1. UNIDAD 1: Introducción. Conceptos generales.
Tema 1. Repaso de conceptos generales.
Teoría de conjuntos. Números complejos. Trigonometría.
Uno de los aspectos básicos en matemáticas es establecer definiciones claras y rigurosas de
los objetos con los que se trabaja. Sin embargo la cosa se complica terriblemente cuando lo que
tratamos es de definir la propia matemática.
Generalidades sobre los conjuntos.
La noción intuitiva de conjunto como colección de objetos bien definidos empezó a utilizarse
en Matemáticas a finales del siglo XIX. Esta idea intuitiva que todo el mundo tiene, sugiere por otra
parte ciertas operaciones elementales con los conjuntos: unión, intersección, etc., cuya utilización se
ha revelado del mayor interés en las más diversas teorías matemáticas y en las aplicaciones. Por este
motivo el lenguaje conjuntista es, desde hace años, de conocimiento imprescindible para los cientí-
ficos.
Conviene advertir sin embargo que cuando los matemáticos hablan de la Teoría de Conjuntos
no se refieren a esas ideas elementales, sino a asuntos mucho más profundos y difíciles.
Para expresar que x es un elemento del conjunto X escribiremos x ∈ X y para indicar que x no
pertenece a X pondremos x ∉ X . Cuando los elementos x de un conjunto están caracterizados por
poseer una cierta propiedad P(x), el conjunto suele denotarse por E = {x / P( x)} (determinación del
conjunto por comprensión o caracterización). También se puede denotar nombrando uno a uno to-
dos sus elementos: E = { , 2, 3, 7, 9} (determinación del conjunto por enumeración o extensión).
1
Sean X, Y dos conjuntos. Si todo elemento de Y pertenece al conjunto X, se dice que Y está
contenido en X, o que X contiene a Y, o también que Y es un subconjunto o una parte de X; denota-
remos esta situación por Y ⊂ X .
Entendiendo por conjuntos iguales los que están formados por los mismos elementos, es evi-
dente que para que dos conjuntos X, Y sean iguales (lo que denotaremos por X = Y ), es necesario y
suficiente que Y ⊂ X y X ⊂ Y .
Conjunto universal o referencial U es el que contiene a todos los conjuntos de una clase de-
terminada y conjunto vacío es el que no tiene ningún elemento. Al conjunto vacío se le denotará
siempre por ∅.
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2. La unión de dos conjuntos X, Y se define como el conjunto formado por los elementos que
pertenecen indistintamente a X o a Y, y se denota por X ∪ Y .
X ∪ Y = {x ∈U / x ∈ X o x ∈ Y }
En general, la unión de una colección cualquiera de conjuntos es un nuevo conjunto que está
formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos.
La intersección de dos conjuntos X, Y es el conjunto formado por los elementos que pertene-
cen simultáneamente a X y a Y, y se denota por X ∩ Y .
X ∩ Y = {x ∈U / x ∈ X , x ∈ Y }
En general, la intersección de una colección cualquiera de conjuntos es, por definición, el con-
junto formado por los elementos que pertenecen a la vez a todos ellos. Cuando dos o más conjuntos
no tengan ningún elemento común, se dirá que son disjuntos o que su intersección es el conjunto
vacío.
Dados un referencial U y X un subconjunto de U, llamaremos complementario de X y será de-
notado por X C , al conjunto formado por los elementos de U que no pertenecen a X:
X C = {x ∈U / x ∉ X }
El producto cartesiano del conjunto X por el conjunto Y es, por definición, el conjunto forma-
do por todas las parejas ( x, y ) constituidas por un elemento de X seguido de otro de Y. Se acostum-
bra a denotar este conjunto por X × Y . Los conjuntos X × Y e Y × X son, por definición, distintos,
a menos que sea X = Y ; en este caso se empleará la notación X 2 . Análogamente se define el pro-
ducto de tres o más conjuntos en un cierto orden y genéricamente podemos poner:
X 1 × L × X n = {( x1 ,..., x n ) / x1 ∈ X 1 ,..., x n ∈ X n }.
Se llama cardinal o dimensión de un conjunto finito E al número de elementos que posee y se
denota por card(E).
