Algebra lineal

1. UNIVERSIDAD DEL NORESTE
ESPACIOS VECTORIALES DE FUNCIONES REALES

2. El espacio vectorial de las funciones reales con dominio sobre un conjunto 𝑋C ℝ :
ℱ 𝑋 = 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑓 ∶ 𝑋 → ℝ
( y como caso especial las funciones de una variable con dominio todo ℝ ,
ℱ = ℱ ℝ = 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑓 ∶ ℝ → ℝ )
En este espacio vectorial se definen la suma y el producto de escalares por vectores del siguiente modo: si
tenemos dos funciones 𝑓 , 𝑔 ∶ 𝑋 → ℝ, la función suma 𝑓 + 𝑔 ∶ 𝑋 → ℝ esta dada por 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 +
𝑔 , ⩝𝑥 ∈ 𝑋; y si tenemos una función 𝑓 ∈: 𝑋 → ℝ y un escalar α ∈ ℝ se define como el producto de ambos
como la función α • 𝑓 ∶ 𝑋 → ℝ dada por (α • 𝑓 ) 𝑥 = α • 𝑓 𝑥 , ⩝𝑥 ∈ 𝑋. Estas operaciones proporcionan 𝑎ℱ 𝑋
estructura de espacio vectorial sobre ℝ en el que el vector nulo es la función idénticamente nula:
0: 𝑋 → ℝ, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 0 𝑥 = 0, ⩝𝑥 ∈ 𝑋
Es decir, es la que lleva todos los elementos de 𝑋 al 0; y el vector opuesto de 𝑓es la función - 𝑓, definida por
(- 𝑓) 𝑥 = - 𝑓 𝑥 , ⩝𝑥 ∈ 𝑋

3. Dados las funciones representadas en los vectores siguientes:
𝑉1 = 2𝑥2
+ 𝑥 + 2 𝑉2 = 𝑥2
− 2𝑥 𝑉3 = 5𝑥3
− 5𝑥 + 2
Determinar si el vector:
𝑈 = 𝑥2
+ 𝑥 + 2
Pertenece al conjunto de vectores.

4. Ejemplo
Dados las funciones representadas en los vectores
siguientes:
𝑉1 = 4𝑥2
+ 𝑥 + 2 𝑉2 = 𝑥2
− 4𝑥
𝑉3 = 2𝑥2
− 2𝑥 + 2
Determinar si el vector:
𝑈 = 𝑥2
+ 𝑥 + 2
Pertenece al conjunto de vectores.
P A S O S
1.
𝐶1
𝑉1 + 𝐶2
𝑉2 + 𝐶2
𝑉2 + 𝐶2
𝑉2 = 𝑈
2. 𝐶1
(4𝑥2
+ 𝑥 + 2) + 𝐶2
(𝑥2
−4𝑥) + 𝐶3
(2𝑥2
− 2𝑥 + 2) =
𝑥2
+ 𝑥 + 2
3. (𝐶1
4𝑥2
+ 𝐶1
𝑥 + 𝐶1
2) + (𝐶2
𝑥2
−𝐶2
4𝑥) +
(𝐶3
2𝑥2
− 𝐶3
2𝑥 + 𝐶3
2) = 𝑥2
+ 𝑥 + 2
𝐶1
4𝑥2
+ 𝐶1
𝑥 + 𝐶1
2 + 𝐶2
𝑥2
− 𝐶2
4𝑥 + 𝐶3
2𝑥2
− 𝐶3
2𝑥 + 𝐶3
2 = 𝑥2
+ 𝑥 + 2
4
1
2
3
(𝐶1
4𝑥2
+ 𝐶2
𝑥2
+ 𝐶3
2𝑥2
) + 𝐶1
𝑥 − 𝐶2
4𝑥 − 𝐶3
2𝑥
+ 𝐶1
2 + 𝐶3
2 = 𝑥2
+ 𝑥 + 2
5
(4𝐶
1
+ 𝐶2
+ 2𝐶3
)𝑥2
+ 𝐶1
𝑥 − 4𝐶2
− 2𝐶3
𝑥
+ 𝐶1
+ 𝐶3
2 = 𝑥2
+ 𝑥 + 2
6
Esto también lo podemos expresar para formar 3 ecuaciones :
4𝐶1 + 𝐶2 + 2𝐶3 = 1
𝐶1
− 4𝐶2
− 2𝐶3
= 1
2𝐶1
+ 2𝐶3
= 2
4 1 2
1 −4 −2
2 0 2
1
1
2
Arreglo matricial:

5.  Como no existe indeterminación, podemos concluir
que el vector si pertenece al conjunto de vectores.
4 1 2
1 −4 −2
2 0 2
1
1
2
1 1/4 1/2
1 −4 −2
2 0 2
1/4
1
2
1 1/4 1/2
0 −17/4 −5/2
0 −1/2 1
1/4
3/4
3/2
1𝐶1
+
1
4𝐶2 + 1/2𝐶3
= 1/4
𝐶2 + 10/17𝐶3 = − 3 17
0𝐶1
+ 0𝐶2
+ 1𝐶3
= 12/11
1 1/4 1/2
0 1 10/17
0 0 22/17
1/4
−3/17
24/17
1 1/4 1/2
0 1 10/17
0 0 1
1/4
−3/17
12/11

6. Bibliografia
 Kolman, B., Hill, D. R., & Hugo, I. M. (2006). Álgebra lineal, octava edición.
Naucalpan de Juárez: Pearson Educación.
 Departamento de Matemática aplicada y estadística. (2008). Tema 2: Espacios
vectoriales. Recuperado de
http://www.dmae.upct.es/~plgomez/archivos%20docencia/teoriagrado2011-
12/tema2-espacios-vectoriales-a.pdf.