Unidad 2. Cinemática.pdf

Autor: Ing. Edwin Garabitos Lara, M.Sc.
(UASD)
Universidad Autónoma de Santo Domingo
Curso de Física Básica 2/7
Objetivos
Basado en el programa de FIS-180 versión 2012
1
Ing. Edwin Garabitos Lara, M.Sc.
Agosto 2020
egarabitos73@uasd.edu.do
- Resolver situaciones problemáticas
con los modelos de la unidad
-Describir el movimiento en términos de
espacio y tiempo sin considerar las
causas
- Analizar los conceptos tratados en la
unidad
Unidad 2. Cinemática
2.1 Mecánica Clásica
2.2 Elementos de la cinemática
2.3 Movimiento rectilíneo
2.3.4. Movimiento rectilíneo uniforme
2.3.5 Movimiento rectilíneo uniformemente variado(MRUV)
2.4 Movimientos curvilíneos en un plano
2.4.2 Movimiento parabólico: Lanzamiento Horizontal y
Lanzamiento Oblicuo
2.4.1 Movimiento circular uniforme

2.1. Mecánica Clásica
2
La mecánica clásica es la rama de la física que se encarga del
estudio del estado de movimiento o de reposo de los objetos, y
las causas que lo modifican. Esta se subdivide en
 La cinemática que se ocupa de la descripción del
movimiento sin tener en cuenta sus causas.
 La Dinámica que se ocupa de las causas que determinan el
movimiento y
 La Estática que se ocupa del análisis de las fuerzas de los
sistemas físicos en estado de equilibrio.
El objeto de estudio de este curso es la cinemática, se
presentarán las definiciones básicas de esta parte de la física,
así como algunos modelos básicos. Es común en los cursos
básicos de física adoptar el modelo de partícula: se considera
que el objeto estudiado es de poca extensión o tamaño muy
pequeño.
2.2. Elementos de la cinemática
2.2.1. Trayectoria y posición
Posición: Es la ubicación de la partícula con respecto de un punto de
referencia, comúnmente llamado origen del sistema de coordenadas .
Trayectoria :Es el camino recorrido por un una partícula u objeto.
Trayectoria de la partícula
Figura 2.1
1
2
Partícula
Vector posición
Figura 2.2
Curso de Física básica-Unidad 2 Ing. Edwin Garabitos Lara, M.Sc.

3
2.2.2 Desplazamiento y Distancia
Desplazamiento (∆ Ԧ
𝑟) : es la variación del vector posición
entre dos puntos espaciales.
Distancia recorrida(𝑑𝑟): es la longitud de la trayectoria
seguida por una partícula al moverse entre dos puntos.
Figura 2.3
0
Vector posición( Ԧ
𝑟) : es el vector dirigido desde el origen de
coordenadas hasta la partícula a ubicar.
∆ Ԧ
𝑟 = Ԧ
𝑟2 − Ԧ
𝑟1 (2.1)
Distancia entre dos puntos (𝑑): es la longitud de la línea recta
que vá de un punto al otro.
2.2.3 Velocidad y Rapidez
Rapidez media ( 𝑅𝑚): Es la distancia recorrida entre el tiempo
empleado para recorrerla .
(2.2)
Rapidez media
Distancia recorrida
Tiempo empleado
𝑅𝑚=
𝑑𝑟
∆𝑡
∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1
𝑑𝑟
𝑣𝑚
La velocidad se puede considerar como el desplazamiento
en cada unidad de tiempo de una partícula en movimiento.

4
Velocidad media ( Ԧ
𝑣𝑚): Es el desplazamiento entre el
tiempo en que ocurrió dicho desplazamiento.
(2.3)
Velocidad Instantánea ( Ԧ
𝑣 ): Es el límite de la velocidad media
cuando el intervalo de tiempo tiende a cero alrededor de un
tiempo dado.
De forma más exacta, se define la velocidad instantánea en un
punto tiempo 𝑡𝑝 :
(2.4)
(2.5)
Ԧ
𝑣𝑚 =
∆Ԧ
𝑟
∆𝑡
Ԧ
𝑣 = lím
∆𝑡→0
∆Ԧ
𝑟
∆𝑡
La velocidad instantánea
se determina en un
tiempo y en un punto
dado.
Ԧ
𝑣𝑝 = lím
𝑡→ 𝑡𝑝
∆Ԧ
𝑟
𝑡 − 𝑡𝑝
2.2.4 Aceleración
La aceleración se puede considerar como el cambio de
velocidad en cada unidad de tiempo.
Aceleración media ( Ԧ
𝑎𝑚): es el cambio de velocidad entre
el tiempo en que ocurre dicho cambio:
(2.6)
Aceleración Instantánea ( Ԧ
𝑎 ): Es el límite de la aceleración media
cuando el intervalo de tiempo tiende a cero alrededor de un
tiempo dado.
(2.7)
Ԧ
𝑎𝑚 =
∆ Ԧ
𝑣
∆𝑡
Ԧ
𝑎 = lím
∆𝑡→0
∆ Ԧ
𝑣
∆𝑡
Unidades en el SI: Τ
m s
Unidades en el SI: Τ
m 𝑠2
De forma más exacta, se define la aceleración instantánea en
un punto p:
(2.8)
Ԧ
𝑎𝑝 = lím
𝑡→ 𝑡𝑝
∆ Ԧ
𝑣
𝑡 − 𝑡𝑝

