Metodo de las 2 Fases - Programación Lineal - Ing. Alejandro Molina

1. Método de Las 2 Fases
Ejemplo Detallado
Max Z = 3X1 + 2X2
S/A
X1 + X2 ≥ 4
3X1 + 4X2 ≤ 24
X1 ≥ 2
X1 – X2 ≤ 0
Como primer paso convirtamos el problema a maximización, si ya es de maximización no hacemos nada pero si
es de minimización multiplicamos la Función objetivo por -1 (En este caso como es maximización no hacemos
nada)
Luego vamos a convertir las inecuaciones en ecuaciones es decir cambiar los símbolos por igualdades
Para ello debemos seguir las siguientes reglas:
 Si lleva el signo ≤ se agrega una variable de holgura sumando
 Si lleva el signo ≥ se agrega una variable de excedente restando y una artificial sumando (Recuerde que
la variable Artificial es la que lleva la rayita arriba)
 Si es una de igualdad solo se coloca variable Artificial
 IMPORTANTE: Para todas las variables Artificiales se penaliza la función objetivo sumando las variables
artificiales
Nuestro modelo queda de la siguiente forma.
El cuadro celeste representa todo el conjunto de ecuaciones en el modelo matemático
Los recuadros de color naranja y verde representan las dos Funciones Objetivos para la Fase 1 y Fase 2
Despejando Z en ambas funciones quedan de la Siguiente Forma:
Z= - 4 - 7 Función Objetivo Fase 1 (Siempre la de las variables Artificiales es de la Fase 1)
Z= +3X1 +2X2 Función Objetivo Fase 2
Z -3X1 -2X2 + 4 + 7 = 0 Se penaliza con 2 variables artificiales
X1 +X2 -X3 + 4 = 4 Como es ≥ se resta variable de excedente y se suma artificial
3X1 +4X2 +X5 = 24 Como es ≤ se suma variable de holgura
X1 -X6 + 7 = 2 Como es ≥ se resta variable de excedente y se suma artificial
X1 -X2 +X8 = 0 Como es ≤ se suma variable de holgura

2. Desarrollo de Fase 1
Se toma la misma estructura de ecuaciones con la diferencia que se utiliza la Función Objetivo de la Fase 1
Ahora se emplea la eliminación gaussiana y se busca eliminar las variables artificiales de la función objetivo
Para ello se restara o sumara las ecuaciones con variables artificiales
En color naranja se tiene la nueva ecuación 0
Ahora ponemos el modelo con la nueva ecuación 0
Pero antes pasamos la ecuación 0 de maximizar a minimizar
Ahora se pasa a la forma Tabular
El objetivo a diferencia del simplex tabular Normal es que se buscara en la Fase 1 que Z sea 0, es decir hasta
que el 6 pase a ser 0
Z + 4 + 7 = 0 En verde Función Objetivo de Fase 1
X1 +X2 -X3 + 4 = 4
3X1 +4X2 +X5 = 24
X1 -X6 + 7 = 2
X1 -X2 +X8 = 0
Z + 4 + 7 = 0
-X1 -X2 +X3 - 4 = -4 Se multiplico por -1 para cambiar signo
-X1 +X6 - 7 = -2 Se multiplico por -1 para cambiar signo
Z -2X1 -X2 +X3 +X6 = -6 Este es el resultado de sumar las ecuaciones
-Z +2X1 +X2 -X3 -X6 = 6 Se pasa a minimizar para trabajar la Fase 1
X1 +X2 -X3 + 4 = 4
3X1 +4X2 +X5 = 24
X1 -X6 + 7 = 2
X1 -X2 +X8 = 0
Ite. Ec Var X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 LD
0 -Z 2 1 -1 0 0 -1 0 0 6 Como es minimizar se toma el mayor positivo de la ecuación 0
1 4 1 1 -1 1 0 0 0 0 4 4/1=4
0 2 X5 3 4 0 0 1 0 0 0 24 24/3=8
3 7 1 0 0 0 0 -1 1 0 2 2/1=2
4 +X8 1 -1 0 0 0 0 0 1 0 0/1=0 Se toma el menor mayor o igual a 0
Como es minimizar se toma el mayor positivo de la ecuación 0
La fila pivote se selecciona dividiendo los valores positivos de la columna

