Programacion de metas y objetivos

Investigación de Operaciones

Programación de Metas y Objetivos

Facilitador:
Dr. Juan J. Lugo Marín.

PROGRAMACIÓN DE METAS Y OBJETIVOS

La mayoría de las situaciones de decisión real, sean personales o profesionales, se
caracterizan por metas (atributos) y objetivos múltiples más que por un simple objetivo.
Estas metas pueden ser complementarias, pero frecuentemente son conflictivas entre
ellas y también inconmensurables

La Programación meta es una técnica de resolución de problemas multicriterios, que
permite escoger las variables que ofrecen una mejor solución al problema planteado,
teniendo la gran ventaja que permite trabajar con metas medidas en distintas unidades
e incluso contrapuestas.

La filosofía de los problemas de programación meta es muy similar a los de
Programación Lineal, sólo que ahora además de las restricciones estructurales, se
pueden tener varios objetivos simultáneos, los cuales se desean alcanzar. Como la
existencia de un objetivo que puede ser alcanzado o no.


Programación de Metas: Planteamiento utilizado para resolver un
problema de optimización de objetivos múltiples como un programa lineal
que equilibre los pros y los contras de los objetivos en conflicto.

Meta: Valor objetivo numérico específico establecido para un fin en un
programa de metas.

Penalización: Valor relativo que se usa para representar insatisfacción con
cada unidad que un objetivo esté por debajo de su meta, si el objetivo es
maximizar, y por encima de la meta si lo que se busca es minimizar.


En los problemas de metas se tienen objetivos múltiples, en este caso se
encontrarán problemas con múltiples metas sin prioridades y/o con prioridades, y
en todos los casos se pudiesen tener problemas con ponderación y sin
ponderación.

Es importante recalcar que nunca se sacrificará una meta de mayor prioridad por
una de menor prioridad, pero dentro de una misma prioridad, la desviación con
mayor ponderación puede ser desplazada por la de menor ponderación si esta
última logra un valor que compense dicha ponderación.


di+
META: mi

di-
Figura 1. Esquema básico de la programación meta.

En la figura 1, se puede observar que se presentan tres posibilidades, que la
meta sea alcanzada, que se logre un valor mayor a la meta en cuyo caso se
incurre en una desviación positiva, o que se quede por debajo de la meta, y en
ese caso se tendrá una desviación negativa. Dependiendo del problema y de la
meta en sí, se podrá tener interés en minimizar la desviación positiva, la
negativa o ambas.


La programación de metas es un enfoque para tratar problemas de decisión gerencial que
comprenden metas múltiples o ilimitadas, de acuerdo a la importancia que se le asigne a
estas metas. El tomador de decisiones debe ser capaz de establecer al menos una
importancia ordinal, para clasificar estas metas. Una ventaja importante de la
programación meta es su flexibilidad en el sentido de que permite al tomador de
decisiones, experimentar con una multitud de variaciones de las restricciones y de
prioridades de las metas cuando se involucra con un problema de decisión de objetivos
múltiples.

La forma del modelo de programación lineal sigue siendo la misma en programación por
meta, es decir, también se tiene una función objetivo que se busca optimizar sujeta a una
o más restricciones. Sin embargo, dentro de este marco de referencia se agregarán dos
conceptos nuevos. El primero es el de las restricciones de meta en lugar de las
restricciones de recurso que se han analizado. El segundo concepto es el de rango de
prioridad entre las funciones de objetivo.

.

PROGRAMACIÓN DE METAS Y OBJETIVOS - CARACTERÍSTICAS

Las características que distinguen la programación de Meta son :

La Función Objetivo siempre busca minimizar.

Por cada meta existirá una restricción meta.

Que las metas se satisfacen en una secuencia ordinal. Esto es, que las metas que deben
clasificarse en orden de prioridad por el tomador de decisiones son satisfechas
secuencialmente por el algoritmo de solución.

Las metas con prioridad baja se consideran solamente después de que las metas de
prioridad alta se han cumplido.

La Programación de metas es un proceso de satisfacción, en el sentido de que el
tomador de decisiones tratará de alcanzar un nivel satisfactorio en vez del mejor resultado
posible para un solo objetivo.