5
Nota: un vector como el vector posición, la velocidad o la
aceleración, no son negativos o positivos, quienes pueden tener
signo positivo o negativo son las componentes de un vector.
Ejemplo: considere la aceleración de una partícula en dos
dimensiones
Componente negativa Componente positiva
La magnitud de Ԧ
𝑎 es siempre positiva:
𝑎𝑥
𝑎𝑦
Ԧ
𝑎 𝑦
𝑥
Representación gráfica :
Ԧ
𝑎 = 𝑎 = 𝑎𝑥
2
+ 𝑎𝑦
2
+
-
(2.9)
Figura 2. 4

6
Ejemplo 2.1.Una partícula se mueve desde el punto A hasta el
punto B con una rapidez constante de 1.75 m/s , por medio de
la trayectoria que se muestra en el gráfico. Si la distancia
recorrida por la partícula es de 7.00 m al ir de A hacia B ,
determine:
a) El tiempo empleado
b) El desplazamiento y su magnitud
c) La velocidad media y su magnitud
Figura 2.5
Resp: a) 4.00 s ; b) (4.00m,3.00m), 5.00m ;
c) (1.00 m/s , 0.75 m/s) , 1.25 m/s
Solución
a) como la rapidez es constante, se usa el modelo de movimiento
rectilíneo uniforme:
𝑅m =
𝑑𝑟
∆𝑡
⇒ ∆𝑡 =
𝑑𝑟
𝑅m
=
7.00 m
1.75 Τ
m s
= 4.00 s
∆Ԧ
𝑟 = ∆𝑟𝑥
2
+ ∆𝑟𝑦
2
= 4.0 2 + 3.0 2m = 5.00 m
𝑏) ∆𝒓 = 𝒓𝑩 − 𝒓𝑨 = 6.0, 4.0 m − 2.0, 1.0 m
= 6.0 − 2.0, 4.0 − 1.0 m = 4.0, 3.0 m
c) Ԧ
𝑣m =
∆Ԧ
r
∆𝑡
=
4.0, 3.0 m
4.00 s
=
4.0
4.00
,
3.0
4.00
m
s
= 1.0, 0.75 Τ
m s
∆ Ԧ
𝑣m = ∆𝑣m𝑥
2
+ ∆𝑣m𝑦
2
= 1.0 2 + 0.75 2 m/s = 1.2 Τ
m s

7
2.3. Movimiento rectilíneo
El movimiento rectilineo es aquel en el que la partícula describe una
trayectoria igual a una línea recta, y se dice que el movimiento es en
una dimensión.
En una dimensión un punto se localiza especificando su coordenada de
posición,que es su distancia a un origen de coordenadas elegído
arbitrariamente.La coordenada generalmente se representa con 𝑥 o
con 𝑦.Considere un movimiento sobre el eje 𝑥 y que el punto O es el
punto de referencia para medir la posición.
o
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
Desplazamiento en 𝑥: es el cambio de la coordenada 𝑥 .
Componentes en x de la Velocidad media y Aceleración media :
𝑣𝑚𝑥 =
Δ𝑥
Δ𝑡
𝑎𝑚𝑥 =
Δ𝑣𝑥
Δ𝑡
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Componentes en x de la Velocidad instantánea y Aceleración
instantánea en un tiempo 𝑡𝑝 :
(2.13)
𝑣𝑝𝑥 = lím
𝑡→ 𝑡𝑝
∆𝑥
𝑡 − 𝑡𝑝
(2.14)
𝑎𝑝𝑥 = lím
𝑡→ 𝑡𝑝
∆𝑣𝑥
𝑡 − 𝑡𝑝
Recordar:
a) Las cantidades cinemáticas medias se determinan en un intervalo de
tiempo y entre dos puntos espaciales.
b) Las cantidades cinemáticas instantáneas se determinan en un tiempo
dado y en un punto espacial.
Figura 2.6