Utilizaremos la siguiente simbología para los diferentes conjuntos de números:
Números naturales: IN = { , 2, 3,...}
1
Números enteros: Z = {...,−3, − 2, − 1, 0,1, 2, 3,...}
⎧p ⎫
Números racionales: Q = ⎨ / p, q ∈ Z⎬
⎩q ⎭
Números reales: IR = Q ∪ I
Números complejos: C = {a + bi / a, b ∈ IR}
Se verifica que: IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR ⊂ C
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3. Álgebra de conjuntos.
Sean A, B y C tres subconjuntos cualesquiera de un conjunto referencial dado X. La unión, la
intersección y el complemento poseen las propiedades siguientes;
Asociativas: ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
Conmutativas: A∪ B = B∪ A A∩ B = B∩ A
Distributivas:A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
Idempotencia: A∪ A = A A∩ A = A
Identidad: A∪∅ = A A∩∅ = ∅
A∪ X = X A∩ X = A
Complemento: A ∪ A C = X A ∩ AC = ∅
( AC ) C = A XC =∅ ∅C = X
Leyes de Morgan: ( A ∪ B) C = A C ∩ B C ( A ∩ B) C = AC ∪ B C
Por otra parte, la relación de inclusión verifica las propiedades siguientes:
1. Reflexiva: A ⊂ A .
2. Antisimétrica: Si A ⊂ B , B ⊂ A , entonces A = B .
3. Transitiva: Si A ⊂ B , B ⊂ C , entonces A ⊂ C .
y, por tanto, es una relación de orden.
Generalidades sobre el concepto de aplicación.
Sean X, Y dos conjuntos no vacíos. Una aplicación f definida en el conjunto X y con valores
en el Y es una ley mediante la cual se hace corresponder a cada elemento de X un único elemento de
Y. Se dice también que f es una aplicación de X en Y. Para un elemento genérico x ∈ X denotare-
mos habitualmente por f(x) el elemento de Y correspondiente a ese x y se dirá también que f(x) es el
valor de la aplicación f en x; esto se expresa a veces mediante la igualdad y = f(x). Para denotar que f
es una aplicación de X en Y, se escribe ordinariamente f : X → Y , y a veces también x a f (x) ,
notación esta última que quiere indicar, más bien, la operación de pasar de un elemento cualquiera
x ∈ X a su transformado f ( x) ∈ Y . En ocasiones, por emplear un lenguaje genérico, se habla de
transformación de X en Y, en lugar de aplicación definida en X y con valores en Y.
Una función f definida en el conjunto X y con valores en el Y es una ley mediante la cual se
hace corresponder a cada elemento de X un único o ningún elemento de Y.
Imagen directa.
Sea f una aplicación del conjunto X en el conjunto Y y sea A un subconjunto de X. Llamare-
mos imagen directa (o simplemente imagen) del conjunto A mediante la aplicación f, al conjunto
formado por los elementos de Y que son transformados de los elementos de A; denotando por f(A)
ese conjunto, se puede escribir
En particular, la imagen directa del propio conjunto X mediante la aplicación f será un sub-
conjunto de Y, que no tiene porqué coincidir con todo el conjunto Y.
Cuando sea f ( X ) = Y , la aplicación f se llamará sobreyectiva o también aplicación de X so-
bre Y.
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4. Imagen recíproca.
Sea f una aplicación del conjunto X en el conjunto Y, y sea A ' un subconjunto de Y. Al sub-
conjunto de X formado por los elementos x tales que f ( x) ∈ A ' , le llamaremos imagen recíproca de
A ' mediante f y lo denotaremos por f −1 ( A ' ) .
Aplicaciones inyectivas y biyectivas.
La aplicación f : X → Y es inyectiva si no hay ningún elemento de Y que sea el transformado
mediante f de dos elementos distintos de X. Es decir, cada elemento y ∈ Y es el transformado de
uno o ninguno elemento de X.
Cuando f sea a la vez inyectiva y sobreyectiva, se dirá que es biyectiva, o que es una biyec-
ción de X sobre Y. En este caso, se puede asociar a la aplicación f : X → Y , otra aplicación de Y
sobre X, que denotaremos por f -1 y llamaremos aplicación recíproca o inversa de la f, que por defi-
nición hace corresponder a cada y ∈ Y el único elemento x ∈ X tal que f(x) = y. Así pues, si f es
una biyección de X sobre Y, escribir f −1 ( y ) = x , es lo mismo que decir que f ( x) = y .
Gráfico de una aplicación.