PROGRAMACIÓN DE METAS Y OBJETIVOS - CARACTERÍSTICAS

La noción fundamental de la Programación Meta, comprende incorporar todas las metas
gerenciales en la formulación del modelo del sistema.

En la programación Meta, en vez de intentar minimizar o maximizar la Función Objetivo
directamente, como en la programación lineal, se minimizan las desviaciones entre las
metas y los límites logrables dictados por el conjunto dado de restricciones en los
recursos. Estas variables de desviación, que se denominan de "holgura" o "sobrantes" en
programación lineal, toman un nuevo significado en la Programación Meta. Ellas se
dividen en desviaciones positivas y negativas de cada una de las submetas o metas. El
objetivo se convierte entonces en la minimización de estas desviaciones, dentro de la
estructura prioritaria asignada a estas desviaciones.

las metas se satisfacen en el orden de prioridad establecido por el tomador de
decisiones.

Las metas no necesitan satisfacerse exactamente sino tan cerca como sea posible.

PROGRAMACIÓN DE METAS Y OBJETIVOS - APLICACIONES

La programación meta también es aplicable en las siguientes áreas, entre otras:

MERCADEO: Donde las metas conflictivas podrían ser: maximizar la
participación del mercado, minimizar los costos de publicidad, maximizar el
margen de ganancia por artículo vendido.

CONTROL DE INVENTARIOS: Donde es necesario minimizar el número de
faltantes y minimizar el costo de almacenaje.

PRODUCCION: Donde es necesario minimizar el costo de
fabricación, maximizar el control de calidad, y maximizar la utilización de
recursos.

PROGRAMACIÓN DE METAS Y OBJETIVOS - FORMULACIÓN

La formulación de un modelo de Programación Meta es similar al modelo de
Programación Lineal (P.L). El Primer paso es definir las variables de decisión, después
se deben de especificar todas las metas gerenciales en orden de prioridad. Así, una
característica de la Programación de Meta es que proporciona solución para los
problemas de decisión que tengan metas múltiples, conflictivas e inconmensurables
arregladas de acuerdo a la estructura prioritaria de la administración.

La formulación de un modelo de programación por metas consiste en fijar los
atributos que se consideran relevantes para el problema que se está analizando. Una
vez establecidos los atributos, se pasa a determinar el nivel de aspiración que
corresponde a cada atributo, es decir, el nivel de logro que el centro decisor desea
alcanzar.


Seguidamente, se conecta el atributo con el nivel de aspiración, por medio de la
introducción de las variables de desviación negativa y positiva, respectivamente:

n: variable de desviación negativa, cuantifica la falta de logro de una meta

p: variable de desviación positiva, cuantifica el exceso de logro de una meta

En general, la meta del atributo i-ésimo se escribe como:

Los valores de las variables de desviación son siempre positivas o cero, al menos una de
las dos variables de desviación que definen la meta tendrá que ser cero.

Las dos variables de desviación tomarán el valor cero cuando la meta alcance
exactamente su nivel de aspiración, ti. Una variable de desviación se dice que es no
deseada cuando al centro decisor le conviene que la variable en cuestión alcance su valor
más pequeño, es decir, cero.


En conclusión se puede decir que los pasos para la formulación de problemas de
Programación de Metas son:

Identificación de las variables de decisión; en el cual se definen además 2 nuevas
variables para cada objetivo; una para representar la cantidad en el cual el objetivo
se pasa del objetivo especificado y la otra para representar la cantidad que está por
debajo de la meta.
Identificación de las restricciones.

Identificación de la Función Objetivo: en la programación de metas el objetivo es
minimizar la penalización total por no haber logrado las dos metas. Aplicando la
descomposición se tiene el siguiente resultado:

Penalización Total= (Penalización por no alcanzar la meta)+ (Penalización por
exceder la meta)

PROBLEMAS DE PROGRAMACION DE METAS CON PRIORIDADES Y CON PONDERACIONES.

Ejercicio de Metas Con Prioridad

Considera la situación de Schwim Manufacturing Company en donde la administración
desea alcanzar varias metas. Ahora supondremos que la administración desea ordenar
dichas metas en orden de importancia y que la meta más importante tiene prioridad
absoluta sobre la siguiente meta más importante y así sucesivamente.