8
2.3.1. Obtención de la velocidad dado el
gráfico 𝒙 = 𝒇(𝒕).
La componente de la velocidad media (𝒗𝒎𝒙) es
igual a la pendiente de la recta secante
La componente de la velocidad instantánea (𝑣𝑥) es igual a la
pendiente de la recta tangente en un punto dado.
2.3.2. Obtención de la aceleración a partir del
gráfico 𝒗𝒙 = 𝒇 𝒕 .
La componente de la aceleración media (𝒂𝒎𝒙) es igual a
la pendiente de la recta secante
La componente de la aceleración instantánea (𝑎𝑥) es igual a
la pendiente de la recta tangente en un punto dado.
Cuando el gráfico es una línea recta, 𝑣𝑥 es constante e
igual a 𝑣𝑚𝑥
Cuando el gráfico es una línea recta, 𝑎𝑥 es constante e igual a 𝑎𝑚𝑥
Figura 2.7 Figura 2. 8

9
El desplazamiento en 𝑥 de una partícula es igual al
área bajo el gráfico 𝑣𝑥 = 𝑓 𝑡 , entre dos tiempos
considerados.
2.3.3. Obtención del desplazamiento en 𝒙 a partir
del gráfico 𝒗𝒙 = 𝒇 𝒕 .
𝑣1𝑥
𝑣2𝑥
𝑡2
𝑡1
𝑡
∆𝒙 = Área entre
𝒕𝟏 y 𝒕𝟐
𝑣𝑥
Como este es un curso básico, se debe considerar el
área de algunas figuras regulares bajo el gráfico :
-Área de un rectángulo
𝐴 = 𝑎 × 𝑏
-Área de un triángulo
𝐴 =
𝐵 × ℎ
2
𝑎
𝑏
-Área de un trapecio
𝐴 =
𝐵 + 𝑏
2
ℎ
𝐵
ℎ
𝑏
𝐵
ℎ
Figura 2. 9.Desplazamiento a partir del
gráfico 𝒗𝒙 = 𝒇 𝒕 .
(2.15)
(2.16)
(2.17)

10
En las siguientes secciones, 2.3.1 y 2.3.2 se adoptarán las
siguientes convenciones:
1.El tiempo 𝑡1 será igual a cero y el tiempo 𝑡2
se sustituirá por 𝑡 .
3. Se sustituirá 𝑣1𝑥 por 𝑣0𝑥 y 𝑣2𝑥 por 𝑣𝑥 .
2. Se sustituirá 𝑥1 por 𝑥0 y 𝑥2 por 𝑥 .
𝑣𝑚𝑥 = 𝑣𝑥 =
Δ𝑥
Δ𝑡
=
Δ𝑥
𝑡
=
𝑥 − 𝑥0
𝑡
(2.18)
En este movimiento la componente de la velocidad de
la partícula se mantiene constante.A partir de la
ecuación (11) se tiene que
2.3.4. Movimiento Rectilíneo Uniforme(MRU)
por lo que el desplazamiento es directamente proporcional al
tiempo:
Δ𝑥 = 𝑣𝑥𝑡
y la coordenada final está dada por
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑥𝑡 (2.19)
Proporcionalidad directa: el
desplazamiento aumenta en la
misma proporción que lo hace el
tiempo.
Variación lineal
𝑥0
𝑡
𝑥
Figura 2.10.Gráfico 𝒙 = 𝒇 𝒕 en el MRU
𝑣𝑥 es la pendiente de
la recta.

11
2.3.5. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado
(MRUA)
El MRUA es aquel movimiento en que la componente de la
aceleración se mantiene constante y diferente de cero.En
algunos libros , este movimiento se denota por MRUV,
donde la V significa Variado.
Como la aceleración se mantiene constante, a partir de
la ecuación (12) se obtiene:
𝑎𝑚𝑥 = 𝑎𝑥 =
Δ𝑣𝑥
Δ𝑡
=
Δ𝑣𝑥
𝑡
(2.20)
por lo que Δ𝑣𝑥 es directamente proporcional al tiempo
Δ𝑣𝑥 = 𝑎𝑥𝑡
y la componente final de la velocidad está dada por
𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 + 𝑎𝑥𝑡 (2.21)
Cuando 𝑣𝑥 varía linealmente con el tiempo, 𝑣𝑚𝑥 está se
puede determinar por la expresión( demuéstrelo):
𝑣𝑚𝑥 =
𝑣0𝑥 + 𝑣𝑥
2
Por definición de 𝑣𝑚𝑥 en la ecuación (11): 𝑣𝑚𝑥 =
Δ𝑥
𝑡
(2.22)
A partir de las ecuaciones (2.11), (2.21) y (2.22) se obtendrán otras
ecuaciones muy importantes para aplicar el modelo del MRUA .
Eliminando 𝑣𝑚𝑥 en las ecuaciones (2.11) y (2.22) se obtiene:
Δ𝑥 =
𝑣0𝑥 + 𝑣𝑥
2
𝑡 (2.23)
Despejado 𝑡 de (2.21) y sustituyéndolo en (2.23) se obtiene (2.24) :
Δ𝑥 =
𝑣𝑥
2 − 𝑣0𝑥
2
2𝑎𝑥
(2.24)
Sustituyendo 𝑣𝑥 de (21) en (23) se obtiene:
Δ𝑥 = 𝑣0𝑥𝑡 +
1
2
𝑎𝑥𝑡2 (2.25)

