Conjuntos trabajo lebaorado por Angel Torres Estudiante de la UTPL

1. Conjuntos
Construcción de conjuntos

2. Conjuntos
 Formalmente un conjunto es un concepto no
definido
 Intuitivamente es la reunión de elementos
bien definidos
 Dado un elemento y un conjunto podemos
establecer si el elemento pertenece o no al
conjunto
 Usualmente los conjuntos se notan con letras
mayúsculas y los elementos con letras
minúsculas

3. Ejemplo
 Dados los elementos 5 y 15 establecer la
relación de pertenecia con respecto al
conjunto A
A = { 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9}
5∈ A
15 ∉ A
x∈ A
Para cualquier conjunto A y cualquier elemento
x, la expresión es una función
proposicional.

4. Conjunto referencial
Los elementos que son nuestro objeto de
estudio determinan un conjunto referencial
que notaremos U; son conjuntos numéricos
como los números naturales N, los número
racionales Q, los reales R, etc.
 Lanzamos un dado y determinamos el
número de puntos de la cara superior. Este
experimento determina el conjunto
referencial:
U = { 1, 2,3, 4,5, 6}

5. Construcción de conjuntos
 Una vez establecido el conjunto referencial
U, podemos construir el conjunto A de
elementos que cumplan una propiedad dada
P : A = { x P ( x)}
 Ejemplo: Si U representa los posibles
resultados al lanzar un dado; si un jugador A
gana cuando al lanzar el dado saca más de 2
y jugador B gana si el resultado es par,
tenemos: U = { 1, 2,3, 4,5, 6}
Jugador A : A = { x x > 2} = { 3, 4,5, 6}
Jugador B : B = { x x es par } = { 2, 4, 6}

6. REPRESENTACIÓN DE
CONJUNTOS
 Hay dos formas de representar un conjunto, por
comprensión cuando establecemos una propiedad
que solo cumplen sus elementos y por extensión
cuando listamos sus elementos.
Jugador B : B = { x x es par } = { 2, 4, 6}
 Es usual representar los conjuntos gráficamente,
donde el conjunto referencial se representa por un
rectángulo y los conjuntos por círculos contenidos
en el rectángulo; esta representación se conoce
como diagramas de Venn-Euler

7. Complemento de un conjunto
 Al conjunto de elementos que no cumpla la
propiedad P se denomina complemento de A
c
y se nota A
Ac = { x x ∈ A}

8. Ejemplo
 En los casos del jugador A y del jugador B el
complemento corresponde al conjunto de
elementos en que pierden
U = { 1, 2,3, 4,5, 6}
Jugador A : A = { x x > 2} = { 3, 4,5, 6}
Ac = { x x ≤ 2} = { 1, 2}
Jugador B : B = { x x es par } = { 2, 4, 6}
B c = { x x no es par} = { 1,3,5}
 Si una propiedad P no la cumple elemento alguno
de U, tenemos el conjunto vacío que se denota:
{ } =φ

9. Relaciones de contenencia e
igualdad
 En la construcción del conjunto A = { x P ( x)} de
hecho se tiene que todo elemento de A es un
elemento de U, cuando este nexo o relación
lo podemos establecer entre dos conjuntos A
y B, es decir, si todo elemento de A es
elemento de B, se dice que A es un
subconjunto de B, y se escribe A ⊆ B ; si a no
está contenido en B se nota A ⊂ B
 La relación ⊆ entre conjuntos se denomina
relación de contenencia

10. Ejemplo:
Dados: A = { 1, 2,3, 4}
B = { 1, 2,3, 4,5}
C = { 2,3, 4, 6}
Tenemos que
A⊆ B
A⊂C
Las proposiciones
∅⊆ A
A ⊆U
∅ ⊆ A⊆U
Son tautologias.

11. Partes de un conjunto o
conjunto potencia
Si A ⊆ B y A ≠ B decimos que A es un
subconjunto propio de B y se nota A ⊂ B Así,
dado un conjunto arbitrario X, tenemos
derecho a construir el conjunto de todos los
subconjuntos de X llamado el conjunto de
partes de X que notamos ℘( X )
℘( X ) = { A A ⊆ X }

12. Conjuntos
Operaciones entre
conjuntos

13. Intersección
En A y en B; A ∩ B = { x x ∈ A ∧EsteBnuevo conjunto se llama la
. x∈ }
intersección entre A y B.
A∩ B = ∅
Si , decimos que A y B son conjuntos disyuntos.

14. unión
En A o en B A ∪ B = { x x ∈ A ∨ x ∈ B} Este conjunto se
denomina la unión entre A y B

15. diferencia
En A y no en B A − B = { x x ∈ A ∧ x ∈conjunto se denomina la diferencia
Este B}
entre A y B
diferencia
{
En A o en B, pero no en ambos ∆B = x x ∈ ( A ∪ B ) ∧ x ∈ ( A ∩ B )
A }
Este conjunto se denomina la diferencia simétrica entre A y B; observemos que:
A∆B = ( A − B ) ∪ ( B − A) = ( A ∪ B ) − ( A ∩ B )

16. Taller
1. Establezca el conjunto referencial:
1. Lanzamos dos dados y tomamos como
elementos los resultados de la cara superior.
2. Lanzamos dos dados y tomamos como
elementos la suma
3. U es conjunto de los estudiantes de esta clase
2. Si U es el conjunto de los números
naturales, represente por comprensión los
{ 0,1, 4,9,16, 25,...}
siguientes conjuntos:
{ 5, 6, 7,8,9,10,...}
{ 21, 22, 23, 24,...}
{ 1, 2, 4,8,16,32, 64,...}