Sea f : X → Y . El conjunto G de X × Y constituido por las parejas de la forma ( x, f ( x)) ,
donde x es un elemento cualquiera de X, recibe el nombre de gráfico de la aplicación f.
Variable independiente y variable dependiente.
Hablar de la variable independiente o, simplemente, de la variable de la aplicación
f : X → Y es hablar de un elemento genérico del conjunto X donde está definida. Hablar de la va-
riable dependiente es referirse a un elemento genérico de Y.
Si el conjunto X donde está definida la aplicación f fuese de la forma X 1 × X 2 , se diría que f
es una aplicación de dos variables independientes (o, simplemente, de dos variables). Análogamente
se definen las aplicaciones de tres o más variables.
Estructuras algebraicas básicas.
Sean tres conjuntos A, B y C. Una operación binaria o ley de composición es una aplicación
definida de la forma siguiente:
f : A× B → C / ∀(a, b) ∈ A × B ⇒ f (a, b) = a ∗ b = c ∈ C
Se dice ley de composición interna (u operación binaria interna) si los tres conjuntos son
iguales, es decir, A = B = C. Si alguno es distinto, se dice ley de composición u operación binaria
externa.
Dada una ley interna ∗ sobre un conjunto E, puede tener las siguientes propiedades:
1. Asociativa: ∀a, b, c ∈ E ⇒ (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
2. Conmutativa: ∀a, b ∈ E ⇒ a ∗ b = b ∗ a
3. Elemento neutro: ∃ e ∈ E / ∀a ∈ E ⇒ e ∗ a = a ∗ e = a
4. Elemento simétrico: ∀a ∈ E , ∃ a'∈ E / a ∗ a' = a'∗a = e
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5. Si en el conjunto E se definen dos leyes de composición internas ∗ y < , se puede verificar la
propiedad distributiva de ∗ con respecto a < : ∀a, b, c ∈ E ⇒ a ∗ (b < c) = (a ∗ b) < (a ∗ c)
Definir sobre un conjunto una (o más) ley de composición es conferirle una estructura alge-
braica. La estructura formada por el conjunto E y una ley de composición interna ∗ definida sobre
E, se denota por el par (E,∗). Si existieran varias leyes de composición: ∗, < , …, la estructura se
denotaría (E,∗, < , …).
Dependiendo de las propiedades que cumpla (E,∗) se definen las siguientes estructuras alge-
braicas fundamentales: grupoide, semigrupo, grupo,….
(E,∗) tiene estructura de semigrupo si la ley de composición interna ∗ definida sobre E cum-
ple la propiedad asociativa. Se dice semigrupo conmutativo o abeliano si además cumple la propie-
dad conmutativa.
(E,∗) tiene estructura de grupo si la ley de composición interna ∗ definida sobre E cumple las
propiedades asociativa, elemento neutro y simétrico. Se dice grupo conmutativo o abeliano si ade-
más cumple la propiedad conmutativa.
Un conjunto E tiene estructura de anillo si se definen en él dos operaciones o leyes de compo-
sición interna ∗ y • , tales que (E, ∗) es grupo conmutativo, (E, • ) es semigrupo y • es distributiva
respecto a ∗. Tiene estructura de anillo conmutativo si además • verifica la propiedad conmutativa.
Un conjunto IK tiene estructura de cuerpo si se definen en él dos operaciones o leyes de com-
posición interna + y • , tales que (IK,+) es grupo conmutativo, (IK*, • ) es grupo (donde IK*= IK-{0})
y • es distributiva respecto a +. Tiene estructura de cuerpo conmutativo si además • verifica la
propiedad conmutativa.
Definición axiomática de los números reales.
Llamaremos conjunto de los números reales a cualquier conjunto que verifique los siguientes
axiomas:
Propiedades aritméticas de IR.
El conjunto IR, con las operaciones suma y producto tiene estructura de un cuerpo conmutati-
vo, es decir:
a) ∀ a, b∈IR, a + b∈IR; a · b∈IR (leyes de composición internas)
b) ∀ a, b, c∈IR, (a + b) + c = a +(b + c) ; (a · b) · c = a · (b · c) (asociativa)
c) ∀ a, b∈IR, a + b = b + a ; a · b = b · a (conmutativa)
d) ∀ a∈IR, a + 0 = a; a ·1 = a (elemento neutro)
e) ∀ a∈IR, ∃ (-a) tal que a + (-a) = 0 (-a es el opuesto de a)
f) ∀ a∈IR con a ≠ 0, ∃ a = 1/a tal que a · a = 1
-1 -1
(a-1 es el inverso de a)
g) ∀ a, b, c∈IR, a · (b + c) = a · b + a · c (distributiva)
Propiedades de ordenación de IR.