Para lograr que las metas de baja prioridad se consideren solamente después de lograr las
metas de alta prioridad, se clasifican las metas en k rangos y las variables de desviación
asociadas con las metas, se les asigna un número prioritario Pj (j = 1,2,..., k). Los factores
de prioridad satisfacen Autor: Natasha Sánchez
P1>>>P2>>>...Pj>>>Pj+1.

Las relaciones de prioridad implican que la multiplicación por n, no importa que tan
grande sea n, no puede hacer una meta de baja prioridad tan importante como una meta
de alta prioridad (por ejemplo: Pj>nPj+1).


Ahora supongamos que la división de bicicletas de Schwim, además de lograr sus $600.00
de meta primaria de utilidad, desea utilizar completamente sus departamentos de
ensamblaje y terminación durante la reorganización que se avecina. Esto es, como una
meta secundaria, la división desea minimizar el tiempo ocioso. La formulación del modelo
es:
Minimizar Z = P1 (d1- + d1+) + P2(d2-+d3-)
S.A.
15x1+25x2 +d1- - d1+ = 600
x1 +3x2 + d2- - d2+= 60
x1 +x2 +d3- - d3+ = 40
x1, x2, di-,di+ = 0
Autor: Natasha Sánchez
Donde:
x1 = Número de bicicletas de 3 velocidades producidas por día
x2 = Número de bicicletas de 10 velocidades producidas por día
d1- = Cantidad por debajo de la utilidad perseguida


d1+ = cantidad por encima de la utilidad perseguida
d2- = Tiempo ocioso diario en el departamento de ensamble
d2+ = Tiempo extra diario en el departamento de ensamble
d3- = Tiempo ocioso diario en el departamento de terminación.
d3+ = Tiempo extra diario en el departamento de terminación.

Nota: Puesto que d1- y d1+ se incluyen en la función objetivo, el modelo intentará lograr
exactamente la utilidad diaria perseguida de $600, minimizando tanto las desviaciones
positivas como las negativas. Con d2+ d3+ y eliminados de la función objetivo, sin embargo, el
modelo no se preocupará del tiempo extra en el departamento de ensamble o terminación e
intentará minimizar solamente el tiempo ocioso en estos departamentos. Debido a que la
meta de utilidad perseguida es más importante que la meta de minimización del tiempo
ocioso, a esta se le asigna prioridad P1. El modelo intentará lograr esta meta hasta donde más
le sea posible antes de considerar la meta secundaria de minimizar el tiempo ocioso de
producción.


Método de Metas Con Ponderaciones

La ponderación de objetivos para la determinación de soluciones eficientes, es posiblemente
la primera técnica multiobjetivo considerada. El método se deduce directamente de las
condiciones necesarias de Kuhn.Tucker para soluciones eficientes y fue propuesto por Zadeh
en 1963, para con una adecuada variación paramétrica de los pesos, generar el conjunto
eficiente.

El método de las ponderaciones se puede utilizar para generar el conjunto eficiente, aunque
no resulta muy adecuado para obtener la representación completa del citado conjunto. Para
llevarlo a cabo, hay que considerar de forma sistemática una serie de conjuntos de pesos
positivos. Usualmente se empieza por la optimización individual de cada objetivo que
equivale a tomar los pesos para después introducir una variación sistemática d estos con una
tasa de aumento prefijado que hay que estimar como adecuada


Planteamiento del Método.
Matemáticamente el método de las ponderaciones se formula mediante el problema
Max Z(x)= kZk(x) Sujeto a: x Є F

Con λk peso asociado al objetivo Zk denominamos a este problema p(λ) donde (λ1….λp)
El problema multiobjetivo ha quedado transformado en un problema de optimización con un
único objetivo. El peso λk para el objetivo Zk se interpreta como la importancia o peso relativo
del k-ésimo objetivo en relación con el resto de los objetivos.
De esta forma, si los pesos λ1…..λp expresan las referencias del decisor y este es capaz de
asignarlos de una manera coherente, la solución optima de p(λ) es la solución de mejor
compromiso para él.
Este método es válido para problemas lineales y no lineales, aunque nosotros nos
restringiremos aquí al primer caso. Es interesante notar, que la solución optima del problema
p (λ) es eficiente si los pesos λk son positivos. Si se tomaran pesos negativos, ello es
equivalente a transformar el problema p (λ) en uno de minimización para el que se tendría un
conjunto eficiente distinto.


