metodo de reduccion gauss y gauss jordan

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la
Educación
I.P «Santiago Mariño»
Carrera: Ingeniería Electrónica
Prof:
Ramón Aray
Alumno:
Andrio Mendoza
C.I:26.355.203

2. 2𝑥 −𝑦 +𝑧
𝑥 +3𝑦 −2𝑧
2𝑥 +𝑦 +3𝑧
=
=
=
−8
5
4
Se debe conseguir el valor 0 en cada
una de las zonas marcados para obtener
un sistema triangular que sea mas fácil
de resolver
Para lograr hacer 0 en los 3 lugares
marcados el primer valor de la primera fila
debe ser 1 pero en este caso se tiene un
2x para solucionar esto se intercambian la
fila 1 y la fila 2 quedando así
𝑥 +3𝑦 −2𝑧
2𝑥 −𝑦 +𝑧
2𝑥 +𝑦 +3𝑧
=
=
=
5
−8
4
F1 F2

3. 𝑥 +3𝑦 −2𝑧
2𝑥 −𝑦 +𝑧
2𝑥 +𝑦 +3𝑧
=
=
=
5
−8
4
Ahora el siguiente paso se trata de hacer 0
las zonas marcadas siempre utilizando la
primera fila
𝑥 +3𝑦 −2𝑧
2𝑥 −𝑦 +𝑧
2𝑥 +𝑦 +3𝑧
=
=
=
5
−8
4
Fijados que para hacer 0 los valores
marcados se deben restar con la fila 1
multiplicada por 2
𝑥 +3𝑦 −2𝑧
0 −7𝑦 +5𝑧
0 −5𝑦 +7𝑧
=
=
=
5
−18
6
𝐹2 − 2𝐹1
𝐹3 − 2𝐹1
Se aplicaron las siguientes
operaciones para obtener los
resultaos de a)
2 − 2𝑥1 = 0
−1 − 2𝑥3 = −1 − 6 = −7
1 − 2𝑥 −2 = 1 + 4 = 5
−8 − 2𝑥5 = −8 − 10 = −18

4. 𝑥 +3𝑦 −2𝑧
0 −7𝑦 +5𝑧
0 −5𝑦 +7𝑧
=
=
=
5
−18
6
Continuando se realizan las
siguientes operaciones para
sacar los valores de b)
2 − 2𝑥1 = 2 − 2 = 0
1 − 2𝑥3 = 1 − 6 = −5
3 − 2𝑥 −2 = 3 + 4 = 7
4 − 2𝑥5 = 4 − 10 = 6
𝑥 +3𝑦 −2𝑧
0 −7𝑦 +5𝑧
0 −5𝑦 +7𝑧
=
=
=
5
−18
6
Ahora los valores marcados son 0 pero para
completar el ejercicio se necesita que valor
junto al 0 de la ultima fila sea igual a 0. En este
caso el valor arriba del (-5y) es (-7y) son
números primos así que para eliminar el (-5y) y
volverlo 0 se aplica la siguiente resolución.
7𝑥𝐹3 − 5𝑥𝐹2

5. se realizaron las siguientes operaciones
7𝑥 −5 − 5𝑥 −7 = −35 + 35 = 0
7𝑥7 − 5𝑥5 = 49 − 25 = 24
7𝑥 −6 − 5𝑥 −18 = −42 + 90 = 48
quedando así
Ya obtenido el sistema triangular de 0
pasaremos a calcular Z,Y,X despejando
y sustituyendo valores.
24𝑧 = 48
𝑍 =
48
24
𝑍 = 2
−7𝑦 + 5𝑧 = −18
−7𝑦 + 5𝑥 2 = −18
−7𝑦 + 10 = −18
−7𝑦 = −18 − 10
−7𝑦 = −28
𝑦 = −
28
−7
𝑌 = 4
𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 5
𝑥 + 3𝑥 4 − 2𝑥 2 = 5
𝑥 + 12 − 4 = 5
𝑥 = 5 − 12 + 4
𝑋 = −3

6. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el método Gauss-Jordán se deben
anotar en primer lugar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones
lineales con la notación matricial por ejemplo
2𝑥 +3𝑦 𝑧
3𝑥 −2𝑦 −4𝑧
5𝑥 −𝑦 −𝑧
=
=
=
1
−3
4
Aquí esta el ejercicio normal ahora
se anota en forma matricial
quedando así :
2 3 1
3 −2 −4
5 −1 −1
=
=
=
1
−3
4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Luego de realizado lo anterior se procede a
transformar dicha matriz en una matriz de
identidad, o sea una matriz equivalente a la
inicial, de la forma:

7. Ahora se transforma el 2 de la primera fila
de la matriz original en el 1 de la primera fila
de la matriz de identidad. Para realizar este
paso se multiplica toda la fila 1 por el inverso
de 2 , o sea 1/2
1 3/2 1/2
3 −2 −4
5 −1 −1
=
=
=
1/2
−3
4Fila 1 x (1/2)=
Debemos obtener los dos ceros de la primera
columna de la matriz identidad. Para lograrlo
buscaremos el opuesto de los números que se
encuentren por debajo del 1 de la primera
columna. El opuesto de 3 será -3 y el de 5 -5.

8. Hecho esto multiplicaremos los opuestos de estos números por cada uno de los
elementos de la fila primera y estos se adicionarán a los números de sus respectivas
columnas Por ejemplo en el caso de la segunda fila, se multiplicará a -3 que es el
opuesto de 3, por cada uno de los elementos de la primera fila y se añadirá el resultado
con el número correspondiente de la columna de la segunda fila quedando así:
1era Fila x -3+2da Fila=
1eraFila x-5+3era Fila=
1 3/2 1/2
0 −13/2 −11/2
0 −17/2 −7/2
=
=
=
1/2
−9/2
3/2
A medida que realicemos este procedimiento operando con las distintas filas y
columnas de la matriz, observaremos como esta se transforma en el modelo de
la matriz identidad. Finalizado el proceso, encontraremos finalmente en la cuarta
columna los valores de las variables. Veamos entonces como nos quedaría:
1 3/2 0
0 1 0
0 0 1
=
=
=
−1/2
−1
2
2da Fila x -3/2 + 1era Fila
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
=
=
1
−1
2

9. Esto da como resultado • X=1
• Y=-1
• Z=2
Para finalizar se resuelve el
sistema de ecuaciones dando
como resultado