12
𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 + 𝑎𝑥𝑡
Δ𝑥 = 𝑣0𝑥𝑡 +
1
2
𝑎𝑥𝑡2
𝑎𝑥 > 0
𝑣0𝑥
𝑡
𝑣𝑥
Figura 2.11. Gráficos en el MRUA: (a) 𝒗𝒙 = 𝒇 𝒕 con 𝑎𝑥 > 0; (b) 𝒗𝒙 = 𝒇 𝒕 con 𝑎𝑥 < 0;
(c) Δ𝑥 = 𝒇 𝒕 con 𝑎𝑥 > 0 y (d) Δ𝑥 = 𝒇 𝒕 con 𝑎𝑥 < 0 .
(a)
𝑡
Δ𝑥
𝑣0𝑥
𝑡
𝑣𝑥
𝑎𝑥 < 0
𝑡
Δ𝑥
(b)
(d)
(c)
𝑎𝑥 > 0
𝑎𝑥 < 0

13
Ejemplo 2.2.A partir de la figura 2.12 , determinar:
a) La aceleración en cada segmento , desde 𝑡 = 0.000s
hasta 𝑡 = 18.0s.
b) el desplazamiento entre 𝑡 = 0.000s 𝑦 𝑡 = 4.00s
c) el desplazamiento entre 𝑡 = 4.0s 𝑦 𝑡 = 10.0s
d) el desplazamiento total entre 𝑡 = 0.00s y 𝑡 = 18.0s.
Figura 2.12.
Solución
A
B C
D
a) Se calcula 𝑎𝑥 = 𝑎𝑚𝑥 en cada segmento
Segmento 𝐴𝐵 ∶ 𝑎𝑥 =
∆𝑣𝑥
∆𝑡
=
𝑣𝑥𝐵 − 𝑣𝑥𝐴
𝑡𝐵 − 𝑡𝐴
=
8.0 − 0
4.0 − 0
m
s2
=
8.0
4.0
m
s2
= 2.00 Τ
m s2
Segmento 𝐵𝐶 ∶ 𝑎𝑥 =
∆𝑣𝑥
∆𝑡
=
𝑣𝑥𝐶 − 𝑣𝑥𝐵
𝑡𝐶 − 𝑡𝐵
=
8.0 − 0
10.0 − 4.0
m
s2
=
0
4.0
m
s2
= 0
Segmento 𝐶𝐷 ∶ 𝑎𝑥 =
∆𝑣𝑥
∆𝑡
=
𝑣𝑥𝐷 − 𝑣𝑥𝐶
𝑡𝐷 − 𝑡𝐶
=
0.0 − 8.0
18.0 − 10.0
m
s2
=
−8.0
8.0
m
s2
= −1.00 Τ
m s2
b) Entre 𝑡 = 0 y 𝑡 = 4.00s el área bajo el gráfico es la de un triangulo rectángulo
∆𝑥𝐴𝐵=
𝑡𝐵 − 𝑡𝐴 𝑣𝑥𝐴
2
=
4.0 s 8.00 Τ
m s
2
= 16.0 m
c) Entre 𝑡 = 4.0 s y 𝑡 = 10.0 s el área bajo el gráfico es la de un rectángulo
∆𝑥𝐵𝐶= 𝑡𝐶 − 𝑡𝐵 𝑣𝑥𝐴 = 0.0 − 4.0s 8.00 Τ
m s = 32 m
d) Entre 𝑡 = 10.0 s y 𝑡 = 18.0 s el área bajo el gráfico es la de un trapecio
∆𝑥𝐶𝐷=
𝑏 + 𝐵
2
ℎ =
18.0s + 6.0s
2
8.0 Τ
m s = 12.00 Τ
m s 8.0m = 96 m

14
Ejemplo 2.3. Una anciana camina 0.300km en 10.0 min, dando la
vuelta a un centro comercial. a) Calcule su rapidez media en m/s. b) si
ella quiere aumentar su rapidez media en un 20% al dar una segunda
vuelta , ¿en cuántos minutos deberá caminarla?
Ejemplo 2.4 .Considere un carro de juguete que se mueve en MRU . Si
el carro recorre 4.00 m en 2.00 segundos, ¿en que tiempo recorrerá
50.0 metros?
a) 𝑅m =
𝑑𝑟
∆𝑡
=
0.300 km
10.0 min
=
300 m
10.0 60 s
= 0.500 Τ
m s
Solución
b) La nueva rapidez media es la anterior mas un 20% de su valor:
∆𝑡 =
𝑑𝑟
𝑅m + 0.20𝑅m
=
𝑑𝑟
1.20𝑅m
=
300
1.20 0.500 Τ
m s
= 500 s = 500 s ×
1min
60 s
= 8.33 min
Solución
Se busca la rapidez del carro y luego se calcula el tiempo
correspondiente a la distancia de 50.0 m
𝑣 =
𝑑1
𝑡1
=
4.00 m
2.00 s
= 2.00 Τ
m s
𝑣 =
𝑑2
𝑡2
⟹ 𝑡2 =
𝑑2
𝑣
=
50.0 m
2.00
m
s
= 25.0 s