Método de Metas y Penalización

• Este método se aplica a problemas con dos o más objetivos contrapuestos.

• Para alcanzar una decisión optima, se procede a identificar:
1. Una Meta: en la forma de un valor objetivo numérico especifico que se desee lograr.
2. Una Penalización: en la forma de un valor para cada unidad que el objetivo se encuentre
por debajo (si es maximización) o por encima si es (minimización) de la meta.
• Una vez identificadas las metas y las penalizaciones, debe encontrarse una solución que
minimice las penalizaciones totales asociadas a los objetivos.


Propiedades
• Se utilizan metas y penalizaciones para permitir que las restricciones sean violadas, si hay
una mejora significativa en el logro de otras metas.
• Los diferentes objetivos pueden combinarse en solo objetivo general.
• Los objetivos pueden catalogarse en orden de importancia.
• La obtención de las metas, las penalizaciones, las funciones de utilidad o clasificaciones de
los objetivos está cargada de un alto grado de subjetividad.

Procedimiento:
• Por cada objetivo, se identifica una meta.
• Por cada meta identificada, se definen dos variables no negativas adicionales: la variable 1
representa la cantidad en que el objetivoNatashala meta y la variable 2 representa la cantidad
Autor: supera Sánchez
en que la meta supera el objetivo.
• Por cada objetivo, se formula una restricción de meta asociada.
• Se establece una sola función objetivo de minimización de la penalización total por no
cumplir con las metas.
• Se resuelve el programa lineal con un solo objetivo.

PROBLEMAS DE PROGRAMACION DE METAS

 EJERCICIOS.

1. MTV Steel Company produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos,
respectivamente en $10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A se requieren 0.5
minutos del tiempo del procesamiento sobre un tipo particular de maquina de modelado.
Cada pie del tubo B requiere 0.45 minutos y cada pie del tubo C requiere 0.6 minutos.
Después de la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere de 1 onza de
material de soldar. El costo se estima en $3, $4 y $4 por pie de los tubos A, B y C
respectivamente.
Para la siguiente semana, MTV Steel ha recibido pedidos excepcionalmente grandes que
totalizan 2000 pies del tubo A,Autor: pies del tubo B y 5000 pies del tubo C. como solo se
4000 Natasha Sánchez
disponen de 40 horas de tiempo de maquina esta semana y solo se tienen en inventario
5500 de onzas de material de soldar, el departamento de producción no podrá satisfacer
esta demanda, que requiere un total de 97 horas de tiempo de maquina y 11000 onzas de
material de soldar.


No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de
producción, la gerencia de MTV Steel esta considerando la compra de algunos de estos tubos a por-veedores de
Japón a un costo de entrega de $6 por pie del tubo A, $6 por pie del tubo B y $7 por pie del tubo C. Supóngase que
la compañía se ha establecido una meta de ganancia de $55.000 y desea que los costos de importación no superen
los $40.000. Formule este modelo como un problema de metas, sabiendo que la meta de ganancia es dos veces
más importante que la meta de costos de importación.

PRECIO DE DEMANDA(ft) TIEMPO DE MATERIAL PARA COSTO DE COSTO DE
TIPO VENTA ($/ft)) MAQUINA SOLDAR (oz/ft) PRODUCCION COMPRA ($/ft)
(min/ft) ($/ft)
A 10 2000 0.50 1 3 6

B 12 4000 Autor: Natasha Sánchez
0.45 1 3 6

C 9 5000 0.60 1 4 7

Cantidad Disponible 40hr 5500 oz


• Identificación de las variables.
AP = número de pies de Tubo A por producir
BP = número de pies de Tubo B por producir.
CP = número de pies de Tubo C por producir.
AJ = número de pies de Tubo A por comprar a Japón.
BJ = número de pies de Tubo B por comprar a Japón.
CJ = número de pies de Tubo C por comprar a Japón.