3. De esta forma la siguiente iteración queda así:
El valor de Z sigue siendo 6 y también en la ecuación 0 sigue habiendo un valor positivo por lo que se debe
seguir con la nueva iteración.
El valor de Z es igual a 0, por lo terminamos la Fase 1 y empezamos la preparación para la Fase 2
 El primer paso es eliminar las columnas de las variables artificiales en la tabla final de la Fase 1, es decir
de la siguiente forma:
Uniendo la Tabla queda de esta forma
Ite. Ec Var X1 X2 X3 X5 X6 X8 LD
0 -Z 0 0 -1 0 2 -5 0
1 4 0 0 -1 0 2 -3 0
0 2 X5 0 0 0 1 7 -10 10
3 X2 0 1 0 0 -1 1 2
4 X1 1 0 0 0 -1 2 2
Ahora se elimina la ecuación 0 y se sustituye por los valores de la Función objetivo de la Fase 2
Ite. Ec Var X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 LD
0 -Z 0 3 -1 0 0 -1 0 -2 6
1 4 0 2 -1 1 0 0 0 -1 4 4/2=2
1 2 X5 0 7 0 0 1 0 0 -3 24 24/7
3 7 0 1 0 0 0 -1 1 0 2 2/1=2 Se toma aleatoriamente
4 +X1 1 -1 0 0 0 0 0 1 0 No se toma por negativo
Entro X1 y salio X8
Ite. Ec Var X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 LD
0 -Z 0 0 -1 0 0 2 -3 -5 0
1 4 0 0 -1 1 0 2 -2 -3 0
2 2 X5 0 0 0 0 1 7 -7 -10 10
3 X2 0 1 0 0 0 -1 1 1 2
4 X1 1 0 0 0 0 -1 1 2 2
Entro X2 y salio X7
Ite. Ec Var X1 X2 X3 X5 X6 X8 LD
0 -Z 0 0 -1 0 2 -5 0
1 4 0 0 -1 0 2 -3 0
0 2 X5 0 0 0 1 7 -10 10
3 X2 0 1 0 0 -1 1 2
4 X1 1 0 0 0 -1 2 2

4. Sustituimos los valores de la Función Objetivo del a Fase 2
Se debe aplicar la eliminación gaussiana en la ecuación 0 eliminado los valores de X1 y X2.
Para ello se sumara a estos valores los valores de las ecuaciones 3 multiplicada por -2 y la ecuación 4
multiplicada por -3
Ahora el resultado de la operación de eliminación gaussiana se sustituirá en el conjunto de ecuaciones
Ahora se empezara a operar la Tabla de la Fase 2, hasta dejar todos los valores de la ecuación 0 con valor
negativo o con valor de 0 (porque lo hemos venido trabajando como minimización) Si lo hubiéramos trabajado
de maximización se buscaría que todos los valores de la ecuación 0 fueran positivos o con valor 0
La Tabla inicial queda de esta forma:
Ite. Ec Var X1 X2 X3 X5 X6 X8 LD
0 -Z 0
1 4 0 0 -1 0 2 -3 0
0 2 X5 0 0 0 1 7 -10 10
3 X2 0 1 0 0 -1 1 2
4 X1 1 0 0 0 -1 2 2
Ite. Ec Var X1 X2 X3 X5 X6 X8 LD
0 -Z 3 2 0 0 0 0 0
1 4 0 0 -1 0 2 -3 0
0 2 X5 0 0 0 1 7 -10 10
3 X2 0 1 0 0 -1 1 2
4 X1 1 0 0 0 -1 2 2
3 2 0 0 0 0 0 Ecuación 0 (Buscamos hacer 0 el 3 y el 2)
Ecuación 3 0 1 0 0 -1 1 2 Se multiplicará por -2
Ecuación 4 1 0 0 0 -1 2 2 Se multiplicará por -3
3 2 0 0 0 0 0
0 -2 0 0 2 -2 -4
-3 0 0 0 3 -6 -6
0 0 0 0 5 -8 -10 Resultado de la Operación
Ite. Ec Var X1 X2 X3 X5 X6 X8 LD
0 -Z 0 0 0 0 5 -8 -10 Ecuación sustiuida
1 4 0 0 -1 0 2 -3 0
0 2 X5 0 0 0 1 7 -10 10
3 X2 0 1 0 0 -1 1 2
4 X1 1 0 0 0 -1 2 2

5. Y así hasta encontrar el valor de Z
La respuesta es Z=120/7
Ite. Ec Var X1 X2 X3 X5 X6 X8 LD
0 -Z 0 0 0 0 5 -8 -10
1 4 0 0 -1 0 2 -3 0 0/2=0
0 2 X5 0 0 0 1 7 -10 10 10/7
3 X2 0 1 0 0 -1 1 2
4 X1 1 0 0 0 -1 2 2
Se tomara 5 porque es el valor mayor positivo y 0 en la fila pivote