15
Ejemplo 2.5.Una lancha de motor que viaja por una pista recta
frena manteniendo constante su aceleración y cambiando su
rapidez de 16.7 a 11.1 m/s en una distancia de 50.0 m.
a)Calcule la aceleración de la lancha en dicha recta y b) el
tiempo requerido para recorrer los 50.0 m.
Solución
a) 𝑣𝑥
2
= 𝑣0𝑥
2
+ 2𝑎𝑥∆𝑥 ⇒ 𝑎𝑥 =
𝑣𝑥
2
− 𝑣0𝑥
2
2∆𝑥
𝑎𝑥 =
𝑣𝑥
2
− 𝑣0𝑥
2
2∆𝑥
=
11.1 Τ
m s 2
− 16.7 Τ
m s 2
2 50.0 m
= −1.56 Τ
m s2
b) ∆𝑥 =
𝑣𝑥 + 𝑣0𝑥
2
𝑡
⇒ 𝑡 =
2∆𝑥
𝑣𝑥 + 𝑣0𝑥
=
2 50.0m
11.1 Τ
m s + 16.7 Τ
m s
= 3.60 s

16
La caída libre es un movimiento en el que la partícula una vez
lanzada queda bajo el único efecto de la gravedad. La
aceleración de un cuerpo en caída libre siempre es hacia la
tierra, es decir ¨hacia abajo¨, por convención se considera
negativa.Cerca de la superficie de la tierra la gravedad se
puede considerar constante.
2.3.6. Caída libre de los cuerpos
El Valor aproximado de la gravedad cerca de la superficie
de la tierra es 𝑔 = 9.80 Τ
m s2
, por lo que 𝑎𝑦 =
− 9.80 Τ
m s .
Nota: al aplicar el modelo de aceleración constante a la caída
libre, se sustituye el subíndice y en lugar del subíndice x y se
sustituye la aceleración por el negativo de la gravedad:
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 (2.26)
Δ𝑦 =
𝑣0𝑦 + 𝑣𝑦
2
𝑡 (2.27)
Δ𝑦 =
𝑣𝑦
2
− 𝑣0𝑦
2
−2𝑔
(2.28)
Δ𝑦 = 𝑣0𝑦 −
1
2
𝑔𝑡2 (2.29)
Figura 2.13

17
Ejemplo 2.6 .Un niño lanza una piedra hacia arriba con una
rapidez inicial de 15.0 m/s. ¿Qué altura máxima, a partir del punto
de lanzamiento, alcanzará la piedra antes de descender?.
Ejemplo 2.7. Se suelta una partícula desde una atura de 10 m
sobre el suelo.a)¿en que tiempo cae la partícula al suelo? y b)
¿con que componente de velocidad vertical llega al suelo?.
𝑣𝑦 = 0
∆𝑦 > 0
𝑣0𝑦
Solución
Solución
a) 𝑣𝑦
2
= 𝑣0𝑦
2
− 2𝑔∆𝑦 ⟹ ∆𝑦 =
𝑣𝑦
2
− 𝑣0𝑦
2
−2𝑔
𝑦 =
𝑣𝑦
2
− 𝑣0𝑦
2
−2𝑔
=
0 − 16.7 Τ
m s 2
−2 9.80 Τ
m s2
= 14.2 m
a) ∆𝑦 = −
1
2
𝑔𝑡2
+ 𝑣0𝑦𝑡 ⇒ ∆𝑦 = −
1
2
𝑔𝑡2
+ 𝑣0𝑦(0)
⇒ 𝑡 =
−2 ∆𝑦
𝑔
=
−2 −10.0 m
9.80 Τ
m s2
= 1.43 s
𝑣𝑦 =?
𝑣0𝑦 = 0
∆𝑦 < 0
a) 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 = 0 − 9.80
m
s2
1.43 s = −14.0 Τ
m s