• Variables de decisión.
P+ = cantidad de dólares en que se excede la ganancia de la meta de $55000
P - = cantidad de dólares que faltan para la ganancia meta de $55000

I+ = cantidad de dólares en que las importaciones exceden la meta de $40000
I - = cantidad de dólares que faltan para que las importaciones alcancen la meta de $40000.


• Identificación de la Función Objetivo
Minimizar 2P- + I+

• Identificación de las Restricciones
 Restricciones de Demanda

AP + AJ = 2000 (demanda Tipo A)
BP + BJ = 4000 (demanda Tipo B)
CP + CJ = 5000 (demanda Tipo C)

 Restricciones de Recursos
0.5AP + 0.45BP + 0.6CP ≤ 2400 (tiempo de maquina)
AP + BP + CP ≤ 5500 (material de soldadura)


 Restricciones de Metas

7AP + 8BP + 5CP + 4AJ + 6BJ + 2CJ – P+ + P- = 55000 (meta de ganancia)
6AJ + 6BJ + 7CJ – I+ + I- = 40000 (meta de importación)

 Restricciones Lógicas

AP, BP, CP, AJ, BJ, CJ, P+, P-, I+, I- ≥ 0


2. El departamento de nutrición de Hospital General Mountain View esta
preparando un menú de comida que será servido un día cada mes. El
departamento ha determinado que esta comida deberá proporcionar 63000
miligramos (mg) de proteína, 10 mg de hierro, 15 mg de niacina, 1 mg de
tiamina y 50 mg de vitamina C. Para lograr este objetivo, la comida debe
consistir en una cierta cantidad de espagueti, carne de pavo, papas
gratinadas, espinaca y pastel de manzana. Cada 100 gramos de estos
alimentos proporcionan la cantidad de cada nutriente que se indica en la
siguiente tabla:


PROTEINAS HIERRO NIACINA TIAMINA VITAMINA C GRASA
Espagueti 5000 1.1 1.4 0.18 0.0 5000
Pavo 29300 1.8 5.4 0.06 0.0 5000
Papas 5300 0.5 0.9 0.06 10.0 7900
Espinaca 3000 2.2 0.5 0.07 28.0 300
Pastel de 4000 1.2 0.6 0.15 3.0 14300
Manzana

El departamento sabe que debe presentar una comida bien balanceada que guste al
paciente. Con este objetivo en mente, el departamento no servirá mas de 300 gramos
de espagueti, 300 gramos de pavo, 200 gramos de papas, 100 gramos de espinacas y
100 gramos de pastel de manzana. Como director del departamento de
nutrición, usted desea determinar la composición de una comida que satisfaga los
requerimientos nutricionales y proporciones la mínima cantidad de grasas.


• Variables de decisión
SPAG = el número de 100 gramos de espagueti que incluir
PAVO = el número de 100 gramos de pavo que incluir
PAPA = el número de 100 gramos de papa que incluir
SPIN = el número de 100 gramos de espinacas que incluir
MANZ = el número de 100 gramos de pastel de manzana que incluir

• Identificación de la Función Objetivo
Minimizar 0.09F+ +0F- + C+ + 0C-

• Identificación de las restricciones Natasha Sánchez
Autor:

Restricciones de Metas
5000SPAG + 5000PAVO + 7900PAPA + 300SPIN + 14300MANZ – F+ + F- = 55000 (grasa)
0.15SPAG + 0.80PAVO + 0.12PAPA + 0.20SPIN + 0.51MANZ – C+ + C- = 2 (costo)


 Restricciones de Nutrientes

5000SPAG +29300PAVO +5300PAPA +3000SPIN +4000MANZ ≤ 100000 (máx. de proteínas)

5000SPAG +29300PAVO +5300PAPA +3000SPIN +4000MANZ ≥ 80000 (mín. de proteínas)

1.1SPAG + 1.8PAVO + 0.5PAPA + 2.2SPIN + 1.2MANZ ≥ 10 (hierro)