El conjunto IR de los números reales es un cuerpo totalmente ordenado, es decir, la relación
usual ≤ es de orden porque verifica:
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6. a) Reflexiva: ∀a ∈ IR, a ≤ a
b) Antisimétrica: Si a ≤ b y b ≤ a ⇒ a = b
c) Transitiva: Si a ≤ b y b ≤ c ⇒ a ≤ c , y
d) Si a, b∈IR, a < b ó b < a ó b = a, o equivalentemente, dados dos reales cualesquiera
siempre están relacionados mediante la relación ≤ (totalmente ordenado).
Otras propiedades.
a) ∀ a, b, c∈ IR y a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c
b) Si 0 ≤ a y 0 ≤ b ⇒ 0 ≤ a · b
c) Propiedad arquimediana: Si 0 < a y b∈IR, entonces ∃ n∈IN / b < n · a
Densidad de Q .
El conjunto de los números racionales Q . denso en IR, es decir:
es
∀ a, b∈ IR, ∃ q ∈ Q / a < q < b,
lo que indica que entre dos números reales (racionales o irracionales) cualesquiera existe un número
racional.
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7. Los números complejos.
En el cuerpo de los números reales pueden resolverse, como en cualquier cuerpo, todas las
ecuaciones de primer grado. Se resuelven también algunas ecuaciones algebraicas de grado superior
pero hay muchas otras como por ejemplo x2 + 1 = 0 que teniendo sus coeficientes reales carecen de
soluciones en IR. Por otra parte, las potencias, raíces y logaritmos de los números reales no son
siempre posibles de obtener en el campo real. Estos problemas, entre otros muchos, motivan una
ampliación del conjunto de los números reales.
Definición. Cuerpo de los números complejos.
En el conjunto IR2 de los pares ordenados de números reales se pueden definir las operaciones
suma y producto de la forma:
( a , b ) + (c, d ) = ( a + c, b + d )
(a, b) ⋅ (c, d ) = (ac − bd , ad + bc)
que lo dotan de una estructura de cuerpo. Este cuerpo se denomina cuerpo C de los números com-
plejos.
El número (0,1) verifica (0,1)·(0,1) = (-1,0) por lo que este número, denotado por i y denomi-
nado unidad imaginaria, verifica que i2 = -1.
La expresión más intuitiva de un número complejo es su forma binómica. Se llama forma bi-
nómica o algebraica del número complejo z = (x,y) a la expresión z = x + yi donde i es la unidad
imaginaria, x se denomina parte real de z e y parte imaginaria de z, denotándose
x = Re (z) y = Im (z)
El número complejo z = x + yi se puede representar en el plano IR2 como el punto de coorde-
nadas cartesianas ( x, y ) , entonces se puede establecer una correspondencia biunívoca entre cada
número complejo z = x + yi y el punto del plano de coordenadas P = ( x, y ) . A z se le denomina afi-
jo de P y a P, imagen de z.
Operaciones elementales con números complejos.
Dados los números complejos en forma binómica z1 = x1 + y1i y z2 = x2 + y2i se tiene
z1 ± z2 = (x1 ± x2) + (y1 ± y2)i
z1 · z2 = (x1x2 - y1y2) + (x1y2 + x2 y1)i
(es el producto de binomios teniendo en cuenta que i2 = -1).
Y si z2 ≠ 0 entonces
z1 ( x1 + y1i ) ( x 2 − y 2 i ) x1 x 2 + y1 y 2 x 2 y1 − x1 y 2
= = + i
z 2 ( x2 + y 2 i) ( x2 − y 2 i) x2 + y 2
2 2
x2 + y 2
2 2
Las primeras potencias de la unidad imaginaria son
i1 = i i2 = -1 i3 = -i i4 = 1
i5 = i i6 = -1 i7 = -i etc.
Para calcular in con n∈ Z basta elevar i al resto de la división de n entre 4.
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8. Complejo conjugado.