18
2.4.2. Movimiento parabólico:
(2.34)
2.4. Movimiento curvilíneo en el plano
Se dice que un movimiento es curvilíneo cuando no es
rectilíneo. A continuación se muestran algunos modelos
simplificados.
Cuando un objeto es lanzado en caída libre, la y trayectoria
descrita por la partícula es una parábola.
a) Lanzamiento Horizontal
(2.30)
∆𝑦 = 𝑦
∆𝑥 = 𝑥
A
B
En este movimiento hay una combinación de dos tipos de
movimientos:
𝑦
𝑥
a) Un MRU en 𝑥
b) Un MRUA en 𝑦
𝑥 = 𝑣𝑥𝑡
Si tomamos el origen en el punto de lanzamiento, 𝑥0 =
0 , 𝑦0 = 0 , así que :
𝑣𝑦 = −𝑔𝑡 (2.31)
(2.32)
𝑦 = −
𝑣𝑦
2
2𝑔
(2.33)
𝑦 = −
1
2
𝑔𝑡2
Para un lanzamiento horizontal 𝑣0𝑦 = 0 , de modo que las
ecuaciones son :
𝑦 =
𝑣𝑦
2
𝑡
Note que 𝑥 > 0 , 𝑦 < 0
Figura 2.14

19
Ejemplo 2.8. Un avión viaja horizontalmente a 1500m/s a 500 m del suelo. De
él se deja caer un paquete. a)¿cuanto tiempo tarda el paquete en caer la suelo
después de ser soltado? y b) ¿A qué distancia horizontal (𝑥), desde donde se
dejó caer el paquete, toca el suelo? .
a) El movimiento es uniformemente acelerado en la dirección
vertical, con velocidad inicial igual a cero.
Solución
𝑡 =
−2 ∆𝑦
𝑔
=
−2 −500 m
9.80 Τ
m s2
= 10.1 s
b) El movimiento es rectilíneo uniforme en la dirección horizontal
con velocidad inicial igual a cero.
𝑥 = 𝑣𝑥𝑡 = 1500 Τ
m s 10.1 s = 15150 m

20
2.4.2 Lanzamiento oblicuo:
Expresión para el alcance considerando que cae en un punto al mismo
nivel vertical que el punto de lanzamiento:
Expresión para la coordenada 𝑦 del punto superior de la trayectoria
del proyectil con referencia en el punto de lanzamiento:
(2.40)
(2.41)
En este caso no hay componentes nulas de la velocidad
inicial, las componentes iniciales de la velocidad están
dadas por
𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃0 , 𝑣0𝑦 = 𝑣0sen𝜃0
(2.35)
𝑥 = (𝑣0 cos 𝜃0 ) 𝑡
𝑣𝑦 = 𝑣0sen𝜃0 − 𝑔𝑡
𝑦 =
𝑣𝑦
2
− (𝑣0 sen𝜃0)2
−2𝑔
𝑦 = 𝑣0 sen𝜃0 −
1
2
𝑔𝑡2
𝑦 =
𝑣0sen𝜃0 + 𝑣𝑦
2
𝑡
(2.36)
(2.37)
(2.38)
(2.39)
𝑋máx =
𝑣0
2
𝑔
sen 2𝜃0
𝑌máx =
𝑣0
2
2𝑔
sen 𝜃0
2
Las ecuaciones del movimiento son :
𝑌máx
𝑋máx
𝑌máx
Figura 2.15

21
Solución
a) 𝜃0 = tan−1
𝑣0𝑦
𝑣0𝑥
= tan−1
40.0 Τ
m s
30.0 Τ
m s
= 53.1𝑜
b) 𝑣0 = 𝑣0𝑥
2
+ 𝑣0𝑦
2
= 30.0 Τ
m s 2 + 40.0 Τ
m s 2 = 50.0 Τ
m s
c) 𝑌máx =
𝑣0
2
2𝑔
sen 𝜃0
2
=
50.0 Τ
m s 2
2 9.80 Τ
m s2
sen 53.1𝑜 2
= 81.6 m
Ejemplo 2.9. Desde el suelo, se lanza un objeto con velocidad cuya
componente vertical es de 40.0 m/s y su componente horizontal de 30.0
m/s. a)¿Cuál es el ángulo de lanzamiento?; b)¿Cuál es la rapidez de
lanzamiento? ;c)¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto? ; d)
¿Cuál es el alcance del objeto?
d) 𝑋máx =
𝑣0
2
𝑔
sen 2𝜃0 =
50.0 Τ
m s 2
9.80 Τ
m s2
sen 2 × 53.1𝑜
= 245 m