1.4SPAG + 5.4PAVO + 0.9PAPA + 0.5SPIN + 0.6MANZ ≥ 15 (niacina)
0.18SPAG + 0.06PAVO + 0.06PAPA + 0.07SPIN + 0.15MANZ ≥ 1 (tiamina)

10PAPA + 28SPIN + 3MANZ ≥ 50 (vitamina C)


 Restricciones de Limite

SPAG ≤ 3
PAVO ≤ 3
PAPA ≤ 2
SPIN ≤ 1
MANZ ≤ 1

 Restricciones Lógicas Autor: Natasha Sánchez

SPAG, PAVO, PAPA, SPIN, MANZ, F+, F-, C+, C- ≥ 0


EJERCICIOS.

3. Una compañía química produce cuatro productos químicos diferentes (1 y 2). Por cada
hora que se realiza el proceso 1 este entrega 400kg de A. 100kg de B y 100kg de C. el
proceso 2 entrega 100kg de A. 100kg de B y 100 kg de D por hora. El departamento de
marketing de la compañía ha especificado que la producción diaria debe ser no más de
500kg de B y 300kg de C y al menos 800kg de A y 100kg de D. una corrida del proceso 1
tiene un costo de 500 bs/hr. Y una corrida del Proceso 2 tiene un costo de 100Bs/hr.
Suponga que un kg de cada químico A, B, C se pueden vender en 1, 5, 5 y 4
Bs, respectivamente y que las ventas del proceso 1 es de 1400Bsf/hr y 1000 Bs/hr, así
como también las ganancias del proceso 1 son de 900 y del proceso 2 900bs. Formule un
modelo de Programación lineal para alcanzar las siguientes metas: Que los costos se
encuentren por debajo de 30000Bs, que las ventas aumenten 100.000Bs y que las
ganancias aumenten a 200.000Bs


Solución:
• Primero se deben organizar los datos del ejercicio en una tabla para visualizarlos
mejor.

Producto Proceso kg/hr
1 2 Producción kg/día Ventas Bsf/kg
A 400 100 800 1
B 100 100 500 5
C 100 300 5
D Autor: Natasha Sánchez 100
100 4
Costo Bsf/hr 500 100
Ventas 1400 1000
Ganancias 900 900


• Luego se deben definir las variables a utilizar.

T1= Tiempo de producción del proceso 1 (hr)
T2=Tiempo de producción del proceso 2 (hr)

• Se coloca la Función Objetivo (F.O):

Minimizar Z1=500 T1+100 T2 Autor: Natasha Sánchez
Costos
Maximizar Z2=1400 T1+1000 T2 Ventas
Maximizar Z3=900 T1+900 T2 Ganancias


Sujeto a:

400 T1+100 T2>=800

100 T1+100 T2<=500
RESTRICCIONES
100 T2<=300

100 T1 Autor:>=100 Sánchez
Natasha

T1, T2>=0


• Seguidamente se realiza una tabla con las metas.

F.O < > Meta
+ -

Z1 X1 X2 30.000

Z2 X3 X4
Autor: Natasha Sánchez 100.000

Z3 X5 X6 200.000


Después que se realiza la tabla se seleccionan las variables que sobrepasan
la meta o las variables que representa la cantidad que falta para alcanzar la
meta, para entonces penalizarlas. En este caso las variables son las que
están dentro del recuadro rojo, ya que X2 sobrepasa la meta de los costos,
X3 está por debajo de la meta planteada de ventas al igual que X5 por la
parte de ganancias.


< >
F.O + - Meta

Z1 X1 X2 30.000

Z2 X3 X4 100.000

Z3 X5 X6 200.000


 Razonamiento

500 T1+100 T2+ X1- X2= 30.000 Para los costos
1400 T1+1000 T2 + X3- X4= 100.000 Para las Ventas
900 T1+900 T2+ X5- X6= 200.000 Para las ganancias
T1, T2 X1,X2 ,X3,X4 ,X5, X6>=0

• Se eliminan las funciones objetivos, pero debo tener 1, para eso necesito
minimizar las violaciones por lo que penalizo las variables que no me convengan

• Finalmente consigo mi Función Objetivo:

Minimizar Z4= X2+ X3+ X5


4. En una planta se pueden fabricar dos productos diferentes (1 y 2). El tiempo
que cada producto requiere en cada una de las dos maquinas es el mostrado
en el cuadro anexo. Cada máquina está disponible 220min para cada
producto. Formule un modelo de programación lineal para alcanzar las
siguientes metas:

Producción Total: 14 unidades
Del Producto 1: 8 unidades.
Del Producto 2: 9 unidades


Maquina (minutos)
Producto 1 2
1 20 15
2 14 18
Tiempo Disponible 220 220
(min)

Nota: Por cada meta se identifica una función objetiva o viceversa.


