemento de B está
contenido en el complemento de A.
Hipótesis: A ⊆ B
Tesis: B’ ⊆ A’
Demostración:
Aplicando la definición de inclusión a la hipótesis, podemos
afirmar:
∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B
Como todo elemento de A está en B, podemos afirmar
que ningún elemento de A pertenecerá a B’. Es decir
entonces:
∀x, x ∈ B’ ⇒ x ∉ A
Eso es lo mismo que decir:
∀x, x ∈ B’ ⇒ x ∈ A’
O sea, aplicando la definición de inclusión:
B’ ⊆ A’

34. LEYES DE DE MORGAN
Teorema 6
Primera Ley de Morgan: El complemento de la unión es la intersección de los complementos.
Hipótesis: A y B son conjuntos de un cierto referencial Ω
Tesis: (A∪B)’ = A’∩B’
Demostración:
Seguiremos el camino habitual para demostrar que dos conjuntos son iguales (es decir, que cada uno de ellos está
contenido en el otro).
En primer lugar:
∀x, x ∈ (A∪B)’ ⇒ x ∉ (A∪B)
⇒ x ∉ A ∧ x ∉ B
⇒ x ∈ A’ ∧ x ∈ B’
⇒ x ∈ A’∩ B’
Entonces, si ∀x, x ∈ (A∪B)’ ⇒ x ∈ A’ ∩ B’, llegamos a:
(A∪B)’ ⊆ A’∩B’…………………………. [1]
Ahora, razonaremos en el sentido inverso:
∀x, x∈ A’∩B’ ⇒ x ∈ A’ ∧ x∈ B’
Como x ∈ A’ ⇒ x ∉ A, y esto puede implicar dos alternativas:
x ∈ (B-A) o x ∉ B

35. La primera es falsa, porque ya vimos que x ∉ B (por pertenecer a B’). Así que se cumple, a la
vez:
x ∉ A ∧ x ∉ B
Entonces podemos asegurar que
∀x, x∈ A’∩B’ ⇒ x ∉ (A∪B)
o, lo que es lo mismo,
∀x, x∈ A’∩B’ ⇒ x ∈ (A∪B)’
lo que nos lleva a:
A’∩B’⊆ (A∪B)’……………………… [2]
Y la verificación simultánea de las inclusiones [1] y [2] nos permite afirmar:
(A∪B)’ = A’∩B’
Teorema 7
Segunda Ley de Morgan: El complemento de la intersección es la unión de los complementos.
Hipótesis: A y B son conjuntos de un cierto referencial Ω
Tesis: (A∩B)’ = A’∪B’

36. Demostración:
Razonaremos del mismo modo que en el caso anterior. Así que partimos del primer miembro de la tesis:
∀x, x∈ (A∩B)’ ⇒ x ∈ (A-B) ∨ x ∈ (B-A) ∨ (x ∉ A ∧ x ∉ B)
Analizaremos cada una de esas alternativas:
x ∈ (A-B) ⇒ x ∈A ∧ x ∉ B ⇒ x ∈ B’
x ∈ (B-A) ⇒ x ∈ B ∧ x ∉ A ⇒ x ∈ A’
x ∉ A ∧ x ∉ B ⇒ x∈(A’∩B’)
Es decir:
∀x, x∈ (A∩B)’ ⇒ x ∈ A’ ∨ x ∈ B’ ∨ x ∈ (A’∩B’)
∀x, x∈ (A∩B)’ ⇒ x ∈ (A’∪B’)
(A∩B)’ ⊆ (A’∪B’)……………………….. [1]
Trabajando ahora con el segundo miembro:
∀x, x ∈ A’∪B’ ⇒ x ∈ A’ ∨ x ∈ B’
Si X∈A’, hay dos alternativas: que x pertenezca a B o que no. Entonces:
x ∈ A’ ⇒ x ∈ (B-A) ∨ x∈(A’∩B’)
Análogamente:
x ∈ B’ ⇒ x ∈ (A-B) ∨ x ∈ (A’∩B’)

37. Entonces podemos afirmar ahora:
∀x, x ∈ A’∪B’ ⇒ x ∈ (A-B) ∨ x ∈ (B-A) ∨ x ∈ (A’∩B’)
x ∈ (A-B) ⇒ x ∈ A ∧ x ∉ B ⇒ x ∉ (A∩B)
x ∈ (B-A) ⇒ x ∈ B ∧ x ∉ A ⇒ x ∉ (A∩B)
x ∈ (A’∩B’) ⇒ x ∉A ∧ x ∉ B ⇒ x ∉ (A∩B)
De modo que
∀x, x ∈ A’∪B’ ⇒ x ∉ (A∩B) ⇒ x ∈ (A∩B)’
A’∪B’⊆ (A∩B)’………………………. [2]
Y otra vez, las inclusiones simultáneas [1] y [2] nos permiten afirmar la
igualdad de ambos conjuntos:
(A∩B)’ = A’∪B’

38. CARDINALIDAD Y ORDENALIDAD:
1. Número Cardinal.- Nos referimos al número de elementos que tiene un
conjunto finito. Car (D)= n (D)= número de elementos. Ej.
 El número Cardinal del conjunto D= {a, e, i, o, u}
Es = 5 a e i o u
1 2 3 4 5 número Cardinal del conjunto D
Car (D)=n (D)=5
Nos dice que: D tiene 5 elementos
2. Número Ordinal.- Nos referimos al número natural que corresponde a cada uno
de los elementos del conjunto al contarlos. Ej.
B= {p, r, s, t} p r s t
1 2 3 4
p es primer elemento.
r es segundo elemento.
s es tercer elemento, etc.