22
2.4.2 Movimiento circular uniforme(MCU)
Movimiento en el que la trayectoria es circular y la
magnitud de la velocidad es constante.
-Magnitud de la aceleración radial :
(2.43)
-Si una partícula en movimiento circular uniforme completa 𝑛 vueltas
en un intervalo de tiempo 𝑡 , entonces podemos usar las siguientes
fórmulas para obtener el período y la frecuencia:
Periodo T (en s): tiempo en que la partícula da una vuelta.
Frecuencia f : cantidad de vueltas por unidad de tiempo
(2.44)
(2.45)
La aceleración siempre apunta hacia el centro del circulo.
Relación entre f y T :
Cantidades importantes en el MCU
𝑎𝑟𝑎𝑑 =
𝑣2
𝑟
𝑓 =
1
𝑇
𝑇 =
𝑡
𝑛
𝑓 =
𝑛
𝑡
Unidad: 𝑠−1
≡ hz
A mayor frecuencia, mayor número de
vueltas se dan por unidad de tiempo
Mientras mayor es el periodo, más
lentamente se mueve la partícula.
(2.42)
Figura 2.16

23
𝜔 =
2𝜋
𝑇
Reapidez . Dado que la partícula tiene una rapidez
constante en el MCU, entonces, esta se puede obtener
dividiendo la longitud de la circunferencia entre el
periodo:
𝑣 =
2𝜋𝑟
𝑇
(2.46)
Cuando la partícula dá vueltas, esta realiza un
desplazamiento ángular, de modo que se puede definir una
rapidez angular, la rapidez ángular (𝜔) es igual al ángulo
recorrido entre el tiempo empleado ;para una vuelta se
recorren 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 en un tiempo igual al periodo, por
lo que :
(2.47) Unidades : rad/s

24
Solución
𝑇 = 1.50 min = 1.50 60.0 s = 90.0 s
𝑟 = 0.500 km = 0.500 1000 m = 500 m
a) 𝑣 =
2𝜋𝑟
𝑇
=
2𝜋 500 m
90.0s
= 34.9 Τ
m s
b) 𝜔 =
2𝜋
𝑇
=
2𝜋
90.0s
= 0.0698 ra Τ
d s
d) 𝑎𝑟 =
𝑣2
𝑟
=
34.9 Τ
m s 2
500 m
= 2.44 Τ
m s2
Ejemplo 2.10. Un auto se mueve sobre una pista circular de 0.500
km de radio (R), con movimiento circular uniforme. Al auto le toma
1.50 minutos completar una vuelta. a)¿cuál es la magnitud de la
velocidad en m/s de dicho auto?, b) ¿cuál es la rapidez angular en
rad/s ? Y c) ¿cuál es la magnitud de la aceleración radial?.

25
A. Seleccionar la respuesta correcta
2.1. El cambio de posición en la unidad de tiempo se llama :
a) Desplazamiento
b) Distancia
c) Velocidad
d) Aceleración
2.2. El cambio de velocidad en la unidad de tiempo se llama:
a) Desplazamiento
b) Distancia
c) Velocidad
d) Aceleración
2.3. ¿En qué movimiento los vectores velocidad y aceleración
son siempre perpendiculares ?
a) Rectilíneo uniforme
b) Circular uniforme
c) Caída libre
d) Lanzamiento horizontal
2.4. Un atleta recorre 100 m en 10 s. ¿Cuál es su rapidez
media?
a) 10 m/s
b) 5.0 m/s
c) 0.5 m/s
d) 1000 m/s
2.5. Una bola se deja caer desde cierta altura. El tiempo en
adquirir una velocidad de 19.6 m/s es :
a) 1.96 s
b) 196 s
c) 9.80 s
d) 2.00 s
2.6. Un vaso rueda por una mesa, llega al borde y cae. Si llega
al suelo en 0.50 s, ¿cuál es la altura de la mesa?
a) 5.0 m
b) 1.3 m
c) 2.5 m
d) Faltan datos
Ejercicios propuestos -2 :Cinemática

26
2.7. En el movimiento circular uniforme la aceleración:
a) Es nula
b) Apunta hacia el centro de la trayectoria
c) Es tangente a la trayectoria
d) Disminuye con el tiempo
2.8. Una pelota de béisbol, al ser golpeada por un bateador, viaja
hacia los jardines. La aceleración de la pelota durante el vuelo
a) es la misma durante todo del trayecto.
b) depende de si la pelota va hacia arriba ó hacia abajo.
c) es máxima en la cúspide de su trayectoria.
d) depende dc cómo se le pegó
2.9. Es una cantidad escalar
a) La velocidad
b) El desplazamiento
c) La aceleración
d) La distancia recorrida
2.10. Un vehículo (A) parte del reposo con MRUA con ax =
20.0m/s2
y recorre cierta distancia en 10.0 s. ¿Qué rapidez debe
tener un segundo vehículo (B) si recorre la misma distancia que el
vehículo (A) en el mismo tiempo y parte también desde el reposo?
a) 200 m/s
b)100 m/s
c) 2.00 m/s
d) 30.0 m/s