• Variables:
X1= Cantidad del producto 1. (Unidades)
X2= Cantidad del producto 2. (Unidades).

• Metas.
Producción Total: 14 unidades
Producto 1: 8 unidades.
Producto 2: 9 unidades

• Funciones Objetivo por cada meta:
Maximizar Z1= X1+ X2
Maximizar Z2= X2
Maximizar Z3= X1
Restricciones:
20 X1+ 14 X2<=220
15X1+ 18 X2<=220


F.O < > Meta
+ -
Z1 X3 X4 14
Z2 X5 X6 8
Z3 X7 X8 9
• Se penalizan las 6 variables ya que unas se sobrepasan la meta (X4 X6 X8) así
como también hay variables que se encuentran por debajo de la meta(X3 X5 X7).


Razonamiento:

X1+X2+X3-X4=14
X2+X5-X6 =8
X3+X7-X8 =9

20 X1+ 14 X2<=220
15X1+ 18 X2<=220
X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8>=0

• Finalmente consigo la Función Objetivo General:

Minimizar Z4= X3+ X4,+X5+X6+X7+X8


5. Una compañía está considerando unos nuevos productos, se está buscando
determinar la mezcla optima de los productos considerando 3 factores:
a) Mantener el nivel actual de empleo de 400 trabajadores.
b) Sostener la inversión de capital a menos de 60 millones de bs.

Ante la duda de no poder alcanzar las metas se establecen las siguientes
penalizaciones: 5 sino se llegan a la meta de utilidad (por millón de bs menos); 2
por sobrepasar la meta de empleo (por cien trabajadores); 4 por quedar por
debajo de esa misma meta; 3 por exceder la meta de inversión de capital (por
millón de bs de mas). La contribución de cada producto de inversión y utilidad se
presenta en la siguiente tabla.


1 2 3

Utilidad a 12 bs 9bs 15bs Al menos
largo plazo 120.000.000

Nivel de 5 3 4 Mantener
empleo 4000
Inversión de 5 7 8 Menos de
capital 60.000.000


• Se definen las variables

X1=Cantidad de producto 1
X2= Cantidad de producto 2
X3= Cantidad de producto 3

Nota: si no hay restricciones, no hacen falta.

• Las Funciones Objetivos

Max Z1=12 X1+9 X2+12 X3
Z2=5X1+3X2+4 X3
Mini Z3=5X1+7X2+8X3


• Se realiza la tabla de las metas.

F.O < > Meta
+ -

Z1 X4 X5 120.000.000

Z2 X6 X7 4000

Z3 X8 X9 60.000.000


En este caso se penaliza X4 ya que la meta es que al menos la utilidad sea
120.000.000bs, ósea que puede ser más que eso y por tanto X4 se
encuentra por debajo de la meta.

X6 y X7 se penaliza porque la meta es mantener a 4000 el nivel de
empleo, y estas variables no cumplen con esto, sino que una está por
debajo de la meta y la otra por encima de la meta.

X9 se penaliza porque se encuentra por encima de la meta.


• Se coloca las funciones objetivos con sus nuevas variables de penalización y las
metas.

12X1+9 X2+12 X3+ X4- X5=120.000.000
5X1+3X2+4 X3+ X6- X7=4000
5X1+7X2+8X3+ X8- X9=60.000.000
X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9 >= 0

• Finalmente se coloca la función objetivo general con los valores de
penalización que se le asignan a las variables por no cumplir con las metas.

Z4= 5 X4+4 X6+2 X7+3 X9

Programacion de metas y objetivos

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