La derivada direccional de una función de varias variables representa la tasa de cambio de la función a lo largo de un vector dado. Se calcula como la suma de las derivadas parciales multiplicadas por los componentes del vector unitario en la dirección deseada. El valor de la derivada direccional indica la velocidad a la que cambia la función cuando se mueve la entrada en esa dirección particular.

1. Curso: Alumno:
Matematicas3S120181 Yohan Omaña
C.I. 21.218.501
Julio 2018

2.  La derivada direccional (o bien derivada según una
dirección) de una función multivariable, en la dirección
de un vector dado, representa la tasa de cambio de la
función en la dirección de dicho vector. Este concepto
generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son
derivadas direccionales según la dirección de los
respectivos ejes coordenados.

3. Bien se sabe que las derivadas parciales con respecto a 𝑥 y 𝑦
nos dan la razón de cambio de 𝑓 a medida que movemos la
entrada ya sea en dirección 𝑥 o 𝑦
EJEMPLO:
La derivada parcial de 𝑓 con respecto a 𝑥:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥2
− 𝑥𝑦 = 2𝑥 − 𝑦
Si evaluamos esto en algún punto, como (2,3), obteniendo que:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
2,3 = 2 2 − 3 = 1 ¿Pero qué significa esto en realidad?
Digamos que se evalúa la función original 𝑓 en el punto (2,3):
𝑓 2,3 = (2)2− 2 3 = −2
Ahora moveremos el valor de entrada un poco a la dirección de 𝑥,
por un valor de 0.01 moviéndola a (2.01,3) La función se evalúa así:
𝑓 2.01,3 = (2.01)2− 2.01 3 = −1.9899

4. El cambio total en la salida, de -2 a 1.9899, es de 0.0101. La razón
entre este cambio y el tamaño del cambio en el espacio de entrada se
muestra a continuación:
0.0101
0.01
≈ 1 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= (2,3)
Mientras más pequeño sea nuestro cambio original, esta razón será
más cercana a:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2,3 = 1
La pregunta aquí es saber qué pasa si movemos la entrada de f
en una dirección que no sea paralela al eje 𝑥 o al eje 𝑦
Un diagrama de curvas de nivel de la
ecuación 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 +𝑦2 , mostrando el
vector gradiente en negro, y el vector
unitario 𝑢 escalado por la derivada
direccional en la dirección de 𝑢 en
anaranjado. El vector gradiente es más
largo porque apunta en la dirección de
la mayor tasa de incremento de una
función.

5.  Si se tiene una función de varias variables, 𝑓(𝑥, 𝑦), y un
vector en el espacio de entradas de la función, 𝑣 , la
derivada direccional de 𝑓 a lo largo del vector 𝑣 este indica
la tasa de cambio 𝑓, a medida que la entrada se mueve
con el vector de velocidad 𝑣
Se dice que si se tiene un vector unitario 𝑢 = 𝑢1 𝑖 + 𝑢2 𝑗 la
derivada direccional en ese vector unitario de la función en el
punto 𝑥, 𝑦 será 𝐷𝑢𝑓 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑢1 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)𝑢2

6. EJEMPLO:
Sea 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 𝑦2 P(-1,2) a= 4i – 3j
𝑎 = 4𝑖 − 3𝑗
|a|= 42 + (−3)2 = 25 = 5
U=
4i−3j
5
=
4
5
𝑖 −
3
5
𝑗
Û=
4
5
𝑖 −
3
5
𝑗
Ahora se pasa a obtener las derivadas parciales
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2
𝑦2
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 2𝑥3
𝑦
Solo queda asignar la fórmula de la derivada direccional
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2
𝑦2
4
5
+ 2𝑥3
𝑦 −
3
5
𝐷𝑢𝑓 −1,2 = 3(−1)2(2)2
4
5
+ 2(−1)3 2 −
3
5
𝐷𝑢𝑓 −1,2 =
48
5
+
12
5
=
60
5
= 12

7. Indica la dirección en la cual el campo 𝑓
varía más rápidamente y su módulo
representa el ritmo de variación de 𝑓 en la
dirección de dicho vector gradiente. Éste se
representa con el operador diferencial
“nabla” ∇ seguido de la función.

9. Se tiene:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
− 4𝑥𝑦 dirección P(1,2) a Q (2,5)
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝛿𝑓
𝛿𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 . 𝑢
Se pasa primero por el gradiente:
𝛻𝑓 = 2𝑥 − 4𝑦 𝑖 + −4𝑥 𝑗
𝛻𝑓 1,2 = 2 1 − 4 2 𝑖 + 4 1 𝑗
𝛻𝑓 1,2 = 2 − 8 𝑖 − 4𝑗
𝛻𝑓 1,2 = −6𝑖 − 4𝑗
Vamos a obtener ahora el vector unitario:
𝑃𝑄 = 2 − 1 𝑖 + 5 − 2 𝑗
𝑃𝑄 = 𝑖 + 3
𝑃𝑄 = (1𝑖)2+(3𝑗)2
𝑃𝑄 = 10
𝑢 =
𝑖
10
+
3
10
𝑗

10. Obteniendo la derivada direccional:
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = −6𝑖 − 4𝑗 .
1
10
𝑖 +
3
10
𝑗
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = −
6
10
𝑖 −
12
10
𝑗
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = −1,89 − 3,79 = −5,68