Se llama conjugado del número complejo z = x + yi al número z = x - yi. El opuesto del nú-
mero complejo z = x + yi es -z = -x - yi.
Eje imaginario
z = x + yi
Eje real
z = x – yi
-z = -x - yi
Módulo y argumento de un número complejo.
Dado el número complejo z = x + yi se define el módulo de z de la forma
z = x2 + y2
y el argumento de z es un ángulo θ, denotado arg z, que verifica
x = z cos θ , y = z sen θ
Dado que las funciones trigonométricas son periódicas hay infinitos argumentos de un núme-
ro complejo. Llamaremos argumento principal de z ≠ 0, y los denotaremos Arg z, al único argu-
mento θ ∈ [0,2π).
Se puede calcular el argumento de de la forma:
y
θ = arctg
x
Forma módulo-argumental de un número complejo.
La expresión en forma módulo-argumental de un número complejo z es un par (ρ,θ) donde
ρ = |z| y θ es un argumento de z.
La expresión binómica de un número complejo equivale a utilizar coordenadas cartesianas
en IR2, mientras que la expresión módulo-argumental se corresponde a las coordenadas polares.
z = x + yi
(ρ,θ)
y
ρ
θ
x
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9. Se verifican las relaciones del cambio de coordenadas:
x = ρ cos θ
y = ρ sen θ
Para operar con números complejos se utilizará la forma de éstos en la cual los cálculos sean
más sencillos; por ejemplo, el producto y el cociente de números complejos en forma módulo-
argumental admiten una expresión muy simple: si z1 = (ρ1,θ1) y z2 = (ρ2,θ2), entonces:
z1·z2 = (ρ1·ρ2 , θ1+θ2)
z1 ⎛ ρ 1 ⎞
= ⎜ , θ1 − θ 2 ⎟ si z2 ≠ 0
⎜ρ ⎟
z2 ⎝ 2 ⎠
Exponencial compleja.
Dado ϕ ∈ IR se define e iϕ = cos ϕ + i sen ϕ (fórmula de Euler).
Así, dado un número complejo z = x + yi la exponencial de z es:
e z = e x (cos y + i sen y )
Todo número complejo z puede expresarse de forma exponencial como sigue
z = ρ e iθ
siendo ρ = |z| y θ un argumento de z.
Así, z = x + yi = ρ e iθ = ρ (cos θ + isenθ ) (Forma trigonométrica)
Potencia de un número complejo. Fórmula de De Moivre.
Para calcular una potencia entera zn de un número complejo puede utilizarse la fórmula del
binomio de Newton si z está expresado en forma binómica, pero si n es grande el proceso resulta
laborioso. Si se tiene el módulo ρ y un argumento θ de z se puede obtener fácilmente zn ya que
(
z n = ρ e iθ ) n
= ρ n e i nθ
o lo que es lo mismo:
z n = ρ n (cos nθ + isen nθ )
es decir, zn tiene módulo ρn y argumento nθ.
La expresión z n = ρ n (cos nθ + isen nθ ) se conoce como fórmula de De Moivre y, además de
su utilidad en este contexto, se puede aplicar para obtener relaciones entre las razones trigonométri-
cas de un ángulo y las de sus múltiplos.
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10. Problemas
1. En IR2 se define la ley de composición interna: (a1 , a2 ) ⊕ (b1 , b2 ) = (a1 + b2 , a2 + b1 ) . Estudiar si
le dota de estructura de grupo conmutativo.
2. En IR2 se define la ley de composición interna: (a1 , a 2 ) ⊕ (b1 , b2 ) = (a1 + b1 , a 2 + b2 ) . Estudiar
si le dota de estructura de grupo conmutativo.
3. En el conjunto de los polinomios IP2(x) se define la ley de composición interna:
(a + bx + cx 2 ) ⊕ (a'+b' x + c' x 2 ) = (a + a ' ) + (c + c' ) x + (b + b' ) x 2
Estudiar si le dota de estructura de grupo conmutativo.
4. Demostrar que el conjunto de los números complejos, con la suma y el producto habituales
definidos respectivamente como sigue:
(a + bi ) ⊕ (a'+b' i ) = (a + a ' ) + (b + b' )i
(a + bi ) o (a'+b' i ) = (aa '−bb' ) + (ab'+ba' )i
tiene estructura de cuerpo conmutativo.
http://www.ejerciciosyexamenes.com/complejos.pdf
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