27
B. Ejercicios propuestos
2.11. Una canica se desliza con velocidad constante sobre el piso.
Un niño que toma sus primeras clases de física, ha establecido
que dicha partícula se ha desplazado ∆𝑥 = 2.00 m durante un
intervalo de 4.00s. ¿Cuál es la rapidez de la dicha canica?
2.12. ¿Cuál es el desplazamiento en 𝑥 , ∆𝑥 ,de una partícula que
se mueve en línea recta con una velocidad de 20.0 m/s en la
dirección +𝑥 , durante 4.00 s?
2.13. Una anciana camina 0.50km en 10.0 min, dando la vuelta a
un centro comercial. a) Calcule su rapidez media en m/s. b) si ella
aumenta su rapidez media en un 20% al dar una segunda vuelta ,
¿en cuántos minutos deberá caminarla?
2.14. Una partícula se mueve en línea recta (en dirección +𝑥 ). El
tramo de A hasta B (ver figura) lo recorre con una rapidez 𝑣1 =
10.0 m/s en 3.00s y el tramo de B hasta C lo recorre con una
rapidez 𝑣2 = 14.0 m/s en 2.00 s. ¿Cuál es la rapidez media en el
intervalo de 5.00 s que le tomó a la partícula ir de A hasta C ? .
𝑥

28
2.15. Una partícula está en movimiento sobre el eje 𝑥. El
gráfico 𝑣𝑥 = 𝑓(𝑡) correspondiente a su movimiento es el
mostrado. Determine el desplazamiento de dicha partícula en
el intervalo t = 1.0s a 𝑡 = 4.0s.
2.16. A partir de la figura 2.2, determine 𝑎𝑥 en los intervalos: a) 𝑡 =
0.0s a 𝑡 = 2.0s y b) 𝑡 = 2.0s a 𝑡 = 4.0s .Recuerde que la
componente en 𝑥 de la aceleración en cada segmento, es igual a la
pendiente.
2.17. Un auto se mueve sobre el eje 𝑥 con una velocidad de 16.0 m/s al
momento de pisar los frenos. Su velocidad se reduce uniformemente
hasta 10.0 m/s habiendo recorrido 4.00 m. ¿Cuál es su componente de
aceleración en 𝑥?
2.18. Un automóvil corre a 125 km/h en la carrera.Si los frenos pueden
desacelerar a dicho vehículo a 6.80 m/s2
,¿qué distancia habrá
recorrido el automóvil antes de detenerse?, exprese el resultado en
metros

29
2.19. Una nave espacial alcanza una rapidez de 1200 km/h
a los 30.0 segundos desde el despegue. ¿Cuál es la magnitud
de la aceleración media de la nave en m/s2
?
2.20. La posición de una partícula en función del tiempo está dada
por la ecuación 𝑥 = 2.00𝑡 + 5.00𝑡2
m .Determine: a)𝑥0 ,𝑣0𝑥 , 𝑎𝑥
y b) la posición cuando el tiempo transcurrido es 5.00s.
2.21. Un niño lanza una piedra hacia arriba con una rapidez
inicial de 15m/s.¿Qué altura máxima alcanzará la piedra antes
de descender?
2.22. En el ejercicio 2.21 ¿qué altura máxima alcanzaría la piedra
si el niño y la piedra estuvieran en la superficie de la Luna, donde
la gravedad es sólo 1.67m/s2
?

30
2.23. Un avión viaja horizontalmente a 1500 m/s a 500 m del
suelo. De él se deja caer un paquete. a)¿cuánto tiempo tarda el
paquete en caer al suelo después de ser soltado? Y b) ¿qué
distancia horizontal (∆𝑥), recorre el paquete al caer al suelo?
2.24. Suponga que un CD da 1500 vueltas por minutos ,cuyo radio
es de 60 mm. Determine: a) Su frecuencia en Hz, b) Su período, c)
Rapidez tangencial y d) Rapidez angular en un punto marcado en
el borde.
2.25. Un electrón gira en torno a un protón en una órbita circular
de 5.28 × 10−11
m de radio y rapidez de 2.18 × 106
m/s.Calcular:
a)El periodo del movimiento y b) la magnitud de la aceleración
centrípeta.

31
Fuentes consultadas
Eurípides Herasme, Gómez Carlos y González Cristián. Física Básica para instituciones de Educación
superior. 2012. Física Básica para Instituciones de Educación Superior.1era ed.
Wilson, Jerry, Anthony J. Buffa, y Bo Lou. 2007. Física. 6.a ed. México: PERSON EDUCACIÓN.
Gómez, Carlos, Eurípides Herasme, Osiris Robles, Cristián González, Juan de Jesús Aquino, y Roque
Bretón. 2009. Física Básica(UASD):Cuaderno de trabajo.
Tippens, Paul. E. 2011. Física: conceptos y aplicaciones. 7.a ed. México: McGraw Hill.
Serway, Raymond A., y John W. Jr Jewett. 2009. Física Para Ciencias e Ingenierías con Física Moderna
Volumen 1. Vol. 1. 7.a ed. México: Cengage Learning.

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